\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Merci à Anne Million-Rousseau
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-func}
\usepackage{pst-all}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}% vecteur(AB)
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 26 novembre 2019},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{février  2020}}
\addtolength{\headheight}{\baselineskip}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S (obligatoire)~\decofourright\\[7pt]
Nouvelle Calédonie -- février 2020}}

%\medskip
%
%L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%\emph{Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.\\ 
%Le candidat doit traiter tous les exercices.\\
%Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.\\
%Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
%Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 
$f(x) = (a x + b)\e^{- \frac{1}{2}x},$

où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est tracée ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(11,2.5)
\psaxes[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,0)(11,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.8}{x 1 add 2.71828 0.5 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1 et admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0)=1$ et $f'(1)=0$. 
\item $f'(x) = a\times \e^{-\frac{1}{2}x} +(ax+b)\times \left (-\dfrac{1}{2}\right ) \e^{-\frac{1}{2}x}
= \left (a -\dfrac{1}{2} ax -\dfrac{1}{2}b \right ) \e^{-\frac{1}{2}x}
=  \left(- \dfrac{1}{2}ax - \dfrac{1}{2}b + a\right) \e^{- \frac{1}{2}x}$

\item% Déterminer les valeurs de $a$ et $b$. 
$f(0)=1 \iff (0+b)\e^{0}=1 \iff b=1$ donc $f(x)=(ax+1)\e^{-\frac{1}{2}x}$ et $f'(x)= \left(- \dfrac{1}{2}ax - \dfrac{1}{2} + a\right) \e^{-\frac{1}{2}x}$.

$f'(1)=0 \iff  \left(- \dfrac{1}{2}a - \dfrac{1}{2} + a\right) \e^{- \frac{1}{2}}=0
\iff \dfrac{1}{2} a - \dfrac{1}{2}=0 \iff a=1$

Donc $a=b=1$; on en déduit que $f(x)=(x+1)\e^{-\frac{1}{2}x}$ et que $f'(x)=\left (-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}\right )\e^{-\frac{1}{2}x}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On admet que la fonction $f$ est définie sur  $[0~;~ +\infty[$ par:  $f(x) = (x + 1)\e^{-\frac{1}{2}x}$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f(x) = 2\left(\dfrac{\frac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}}\right) + \e^{- \frac{1}{2}x}$. 
$f(x) = (x + 1)\e^{-\frac{1}{2}x} = x \e^{-\frac{1}{2}x} + \e^{-\frac{1}{2}x} = \dfrac{x}{\e^{\frac{1}{2}x}} + \e^{-\frac{1}{2}x}
= \dfrac{2\frac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}} + \e^{-\frac{1}{2}x} = 2\left(\dfrac{\frac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}}\right) + \e^{- \frac{1}{2}x}$
		
		
		\item% Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$, 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que $\ds\lim_{X\to +\infty} \dfrac{\e^{X}}{X} = +\infty$ donc $\ds\lim_{X\to +\infty} \dfrac{X}{\e^{X}} = 0$.

On pose $X=\dfrac{1}{2}x$; $\ds\lim_{x\to +\infty} X = +\infty$.
On peut donc dire que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\frac{1}{2}x}{\e^{\frac{1}{2}x}} = 0$.

\item On sait que $\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{-X} =0$.

On pose $X=\dfrac{1}{2}x$; $\ds\lim_{x\to +\infty} X = +\infty$.
On peut donc dire que $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-\frac{1}{2}x} = 0$.
\end{list}		

On peut donc déduire que $\ds\lim_{x\to +\infty}f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\item  %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ et construire son tableau de variations. 
 $f'(x)=\left (-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}\right )\e^{-\frac{1}{2}x}$
 
 Or, pour tout $x$, $\e^{-\frac{1}{2}x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}$ qui s'annule et change de signe pour $x=1$.
 
 $f(0)=1$; $f(1)=2\e^{-\frac{1}{2}}$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
 
 On établit le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$:
 
 \begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp & +\infty \\ \hline
-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline
 & &  &   \Rnode{max}{2\e^{-\frac{1}{2}}\rule{0pt}{12pt}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{1} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline
\end{array} $
}
\end{center}	


\item  %Démontrer que l'équation $f(x) = 0,07$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
On complète le tableau de variations en plaçant le nombre $0,07$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp & +\infty \\ 
%\hline
%-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{2\e^{-\frac{1}{2}}\rule{0pt}{12pt}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{1} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
\rput*(-1.3,0.45){\Rnode{zero2}{\blue 0,07}}
\rput(-1.3,1.8){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero2}
 \\
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

On en déduit que l'équation $f(x) = 0,07$ admet une solution unique dans $[0~;~+\infty[$.

\item  %Donner l'arrondi de $\alpha$ à l'unité. 
En utilisant la calculatrice, on trouve $\alpha\approx 10,14$ ce qui donne $10$ comme arrondi à l'unité.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Modélisation d'un tas de sable}

\medskip 

Dans cette partie, on considère que la courbe de la fonction $f$ modélise le profil d'un tas de sable. La longueur $x$ et la hauteur $f(x)$ sont exprimées en mètres. 

Ainsi, le fait que $f(0) = 1$ signifie qu'à son extrémité gauche, la hauteur du tas de sable est de 1 mètre. 
On souhaite que le tas de sable soit limité par deux murs comme indiqué sur le schéma ci-dessous. 
Le mur de gauche coïncide avec l'axe des ordonnées et le mur de droite est placé de telle sorte que la hauteur de sable à cet endroit est de $7$~cm. 

%\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(11,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0)(-0.5,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](10,0)(10.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.2pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.7,0)(11,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{x 1 add 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psplot{10}{0}{0}}
\psline{<->}(0,-0.15)(1.8,-0.15) \uput[d](0.9,-0.15){$x$}
\psline{<->}(1.8,0)(1.8,1.17) \uput[r](1.8,0.59){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Pourquoi le mur de droite doit-il être placé à environ $10$ mètres du mur de gauche ? 
Une hauteur de 7~cm correspond à $0,07$~m; il faut donc savoir à quelle distance $x$ du mur de gauche le mur de droite doit être placé pour que $f(x) = 0,07$. Cette distance est de $\alpha$ soit environ 10 mètres.

\item Soit $G$ la fonction définie sur [0~;~10] par $G(x) = (-2x - 4 )\e^{-\frac{1}{2}x}$.

$G'(x)= (-2)\times \e^{-\frac{1}{2}x} + (-2x-4)\times \left (-\dfrac{1}{2} \right )\e^{-\frac{1}{2}x}
= (-2 +x+2)\e^{-\frac{1}{2}x} = x \e^{-\frac{1}{2}x}$

Donc la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par $g(x) = x\e^{-\frac{1}{2}x}$. 

\item% En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
$f(x) = (x+1)\e^{-\frac{1}{2}x} = x \e^{-\frac{1}{2}x} + \e^{-\frac{1}{2}x} = g(x) +\e^{-\frac{1}{2}x}$

La fonction $G$ est une primitive de $g$. On cherche une primitive de la fonction $x \longmapsto \e^{-\frac{1}{2}x}$; c'est la fonction $x\longmapsto \dfrac{\e^{-\frac{1}{2}x}}{-\frac{1}{2}}$ soit la fonction $x\longmapsto -2\e^{-\frac{1}{2}x}$.

La fonction $f$ a donc pour primitive la fonction $F$ définie par

$F(x)=G(x) -2\e^{-\frac{1}{2}x} = (-2x-4)\e^{-\frac{1}{2}x} -2\e^{-\frac{1}{2}x}
= (-2x-6)\e^{-\frac{1}{2}x}$.

\item Pour pouvoir créer un terrain de sport sur sable, on décide de niveler le tas de sable, c'est-à-dire de l'étaler à une même hauteur entre les deux murs. 

%Quelle sera la hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé ? Expliquer le raisonnement et arrondir le résultat au centimètre. 

La hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé est égale à la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[0~;~10]$, soit

$\dfrac{1}{10-0}\ds\int_{0}^{10} f(x) \d x = \dfrac{1}{10}\left [ F(x)\strut\right ]_{0}^{10} = \dfrac{1}{10}\left [ -26 \e^{-5} - \left ( -6\right )\right ]
= \dfrac{6-26\e^{-5}}{10}\approx 0,58$

La hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé est donc d'environ 58~cm.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les probabilités seront arrondies si nécessaire au millième. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Une antenne relais chargée d'acheminer des communications est exploitée par trois opérateurs : l'opérateur A, l'opérateur B et l'opérateur C. 

Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications téléphoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail). 

On dispose des données suivantes : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{list}{\textbullet} 
\item 40\,\% des communications passent par l'opérateur A ; 
\item 25\,\% des communications passent par l'opérateur B ; 
\item 10\,\% des communications passant par l'opérateur A utilisent le canal vocal; 
\item 20\,\% des communications passant par l'opérateur B utilisent le canal vocal; 
\item 20\,\% de l'ensemble des communications utilisent le canal vocal. 
\end{list}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit une communication au hasard et on considère les évènements: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{list}{\textbullet} 
\item $A$ : \og la communication passe par l'opérateur A \fg{} ; 
\item $B$ : \og la communication passe par l'opérateur B \fg{} ; 
\item $C$ : \og la communication passe par l'opérateur C \fg{} ; 
\item $V$ : \og la communication utilise le canal vocal \fg{}. 
\end{list}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des valeurs de l'énoncé, on complète les pointillés indiqués sur les branches de l'arbre pondéré donné en \textbf{ANNEXE}.
 
\item La probabilité que la communication passe par l'opérateur A et utilise le canal vocal est

$P(A\cap V) = P(A)\times P_A(V) = 0,4\times 0,1 = 0,04$.

\item La communication passe par l'opérateur C. 

La probabilité qu'elle soit acheminée par le canal vocal est $P_C(V)=\dfrac{P(C\cap V)}{P(C)}$.

On calcule $P(C\cap V)$ en utilisant la formule des probabilités totales:

$P(V)= P(A\cap V) + P(B\cap V) + P(C\cap V) 
\iff P(V)= P(A\cap V) + P(B)\times P_B(V) + P(C\cap V)
\iff 0,2 = 0,04 + 0,25\times 0,2 + P(C\cap V)
\iff P(C\cap V) = 0,11$

Donc $P_C(V)=\dfrac{P(C\cap V)}{P(C)} = \dfrac{0,11}{0,35} \approx 0,314$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Cette antenne relais couvre une zone géographique bien définie appelée cellule. Dans cette cellule, les ressources radio sont limitées à $350$ appels simultanés. Cela signifie qu'au-delà de $350$ appels, l'antenne relais est saturée. 

Dans cette cellule, \np{1600} personnes possèdent chacune un téléphone mobile. 

À un instant donné, on choisit au hasard une personne parmi les \np{1600} personnes de la cellule. On admet que la probabilité que cette personne passe un appel téléphonique est égale à $0,2$. On admet en outre que les \np{1600} personnes de la cellule agissent indépendamment les unes des autres. 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes passant un appel à un instant donné dans cette cellule. 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? On précisera ses paramètres. 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Une expérience aléatoire admet deux issues: la personne passe un appel téléphonique avec une probabilité de $p=0,2$, ou non.
\item On réalise cette expérience dans les mêmes conditions \np{1600} fois.
\end{list}		

Donc la variable aléatoire $X$  égale au nombre de personnes passant un appel à un instant donné dans cette cellule suit la loi binomiale de paramètres $n=\np{1600}$ et $p=0,2$.

		\item L'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np = \np{1600}\times 0,2=320$.
		
		Il y a donc en moyenne 320 personnes qui téléphonent à un instant donné.

		\item Au-delà de $350$ appels, l'antenne relais est saturée; donc la probabilité que l'antenne ne soit pas saturée est
				$P(X\leqslant 350) \approx 0,971$.
				
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère une autre cellule dans laquelle le nombre de personnes passant un appel téléphonique au même moment est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale d'espérance $\mu = 335$ et d'écart-type $\sigma$ inconnu, 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a constaté que, dans cette cellule, la probabilité que l'antenne soit saturée est \np{0,0015}. 

On rappelle que l'antenne est saturée lorsque le nombre de personnes passant un appel téléphonique au même moment est supérieur à $350$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'\textbf{ANNEXE}, on a réalisé un croquis donnant l'allure de la courbe de la fonction densité de la variable aléatoire $Y$.
		
On hachure sur cette annexe le domaine correspondant à la probabilité que l'antenne soit saturée. 
		\item% Justifier que la valeur de $\sigma$, arrondie à l'unité, vaut $5$. 
La probabilité que l'antenne soit saturée est \np{0,0015} ce qui veut dire que
$P(Y>350)=\np{0,0015}$ ce qui équivaut à $P(Y\leqslant 350) = 1-\np{0,0015}=\np{0,9985}$.

La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu=335$ et d'écart-type $\sigma>0$ donc la variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-335}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

$Y\leqslant 350 \iff Y-335 \leqslant 15 \iff \dfrac{Y-335}{\sigma} \leqslant \dfrac{15}{\sigma} \iff Z \leqslant \dfrac{15}{\sigma}$

Chercher $\sigma$ tel que $P(Y\leqslant 350) =\np{0,9985}$ sachant que $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu=335$ et d'écart-type $\sigma$, équivaut à chercher $\sigma$ tel que $P\left ( Z \leqslant \dfrac{15}{\sigma} \right ) = \np{0,9985}$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite.

La calculatrice donne $\dfrac{15}{\sigma}\approx \np{2,9678}$ ce qui donne $\sigma \approx 5$.
		
	\end{enumerate}
\item  L'antenne dispose d'un mode \og économie d'énergie \fg{} qui s'active lorsque moins de $330$ personnes passent un appel téléphonique au même moment. 

La probabilité que l'antenne soit en mode \og économie d'énergie \fg{} est
$P(Y<330)$ qui vaut environ $0,159$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Les PARTIES A et B peuvent être traitées de manière indépendante.} 
%
%\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip 

On considère l'équation $(E)$ suivante: 
$z^3 + 2\left(\sqrt{2} - 1\right)z^2 + 4\left(1 - \sqrt{2}\right)z - 8 = 0$,
ayant pour inconnue le nombre complexe $z$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, 
$(z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2}z + 4\right) 
=z^3 + 2\sqrt{2}z^2 + 4z -2z^2 -4\sqrt{2}z - 8\\
\phantom{(z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2}z + 4\right)}
= z^3 + \left (2\sqrt{2}-2\right ) z^2 + \left (4 - 4\sqrt{2}\right )z - 8\\
\phantom{(z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2}z + 4\right)}
= z^3 + 2\left(\sqrt{2} - 1\right)z^2 + 4\left(1 - \sqrt{2}\right)z - 8$
 
\item On résout dans $\C$ l'équation $(E)$.

$(E) \iff (z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2}z + 4\right) =0
\iff z - 2=0\text{ ou } z^2 + 2\sqrt{2}z + 4 = 0$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'équation $z-2=0$ a pour solution $z_1=2$.
\item On résout l'équation $(E')$: $z^2 + 2\sqrt{2}z + 4 = 0$.

$\Delta = \left (2\sqrt{2}\right )^2 - 4\times 1 \times 4 = 8-16 = -8 = -\left (2\sqrt{2}\right )^2$

Donc l'équation $(E')$ admet deux solutions complexes conjuguées\\
$z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{-\Delta}}{2a}= \dfrac{-2\sqrt{2} +\i \times 2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}+\i\sqrt{2}$
et $z_3=\overline{z_2} = -\sqrt{2}-\i\sqrt{2}$.
\end{list}

L'ensemble des solutions de  $(E)$ est donc:
$\left \lbrace z_1=2~;~z_2=-\sqrt{2}+\i\sqrt{2}~;~z_3=-\sqrt{2}-\i\sqrt{2}\rule{0pt}{12pt}\right \rbrace$.

\item On écrit toutes les solutions de l'équation $(E)$ sous forme exponentielle. 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $z_1=2=2\e^{0}$
\item $z_2=-\sqrt{2}+\i\sqrt{2}$
\begin{list}{$\circ$}{}
\item $\left |z_2\right |= \ds\sqrt{\left (-\sqrt{2}\right )^2+ \left (\sqrt{2}\right )^2}=\sqrt{4}=2$
\item $z_2= 2\left ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )
= 2 \left (\cos \dfrac{3\pi}{4} + \i \sin \dfrac{3\pi}{4}\right )$
\end{list}
Donc $z_2 = 2\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$
\item $z_3 = \overline{z_2} = 2\e^{-\i\frac{3\pi}{4}}$
\end{list}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip 

Dans cette partie, on cherche à déterminer les valeurs exactes de 
$\cos \left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$. 

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

On considère les points A et B du plan complexe d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2$ et $z_{\text{B}} = 2\e^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$
et I le milieu du segment [AB] d'affixe $z_{\text{I}}$. 

%\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,radius=2pt,nodesep=0pt}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {3}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\overrightarrow{u\,}$,d][$\overrightarrow{v\,}$,180]
\psset{linecolor=blue} \blue
\psarc[linestyle=dashed](0,0){2}{-20}{150}
\Cnode*(2,0){A} \uput[dr](A){A}
\Cnode*(2;135){B} \uput[ul](B){B}
\psline(0,0)(A)(B)(0,0)
\Cnode*(0.293,0.707){I} \uput[ur](I){I}
\psline(0,0)(I)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le triangle OAB est un triangle isocèle. 
$\text{OA}=\left | z_{\text A}\right | = 2$
et
$\text{OB}=\left | z_{\text B}\right | = \left | 2 \e^{\i\frac{3\pi}{4}}\right | =  2$

Donc $\text{OA} = \text{OB}$ et donc le triangle OAB est isocèle de sommet principal O.

\item %Démontrer qu'une mesure de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{OI}}\right)$ est $\dfrac{3\pi}{8}$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le point I est le milieu de [AB] donc (OI) est une médiane du triangle OAB. Comme ce triangle est isocèle en O, cette médiane est aussi bissectrice.

Donc, à $2\pi$ près, 
$\left ( \vectt{OA}~,~ \vectt{OI}\right ) = \dfrac{1}{2}\left ( \vectt{OA}~,~ \vectt{OB}\right )$. 

Mais $z_{\text A} = 2$ donc $\vectt{OA} = 2\vect{u}$.

On peut donc dire que  $\left ( \vect{u}~,~ \vectt{OI}\right ) = \dfrac{1}{2}\left ( \vect{u}~,~ \vectt{OB}\right )$.

\item $z_{\text B} = 2 \e^{\i\frac{3\pi}{4}}$ donc $\dfrac{3\pi}{4}$ est un argument de $z_{\text B}$, donc à $2\pi$ près, $\left ( \vect{u}~,~ \vectt{OB}\right ) = \dfrac{3\pi}{4}$.
\end{list}

On en déduit donc qu'une mesure de l'angle $\left ( \vect{u}~,~ \vectt{OI}\right )$ est $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3\pi}{4}$ soit $\dfrac{3\pi}{8}$.

\item% Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{I}}$ puis le module de $z_{\text{I}}$.
D'après la partie A, on sait que $-\sqrt{2} + \i \sqrt{2}=2\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$ donc $z_{\text B}=-\sqrt{2} + \i \sqrt{2}$.

Le point I est le milieu de [AB], donc
$z_{\text I} = \dfrac{z_{\text A} + z_{\text B}}{2} = \dfrac{2-\sqrt{2}+\i\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} +\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

\smallskip

$\left |z_{\text I} \right | 
= \ds\sqrt{ \left (\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right )^2 +\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )^2}
= \ds\sqrt{\dfrac{4-4\sqrt{2}+2}{4} + \dfrac{2}{4}}
= \ds\sqrt{\dfrac{8-4\sqrt{2}}{4}}
= \ds\sqrt{2-\sqrt{2}}$

 
\item% En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$. 
D'après les questions précédentes, le nombre $z_{\text I}$ a pour argument $\dfrac{3\pi}{8}$ et pour module $\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}$ donc
$z_{\text I} = \ds\sqrt{2-\sqrt{2}} \left (\cos \dfrac{3\pi}{8} + \i \sin \dfrac{3\pi}{8}  \right )$.

En utilisant les formes algébrique et trigonométrique de $z_{\text I}$, on a donc:

$\ds\sqrt{2-\sqrt{2}} \left (\cos \dfrac{3\pi}{8} + \i \sin \dfrac{3\pi}{8}  \right ) =\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} +\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 

On en déduit que 
$\cos \dfrac{3\pi}{8} = \dfrac{2-\sqrt{2}}{2\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}} = \dfrac{\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
et que
$\sin \dfrac{3\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2}}{2\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par 
$u_0 = 6 \quad \text{et pour tout  }n,\  u_{n+1} = ~\dfrac{3}{4}u_n + 1.$

\textbf{Affirmation 1 :} Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^ n + 4$. 

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
En calculant les premiers termes de la suite, on peut conjecturer que cette affirmation est vraie.

Démontrons par récurrence que $u_n = 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^ n + 4$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$, $u_n=u_0=6$ et $ 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^ n + 4 =  2\left(\dfrac{3}{4}\right)^0 + 4 = 2+4= 6$.

Donc la propriété est vraie au rang 0.
\item On suppose la propriété vraie pour un rang $n\geqslant 0$ quelconque; 

c'est-à-dire $u_n = 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^ n + 4$.

On va démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.

$u_{n+1} = \dfrac{3}{4} u_n +1 = \dfrac{3}{4}\left ( 2\left(\dfrac{3}{4}\right)^ n + 4 \right ) +1 = \dfrac{3}{4}\times 2\left (\dfrac{3}{4}\right )^n + \dfrac{3}{4}\times 4 +1 = 2\left (\dfrac{3}{4}\right )^{n+1} +3+1$

$\phantom{u_{n+1}} = 2\left (\dfrac{3}{4}\right )^{n+1}+4$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. 

\item La propriété est vraie au rang $n=0$ et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$ donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}
\textbf{Affirmation 1 vraie}
\end{tabular}


\item Soit $\left(t_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $t_0 = 2$ et de raison $\dfrac{1}{4}$. 

On appelle $S_n$ la somme des $n + 1$ premiers termes de la suite $\left(t_n\right)$ , soit $S_n = t_0 + t_1 + \ldots + t_n$. 

\textbf{Affirmation 2 :} La suite $\left(S_n\right)$ a pour limite $+\infty$. 

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
D'après le cours sur les suites géométriques, 

$S_n
=t_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
=2 \dfrac{1-\left (\frac{1}{4} \right )^{n+1}}{1-\frac{1}{4}} 
= 2 \dfrac{1-\left (\frac{1}{4} \right )^{n+1}}{\frac{3}{4}}
= 2\times \dfrac{4}{3} \left ( 1-\left (\frac{1}{4} \right )^{n+1}\right ) 
= \dfrac{8}{3} \left ( 1-\left (\frac{1}{4} \right )^{n+1}\right ) $

Or $-1 < \dfrac{1}{4} <1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \left (\dfrac{1}{4}\right )^{n+1} = 0$.
On déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{8}{3}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2 fausse}
\end{tabular}

\item On définit la suite $\left(c_n\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par  
$c_n = 1 + \dfrac{\cos(n)}{n}.$

\textbf{Affirmation 3 :} La suite $\left(c_n\right)$ est convergente. 

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On sait que pour tout $n$, $-1\leqslant \cos(n) \leqslant 1$ donc pour tout $n>0$, $\dfrac{-1}{n} \leqslant  \dfrac{\cos(n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}$ et donc $1-\dfrac{1}{n} \leqslant c_n \leqslant 1+\dfrac{1}{n}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par $u_n=1-\dfrac{1}{n}$; on sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=1$.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par $v_n=1+\dfrac{1}{n}$; on sait que $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n=1$.
\item On a vu que, pour tout $n>0$, $u_n \leqslant c_n \leqslant v_n$.
\end{list}

D'après le théorème des gendarmes, on peut dire que la suite $(c_n)$ converge vers 1.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 vraie}
\end{tabular}

\item Dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère les points A(1~;~ ~2~;~0) , B(3~;~0~;~6) , C$(6~;~-1~;~9)$ et D$( -4~;~4~;~-6)$. 

\textbf{Affirmation 4 :} Les droites (AB) et (CD) sont sécantes. 

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On cherche les représentations paramétriques des droites (AB) et (CD).

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour coordonnées $(2~;~-2~;~6)$.

Donc la droite (AB) a pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& 1+2t\\
y& 2-2t\\
z& 6t 
\end{array}\right.$, $t \in \R$.
\item Le vecteur $\vectt{CD}$ a pour coordonnées $(-10~;~5~;~-15)$.

Donc la droite (AB) a pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& 6-10s\\
y& -1+5s\\
z& 9-15s 
\end{array}\right.$, $s \in \R$.
\end{list}

Les droites sont sécantes s'il existe un couple $(t~,~s)$ tel que:
$\left\{\begin{array}{r !{=} r}
1+2t& 6-10s\\
2-2t& -1+5s\\
6t& 9-15s 
\end{array}\right.$

La 3\ieme{} équation équivaut à $2t=3-5s$ et si on remplace $2t$ dans la 1\iere{} équation, on obtient 
$1+3-5s = 6-10s$ soit $5s=2$ donc $s=\dfrac{2}{5}$.

De $2t=3-5s$ et $s=\dfrac{2}{5}$, on déduit $2t = 3 -2\times \dfrac{2}{5}$ soit $2t=1$ donc $t=\dfrac{1}{2}$.

En prenant la 2\ieme{} équation, on a: $2-2t=2-2\times \dfrac{1}{2}=1$, et $-1+5s = -1+5\times \dfrac{2}{5}=-1+2=1$.

Les deux droites sont donc sécantes.

En remplaçant $t$ par $\frac{1}{2}$ ou $s$ par $\frac{2}{5}$, on peut calculer les coordonnées du point d'intersection; on trouve $(2~;~1~;~3)$. 

\medskip

\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{tabular}

\item L'espace est muni du repère orthonormé \Oijk. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par A(1~;~2~;~0) et de vecteur normal $\vect{n}(6~;~4~;~-1)$. 

Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& t + 1\\
y&  - t - 1\\
z&  2t + 3 
\end{array}\right.$, $t \in \R$.

\textbf{Affirmation 5 :} Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ ne possèdent aucun point commun. 

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On détermine une équation du plan $\mathcal{P}$. Le point M\,$(x~,~y~,~z)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si les vecteurs $\vect{n}$ et $\vectt{AM}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire si $\vect{n}.\vectt{AM}=0$.

Le vecteur $\vectt{AM}$ a pour coordonnées $(x-1~;~y-2~;~z)$.

$\vect{n}.\vectt{AM}=0 \iff 6(x-1) +4(y-2) -z=0 \iff 6x +4y -z -14=0$

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $6x +4y -z -14=0$.

Pour savoir si le plan et la droite ont des points en commun, on résout le système
$\left\{\begin{array}{r !{=} r}
x& t + 1\\
y&  - t - 1\\
z&  2t + 3 \\
6x+4y-z-14 & 0
\end{array}\right.$

On cherche $t$ tel que $6(t+1) +4(-t-1) -(2t+3) -14 = 0$, c'est-à-dire $6t+6 -4t -4 -2t -3-14 = 0$ ou encore $0t=15$. Il n'y a donc pas de valeur de $t$ vérifiant le système donc la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne possèdent aucun point commun.

\medskip

\textbf{Affirmation 5 vraie}
\end{tabular}


\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2 : PARTIE A}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,treesep=1.2cm]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\ncput*{\blue $0,4$}}
	{\TR{$V$}\ncput*{\blue$0,1$}
	\TR{$\overline{V}$} \ncput*{\blue $0,9$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\ncput*{\blue $0,25$}}
	{\TR{$V$}\ncput*{\blue$0,2$}
	\TR{$\overline{V}$} \ncput*{\blue$0,8$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$C$}\ncput*{\blue$0,35$}}
	{\TR{$V$}
	\TR{$\overline{V}$}
	}		
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 2: PARTIE C}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.125cm,yunit=160cm}
\begin{pspicture}(285,0)(380,0.04)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,linewidth=1.2pt,Ox=285,Dx=5,labelFontSize=\scriptstyle](285,0)(285,0)(380,0)
\pscustom[fillstyle=hlines,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,linecolor=blue]
{
\psGauss[linewidth=0pt,mue=335,sigma=11]{350}{380}
\psplot{380}{350}{0}
\closepath 
}
\psGauss[linecolor=blue,sigma=11,mue=335,plotpoints=2000]{285}{380}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
