\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=2.2cm,bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{A. P{}. M. E. P{}.} \lhead{\small Baccalauréat S} \thispagestyle{empty} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2001}} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2001~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textbf{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au hasard, les deux choix étant équiprobables) puis à effectuer le tirage d'une boule dans l'urne choisie. On note $A$ l'évènement \og l'urne $a$ est choisie \fg{}, $B$ l'évènement \og l'urne $b$ est choisie \fg{} et $R$ l'évènement \og une boule rouge est obtenue au tirage \fg{}. On note $p_{A}(R)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $R$ par rapport à l'évènement $A$. \begin{enumerate} \item %Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge et quatre boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux boules blanches. \begin{enumerate} \item %Déterminer les probabilités suivantes : On a $p(A) = p(B) = 0,5$ ; $p_A(R) = \dfrac{1}{4+1} = \dfrac15 = 0,2$ ; $p(A \cap R) = p(A) \times p_A(R) = \dfrac12 \times \dfrac15 = \dfrac{1}{10} = 0,1$. %$p(A)$,~$p_{A}(R)$,~$p(A \cap R)$. \item %Montrer que On a de même $p_B(R) = \dfrac{4}{4 + 2} = \dfrac46 = \dfrac23$. D'après la loi des probabilités totales : $p(R) = p(A \cap R) + p(B \cap R) = \dfrac{1}{10} + \dfrac12 \times \dfrac23 = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{30} + \dfrac{10}{30} = \dfrac{13}{30}$. %\[p(R) = \dfrac{13}{30}\] \item %Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l'urne choisie soit l'urne $a$ ? Il faut calculer $p_R(A) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(R)} = \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{13}{30}} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{30}{13} = \dfrac{3}{13}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que l'urne $a$ contient quatre boules blanches et l'urne $b$ deux boules blanches. L'urne $a$ contient en outre $n$ boules rouges (où $n$ désigne un entier naturel inférieur ou égal à $5$), l'urne $b$ en contient $5 - n$. \begin{enumerate} \item Exprimer $p_{A}(R) $ et $p_{B} (R)$ en fonction de $n$. On a $p_(R) = \dfrac{n}{4 + n}$ et $p_B(R) = \dfrac{5 - n}{5 - n + 2} = \dfrac{5 - n}{7 - n}$. \item %Démontrer que %\[p(R) = \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}.\] On a $p(R) = p(R \cap A) + p(R \cap B) = \dfrac12 \times \dfrac{n}{4 + n} + \dfrac12 \times \dfrac{5 - n}{7 - n} = \dfrac{n(7 - n) + (4 + n)(5 - n)}{2(4 + n)(7 - n)} =$ $ \dfrac{7n - n^2 + 20 - 4n + 5n - n^2}{2(4 + n)(7 - n)} = \dfrac{-2n^2 + 8n + 20}{2(4 + n)(7 - n)} = \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}$. \item %On sait que $n$ ne prend que six valeurs entières. Déterminer la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$ donnant la plus grande valeur possible de $p\left(R\right)$. On obtient le tableau suivant : \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline $n$ et $5 - n$&0 et 5&1 et 4&2 et 3&3 et 2&4 et 1 &5 et 0\\ \hline $\dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}$&$\dfrac{5}{14} \approx 0,357$&$\dfrac{13}{30} \approx 0,433$&$\dfrac{7}{15} \approx 0,467$&$\dfrac{13}{28} \approx 0,464$&$\dfrac{5}{12} \approx 0,417$&$\dfrac{5}{18} \approx 0,278$\\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv~ direct. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe $- \text{i}$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ par : \[f(z) = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}}.\] \begin{enumerate} \item %Vérifier que pour tout $z$ de $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ Quel que soit $z \in \C - \{\text{i}\}$, \quad $- \text{i} + \dfrac{2}{z - \text{i}} = \dfrac{- \text{i}(z - \text{i}) + 2}{z - \text{i}} = \dfrac{- \text{i}z - 1 + 2}{z - \text{i}} = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = f(z)$. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que $- \text{i}$ n'a pas d'antécédent par $f$. Si $z$ a pour image $- \text{i}$, alors : $f(z ) = - \text{i} \iff \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = - \text{i} \iff 1 - \text{i}z = - \text{i}(z - \text{i}) \iff 1 - \text{i}z = - 1 - \text{i}z$ : cette équation n'a pas de solution. \item~%Déterminer les antécédents de $0$ et de i par $f$. $\bullet~$On a $f(z) = 0 \iff \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = 0 \iff 1 - \text{i}z = 0 \iff 1 = \text{i}z \iff z = \dfrac{1}{\text{i}} = \dfrac{\text{i}}{- 1} = - \text{i}$. Le seul antécédent de $0$ est $- \text{i}$. $\bullet~$On a $f(z) = \text{i} \iff \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = \text{i} \iff 1 - \text{i}z = \text{i}(z - \text{i}) \iff 1 - \text{i}z = \text{i}z + 1 \iff 0 = 2\text{i}z \iff z = 0$. Le seul antécédent de i est $0$. \end{enumerate} \item À tout point $M$ différent de A, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = f(z)$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout point $M$ différent de A, le produit %des longueurs A$M$ et B$M'$ est égal à $2~~ ($A$M \cdot \text{B}M'=2$). On a pour $z \ne \text{i}$, $z' = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} \Rightarrow z' + \text{i} = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} + \text{i} = \dfrac{1 - \text{i}z + \text{i} + 1}{z - \text{i}} = \dfrac{2}{z - \text{i}}$. $z' + \text{i}$ est l'affixe de $\vect{\text{B}M'}$ et $z - \text{i}$ est l'affixe de $\vect{\text{A}M}$, donc $z' + \text{i} = \dfrac{2}{z - \text{i}}$ donne en prenant le module des deux membres égaux : B$M' = \dfrac{2}{\text{A} M} \iff \text{B}M' \times \text{A} M = 2$. \item %Démontrer que lorsque $M$ décrit le cercle $C$ de centre A et de rayon $4$, $M'$ se déplace sur un cercle $C'$ dont on précisera le centre et le rayon. Si $M \in \mathcal{C}(\text{A}, 4)$, alors A$M = 4$ D'après le résultat précédent il en résulte que $\text{B}M' \times 4 = 2 \iff \text{B}M' = \dfrac12$ ce qui montre que $M' \in \mathcal{C}\left(\text{B}, \frac12\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer l'ensemble $E$ des points $M(z)$ tels que $z - \text{i}$ soit un nombre réel non nul. Si $M$ a pour affixe $z = x + \text{i}y, \: x, y \in \R$, alors $z - \text{i} \in \R \iff x + \text{i}y - \text{i} \in \R \iff x = \text{i}(1 - y) \in \R \iff 1 - y = 0 \iff y = 1$ : l'ensemble $E$ est la droite parallèle à l'axe des abscisses d'équation $y = 1$ (excepté le point A qui a une partie réelle nulle). \item %Démontrer que lorsque $M$ décrit $E$, $M'$ se déplace sur une droite $\Delta$ que l'on précisera. Si $M(z = x+ \text{i}y) \in E$, alors $y = 1$. On a donc $z' = \dfrac{1 - \text{i}(x + \text{i})}{x + \text{i} - \text{i}} = \dfrac{[1 - \text{i}x + 1)}{x} = \dfrac{2 - \text{i}x}{x} = \dfrac2x - \text{i}$, donc $M'$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y = - 1$. \item %Lorsque $M$ décrit $E$, $M'$ décrit-il toute la droite $\Delta$ ? B d'affixe $(- \text{i})$ appartient à la droite $\Delta$ et $(- \text{i})$ n'a pas d'antécédent $M$ par $f$ : la droite $\Delta$ n'est donc pas décrite entièrement. \end{enumerate} \item %Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $f(z)$ soit un imaginaire pur non nul. On a donc $f(z) = y\text{i}$, avec $y \ne 0$. On a vu que l'équation$f(z) = - \text{i}$ n'a pas de solution, donc $y \ne - 1$. On a donc $f(z) = yi \iff - \text{i} + \dfrac{2}{z - \text{i}} = $ $y\text{i} \iff \dfrac{2}{z - \text{i}} = (y + 1)\text{i}\iff \dfrac{-2\text{i}}{z - \text{i}} =$ $ y + 1 \iff z - \text{i} = \dfrac{-2\text{i}}{y + 1}\iff z =$ $ \text{i} - \dfrac{2\text{i}}{y + 1} \iff z = \text{i}\left(1 - \dfrac{2}{y + 1} \right) \iff z =$ $ \dfrac{y + 1 - 2}{y + 1}\text{i} \iff z = \left(\dfrac{y - 1}{y + 1}\right)$. Conclusion si $z$ est un imaginaire pur (excepté $z = \text{i}$ et $z = - \text{i}$ affixes de A et B), \:$f(z)$ l'est aussi. Conclusion : l'ensemble des points, cherché est donc l'axe des ordonnées privé des points A et B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20. $168 = 3 \times 56 = 3 \times 8 \times 7 = 2^3 \times 3 \times 7$ ; $20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5$ : le PGCD des nombres 168 et 20 est donc : $2^2 = 4$. \item %Soit l'équation $168x + 20y = 6$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? D'après la question précédente 168 et 20 sont des multiples de 4, donc $168x$, \: $20y$ et leur somme $168x + 20y$ sont des multiples de 4 ; comme 6 ne l'est pas cette équation n'a pas de solution dans $\Z \times \Z$. \item %Soit l'équation $168x + 20y = 4$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? Pour les mêmes raisons $168x + 20y$ et 4 sont des multiples de 4 ; l'équation peut donc s'écrire en simplifiant par 4 : $42x + 5y = 1$ ; comme 42 et 5 sont premiers entre eux le théorème de Bezout assure que l'équation admet au moins une solution \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer, en utilisant l'algorithme d'Euclide, et en détaillant les %calculs effectués, deux entiers relatifs $m$ et $p$ tels que $42m + 5p = 1$. On a $42 = 5 \times 8 + 2 \iff 2 = 42 - 5 \times 8$ et $5 = 2\times 2 + 1 \iff 1 = 5 - 2 \times 2$. En utilisant le premier résultat, on obtient : $1 = 5 - 2(42 - 5 \times 8) \iff 1 = 1 = 5 - 2 \times 42 + 16 \times 5$ et enfin \[(-2) \times 42 + 17 \times 5 = 1. \quad (1)\] Le couple $(-2~;~17)$ est donc solution de l'équation $42m + 5p = 1.$ \item %En déduire deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $42u + 5v = 2$. En multipliant chaque membre de l'égalité (1), on obtient : $(-4) \times 42 + 34 \times 5 = 2$, donc le couple $(-4~;~34)$ est solution de l'équation $42u + 5v = 2$ \item %Démontrer que le couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $42x + 5y = 2$ si, et seulement si $42(x + 4) = 5(34 - y)$. On a vu que : $42 \times (- 4) + 5 \times 34 = 2$, donc si $42x + 5y = 2$ par différence membre à membre : $42(x + 4) + 5(y - 34) = 0 \iff 42(x + 4) = 5(34 - y) \: (1)$ \item %Déterminer tous les couples d'entiers $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $42x + 5y = 2$. La dernière égalité montre que 5 divise $42(x + 4)$, mais comme 5 est premier avec 42, \: 5 divise $x + 4$ : il existe donc $k \in \Z$ tel que : $x + 4 = 5k \iff x = 5k - 4$. En remplaçant dans l'équation (1) $x + 4$ par $5k$, on obtient : $42 \times 5k = 5(34 - y) \iff 42k = 34 - y \iff y = 34 - 42k$. Donc si $(x~;~y)$ est un couple solution il existe un entier $k$ tel que $x = 5k - 4$ et $y = 34 - 42k$. Réciproquement si on considère un couple $(5k - 4~;~34 - 42k)$ avec $k \in \Z$, alors : $42(x + 4) = 42 \times 5k$ ry $5(34 - y) = 5 \times 42k$, donc ce couple est bien solution de l'équation $42(x + 4) = 5(34 - y)$ Les couples solutions sont de la forme $(5k - 4~;~34 - 42k), \: \: k \in \Z$. \end{enumerate} \item %Déduire du \textbf{2.} les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs %solutions de l'équation %$(42x + 5y - 3)(42x + 5y + 3) = - 5$. $x$ et $y$ étant des entiers les nombres $a = 42x + 5y - 3$ et $b =42x + 5y + 3$ sont ,eux aussi des entiers, avec de façon évidente $a < b$. Il faut donc trouver deux entiers $a$ et $b$ tels que $ab = -5$. avec $a < b$ ; il y a deux possibilités : $\bullet~$ $a = - 1$ et $b = 5$. Il faut donc résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} 42x + 5y - 3&=&-1\\ 42x + 5y + 3&=&5 \end{array}\right. \Rightarrow 42x + 5y = 2$ équation résolue à la question précédente ; $\bullet~$ $a = - 5$ et $b = 1$. Il faut donc résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} 42x + 5y - 3&=&-5\\ 42x + 5y + 3&=&1 \end{array}\right.\Rightarrow 42x + 5y = -2 ,\iff 42 \times (-x) + 5 \times (-2) = 2$ : le couple $(x~;~y)$ est solution de cette équation si le couple $(-x~;~-y)$ est solution de l'équation précédente$42x + 5y = 2$. Conclusion : les couples solutions sont les couples de la forme \begin{center}$(5k - 4~;~34 - 42k), \:$ et \:$(-5k + 4~;~ - 34 + 42k), \: k \in \Z$ \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textbf{Problème} \hfill 9 points} \medskip \emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.} Le plan est muni d'un repère orthonormal $\mathcal{R} =$ \Oij. L'unité graphique est $1$ cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) =\left(x^{2}- 3x + 1\right) \text{e}^{x}.\] Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère $\mathcal{R}$. \begin{enumerate} \item ~%Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son %ensemble de définition. $\bullet~$Limite en plus l'infini : On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^{2}- 3x + 1 = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^x = + \infty$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. $\bullet~$Limite en moins l'infini : On a $f(x) = x^2\e^x - 3x\e^x + \e^x$ ; or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^{n}\e^x = 0$ quel que soit $n \N$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini. \item \begin{enumerate} \item %Étudier le sens de variation de $f$ et donner le %tableau de variation de $f$. $f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ l'est sur le même intervalle et : $f'(x) = (2x - 3)\e^x + \e^x\left(x^2 - 3x + 1\right) = \e^x\left(x^2 - x - 2 \right)$. Comme $\e^x > 0$ quel que soit $x \in \R$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $x^2 - x - 2$ : 2 et par suite $- 1$ sont les racines évidentes de ce trinôme ; on sait que ce trinôme est positif sauf sur l'intervalle $]- 1~;~2[$. La fonction $f$ est donc croissante sauf sur l'intervalle $]-)1~;~2[$ où elle est décroissante. Avec $f(-1) = 5\e^{-1} \approx 1,84$ et $f(2) = -\e^2 \approx - 7,39$ on obtient le tableau de variations suivant : \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3) \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5) \uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$-1$}\uput[u](7,2.4){2}\uput[u](9.5,2.4){$+ \infty$} \uput[u](1.5,0){0}\uput[d](4,2){$-5\e^{-1}$}\uput[u](7,0){$-\e^2$} \uput[d](9.5,2){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f$} \end{pspicture} \end{center} \item ~%Tracer $\mathcal{C}$. \psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture*}(-5,-9)(10,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-9)(10,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{10}{x dup mul 3 x mul sub 1 add 2.71828 x exp mul} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \item Soit \[ \text{I}= \int_{-3}^{0} f(x) \, \text{d}x.\] \begin{enumerate} \item %Interpréter graphiquement I. Sur l'intervalle $[-3~;~0]$, la fonction $f$ est positive, donc $I$ est l'aire de la surface limitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x = -3$ et $x = 0$. (surface hachurée sur la figure ci-dessus). \item %En utilisant l'intégration par parties, calculer %\[\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x,\] Avec $\left\{\begin{array}{l l} u(x) = x&v'(x) = \e^x\\ u'(x) = 1&v(x) = \e^x \end{array}\right.$ on obtient par intégration par parties : $\displaystyle\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x = \left[x\e^x \right]_{-3}^0 - \int_{-3}^0 1\e^x\:\text{d}x = \left[x\e^x \right]_{-3}^0 - \left[\e^x\right]_{-3}^0 = \left[\e^x(x - 1) \right]_{-3}^0 = - 1 + 4\e^{-3}$ %puis %\[\int_{-3}^{0}x^{2}\text{e}^{x}\:\text{d}x.\] De même avec $\left\{\begin{array}{l l} u(x) = x^2&v'(x) = \e^x\\ u'(x) = 2x&v(x) = \e^x \end{array}\right.$ on obtient par intégration par parties : $\displaystyle\int_{-3}^{0} x^2\text{e}^{x}\:\text{d}x = \left[x^2\e^x \right]_{-3}^0 - 2\int_{-3}^0 2x\e^x\:\text{d}x = 0 - 9\e^{-3} - 2\left(- 1 + 4\e^{-3}\right) = - 9\e^{-3} + 2 - 8\e^{-3} = 2 - 17\e^{-3}$ \item %En déduire la valeur exacte de I. $I = \displaystyle\int_{-3}^{0} \left(x^2 - 3x + 1\right)\text{e}^{x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-3}^{0} x^2\text{e}^{x}\:\text{d}x - 3\displaystyle\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x + \displaystyle\int_{-3}^{0} \text{e}^{x}\:\text{d}x = 2 - 17\e^{-3} - 3\left(- 1 + 4\e^{-3}\right) + 1 - \e^{-3} = 2 - 17\e^{-3} + 3 -12\e^{-3} + 1 - \e^{-3} = 6 - 30\e^{-3} \approx 4,506$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item %Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $g$ la fonction %définie sur $\R$ par \[ g\left( x\right) = \text{e}^{\left(x^{2} + ax + b\right)}. \] %Quelles sont les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le tableau de variations de $g$ est celui donné ci-dessous ? \[\begin{array}{l|lllll} x & -\infty & & \frac{3}{2} & & + \infty\\\hline g'\left( x\right) & & - & 0 & + & \\\hline & + \infty & & & & +\infty\\ g(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \text{e}^{-\frac{5}{4}} & & \end{array} \] $g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $g'(x) = (2x + a)\e^{x^2 + ax + b}$ : $\bullet~$On lit $g'\left(\frac32\right) = 0 \iff (3 + a)\e^{\ldots} = 0 \iff 3 + a = 0$ (car $\e^{\ldots} > 0$) donc $a = - 3$. $\bullet~$On lit aussi $g\left(\frac32\right) = \e^{-\frac54} \iff \e^{\frac94 - \frac92 + b} = \e^{-\frac54}\iff \e^{- \frac94 + b} = \e^{-\frac54} \iff - \frac94 + b = - \frac54 \iff b = 1$. La fonction $g$ est donc la fonction $h$ ci-dessous. \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par \[ h\left(x\right) = \text{e}^{\left(x^{2}- 3x + 1\right)} \] et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\mathcal{R}$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la droite D d'équation $x = \dfrac{3}{2}$ est axe de symétrie de $\Gamma$. Soit un point $M$ de $\Gamma$ d'abscisse $X$ et son symétrique $M'$ autour de la droite (D) d'équation $x = \dfrac32$. $M'$ a donc pour abscisse $3 - X$. On a $h(X) = \e^{X^2 - 3X + 1}$ et $h(3 - X) = \e^{9 + X^2 - 6X - 9 + 3X +1} = \e^{X^2 - 3X + 1} = h(X)$, ce qui prouve que la droite D d'équation $x = \dfrac{3}{2}$ est axe de symétrie de $\Gamma$. \item %Justifier l'affirmation suivante : \og 3,2 est une valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h(x) = 5$ \fg{}. Le tableau de variations ci-dessus est celui de la fonction $h$, donc la fonction $h$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[\frac32~;~+ \infty\right[$ de $\e^{-\frac54} \approx 0,287$ à plus l'infini. La fonction $h$ étant continue car dérivable sur l'intervalle $\left[\frac32~;~+ \infty\right[$ il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $\beta \in \left[\frac32~;~+ \infty\right]$ tel que $h(\beta ) = 5$. La calculatrice donne $h(3) \approx 2,7$ et $h(4) \approx 148$, donc $3 < \beta < 4$, puis $h(3,1) \approx 2,7$ et $h(3,3) \approx 7,3$, donc $3,2 < \beta < 3,3$ : \og 3,2 est une valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h(x) = 5$ \fg{} \item %Soit $\alpha$ un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,1 près. Établir que On a donc $1,7 < \alpha < 1,8$ : par croissance de $h$ sur l'intervalle $\left[\frac32~;~+ \infty\right[$, on a $h(1,7) < h(\alpha) < h(2,2)$, soit $0,30 < h(\alpha) < 0,32$. %\[0,28\leqslant h\left(\alpha\right) \leqslant 0,47. \] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous ( $a,~b$ et $c$ étant trois nombres réels). \[\begin{pspicture}(10,3.6) \psframe(10,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,3)(10,3) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$- \infty$} \uput[u](4,3){$0$} \uput[u](6,3){$a$} \uput[u](8,3){$b$} \uput[u](9.7,3){$+ \infty$} \uput[u](1,1){$u(x)$} \uput[d](2.3,3){$+ \infty$} \uput[u](6,0){$c$} \rput(8,1.55){$0$} \uput[d](9.7,3){$+ \infty$} \psline{->}(2.6,2.7)(5.8,0.4) \psline{->}(6.2,0.4)(9.6,2.6) \psline[linestyle=dashed](6,3)(6,0.7) \psline[linestyle=dashed](8,3)(8,1.7) \end{pspicture}\] Soit $v_{1},~v_{2},~v_{3}$ les fonctions définies par : \[v_{1}(x) = \text{e}^{u(x) } \qquad v_{2}(x) = u\left(\text{e}^{x}\right) \qquad v_{3}(x) = u(x) \text{e}^{x}. \] \begin{enumerate} \item %Déterminer le sens de variation des fonctions $v_{1}$ et $v_{2}$ (en justifiant votre réponse). les fonctions $u$ et $\e^x$ étant dérivables sur $\R$, les fonctions $v_1,\:v_2$ et $v_3$ dont dérivables sur $\R$. $\bullet~$On a pour tout réel $x$, \: $v'_1(x) = u'(x)\e^{u(x)}$. Comme $u$ est décroissante sur $]- \infty~;~a],\: u'(x) \leqslant 0$, ; donc sur cet intervalle $v'(x) \leqslant 0$ : la fonction est décroissante. Sur $[0~;~+ \infty[$, \: $u$ est croissante , donc $u'(x) \geqslant 0$ et par produit $v'_1(x) \geqslant 0$ : la fonction $v_1$ est croissante sur $[a~;~+ \infty[$. $\bullet~$On a pour tout réel $x$, \: $v'_2(x) = u'(x)\left(\e^{u(x)}\right) \times \e^x$. Comme quel que soit $x \in \R,\: \e^{u(x)}$ et $\e^x$ sont supérieurs à $0$, le signe de $v'_2(x)$ est celui de $u'(x)$ : la fonction $v'_2$ est donc décroissante puis croissante. \item %Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de donner le sens de variation de la fonction $v_{3}$ (en justifiant votre réponse). On a pour tout réel : $v'_3(x) = u(§x)\e^x + u(x)\e^x = \e^x[u'(x) + u(x)]$. Le signe de $v'_3(x)$ est donc celui de la somme $u'(x) + u(x)$. On ne peut être certain du signe de cette somme que sur l'intervalle $[b~;~+ \infty]$ : $\bullet~$sur cet intervalle la fonction est croissante et $u(b) = 0$, donc $u(x) \geqslant 0$ sur $[b~;~+ \infty]$ ; $\bullet~$sur cet intervalle la fonction $u$ est croissante, donc $u'(x) \geqslant 0$. \end{enumerate} \end{document}