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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2001~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textbf{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges 
indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi 
les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au 
hasard, les deux choix étant équiprobables) puis à effectuer le 
tirage d'une boule dans l'urne choisie.

On note $A$ l'évènement \og l'urne $a$ est choisie \fg{}, $B$ 
l'évènement \og l'urne $b$ est choisie \fg{} et $R$ l'évènement \og 
une boule rouge est obtenue au tirage \fg{}.

On note $p_{A}(R)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $R$ par rapport à l'évènement $A$.

\begin{enumerate} 
\item %Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge et quatre boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les probabilités suivantes :
On a $p(A) = p(B) = 0,5$ ;

$p_A(R) = \dfrac{1}{4+1} = \dfrac15 = 0,2$ ;

$p(A \cap R) = p(A) \times p_A(R)  = \dfrac12 \times \dfrac15 = \dfrac{1}{10} = 0,1$.
%$p(A)$,~$p_{A}(R)$,~$p(A \cap R)$.
		\item %Montrer que
On a de même $p_B(R) = \dfrac{4}{4 + 2} = \dfrac46 = \dfrac23$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(R) = p(A \cap R) + p(B \cap R) = \dfrac{1}{10} + \dfrac12 \times \dfrac23 = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{30} + \dfrac{10}{30} = \dfrac{13}{30}$.
%\[p(R) = \dfrac{13}{30}\]

		\item %Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l'urne choisie soit l'urne $a$ ?
		Il faut calculer $p_R(A) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(R)} = \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{13}{30}} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{30}{13} = \dfrac{3}{13}$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que l'urne $a$ contient 
quatre boules blanches et l'urne $b$ deux boules blanches. L'urne $a$ contient 
en outre $n$ boules rouges (où $n$ désigne un entier naturel inférieur ou égal à $5$), l'urne $b$ en contient $5 - n$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $p_{A}(R) $ et $p_{B} (R)$ en fonction de $n$.
On a $p_(R) = \dfrac{n}{4 + n}$ et $p_B(R) = \dfrac{5 - n}{5 - n + 2} = \dfrac{5 - n}{7 - n}$.
		\item %Démontrer que

%\[p(R) = \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}.\]
On a $p(R) = p(R \cap A) + p(R \cap B) = \dfrac12 \times \dfrac{n}{4 + n} + \dfrac12 \times \dfrac{5 - n}{7 - n} = \dfrac{n(7 - n) + (4 + n)(5 - n)}{2(4 + n)(7 - n)} =$

$ \dfrac{7n - n^2 + 20 - 4n + 5n - n^2}{2(4 + n)(7 - n)} = \dfrac{-2n^2 + 8n + 20}{2(4 + n)(7 - n)} =  \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}$.
		\item %On sait que $n$ ne prend que six valeurs entières. Déterminer la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$ donnant la plus grande valeur possible de $p\left(R\right)$.
		
On obtient le tableau suivant :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
$n$ et $5 - n$&0 et 5&1 et 4&2 et 3&3 et 2&4 et 1 &5 et 0\\ \hline
$\dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}$&$\dfrac{5}{14} \approx 0,357$&$\dfrac{13}{30} \approx 0,433$&$\dfrac{7}{15} \approx 0,467$&$\dfrac{13}{28} \approx 0,464$&$\dfrac{5}{12} \approx 0,417$&$\dfrac{5}{18} \approx 0,278$\\ \hline
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv~ direct.

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe $- \text{i}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ 
par :

\[f(z) = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour tout $z$ de $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$

Quel que soit $z \in \C - \{\text{i}\}$, \quad $- \text{i} + \dfrac{2}{z - \text{i}} = 
\dfrac{- \text{i}(z - \text{i}) + 2}{z - \text{i}} = 
\dfrac{- \text{i}z - 1 + 2}{z - \text{i}} = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = f(z)$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $- \text{i}$ n'a pas d'antécédent par $f$.
Si $z$ a pour image $- \text{i}$, alors :

$f(z ) = - \text{i} \iff \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = - \text{i} \iff 1 - \text{i}z = - \text{i}(z - \text{i}) \iff 1 - \text{i}z = - 1 - \text{i}z$ : cette équation n'a pas de solution.
		\item~%Déterminer les antécédents de $0$ et de i par $f$.
$\bullet~$On a $f(z) = 0 \iff \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = 0 \iff 1 - \text{i}z = 0 \iff 1 = \text{i}z \iff z = \dfrac{1}{\text{i}} = \dfrac{\text{i}}{- 1} = - \text{i}$.

Le seul antécédent de $0$ est $- \text{i}$.

$\bullet~$On a $f(z) = \text{i} \iff \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} = \text{i} \iff 1 - \text{i}z = \text{i}(z - \text{i}) \iff 1 - \text{i}z = \text{i}z  + 1 \iff 0 = 2\text{i}z \iff z = 0$.

Le seul antécédent de i est $0$.
	\end{enumerate}
\item À tout point $M$ différent de A, d'affixe $z$, on associe 
le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = f(z)$.

	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que pour tout point $M$ différent de A, le produit 
%des longueurs A$M$ et B$M'$ est égal à $2~~ ($A$M \cdot \text{B}M'=2$).
On a pour $z \ne \text{i}$,

$z' = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} \Rightarrow z' + \text{i} = \dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}} + \text{i} = \dfrac{1 - \text{i}z + \text{i} + 1}{z - \text{i}} = \dfrac{2}{z - \text{i}}$.

$z' + \text{i}$ est l'affixe de $\vect{\text{B}M'}$ et $z - \text{i}$ est l'affixe de $\vect{\text{A}M}$, donc 

$z' + \text{i} = \dfrac{2}{z - \text{i}}$ donne en prenant le module des deux membres égaux :

B$M' = \dfrac{2}{\text{A} M} \iff \text{B}M' \times \text{A} M = 2$.
		\item %Démontrer que lorsque $M$ décrit le cercle $C$ de centre A et de rayon $4$, $M'$ se déplace sur un cercle $C'$ dont on précisera le centre et le rayon.
		Si $M \in \mathcal{C}(\text{A}, 4)$, alors A$M = 4$

D'après le résultat précédent il en résulte que $\text{B}M' \times 4 = 2 \iff \text{B}M' = \dfrac12$ ce qui montre que $M' \in \mathcal{C}\left(\text{B}, \frac12\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'ensemble $E$ des points $M(z)$ tels que $z - \text{i}$ soit un nombre réel non nul.
Si $M$ a pour affixe $z = x + \text{i}y, \: x, y \in \R$, alors 

$z - \text{i} \in \R \iff x + \text{i}y - \text{i} \in \R \iff  x = \text{i}(1 - y) \in \R \iff 1 - y = 0 \iff y = 1$ : l'ensemble $E$ est la droite parallèle à l'axe des abscisses d'équation $y = 1$ (excepté le point A qui a une partie réelle nulle).
		\item %Démontrer que lorsque $M$ décrit $E$, $M'$ se déplace sur une droite $\Delta$ que l'on précisera.
Si $M(z = x+  \text{i}y) \in E$, alors $y = 1$.

On a donc $z' = \dfrac{1 - \text{i}(x + \text{i})}{x + \text{i} - \text{i}} = \dfrac{[1 - \text{i}x + 1)}{x} = \dfrac{2 - \text{i}x}{x} = \dfrac2x - \text{i}$, donc $M'$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y = - 1$.
		\item %Lorsque $M$ décrit $E$, $M'$ décrit-il toute la droite $\Delta$ ?
B d'affixe $(- \text{i})$ appartient à la droite $\Delta$ et $(- \text{i})$ n'a pas d'antécédent $M$ par $f$ : la droite $\Delta$ n'est donc pas décrite entièrement.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $f(z)$ soit un imaginaire pur non nul.
On a donc $f(z) = y\text{i}$, avec $y \ne 0$.

On a vu que l'équation$f(z) = - \text{i}$ n'a pas de solution, donc $y \ne - 1$.

On a donc $f(z) = yi \iff - \text{i} + \dfrac{2}{z - \text{i}} = $

$y\text{i} \iff \dfrac{2}{z - \text{i}} = (y + 1)\text{i}\iff \dfrac{-2\text{i}}{z - \text{i}} =$

$ y + 1 \iff z - \text{i} = \dfrac{-2\text{i}}{y + 1}\iff z =$

$ \text{i} - \dfrac{2\text{i}}{y + 1} \iff z = \text{i}\left(1 - \dfrac{2}{y + 1} \right) \iff z =$

$ \dfrac{y + 1 - 2}{y + 1}\text{i} \iff z = \left(\dfrac{y - 1}{y + 1}\right)$.

Conclusion si $z$ est un imaginaire pur (excepté $z = \text{i}$ et $z = - \text{i}$ affixes de A et B), \:$f(z)$ l'est aussi.

Conclusion : l'ensemble des points, cherché est donc l'axe des ordonnées privé des points A et B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20.
$168 = 3 \times 56 = 3 \times  8 \times 7 = 2^3  \times 3 \times 7$ ;

$20 = 4  \times 5 = 2^2  \times 5$ : le PGCD des nombres 168 et 20 est donc : $2^2 = 4$.
		\item %Soit l'équation $168x + 20y = 6$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?
D'après la question précédente 168 et 20 sont des multiples de 4, donc $168x$, \: $20y$ et leur somme $168x + 20y$ sont des multiples de 4 ; comme 6 ne l'est pas cette équation n'a pas de solution dans $\Z \times \Z$.
		\item %Soit l'équation $168x + 20y = 4$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?
		Pour les mêmes raisons $168x + 20y$ et 4 sont des multiples de 4 ; l'équation peut donc s'écrire en simplifiant par 4 :
		
$42x + 5y = 1$ ; comme 42 et 5 sont premiers entre eux le théorème de Bezout assure que l'équation admet au moins une solution
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, en utilisant l'algorithme d'Euclide, et en détaillant les 
%calculs effectués, deux entiers relatifs $m$ et $p$ tels que $42m + 5p = 1$.
On a $42 = 5 \times 8 + 2 \iff 2 = 42 - 5 \times 8$ et 

$5 = 2\times 2 + 1 \iff 1 = 5 - 2 \times 2$.

En utilisant le premier résultat, on obtient :

$1 = 5 - 2(42 - 5 \times 8) \iff 1 = 1 = 5 - 2 \times 42 + 16 \times 5$ et enfin 

\[(-2) \times 42 + 17 \times 5 = 1. \quad (1)\]

Le couple $(-2~;~17)$ est donc solution de l'équation $42m + 5p = 1.$
		\item %En déduire deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $42u + 5v = 2$.
En multipliant chaque membre de l'égalité (1), on obtient :

$(-4) \times 42 + 34 \times 5 = 2$, donc le couple $(-4~;~34)$ est solution de l'équation $42u + 5v = 2$
		\item %Démontrer que le couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $42x + 5y = 2$ si, et seulement si $42(x + 4) = 5(34 - y)$.
On a vu que :
		
$42 \times (- 4) + 5 \times 34 = 2$, donc si 
		
$42x + 5y = 2$ par différence membre à membre :
		
$42(x + 4) + 5(y - 34) = 0  \iff 42(x + 4) = 5(34 - y) \: (1)$
		\item %Déterminer tous les couples d'entiers $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $42x + 5y = 2$.
La dernière égalité montre que 5 divise $42(x + 4)$, mais comme 5 est premier avec 42, \: 5 divise $x + 4$ : il existe donc $k \in \Z$ tel que :

$x + 4 = 5k \iff x = 5k - 4$.

En remplaçant dans l'équation (1) $x + 4$ par $5k$, on obtient :

$42 \times 5k = 5(34 - y) \iff 42k = 34 - y \iff y = 34 - 42k$.

Donc si $(x~;~y)$ est un couple solution il existe un entier $k$ tel que $x = 5k - 4$ et $y = 34 - 42k$.

Réciproquement si on considère un couple $(5k - 4~;~34 - 42k)$ avec $k \in \Z$, alors :

$42(x + 4) = 42 \times 5k$ ry $5(34 - y) = 5 \times 42k$, donc ce couple est bien solution de l'équation $42(x + 4) = 5(34 - y)$

Les couples solutions sont de la forme $(5k - 4~;~34 - 42k), \: \: k \in \Z$.

	\end{enumerate}
\item %Déduire du \textbf{2.} les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs 
%solutions de l'équation

%$(42x + 5y - 3)(42x + 5y + 3) = - 5$.
$x$ et $y$ étant des entiers les nombres $a = 42x + 5y - 3$ et $b =42x + 5y + 3$ sont ,eux aussi des entiers, avec de façon évidente $a < b$.

Il faut donc trouver deux entiers $a$ et $b$ tels que $ab = -5$. avec $a < b$ ; il y a deux possibilités :

$\bullet~$ $a = - 1$ et $b = 5$. Il faut donc résoudre le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
42x + 5y - 3&=&-1\\
42x + 5y + 3&=&5
\end{array}\right. \Rightarrow 42x + 5y = 2$ équation résolue à la question  précédente ;

$\bullet~$ $a = - 5$ et $b = 1$. Il faut donc résoudre le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
42x + 5y - 3&=&-5\\
42x + 5y + 3&=&1
\end{array}\right.\Rightarrow 42x + 5y = -2 ,\iff 42 \times (-x) + 5 \times (-2) = 2$ : le couple $(x~;~y)$ est solution de cette équation si le couple $(-x~;~-y)$ est solution de l'équation précédente$42x + 5y = 2$.

Conclusion : les couples solutions sont les couples de la forme 

\begin{center}$(5k - 4~;~34 - 42k), \:$ et \:$(-5k + 4~;~ - 34 + 42k), \: k \in \Z$ \end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textbf{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\mathcal{R} =$ 
\Oij. L'unité graphique est $1$ cm. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) =\left(x^{2}- 3x + 1\right) \text{e}^{x}.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
$\mathcal{R}$.

\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son 
%ensemble de définition.
$\bullet~$Limite en plus l'infini :

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^{2}- 3x + 1 = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^x = + \infty$, donc par produit de limites : 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

$\bullet~$Limite en moins l'infini :

On a $f(x) = x^2\e^x - 3x\e^x + \e^x$ ; or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^{n}\e^x = 0$ quel que soit $n \N$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de $f$ et donner le 
%tableau de variation de $f$.
$f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ l'est sur le même intervalle et :

$f'(x) = (2x - 3)\e^x + \e^x\left(x^2 - 3x + 1\right) = \e^x\left(x^2 - x - 2 \right)$.

Comme $\e^x > 0$ quel que soit $x \in \R$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $x^2 - x - 2$ : 2 et par suite $- 1$ sont les racines évidentes de ce trinôme ; on sait que ce trinôme est positif sauf sur l'intervalle $]- 1~;~2[$.

La fonction $f$ est donc croissante sauf sur l'intervalle $]-)1~;~2[$ où elle est décroissante.

Avec $f(-1) = 5\e^{-1} \approx 1,84$ et $f(2) = -\e^2 \approx - 7,39$ on obtient le tableau de variations suivant :

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$-1$}\uput[u](7,2.4){2}\uput[u](9.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](1.5,0){0}\uput[d](4,2){$-5\e^{-1}$}\uput[u](7,0){$-\e^2$}
\uput[d](9.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item ~%Tracer $\mathcal{C}$.
		\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-9)(10,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-9)(10,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{10}{x dup mul 3 x mul sub 1 add 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit
 
\[ \text{I}= \int_{-3}^{0} f(x) \, \text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Interpréter graphiquement I.
Sur l'intervalle $[-3~;~0]$, la fonction $f$ est positive, donc $I$ est l'aire de la surface limitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x = -3$ et $x = 0$. (surface hachurée sur la figure ci-dessus).
		\item %En utilisant l'intégration par parties, calculer 

%\[\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x,\]
Avec $\left\{\begin{array}{l l}
u(x) = x&v'(x) = \e^x\\
u'(x) = 1&v(x) = \e^x 
\end{array}\right.$ on obtient par intégration par parties :

$\displaystyle\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x = \left[x\e^x \right]_{-3}^0 - \int_{-3}^0 1\e^x\:\text{d}x  = \left[x\e^x \right]_{-3}^0 - \left[\e^x\right]_{-3}^0 = \left[\e^x(x - 1) \right]_{-3}^0 = - 1 + 4\e^{-3}$
%puis 

%\[\int_{-3}^{0}x^{2}\text{e}^{x}\:\text{d}x.\]
De même avec $\left\{\begin{array}{l l}
u(x) = x^2&v'(x) = \e^x\\
u'(x) = 2x&v(x) = \e^x 
\end{array}\right.$ on obtient par intégration par parties :

$\displaystyle\int_{-3}^{0} x^2\text{e}^{x}\:\text{d}x = \left[x^2\e^x \right]_{-3}^0 - 2\int_{-3}^0 2x\e^x\:\text{d}x  = 0 - 9\e^{-3} - 2\left(- 1 + 4\e^{-3}\right) = - 9\e^{-3} + 2 - 8\e^{-3} = 2 - 17\e^{-3}$
		\item %En déduire la valeur exacte de I.
$I = \displaystyle\int_{-3}^{0} \left(x^2 - 3x + 1\right)\text{e}^{x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-3}^{0} x^2\text{e}^{x}\:\text{d}x - 3\displaystyle\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x + \displaystyle\int_{-3}^{0} \text{e}^{x}\:\text{d}x = 2 - 17\e^{-3} - 3\left(- 1 + 4\e^{-3}\right) + 1 - \e^{-3} = 2 - 17\e^{-3} + 3 -12\e^{-3} + 1 - \e^{-3} = 6 - 30\e^{-3} \approx 4,506$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $g$ la fonction 
%définie sur $\R$ par

\[ g\left( x\right) = \text{e}^{\left(x^{2} + ax + b\right)}. \]

%Quelles sont les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le tableau de variations de $g$ est celui donné ci-dessous ?

\[\begin{array}{l|lllll}
x & -\infty & & \frac{3}{2} & & + \infty\\\hline
g'\left( x\right) & & - & 0 & + & \\\hline
& + \infty & & & & +\infty\\
g(x) & & \searrow & & \nearrow & \\
& & & \text{e}^{-\frac{5}{4}} & & 
\end{array} \]

$g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = (2x + a)\e^{x^2 + ax + b}$ :

$\bullet~$On lit $g'\left(\frac32\right) = 0 \iff (3 + a)\e^{\ldots} = 0 \iff 3 + a = 0$ (car $\e^{\ldots} > 0$) donc $a = - 3$.

$\bullet~$On lit aussi $g\left(\frac32\right) = \e^{-\frac54} \iff \e^{\frac94 - \frac92 + b} = \e^{-\frac54}\iff \e^{- \frac94 + b} = \e^{-\frac54} \iff - \frac94 + b = - \frac54 \iff b = 1$.

La fonction $g$ est donc la fonction $h$ ci-dessous.
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ h\left(x\right) = \text{e}^{\left(x^{2}- 3x + 1\right)} \]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\mathcal{R}$. 

	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que la droite D d'équation $x = \dfrac{3}{2}$ est axe de symétrie de $\Gamma$.
		Soit un point $M$ de $\Gamma$ d'abscisse $X$ et son symétrique $M'$ autour de la droite (D) d'équation $x = \dfrac32$. $M'$ a donc pour abscisse $3 - X$.
		
On a $h(X) = \e^{X^2 - 3X + 1}$ et $h(3 - X) = \e^{9 + X^2 - 6X - 9 + 3X +1} = \e^{X^2 - 3X + 1} = h(X)$, ce qui prouve que la droite D d'équation $x = \dfrac{3}{2}$ est axe de symétrie de $\Gamma$.
		\item %Justifier l'affirmation suivante : \og 3,2 est une valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h(x) = 5$ \fg{}.
Le tableau de variations ci-dessus est celui de la fonction $h$, donc la fonction $h$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[\frac32~;~+ \infty\right[$ de $\e^{-\frac54} \approx 0,287$ à plus l'infini.

La fonction $h$ étant continue car dérivable sur l'intervalle $\left[\frac32~;~+ \infty\right[$ il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $\beta \in \left[\frac32~;~+ \infty\right]$ tel que $h(\beta ) = 5$.

La calculatrice donne $h(3) \approx 2,7$ et $h(4) \approx 148$, donc $3 < \beta < 4$, puis 

$h(3,1) \approx 2,7$ et $h(3,3) \approx 7,3$, donc $3,2 < \beta < 3,3$ : \og 3,2 est une valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h(x) = 5$ \fg{}
		\item %Soit $\alpha$ un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,1 près. Établir que 
On a donc $1,7 < \alpha < 1,8$ : par croissance de $h$ sur l'intervalle $\left[\frac32~;~+ \infty\right[$, on a 

$h(1,7) < h(\alpha) < h(2,2)$, soit $0,30 < h(\alpha) < 0,32$.
%\[0,28\leqslant h\left(\alpha\right) \leqslant 0,47. \]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ dont le tableau de 
variation est donné ci-dessous ( $a,~b$ et $c$ étant trois nombres 
réels).

\[\begin{pspicture}(10,3.6)
\psframe(10,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,3)(10,3)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$- \infty$} \uput[u](4,3){$0$} \uput[u](6,3){$a$} \uput[u](8,3){$b$} \uput[u](9.7,3){$+ \infty$}
\uput[u](1,1){$u(x)$} \uput[d](2.3,3){$+ \infty$} \uput[u](6,0){$c$} \rput(8,1.55){$0$} \uput[d](9.7,3){$+ \infty$}
\psline{->}(2.6,2.7)(5.8,0.4) \psline{->}(6.2,0.4)(9.6,2.6)
\psline[linestyle=dashed](6,3)(6,0.7) \psline[linestyle=dashed](8,3)(8,1.7)  
\end{pspicture}\]

Soit $v_{1},~v_{2},~v_{3}$ les fonctions définies par :

\[v_{1}(x) = \text{e}^{u(x) } \qquad v_{2}(x) 
= u\left(\text{e}^{x}\right) \qquad v_{3}(x) = u(x) \text{e}^{x}. \] 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation des fonctions $v_{1}$ et $v_{2}$ (en justifiant votre réponse).
les fonctions $u$ et $\e^x$ étant dérivables sur $\R$, les fonctions $v_1,\:v_2$ et $v_3$ dont dérivables sur $\R$.

$\bullet~$On a pour tout réel $x$, \: $v'_1(x) = u'(x)\e^{u(x)}$.

Comme $u$ est décroissante sur $]- \infty~;~a],\: u'(x) \leqslant 0$, ; donc sur cet intervalle $v'(x) \leqslant 0$ : la fonction est décroissante.

Sur $[0~;~+ \infty[$, \: $u$ est croissante , donc $u'(x) \geqslant 0$ et par produit $v'_1(x) \geqslant 0$ : la fonction $v_1$ est croissante sur $[a~;~+ \infty[$.

$\bullet~$On a pour tout réel $x$, \: $v'_2(x) = u'(x)\left(\e^{u(x)}\right) \times \e^x$.

Comme quel que soit $x \in \R,\: \e^{u(x)}$ et $\e^x$ sont supérieurs à $0$, le signe de $v'_2(x)$ est celui de $u'(x)$ : la fonction $v'_2$ est donc décroissante puis croissante.
\item %Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de donner le sens de variation de la fonction $v_{3}$ (en justifiant votre réponse).
On a pour tout réel :

$v'_3(x) = u(§x)\e^x + u(x)\e^x = \e^x[u'(x) + u(x)]$.

Le signe de $v'_3(x)$ est donc celui de la somme $u'(x) + u(x)$.

On ne peut être certain du signe de cette somme que sur l'intervalle $[b~;~+ \infty]$ :

$\bullet~$sur cet intervalle la fonction est croissante et $u(b) = 0$, donc $u(x) \geqslant 0$ sur $[b~;~+ \infty]$ ;

$\bullet~$sur cet intervalle la fonction $u$ est croissante, donc $u'(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{document}