\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit Denis Vergès %Relecture et corrigé : François Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Sujet 0 Spécialité en première Sujet 1}, pdftitle = {}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma %\frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Première série générale} \lfoot{\small{Sujet 0\\Épreuve anticipée de mathématiques\\ voie générale spécialité}} \rfoot{\small{2025 - sujet 1}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques 1 - Corrigé~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}} \end{center} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1} \begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline %Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt] %Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt] %Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline %\end{tabularx} % %\bigskip \textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)} \end{center} %\medskip % %\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} \medskip \textbf{Question 1} \medskip L'inverse du double de 5 est égal à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $\dfrac 25$ &\textbf{b.~} $\dfrac{1}{10}$&\textbf{c.~} $\dfrac 52$ &\textbf{d.~} 10 \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Le double de 5 est 10, l'inverse du double de 5 est donc $\dfrac{1}{10}$. \hfill\textbf{Réponse b} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 2} \medskip On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}.$\\[5pt] Lorsque $a = \dfrac12$, $b = 3$, $c = 4$, $d = - \dfrac14$, la valeur de $F$ est égale à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $- \dfrac52$&\textbf{b.~}$- \dfrac32$&\textbf{c.~} $\dfrac52$&\textbf{d.~} $\dfrac32$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} $cd=4\times \left (-\dfrac{1}{4}\right )=-1$ donc $\dfrac{b}{cd}=\dfrac{3}{-1}=-3$ $F= a+\dfrac{b}{cd} = \dfrac{1}{2} + (-3)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{2}=-\dfrac{5}{2}$ \hfill\textbf{Réponse a} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip Le prix d'un article est multiplié par 0,975. Cela signifie que le prix de cet article a connu : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} une baisse de 2,5\,\% &\textbf{b.~} une augmentation de 97,5\,\%\\ \textbf{c.~} une baisse de 25\,\%& \textbf{d.~} une augmentation de 0,975\,\% \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Multiplier par $\left (1-\dfrac{t}{100}\right )$, c'est faire subir une baisse de $t\,\%$. $0,975 = 1-0,025 = 1 - \dfrac{2,5}{100}$; il s'agit donc d'une baisse de $2,5\,\%$. \hfill\textbf{Réponse a} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 4} \medskip Le prix d'un article est noté $P$. Ce prix augmente de 10\,\% puis baisse de 10\,\%. À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que: \begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $P_1 = P$\hfill \textbf{b.~} $P_1 > P$\hfill \textbf{c.~} $P_1 < P$\hfill \textbf{d.~} Cela dépend de $P$ %\end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Augmenter de 10\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{10}{100}=1,1$. Baisser de 10\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{10}{100}=0,9$. Augmenter de 10\,\% puis baisser de 10\,\%, c'est multiplier par $1,1\times 0,9 = 0,99 < 1$. Donc $P_1< P$\ (avec $P \ne 0$) \hfill\textbf{Réponse c} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 5} \medskip On lance un dé à 4 faces. \\ La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Face numéro 1 &Face numéro 2& Face numéro 3& Face numéro 4\\ \hline 0,5 &$\dfrac16$&0,2& $x$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip On peut affirmer que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $x = \dfrac{2}{15}$&\textbf{b.~} $x = \dfrac{2}{3}$& \textbf{c.~} $x = 0,4$&\textbf{d.~} $x = 0,1$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} La somme des probabilités doit être égale à 1, donc $0,5+\dfrac{1}{6}+ 0,2+x=1$ donc $0,7+\dfrac{1}{6}+x=1$ donc $\dfrac{7}{10}+\dfrac{1}{6}+x=1$ donc $\dfrac{21}{30}+ \dfrac{5}{30}+x=1$ donc $\dfrac{26}{30}+x=1$ donc $x= \dfrac{30}{30}-\dfrac{26}{30}$ donc $x=\dfrac{4}{30}$ donc $x=\dfrac{2}{15}$ \hfill\textbf{Réponse a} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip On considère $x$, $y$, $u$ des réels non nuls tels que $\dfrac 1x + \dfrac 1y = \dfrac 1u$. On peut affirmer que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} $u = \dfrac{xy}{x + y}$&\textbf{b.~} $u = \dfrac{x + y}{xy}$ &\textbf{c.~} $u = xy$ &\textbf{d.~} $u = x + y$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{u}$ équivaut à $\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{u}$ équivaut à $\dfrac{xy}{x+y}=u$ \hfill\textbf{Réponse a} \end{tabular} \bigskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} \textbf{Question 7} \medskip On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y = x^2$. On note $(\mathcal{J})$ l'inéquation, sur $\R$,\: $x^2 \geqslant 10$. L'inéquation $(\mathcal{J})$ est équivalente à : {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{24}{X}} \textbf{a.~}$- \sqrt{10} \leqslant x \leqslant \sqrt{10}$&\textbf{b.~}$x \leqslant- \sqrt{10}$ ou $x \geqslant \sqrt{10}$\\ \textbf{c.~}$x \geqslant \sqrt{10}$&\textbf{d.~}$x = \sqrt{10}$ ou $x = - \sqrt{10}$ \end{tabularx}} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.32\linewidth} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-5,-3)(5,16) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-1)(5,16) \uput[u](4.8,0){$x$}\uput[r](0,15){$y$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=red]{-4}{4}{x dup mul} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4}{-3.162}{x dup mul} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=2pt,linecolor=blue]{3.162}{4}{x dup mul} %%%%%%%%% \psset{linecolor=blue} \psline[linewidth=2pt]{-]}(-5,0)(-3.162,0) \psline[linewidth=2pt]{[-}(3.162,0)(5,0) \psset{linestyle=dashed} \psline(-5,10)(5,10) \psline(-3.162,10)(-3.162,0)\uput{8pt}[d](-3.162,0){\blue\tiny$-\sqrt{10}$} \psline(3.162,10)(3.162,0) \uput{8pt}[d](3.162,0){\blue\tiny$\sqrt{10}$} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} $f(x)\geqslant 10$ signifie que la courbe représentant la fonction $f$ est au dessus de la droite d'équation $y=10$. Voir graphique \hfill\textbf{Réponse b} \end{tabular} \newpage \textbf{Question 8} \medskip On a représenté ci-contre une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé. Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est: \begin{minipage}{0.64\linewidth} {\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} $y = - \dfrac32 x + 2$&\textbf{b.~} $y = \dfrac23 x + 2$\\ \textbf{c.~} $2x - 3y - 6 = 0$&\textbf{d.~} $\dfrac x3 + \dfrac y2 - 1 = 0$ \end{tabularx}} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.32\linewidth} \psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3,-2.5)(6.5,4) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.99,-2.5)(6.5,4) \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{2 x 2 mul 3 div sub} \uput[u](6,0){$x$}\uput[r](0,3.5){$y$} \uput[dl](-1.5,3){\blue $\mathcal{D}$} \end{pspicture*} \end{minipage} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Il suffit de chercher quelle droite passe par les points de coordonnées $(0\,,\,2)$ et $(3\,,\,0)$. \hfill\textbf{Réponse d} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 9} \medskip On considère trois fonctions définies sur $\R$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} $f_1 : \:x \longmapsto x^2 - (1 - x)^2$&$f_2 : x \longmapsto \dfrac x2 - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$&$f_3 : x \longmapsto \dfrac{5 - \frac23 x}{0,7}$ \end{tabularx} \end{center} Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} aucune &\textbf{b.~} toutes\\ \textbf{c.~} uniquement la fonction $f_1$ &\textbf{d.~} uniquement les fonction $f_2$ et $f_3$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} \begin{list}{\textbullet}{On cherche si les fonctions sont de la forme $x \longmapsto ax+b$.} \item $f_1(x)=x^2-\left (1-x\right )^2=x^2 -\left (1-2x+x^2\right )=x^2-1+2x-x^2 = 2x-1$. Donc $f_1$ est une fonction affine. \item $f_2(x)= \dfrac{x}{2} - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ est de la forme $ax+b$ avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-\left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$. Donc $f_2$ est une fonction affine. \item $f_3(x)= \dfrac{5 - \frac23 x}{0,7} = -\dfrac{2}{3\times 0,7} x + \dfrac{5}{0,7}$ est de la forme $ax+b$ avec $a=-\dfrac{2}{2,1}$ et $b=\dfrac{5}{0,7}$. Donc $f_3$ est une fonction affine. \end{list} \hfill\textbf{Réponse b} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 10} \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} On a représenté ci-contre une parabole $\mathcal{P}$. Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$. Laquelle ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} $x \longmapsto x^2 - 10$ &\textbf{b.~} $x\longmapsto -x^2 - 10$ \\ \textbf{c.~} $x\longmapsto -x^2 + 10$ &\textbf{d.~} $x\longmapsto -x^2 + 10x$ \end{tabularx} \end{center} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.33\linewidth} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,12) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,12) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{10 x dup mul sub} \uput[dl](0,0){O} \uput[r](2.5,6.25){\red $\mathcal{P}$} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Le point de la courbe d'abscisse 0 a une ordonnée strictement positive. \hfill\textbf{Réponse c} \end{tabular} \newpage \textbf{Question 11} \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$. Les points A, B, R et S appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. Leurs abscisses sont notées respectivement $x_{\text{A}},\: x_{\text{B}},\: x_{\text{R}}$ et $x_{\text{S}}$. L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{B}}$ &\textbf{b.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{R}}$ \\ \textbf{c.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{S}}$ &\textbf{d.~} $x_{\text{A}}, \: x_{\text{B}}$ et $x_{\text{S}}$ \end{tabularx} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.33\linewidth} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-4.5)(3.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub 5 x mul sub 6 add 6 div} \uput[dl](0,0){O}\uput[r](-3,-4){A}\uput[ul](-1.44,0.97){B}\uput[ur](0.4,0.624){R}\uput[dr](2.4,-0.616){S} \uput[r](2.4,0.8){\blue $\mathcal{C}$} \psdots(-3,-4)(-1.44,0.97)(0.4,0.624)(2.4,-0.616) \end{pspicture*} \end{minipage} \bigskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} \begin{list}{\textbullet}{On calcule $x\times f(x)$ pour les 4 points.} \item $x_{\text{A}} <0$ et $f\left (x_{\text{A}}\right )<0$ donc $x_{\text{A}} \times f\left (x_{\text{A}}\right )>0$, donc $x_{\text{A}}$ est solution. \item $x_{\text{B}} <0$ et $f\left (x_{\text{B}}\right )>0$ donc $x_{\text{B}} \times f\left (x_{\text{B}}\right )<0$, donc $x_{\text{B}}$ n'est pas solution. \item $x_{\text{R}} >0$ et $f\left (x_{\text{R}}\right )>0$ donc $x_{\text{R}} \times f\left (x_{\text{R}}\right )>0$, donc $x_{\text{R}}$ est solution. \item $x_{\text{S}} >0$ et $f\left (x_{\text{S}}\right )<0$ donc $x_{\text{S}} \times f\left (x_{\text{S}}\right )<0$, donc $x_{\text{S}}$ n'est pas solution. \end{list} \hfill\textbf{Réponse b} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 12} \medskip Voici une série de notes avec les coefficients associés. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l |*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Note&10 &8 &16\\ \hline Coefficient &1 &2&$x$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On note $m$ la moyenne de cette série. Que doit valoir $x$ pour que $m = 15$ ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~} impossible &\textbf{b.~} $x = 10^{-3}$& \textbf{c.~} $x = 3$ &\textbf{d.~} $x = 19$ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Il y a en tout $(x+3)$ notes, et si leur moyenne est de 15, la somme des notes doit être égale à $15\times (x+3)$ soit $15x+45$. Or la somme des notes est égale à $10\times 1+8\times 2+16\times x = 16x+26$. $16x+26 = 15x+45$ équivaut à $16x-15x=45-26$ soit $x=19$. \hfill\textbf{Réponse d} \end{tabular} \bigskip \begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 points)} \end{center} \textbf{Exercice 1 (X points)} \medskip On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé \Oij. \begin{figure}[t] \centering \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(0,0)(5,5) \psframe[linewidth=1.5pt](4,4) \psline[linewidth=1.5pt](0,4)(1.92,1.44)(4,3) \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](4,0){A} \uput[ur](4,4){B} \uput[ur](0,4){C} \uput[d](1.92,1.44){H} \uput[r](4,3){I} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput{40}(1.92,1.44){\psframe(0.25,0.25)} \uput[d](4,0){\small 4}\uput[l](0,4){\small 4} \pscircle[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,2){0.5}\psdots[linecolor=red](2,2) \end{pspicture} \end{figure} \medskip \begin{list}{\textbullet}{On dispose des données suivantes:} \item Le quadrilatère OABC est un carré de côté 4 ; \item On a A(4~;~0),\: B(4~;~4), C(0~;~4), I(4~;~3) ; \item Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI) ; \item On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre D(2~;~2) et de rayon 0,5. \end{list} \newpage \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OC}}$ On a I\,$\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ donc $\vectt{OI} \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$, et C\,$\begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}$ donc $\vectt{OC} \begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}$ \item %En déduire le produit scalaire $\vect{\text{OI}}\cdot \vect{\text{OC}}$. On en déduit que $\vectt{OI}\cdot \vectt{OC}=4\times 0 + 3\times 4 = 12$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Exprimer le produit scalaire $\vect{\text{OI}} \cdot \vect{\text{OC}}$ en fonction des longueurs OH et OI. D'après le texte, le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI), donc $\vectt{OC}\cdot \vectt{OI} = \vectt{OH}\cdot \vectt{OI}$. Les vecteurs $ \vectt{OH}$ et $\vectt{OI}$ sont colinéaires et de même sens donc $\vectt{OH}\cdot \vectt{OI}= \text{OH}\times \text{OI}$. De plus, $\vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = \vectt{OC}\cdot \vectt{OI}$. On peut donc conclure que $\vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = \text{OH}\times \text{OI}$. \item %Calculer la longueur OI. $\vectt{OI} \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ donc $\text{OI} = \ds\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$ \item %En déduire que OH $= 2,4$. On a: $\aligned[t] & \vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = \text{OH}\times \text{OI}\\ & \vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = 12\\ & \text{OI}=5 \endaligned$ On en déduit que $\text{OH}\times 5=12$ donc que $\text{OH} = \dfrac{12}{5}=2,4$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer une équation cartésienne de la droite (CH). Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI), donc les vecteurs $\vectt{OI}$ et $\vectt{CH}$ sont orthogonaux, donc le vecteur $\vectt{OI}$ est un vecteur normal à la droite (CH). Or $\vectt{OI}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ donc la droite (CH) a une équation cartésienne de la forme $4x+3y+c=0$, où $c$ est un réel à déterminer. La droite (CH) contient le point C de coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}$, et le point C appartient à la droite (CH); donc: $4\times 0 + 3 \times 4 + c=0$ donc $c=-12$. La droite (CH) a pour équation $4x+3y-12=0$. \item %Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est: $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0.$ Le cercle $\mathcal{E}$ de centre D\,$(2\,,\,2)$ et de rayon $0,5$ a pour équation: $(x-2)^2+(y-2)^2=0,5^2$ soit $x^2-4x+4+y^2-4y+4-0,25=0$ c'est-à-dire $x^2+y^2-4x-4y +7,75=0$ \item Soit M le point de coordonnées (1,5~;~2). \begin{list}{\textbullet}{} \item $\aligned[t] x_{\text{M}}^2+y_{\text{M}}^2-4x_{\text{M}}-4y_{\text{M}} +7,75 & = 1,5^2 + 2^2 -4\times 1,5 - 4\times 2 + 7,75\\ & = 2,25 + 4 - 6 - 8 + 7,75\\ & = 0 \endaligned$ Donc $\text{M} \in \mathcal{E}$. \item $\aligned[t] 4x_{\text{M}}+3y_{\text{M}}-12 & = 4\times 1,5 + 3\times 2 - 12\\ & = 6+6-12\\ & = 0 \endaligned$ Donc $\text{M} \in \text{(CH)}$. \end{list} On peut donc dire que le point M(1,5~;~2) appartient à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite (CH) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 (X points)} \medskip On se place dans un repère \Oij{} orthogonal. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x^2 - 5x + 4$.\\ On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$. \begin{enumerate} \item %Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\R$. $x^2-5x+4$ est un polynôme du second degré. $\Delta=(-5)^2-4\times 4 = 25-16=9 = 3^2$ Le polynôme admet donc deux racines: $x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $x'' =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+3}{2}=4$ On en déduit que $g(x)=(x-1)(x-4)$. On détermine alors le signe de $g$. \[\begin{tablvar}[4em]{3} \hline x & -\infty && 1 && 4 && +\infty\\ \hline x-1 & & - & \barre[0]& + & \barre& + & \\ \hline x-4 & & - & \barre& - & \barre[0] & + & \\ \hline \text{signe de } g & & + & \barre[0]& - & \barre[0] & + & \\ \hline \end{tablvar}\] \item On considère un entier naturel $n$ quelconque. On note $\text{A}_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$. On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(\text{A}_n\text{A}_{n+1})$ donc $a_n=\dfrac{y_{\text{A}_{n+1}} - y_{\text{A}_n}}{x_{\text{A}_{n+1}} - x_{\text{A}_n}}$. Par définition, $x_{\text{A}_n}=n$, et comme le point $\text{A}_n$ est un point de la courbe $\mathcal{P}$, on a: $y_{\text{A}_n} = g\left (x_{\text{A}_n}\right )=g(n)=n^2-5n+4$. De même: $\aligned[t] y_{\text{A}_{n+1}} & = g\left (x_{\text{A}_{n+1}}\right )=g(n+1) =(n+1)^2-5(n+1)+4\\ & = n^2+2n+1-5n-5+4 = n^2-3n \endaligned$ Donc: $y_{\text{A}_{n+1}} - y_{\text{A}_{n}} = \left (n^2-3n\right ) - \left (n^2-5n+4\right ) = n^2 -3n -n^2 +5n -4=2n-4$. Or $x_{\text{A}_{n+1}} - x_{\text{A}_{n}} = n+1-n=1$; donc $a_n=\dfrac{y_{\text{A}_{n+1}} - y_{\text{A}_n}}{x_{\text{A}_{n+1}} - x_{\text{A}_n}} = \dfrac{2n-4}{1}=2n-4$. %Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = 2n - 4$. \item %Quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ? $a_{n+1}-a_n= \left (2(n+1)-4\right ) - \left (2n-4\right ) = 2n+2-4-2n+4=2$ Donc la suite $(a_n)$ est arithmétique de raison 2. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de [0,5~;~8] par $f(x) = x - 5 + \dfrac 4 x.$ On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle [0,5~;~8] on a $f(x) =\dfrac{ g(x)}{x}$. $f(x) = x - 5 + \dfrac 4 x = \dfrac{x^2}{x} - \dfrac{5x}{x} + \dfrac{4}{x}= \dfrac{x^2-5x+4}{x}=\dfrac{g(x)}{x}$ \item %À l'aide de la question 1. a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses. La position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses dépend du signe de $f(x)$: si $f(x)>0$, alors la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses, et si $f(x) < 0$, alors la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de l'axe des abscisses. $f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$, et sur $[0,5\;; 8]$, $x>0$; donc $f(x)$ est du même signe que $g(x)$ sur $[0,5\;; 8]$. \medskip \begin{list}{\textbullet}{D'après le résultat de la question \textbf{1.a.}:} \item sur l'intervalle $[0,5\;; 1[$, $g(x)>0$ donc $f(x)>0$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses; \item sur l'intervalle $]1\;; 4[$, $g(x)<0$ donc $f(x)<0$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de l'axe des abscisses; \item sur l'intervalle $]4\;; 8]$, $g(x)>0$ donc $f(x)>0$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses. \end{list} \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~8]. %Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~8] on a : $f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$ Sur l'intervalle [0,5~;~8], $f'(x)=1-0 +4\left (-\dfrac{1}{x^2}\right ) = 1-\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-4}{x^2}= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$. \item On détermine le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~8]. \[\begin{tablvar}[intervalwidth=6em,stretch=1.2]{2} \hline x & 0,5 && 2 && 8\\ \hline x-2 && - & \barre[0] & + & \\ \hline x+2 && + &\barre & + & \\ \hline (x-2)(x+2) && - & \barre[0] & + & \\ \hline x^2 && + &\barre & + & \\ \hline f'(x)= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2} && - & \barre[0] & + & \rule[-12pt]{0pt}{35pt}\\ \hline %\variations{\mil{\text{variations de }f} & \haut{} & & \bas{} & & \haut{}} %\hline \end{tablvar}\] On peut calculer les valeurs intéressantes de $f(x)$ pour compléter le tableau de variations. $f(0,5)=0,5-5+\dfrac{4}{0,5}=0,5-5+8=3,5$; $f(2)=2-5+\dfrac{4}{2}=2-5+2=-1$, et $f(8)=8-5+\dfrac{4}{8}=8-5+0,5=3,5$ \[\renewcommand{\fleche}{\ncline[linewidth=1.2pt,arrowsize=2pt 3,nodesep=2.5pt]{->}} \begin{tablvar}[intervalwidth=6em,stretch=1.2]{2} \hline x & 0,5 && 2 && 8\\ %\hline %x-2 && - & \barre[0] & + & \\ %\hline %x+2 && + &\barre & + & \\ %\hline %(x-2)(x+2) && - & \barre[0] & + & \\ %\hline %x^2 && + &\barre & + & \\ \hline f'(x)= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2} && - & \barre[0] & + & \rule[-12pt]{0pt}{35pt}\\ \hline \variations{\mil{\text{variations de }f} & \haut{3,5} & & \bas{-1} & & \haut{3,5}} \hline \end{tablvar}\] \item On réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel on fait apparaitre les résultats des questions \textbf{2.b} et \textbf{2.d}. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-2)(9,4) \psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-2)(9,4) \psaxes{->}(0,0)(-0.99,-1.99)(9,3.99) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0.5}{1}{x 5 sub 4 x div add} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{1}{4}{x 5 sub 4 x div add} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{4}{8}{x 5 sub 4 x div add} \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](2,0)(2,-1)(0,-1) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](8,0)(8,3.5)(0,3.5) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0.5,0)(0.5,3.5) \uput[l](0,3.5){\blue\scriptsize$3,5$} \uput[d](0.5,0){\blue\scriptsize$0,5$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}