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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
pdftitle = {Polynésie Sujet 1 5 septembre 2024},
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%\frenchsetup{StandardLists=true}

\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small Polynésie -- corrigé}
\rfoot{\small 5 septembre 2024}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\Large
\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Polynésie~\decofourright\\[7pt] Sujet 1 -- 5 septembre 2024\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}
\end{center}

\medskip

{\Large\bf{}Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 60\,\% sont des véhicules tout-électrique ;
\item 40\,\% sont des véhicules hybrides rechargeables.
\end{itemize}

\medskip

75\,\% des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52\,\% des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d'installer une borne de recharge à domicile.

On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $E$ : \og l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique \fg{} ;
\item $B$ : \og l'acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile \fg.
\end{itemize}

%\medskip
%
%\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}
%
%\medskip

On crée un arbre pondéré résumant la situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\naput{$0,6$}}
 	  { 
 		  \TR{$B$}\naput{$0,75$}
 		  \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,75=0,25$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,4$}}
 	  {
 		  \TR{$B$}\naput{$0,52$}
          \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,52=0,48$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile est:\\
$P(E\cap B) = P(E)\times P_E(B)=0,6\times 0,75 = 0,45$.

%\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}

\item %Démontrer que $P(B) = 0,658$.
D'après la formule des probabilités totales:\\
$P(B)= P(E\cap B) + P \left (\overline{E}\cap B \right ) = 0,45+0,4\times 0,52=0,658$.

\item Un acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile.

La probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique est:\\
$P_B(E)=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,45}{0,658}\approx 0,684$.

\item On choisit un échantillon de $20$ acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l'échantillon de $20$~acheteurs.

	\begin{enumerate}
	\item %Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
On est dans le cas d'une répétition avec remise d'une expérience n'ayant que 2 issues: la possibilité d'installer une borne de recharge, avec la probabilité $p=0,658$, ou non.
Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,658$.

		\item $P(X = 8) = \ds\binom{20}{8}\times 0,658^8\times (1-0,658)^{20-8} \approx 0,011$

		\item La probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge est:
$P(X\geqslant 10) = 1-P(X\leqslant 9) \approx 1- \np{0,0452} \approx 0,955$

		\item L'espérance de $X$ est: $E(X)=np=20\times 0,658 = 13,16$.

		\item La directrice de la concession décide d'offrir l'installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d'en installer une à leur domicile. Cette installation coûte \np{1200}~\euro.
		
%En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d'engager pour cette offre lors de la vente de $20$ ~véhicules?

L'espérance de $X$ représente le nombre moyen de clients pouvant installer une borne de recharge à leur domicile. L'installation d'une borne coûte \np{1200}~\euro.

Il faut donc prévoir: $13,16\times \np{1200}$ soit \np{15792}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large\bf{}Exercice 2\hfill 6 points}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
%Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
%}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = \e^x + x$.

\textbf{Affirmation A} : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci- dessous:

\begin{center}
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{5cm}}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & -\infty   & \esp & +\infty \\
 \hline
  &   &    & \Rnode{max}{+\infty}   \\
\text{variations de } f & &  &  \\
 &     \Rnode{min}{-\infty} & & 
\ncline{->}{min}{max}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red -2}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{x}=0$ et $\ds\lim_{x\to -\infty} x = -\infty$ donc $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{x}=+\infty$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
\item $f'(x)=\e^{x}+1>0$ sur $\R$, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\end{list}

\begin{flushright}
\textbf{\blue Affirmation A vraie}
\end{flushright}

\textbf{Affirmation B} : L'équation $f(x) = -2$ admet deux solutions dans $\R$.

\begin{center}
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{5cm}}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & -\infty   & \esp & +\infty \\
 \hline
  &   &    & \Rnode{max}{+\infty}   \\
\text{variations de } f & &  &  \\
 &     \Rnode{min}{-\infty} & & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput*(-3,0.6){\Rnode{zero}{\red -2}}
\rput(-3,1.55){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

La fonction $f$ est dérivable donc continue sur $\R$. Elle est strictement croissante sur $\R$ et va de $-\infty$ à $+\infty$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=-2$ admet une solution unique dans $\R$.

\begin{flushright}
\textbf{\blue Affirmation B fausse}
\end{flushright}

\item \textbf{Affirmation C} :
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = - \dfrac13$.

Pour $x\neq 0$, on a:
$\dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2}
= \dfrac{x^2 \left (\frac{\ln(x)}{x^2} -1 +\frac{2}{x^2} \right )}{3x^2}
= -\dfrac{1}{3} \left ( 1 -  \dfrac{\ln(x)}{x^2} -\dfrac{2}{x^2}  \right )$ 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{1}{x}$

On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ et que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$; donc par produit: $\ds\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.

\item On sait aussi que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x^2}=0$.
\end{list}

On en déduit que
$\ds\lim_{x\to +\infty} \left ( 1 -  \dfrac{\ln(x)}{x^2} -\dfrac{2}{x^2}  \right )=1$ et donc que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = - \dfrac13$.

\begin{flushright}
\textbf{\blue Affirmation C vraie}
\end{flushright}

\item On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par
$k(x) = 1 + 2\e^{-x^2 + 1}$.

\textbf{Affirmation D} : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$.

Toute primitive $K$ de la fonction $k$ a pour dérivée $k$. Or, pour tout réel $X$, on a $\e^{X}>0$. Donc pour tout réel $x$, on a $\e^{-x^2 + 1}>0$, donc $1+2\e^{-x^2 + 1}>0$, et donc $k(x)>0$.

La primitive $K$ a donc une dérivée toujours strictement positive, donc elle est strictement croissante sur $\R$.

\begin{flushright}
\textbf{\blue Affirmation D fausse}
\end{flushright}

\item On considère l'équation différentielle
$\quad  (E): \quad 3y' + y = 1$.

\textbf{Affirmation E} : La fonction $g$ définie sur $\R$ par 
$g(x) = 4\e^{- \frac13 x} + 1$
est solution de l'équation différentielle $(E)$ avec $g(0) = 5$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $g(x) = 4\e^{- \frac13 x} + 1$ donc $g(0)=4\e^{0} + 1=4+1=5$
\item $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)= 4\times \left (-\dfrac{1}{3}\right )\e^{-\frac{1}{3}x} = -\dfrac{4}{3}\e^{-\frac{1}{3}x} $.

Donc $3g'(x)+g(x)
= 3\times \left ( -\dfrac{4}{3}\e^{-\frac{1}{3}x}\right ) +  \left ( 4\e^{-\frac{1}{3}x} +1 \right )
= - 4\e^{-\frac{1}{3}x} + 4\e^{-\frac{1}{3}x} +1 = 1$

Donc la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\end{list}

\begin{flushright}
\textbf{\blue Affirmation E vraie}
\end{flushright}

\item \textbf{Affirmation F} : Une intégration par parties permet d'obtenir : 
$\displaystyle\int_0^1 x\e^{-x}\:\text{d}x = 1 - 2\e^{-1}$.

En prenant:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
u(x) & x \\
v'(x)  &  \e^{-x}
\end{array}\right.$, on a:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
u'(x) & 1\\
v(x) & - \e^{-x}
\end{array}\right.$

Cela donne par intégration par parties :

$\displaystyle\int_0^1 x\e^{-x}\:\text{d}x  = \left[- x \e^{-x}\right]_0^1  - \displaystyle\int_0^1 - \e^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \e^{-x} - \e^{-x}\right]_0^1 = - \e^{-1} - \e^{-1}  + 1 = 1 - 2\e^{- 1}$. 

\begin{flushright}
\textbf{\blue Affirmation F vraie}
\end{flushright}

\end{enumerate}

\bigskip

{\Large\bf{}Exercice 3\hfill 4 points}

\medskip

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item le 1\up{er} étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;
\item le 2\up{e} étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;
\item le 3\up{e} étage possède 9 boules ;
\item \ldots
\item le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.
\end{list}

\medskip

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n = n^2$.

\begin{enumerate}
\item Le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages est:\\
$u_1+u_2+u_3+u_4=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$.

\item On considère la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par 
$S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n.$

	\begin{enumerate}
		\item $S_5 = u_1+u_2+u_3+u_4+u_5  = \left ( u_1+u_2+u_3+u_4 \strut\right ) +u_5 30+5^2 = 55$
		
Le nombre total de boules d'une pyramide de 5 étages est: $S_5=55$.
		 		 
		\item% On considère la fonction \texttt{pyramide} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python.
		
On complète la fonction \texttt{pyramide} ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $n$, l'instruction \texttt{pyramide(n)} renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.

\begin{center}
\ttfamily
\begin{tabular}{|l|}\hline
def pyramide(n) :\\
\qquad S = 0\\
\qquad for i in range(1,~n+1) :\\
\qquad \qquad S =  \blue S + i**2\\
\qquad return \blue S\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item 
\begin{list}{\textbullet}{Pour tout entier naturel $n$ :}
\item 
$\begin{aligned}[t]
\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 
& = \dfrac{(n+1)(2n^2+n)}{6} + \dfrac{6(n+1)^2}{6}\\
& = \dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{8}\\
 & = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}
 \end{aligned}$
\item 
$\begin{aligned}[t]
\dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6}
& = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}
= \dfrac{(n+1)(2n^2+3n+4n+6)}{6}\\
& = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}
 \end{aligned}$
\end{list}		
		
Donc $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6}$

		\item On démontre par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : 
$S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=1$, on a $S_1=1$ et $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \dfrac{1(1 + 1)(2\times 1 + 1)}{6} = \dfrac{1\times 2\times 3}{6} =1$

Donc la propriété est vraie au rang 1.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n$, avec $n \geqslant 1$, c'est-à-dire $S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. C'est l'hypothèse de récurrence.

$\begin{aligned}[t]
S_{\blue n+1} 
& = u_1+u_2+\cdots +u_n+u_{n+1} =  \left (u_1+u_2+\cdots +u_n \strut\right )+u_{n+1} \\
& = S_n+(n+1)^2 =  \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}+(n+1)^2 \\
& = \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6} \text{ (d'après la question précédente)}\\
& = \dfrac{({\blue n + 1})[({\blue n + 1}) + 1][2({\blue n + 1}) + 1]}{6}
\end{aligned}$

Donc la propriété est vraie au rang ${\blue n + 1}$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 1, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$. \\
Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$.
\end{list}

On a donc démontré par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : 
$S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
	\end{enumerate}
	
\item Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède $200$~oranges.% Combien d'oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?

Il faut donc trouver le plus grand entier $n$ tel que $S_n \leqslant 200$.

On calcule:
$S(7)=\dfrac{7(7+1)(2\times 7+1}{6}=140<200$ et
$S(8)=\dfrac{8(8+1)(2\times 8+1)}{6}=204>200$.

Le marchand utilise donc 140 oranges pour construire une pyramide à 7 étages.
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large\bf{}Exercice 4\hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On considère un cube ABCDEFGH et l'espace est rapporté au repère orthonormal
$\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], on considère les points K et L de coordonnées:

\begin{center}K\,$(m~;~0~;~0)$\quad et \quad L\,$(1 - m~;~1~;~1)$.\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(6.6,6.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30,linewidth=0pt](5,5.9)(0.4,5.3)(1.6,0.82)(6.6,1.4)%LEKC
\pspolygon(0.4,1)(4.2,0.5)(4.2,4.8)(0.4,5.3)%ABFE
\psline(4.2,0.5)(6.6,1.4)(6.6,5.7)(4.2,4.8)%BCGF
\psline(6.6,5.7)(2.8,6.2)(0.4,5.3)%GHE
\psline(5,5.9)(0.4,5.3)(1.6,0.82)%LEK
\psline[linestyle=dashed](5,5.9)(6.6,1.4)(1.6,0.84)%LCK
\psline[linestyle=dashed](0.4,1)(2.8,1.9)(6.6,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.8,1.9)(2.8,6.2)%DH
\uput[dl](0.4,1){A} \uput[d](4.2,0.5){B} \uput[dr](6.6,1.4){C} \uput[ul](2.8,1.9){D}
\uput[ul](0.4,5.3){E} \uput[dr](4.2,4.8){F} \uput[ur](6.6,5.7){G} \uput[u](2.8,6.2){H}
\uput[dl](1.6,0.84){K} \uput[u](5,5.9){L}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le point E a pour coordonnées (0~;~0~;~1).

Comme $\vectt{AC}=\vectt{AB}+\vectt{AD}$, le point C a pour coordonnées (1~;~1~;~0).

\item Dans cette question, $m = 0$. Ainsi, le point L\,(1~;~1~;~1) est confondu avec le point G, le point K(0~;~0~;~0) est confondu avec le point A et le plan (LEK) est donc le plan (GEA).
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le vecteur $\vect{\text{DB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan (GEA).
\begin{list}{\textbullet}{}
\item ABCD est un carré donc ses diagonales sont perpendiculaires, donc $\vectt{DB} \perp \vectt{AC}$.
\item Le vecteur $\vectt{AE}$ est normal au plan (ABD) donc $\vectt{AE}$ est orthogonal à tout vecteur du plan (ABD), donc $\vectt{AE} \perp \vectt{DB}$.
\item Les vecteurs $\vectt{AE}$ et $\vectt{AC}$ ne sont pas colinéaires. 
\end{list}		
		
Le vecteur $\vectt{DB}$	est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (GEA) donc le vecteur $\vectt{DB}$ est normal au plan (GEA).
		
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (GEA).
On déduit de la question précédente que le plan (GEA) a une équation de la forme $1\times x + (-1)\times y + 0\times z + d =0$, soit $x-y+d=0$.

Le plan (GEA) passe par le point A de coordonnées (0~;~0~;~0) donc $0-0+d=0$ et donc $d=0$.

Le plan (GEA) a donc pour équation $x-y=0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On s'intéresse désormais à la nature de CKEL en fonction du paramètre $m$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que CKEL est un parallélogramme.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 
K\,$\begin{pmatrix} m\\0\\0 \end{pmatrix}$ et
E\,$\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$
donc $\vectt{KE}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix} 0-m\\0-0\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix}$.
\item 
C\,$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ et
L\,$\begin{pmatrix} 1-m\\1\\1 \end{pmatrix}$ 
donc $\vectt{CL}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix} 1-m-1\\1-1\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix}$.
\end{list}		

$\vectt{KE} = \vectt{CL}$ donc CKEL est un parallélogramme.
		
		\item% Justifier que $\vect{\text{KC}} \cdot \vect{\text{KE}} = m(m - 1)$.
K\,$\begin{pmatrix} m\\0\\0 \end{pmatrix}$ et
C\,$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$
donc $\vectt{KC}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix} 1-m\\1-0\\0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-m\\1\\0 \end{pmatrix}$.

$\vectt{KC} \cdot \vectt{KE} 
= x_{\vectt{KC}}\times x_{\vectt{KE}} + y_{\vectt{KC}}\times y_{\vectt{KE}}  + z_{\vectt{KC}}\times z_{\vectt{KE}} 
= (1-m)\times (-m) + 1 \times 0 + 0 \times (-1)
= m(m - 1)$	
		
		\item% Démontrer que CKEL est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$.
\begin{tabular}[t]{@{} l @{ si, et seulement si, } l}
CKEL est un rectangle & CKEL possède un angle droit\\
&$\vectt{KC} \perp \vectt{KE}$\\
& $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE}=0$\\
& $m(m-1)=0$\\
&$m = 0$ ou $m = 1$
\end{tabular}	

\end{enumerate}
\item Dans cette question, $m = \dfrac12$. 

Ainsi, L a pour coordonnées  $\left(\dfrac12~;~1~;~1\right)$ et K a pour coordonnées $\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le parallélogramme CKEL est alors un losange.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item
K\,$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0\\0 \end{pmatrix}$ et
L\,$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\1 \end{pmatrix}$
donc $\vectt{KL}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\1-0\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$.		
\item
E\,$\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ et
C\,$\begin{pmatrix} 1\\1\\0  \end{pmatrix}$
donc $\vectt{EC}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix} 1-0\\1-0\\0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}$.		
\item
$\vectt{KL} \cdot \vectt{EC} = 0\times 1 + 1\times 1 + 1 \times (-1)=0$ donc $\vectt{KL} \perp \vectt{EC}$
\end{list}
		
Le parallélogramme CKEL a ses diagonales perpendiculaires donc c'est un losange.		
		
		\item %À l'aide de la question \textbf{3.~b.}, déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CKE}}$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE}  = m(m-1)$; or $m=\dfrac{1}{2}$ donc $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE} =\dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{1}{2}-1 \right ) = - \dfrac{1}{4}$
\item $\vectt{KC} \cdot \vectt{KE}  = \text{KC} \times \text{KE} \times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )$

\item $\vectt{KC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1-m\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  \frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix}$

Donc $\text{KC}^2 = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^2+ 1^2+0^2=\dfrac{5}{4}$ donc $\text{KC}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

\item $\vectt{KE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  -\frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix}$

Donc $\text{KE}^2 = \left (-\dfrac{1}{2} \right )^2+ 0^2+1^2=\dfrac{5}{4}$ donc $\text{KE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
\end{list}		

On a donc:
$-\dfrac{1}{4} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\times \dfrac{\sqrt{5}}{2} \times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )$

Donc $-\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )$ et donc  $\cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right ) = -\dfrac{1}{5}$

On en déduit avec la calculatrice que $\widehat{\text{CKE}} \approx 101,5\degres$, soit $\widehat{\text{CKE}} \approx 102\degres$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}