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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes : surveillance ~\decofourright\\[7pt]avril 2017}}}

\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\medskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

%Une urne contient trois boules non identifiables au toucher, numérotées respectivement 1, 2 et 3.
%
%Le jeu proposé est le suivant :
%
%Le joueur paye d'abord 10 \euro, puis effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise.
%
%On admet que tous les tirages sont équiprobables. On note dans l'ordre les trois chiffres tirés.
%
%Si ces trois chiffres sont identiques, le joueur reçoit $25$~\euro.
%
%Si ces trois chiffres sont tous différents, il reçoit $15$~\euro.
%
%Si la somme de ces trois chiffres vaut 7, il reçoit $13$~\euro.
%
%Dans tous les autres cas, il ne reçoit rien.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item En s'aidant d'un arbre comme ci-dessous, donner la liste des $27$ tirages possibles. 
%arbre
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2pt,levelsep=3.9cm,treesep=0.2cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{1}}
		{\pstree{\TR{1}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
		\pstree{\TR{2}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
		\pstree{\TR{3}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
 		}
\pstree{\TR{2~~}}
		{\pstree{\TR{1}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
		\pstree{\TR{2}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
		\pstree{\TR{3}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
 		}
\pstree{\TR{3~~}}
		{\pstree{\TR{1}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
		\pstree{\TR{2}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
		\pstree{\TR{3}}
			{\TR{1}
			\TR{2}
			\TR{3}
			}
 		}
}
\end{center}
\item %On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque combinaison de trois chiffres obtenue, associe le gain algébrique (c'est-à-dire la différence: somme reçue moins le versement initial).
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
$X \in \{-10,\:3,\:5,\:15\}$
		\item ~Présenter dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$			&$-10$				&3				&5				&15\\ \hline
$p(X=x_i)$	&$\dfrac{12}{27}$	&$\dfrac{3}{27}$&$\dfrac{6}{27}$&$\dfrac{6}{27}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$.
		On a $E(X) = -10 \times \dfrac{12}{27} + 3\times \dfrac{3}{27} + 5\times \dfrac{6}{27} + 15\times \dfrac{6}{27} = \dfrac{- 120 + 9 + 30  + 90}{27} = \dfrac{9}{27} = \dfrac13 \approx 0,33$~\euro.
		
		Le jeu est plus qu'équitable puisqu'à chaque partie l'organisateur perd en moyenne plus de 33 centimes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Une ville A possède \np{200000} habitants au 1\up{er} janvier 2017. On considère que cette population diminue de 2\,\% par an.

%On note $u_n$ le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier de l'année $20l7+n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi $u_0 = \np{200000}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
Enlever 2\,\%, soit $\dfrac{2}{100}$ c'est multiplier par $1 - \dfrac{2}{100} = 1 - 0,02 = 0,98$.

Donc $u_1 = u_0 \times 0,98 = \np{200000} \times 0,98 = \np{196000}$ ;

$u_2 = u_1 \times 0,98 = \np{196000}\times 0,98 = \np{192080}$.
		\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
On a pour tout naturel $n$, \: $u_{n+1} = u_n \times 0,98$. 
		\item %En déduire la nature de la fonction $\left(u_n\right)$ puis l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Le résultat précédent   signifie que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $u_0 = \np{200000}$.
		
On sait que quel que soit $n$, \: $u_n = \np{200000} \times 0,8^n$.
		\item %Déterminer l'arrondi de $u_{10}$.
Exemple $u_{10} = \np{200000} \times 0,8^{10} \approx \np{163415}$.
	\end{enumerate}
\item %Une ville B possède \np{120000}~habitants au 1\up{er} janvier 2017.

%On note $v_n$ le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier $2017+n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi $v_0 = \np{120000}$.

%On considère que pour tout entier naturel $n,\: v_n = \np{120000} \times  1,01^n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le nombre d'habitants au 1\up{er} janvier 2019.
		On a donc $v_2 = \np{120000} \times  1,01^2 = \np{122412}$
		\item %Déterminer l'arrondi de $v_{10}$.
$v_{10} = \np{120000} \times  1,01^{10} \approx \np{135219,1}$ soit \np{135219} à l'unité près.
	\end{enumerate}
\item %
Il faut trouver $n \in \N$ tel que $v_n > u_n \iff \np{120000} \times  1,01^n > \np{200000} \times 0,98^n \iff $

$\dfrac{\np{200000}}{\np{120000}} > \dfrac{0,98^n}{1,1^n} \iff \dfrac53 > \dfrac{0,98}{1,1}^n \iff \ln \dfrac53 > n \ln \dfrac{0,98}{1,1}$\: par croissance de la fonction logarithme népérien\: $\iff \dfrac{\ln \dfrac53}{\ln \dfrac{98}{110}} < n$ (car $\ln \dfrac{98}{110} < 0$).

Or $\dfrac{\ln \dfrac53}{\ln \dfrac{98}{110}} \approx 14,4$.

Il faut donc attendre la quinzième année


%En quelle année la population de la ville B deviendra-t-elle supérieure à celle de la ville A ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[f(x) = \e^{2x} -3 \e^x + x + 2 \]

%et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $4$~cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^{2x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x  = 0$.
		
Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - x = + \infty$, on a pat somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
Soit la fonction $d$ définie sur $\R$ par : $d(x) = f(x) - (x + 2) = \e^{2x} -3 \e^x$.

D'après la question précédente $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} d(x) = 0$ : géométriquement ceci signifie que la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item %Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $D$.
On a $d(x) = \e^{2x} - 3\e^x = \e^x\left(\e^x - 3\right)$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0_+$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^x - 3  = - 3$, on a par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}d(x) = 0_-$ : ceci signifie qu'au voisinage de moins l'infini, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la droite $D$.
	\end{enumerate}
\item %Vérifier que, pour tout réel $x, \:f(x) = \e^x \left(\e^x - 3 + \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{2}{\e^x}\right)$.
En factorisant $\e^x > 0$ quel que soit $x \in \R$, on a $f(x) = \e^x \left(\e^x - 3 + \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{2}{\e^x}\right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\e^x} = 0$ (cours) et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{\e^x} = 0$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x - 3 + \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{2}{\e^x} = + \infty$ et enfin par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

%En déduire la limite de $f(x)$ quand  $x$ tend vers $+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$f'(x) = 2\e^{2x} - 3\e^x + 1$.
		\item %Vérifier que $f'(x) = \left(2\e^x - 1\right) \left(\e^x - 1\right)$.
		On pose $X = \e^x$, donc $f'(x) = f'(X) = 2X^2 - 3X + 1$ : ce trinôme a une racine évidente 1 et le produit des racines étant égal à $\dfrac12$, l'autre racine est $\dfrac12$.
		
On sait qu'alors $f'(X) = 2(X - 1)\left(X - \dfrac12\right) = (X - 1)(2X - 1) = \left(\e^x - 1\right)\left(2\e^x - 1\right)$.
		\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $f'(x) = 0$ puis déterminer le signe de $f'(x)$.
		$f'(x) = 0 \iff \left(\e^x - 1\right)\left(2\e^x - 1\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\e^x - 1&=&0\\
2\e^x - 1&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\e^x &=&1\\
\e^x - 1&=&\frac12
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\ln 1\\
x &=&\ln\left(\frac12\right)
\end{array}\right.$

On a donc $f'(0) = f'(-\ln 2) = 0$ \quad ($- \ln 2 \approx - 0,69$).

On sait que le trinôme est positif, donc que la dérivée est positive, donc la fonction croissante sauf sur l'intervalle $\left]- \ln 2~;~0\right[$ où elle est décroissante.
		\item ~%Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
On a $f(- \ln 2) = \e^{-2\ln 2} - 3 \e^{-\ln 2} + - \ln 2 + 2 = \dfrac{1}{\e^{2\ln 2}} - \dfrac{3}-{\e^{\ln 2}} - \ln 2 + 2 = \dfrac{1}{\e^{\ln 4}} - \dfrac{3}{\e^{\ln 2}} - \ln 2 + 2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} - \ln 2 + 2 = \dfrac34 - \ln 2$.

De même $f(0) = 1 - 3 + 0 + 2 = 0$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$\ln 2$} \uput[u](7,2.4){$0$} \uput[u](9.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](7,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$} \uput[d](4,2){$\frac34 - \ln 2$} \uput[u](7,0){$0$}\uput[d](9.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}	
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $\ln \left(\dfrac 32 \right)$.
On sait que $M(x~;~y) \in (T) \iff y - f\left(\ln \left(\frac 32 \right)\right) = f'\left(\ln \left(\frac 32 \right) \right)\left(x - \ln \left(\dfrac 32 \right)\right)$.

$f\left(\ln \left(\frac 32 \right)\right) = \e^{2\ln \left(\frac 32 \right)} - 3\e^{\ln \left(\frac 32 \right)} + \ln \left(\frac 32 \right) + 2 = \e^{\ln \frac94} - 3\e^{\ln \left(\frac 32 \right)} + \ln \left(\frac 32 \right) + 2 = \frac94 - \frac92 + \ln \left(\frac 32 \right) + 2 = \ln \left(\frac 32 \right) - \frac14$ et 

$f'\left(\ln \left(\frac 32 \right) \right) = 2 \e^{2\ln \frac32} - 3\e^{\ln \frac32} + 1 = \dfrac{18}{4} - \dfrac92  + 1 = 1$, donc :

$M(x~;~y) \in (T) \iff y - \ln \left(\frac 32 \right) + \frac14 = \left(x - \ln \left(\dfrac 32 \right)\right) = \iff y = x + \ln \left(\frac 32 \right) + \frac14 - \ln \left(\dfrac 32 \right)\iff y = x + \dfrac14$.

%Que peut-on dire des droites $T$ et $D$ ?
Les droites $T$ et $D$ ayant le même coefficient directeur dans leurs équations sont parallèles et distinctes car $2 \ne \dfrac14$.
		\item ~%Tracer dans le repère \Oij les droites $D,\: T$ et la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(2,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(2,3)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1.09861}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 3 mul sub x add 2 add}\psline(1.09861,3.09861)(0,2)(0,0)}

\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1.09861}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 3 mul sub x add 2 add}\uput[dr](1.09,3){\red $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.09861}{x 2 add}\uput[ul](1.09,3){\blue $D$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{0}{1.09861}{x 0.25 add}\uput[dr](1,1.25){$T$}
\psline(1.09861,0)(1.09861,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

		\item %Calculer l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln (3)$.
D'après le tableau de variations, la fonction $f$ est positive sur $[0~;~+ \infty[$, donc sur l'intervalle $[0~;~\ln 3]$.

De même la fonction $x \longmapsto x + 2$ est strictement positive sur ce même intervalle $[0~;~\ln 3]$, de 2 à $2 + \ln 3$.

La fonction différence $d$ définie par $d(x) = \e^{2x} - 3\e^x = \e^x\left(\e^x - 3\right)$ est négative sur l'intervalle $[0~;~\ln 3]$ : en effet 

$0\leqslant x \leqslant \ln 3 \Longrightarrow \e^0\leqslant \e^x \leqslant \e^{\ln 3}$ par croissance de la fonction exponentielle, soit $1 \leqslant \e^x \leqslant 3 \Longrightarrow \e^x - 3 \leqslant 0$ et comme $\e^x > 0$ par produit $\e^x\left(\e^x - 3\right)\leqslant 0$.

L'aire cherchée est donc l'intégrale de la fonction $- d(x) = 3\e^x - \e^{2x}$, fonction qui a pour primitive la fonction $x \longmapsto 3\e^x - \dfrac12 \e^{2x}$.

L'aire cherchée est donc égale à :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{\ln 3} [(x + 2) - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\ln 3}3\e^x - \e^{2x}\:\text{d}x = \left[3\e^x - \dfrac12 \e^{2x}\right]_0^{\ln 3} = 3\e^{\ln 3} - \dfrac12 \e^{2\ln 3} - \left[3\e^0 - \dfrac12 \e^{2\times 0}\right] = 9 - \dfrac92 - 3 + \dfrac12 = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}