\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole--Guadeloupe septembre 2015},
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\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes
\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse -- } 
\lfoot{\small{Métropole--Guadeloupe}}
\rfoot{\small{septembre  2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole--Guadeloupe ~\decofourright \\ [4pt]Technique de la musique et de la danse septembre  2015 }}
    
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat traitera trois exercices :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
%\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%On rappelle que dans la gamme à tempérament égal :
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Une octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes ; ainsi la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$ où $q$ est le réel strictement positif
%tel que: $q^{12} = 2$.
%\item[$\bullet~~$] Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste contient sept demi-tons.
%\item[$\bullet~~$] Les notes d'une octave sont : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.
%\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associé un indice $n$ qui est un nombre entier naturel. Les notes d'une octave portent l'indice de cette octave, ainsi LA$_3$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3.
%\item[$\bullet~~$] La fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA$_3$ est $440$~Hz.
%\item[$\bullet~~$] La différence de hauteur entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ exprimées en hertz
%(avec $f_1 < f_2$) est le nombre $10^3 \text{log} \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$, où log désigne la fonction logarithme décimal.
%
%Cette différence de hauteur s'exprime en savarts quand les fréquences sont exprimées en
%hertz.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On rappelle enfin que lorsque deux entiers $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo $12$ et on note $a \equiv b$ modulo $12$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir d'un FA, on monte de 70 demi-tons.
	\begin{enumerate}

		\item% De combien de quintes justes est-on monté ?
Une quinte juste contient 7 demi-tons, donc pour monter de 70 demi-tons, on monte de $\dfrac{70}{7}=10$ quintes justes.

		\item% De combien de quartes justes est-on monté ?
Une quarte juste contient 5 demi-tons, donc pour monter de 70 demi-tons, on monte de $\dfrac{70}{5}=14$ quartes justes.

		\item% Déterminer la note obtenue.
Si on monte de 12 demi-tons, on retrouve la même note une octave au dessus.

$70=12\times 5+10$ donc augmenter de 70 demi-tons revient à monter de 5 octaves et 10 demi-tons:

\begin{center}
\ldots{} \quad MI \quad \Rnode{X}{FA} \quad FA\# \quad SOL \quad SOL\# \quad LA \quad LA\# \quad SI  \quad DO \quad DO\# \quad RÉ \quad \Rnode{Y}{RÉ\#} \quad MI \quad \ldots
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt]{->}{X}{Y}
\mput*{$+10$}
\bigskip
\end{center}

La note obtenue est donc RÉ\#.
Plus précisément, si on part de LA$_n$, on arrive à RÉ\#$_{n+5}$.

	\end{enumerate}

\item À partir du LA$_3$, on monte jusqu'à une note de fréquence \np{1046}~hertz.

%Quelle est la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre le LA$_3$ et la note de fréquence \np{1046}~hertz ? (arrondir à l'unité)

La différence de hauteur entre le LA$_3$ de fréquence 440~Hz est égale à
$10^3 \log \left ( \dfrac{\np{1046}}{440} \right ) \approx 376$~savarts. 

\item À partir du LA$_3$, on monte de $20$ demi-tons.% Quelle est la fréquence en hertz de la note obtenue? (arrondir à l'unité).

La suite des fréquences est géométrique de raison $q$ telle que $q^{12}=2$. Donc $q=2^{\frac{1}{12}}$.

Si on monte de 20 demi-tons, la fréquence passe de 440 à 
$440\times q^{20} = 440\times 2^{\frac{20}{12}} \approx \np{1397}$~Hz.

\item À partir du LA$_3$ , on descend de $750$ savarts.% Quelle est la fréquence obtenue ? (arrondir à l'unité)

On cherche donc une fréquence $f$ telle que la différence de hauteur entre le LA$_3$ et la note ayant cette fréquence est de 750~savarts, c'est-à-dire qu'on cherche $f$ telle que:

$10^3 \log \left ( \dfrac{440}{f}\right ) = 750
\iff
\log \left ( \dfrac{440}{f}\right ) = 0,75
\iff
\dfrac{440}{f} = 10^{0,75}
\iff
\dfrac{440}{10^{0,75}} = f
\iff
f \approx 78$~Hz

\item 
	\begin{enumerate}

		\item On complète  le tableau de congruence modulo $12$ suivant:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$n$ 				&0 	&1 	&2	&3	&4	&5 	& 6	& 7	& 8	&9	&10	&11\\ \hline
$7n$ est congru à	&0	&7	&2	&9	&4	&11	&6	&1	&8	&3	&10	&5 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item On passe d'un RÉ à un SI en augmentant de $n$ quintes justes;
on augmente donc de $7n$ demi-tons pour passe du RÉ au SI.

Mais pour passer d'un RÉ au SI suivant, il y a 9 demi-tons, puis $9+12 = 21$  demi-tons pour passer au SI suivant, puis $9+2\times 12=33 $ demi-tons pour passer encore au SI suivant, etc.

Il faut donc que $7n \equiv 9$~modulo~12 pour passer d'un RÉ à un SI en $n$ quintes justes.

Une valeur possible donnée par le tableau est $n=3$.
On passe donc du RÉ au SI en augmentant de 3 quintes justes, soit 21 demi-tons, c'est-à-dire une octave plus 9 demi-tons.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
%
%Dans une chorale lycéenne, 40\,\% des élèves sont capables de déchiffrer une partition.
%D'autre part, on sait que :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 75\,\% des élèves de cette chorale qui sont capables de déchiffrer une partition sont des solistes ;
%\item[$\bullet~~$] 5\,\% des élèves de cette chorale qui ne sont pas capables de déchiffrer une partition sont des solistes.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\smallskip
%
%On choisit au hasard un élève de cette chorale. Chaque élève de cette chorale a la même probabilité d'être choisi.
%
%On note $D$ l'évènement \og l'élève choisi est capable de déchiffrer une partition \fg{} et $S$ l'évènement \og l'élève choisi est soliste \fg.
%
%On rappelle que l'évènement contraire d'un évènement $A$ se note $\overline{A}$ et que la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant $A$ se note $P_A(B)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Calculer la probabilité de l'évènement $D$.
On sait que 40\,\% des élèves sont capables de déchiffrer une partition donc $P(D)=0,40$. 

		\item% Déterminer, à partir des données du texte, la probabilité que l'élève choisi soit soliste sachant qu'il n'est pas capable de déchiffrer une partition.
On sait que 5\,\% des élèves de cette chorale qui ne sont pas capables de déchiffrer une partition sont des solistes donc $P_{\overline{D}}(S)=0,05$.

	\end{enumerate}

\item On représente la situation décrite ci-dessus à l'aide d'un arbre pondéré:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$D$}\naput{$0,4$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$0,75$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{\red $1-0,75=0,25$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline D$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}}
 	  {
 		  \TR{$S$}\naput{$0,05$}
          \TR{$\overline{S}$}\nbput{\red $1-0,05=0,95$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}


\item% Calculer la probabilité pour que l'élève choisi soit soliste et qu'il soit capable de déchiffrer une partition.
L'événement \og l'élève choisi est soliste et est capable de déchiffrer une partition\fg{} est $D\cap S$:

$P(D\cap S) = P(D)\times P_D(S)=0,4\times 0,75 = 0,3$

\item% Montrer que la probabilité que l'élève choisi soit soliste est $33$\,\%.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(S)= P(D\cap S) + P\left(\overline{D}\cap S\right)
= 0,3 + 0,6 \times 0,05 = 0,3 + 0,03 = 0,33$

\item% Calculer la probabilité que l'élève choisi soit capable de déchiffrer une partition sachant  qu'il est soliste. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
On cherche la probabilité que l'élève choisi soit capable de déchiffrer une partition sachant  qu'il est soliste, c'est-à-dire $p_S(D)$:
$p_S(D) = \dfrac{P(D\cap S)}{P(S)} = \dfrac{0,3}{0,33} \approx 0,91$

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 6 points}

\medskip

%Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa
%copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la lettre correspondant à la réponse
%choisie.
%Chaque réponse juste rapporte un point. Une mauvaise réponse, une absence de réponse ou
%plusieurs réponses ne donne aucun point et n'en enlève aucun.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre $\ln (75)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} \fbox{$\ln (3) + 2\ln (5)$} &\textbf{b.} $\ln (3) \times 2\ln (5)$ &\textbf{c.} $\ln (3) + [\ln (5)]^2$
\end{tabularx}

\medskip

$75=3\times 5^2$ donc 
$\ln(75)=\ln\left (3\times 5^2\right )=\ln(3) + \ln\left ( 5^2\right ) = \ln(3)+2\ln(5)$

\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur [0,5~;~3] par : $f(x) = 2x + 3 \ln (x)$. La courbe représentative de $f$ dans un repère du plan est notée $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{Le point M de coordonnées (1~;~2) appartient à $\mathcal{C}$.}
		\item Le point N de coordonnées (1~;~5) appartient à $\mathcal{C}$.
		\item Le point P de coordonnées (2~;~1) appartient à $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}

\medskip

$f(1)=2\times 1 + 3\ln(1) = 2+3\times 0=2$ donc $\text M \in \mathcal C$

\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{1}{x}+ \ln (x)$. La courbe  représentative de $f$ dans un repère du plan est notée $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.}
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des ordonnées.
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 n'est parallèle ni à l'axe des abscisses ni à l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
	
\medskip

$f'(x)= -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{-1+x}{x^2 \rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ donc $f'(1)=0$ donc la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 0 ce qui signifie qu'elle est parallèle à l'axe des abscisses.

\medskip
	
\item On considère la fonction $f$ définie sur [-7~;~0] par: $f(x) = 3 - 2\e$.

	\begin{enumerate}

		\item Sur $[-7~;~0]$, la fonction $f$ est positive et croissante.

		\item \fbox{Sur $[-7~;~0]$, la fonction $f$ est positive et décroissante.}
		
		\item Sur $[-7~;~0]$, la fonction $f$ est négative et décroissante.
		
\end{enumerate}

\medskip		

$f'(x)=-2\e^x<0 $ donc la fonction $f$ est décroissante.

Sur $[-7~;~0]$, $x \leqslant 0$ donc $\e^x \leqslant 1$ donc $ -2\e^x \geqslant -2$ et donc $3 -2\e^x \geqslant 1 >0$

\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~10] par : $f(x) = (2x + 1)\text{e}^x$. La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur [0~;~10] par:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $f'(x) = (2x+ 1)\text{e}^x$ &\textbf{b.} $f'(x) = 2\text{e}^x$ &\textbf{c.} \fbox{$f'(x) = (2x+3)\text{e}^x$}
\end{tabularx}

\medskip

$f'(x)=(2)\times \e^x + (2x+1)\times \e^x = (2+2x+1)\e^x = (2x+3)\e^x$

\medskip


\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $2\text{e}^x + 3 \geqslant 1$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $]0~;~+\infty[$ &\textbf{b.} $[0~;~+\infty[$ &\textbf{c.} \fbox{$]-\infty~;~+\infty[$}
\end{tabularx}

\medskip

$2\text{e}^x + 3 \geqslant 1 \iff 2\e^x \geqslant -2 \iff \e^x \geqslant -1$ inégalité qui est toujours vraie car, pour tout $x$, $\e^x>0$.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix)\hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2 cm.

On considère les points A  d'affixe $Z_{\text{A}} = 3 + 2\text{i}$ et B d'affixe $Z_{\text{B}} = - 1 + 8\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir figure page suivante.
.
\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer les modules des nombres $Z_{\text{A}},\: Z_{\text{B}}$ et $Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}$.
$\left | Z_{\text A} \right |^2 = 3^2+2^2=13$ donc $\left | Z_{\text A} \right | = \sqrt{13}$;
 $\left | Z_{\text B} \right |^2 = (-1)^2+8^2 = 65$ donc $\left | Z_{\text B} \right | = \sqrt{65}$
 
 $\left | Z_{\text B} - Z_{\text A} \right |^2 
 = \left | -1+8\i -3 -2\i \right |^2
 = \left | -4 + 6\i \right |^2
 = (-4)^2+6^2 = 52$ donc $\left | Z_{\text B}- Z_{\text A}  \right | = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ 


		\item Le module du nombre $Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}$ représente par définition la distance AB.

	\end{enumerate}

\item% Démontrer que le triangle OAB est rectangle en A.
$\text{OA}^2 = \left | Z_{\text A} - Z_{\text O} \right |^2 
=\left | Z_{\text A} \right |^2 
=13$;
$\text{OB}^2 = \left | Z_{\text B} - Z_{\text O} \right |^2 
=\left | Z_{\text B} \right |^2 
=65$;
$\text{AB}^2 = \left | Z_{\text B} - Z_{\text A} \right |^2 
= 52$ 

$65=52+13$ donc $\text{OB}^2 = \text{AB}^2 + \text{OA}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en A.

\item% Calculer l'aire du triangle OAB en cm$^2$.
L'aire du triangle OAB rectangle en A, est, en unités d'aire, égale à
$\dfrac{\text{OA}\times \text{AB}}{2} 
= \dfrac{\sqrt{13} \times 2\sqrt{13}}{2}
= 13$.

Chaque unité sur les axes est de 2~cm, donc une unité d'aire est égale à 4~cm$^2$.

L'aire du triangle OAB est donc $4\times 13 = 52$~cm$^2$. 

\item Soit M le point d'intersection du cercle trigonométrique et du segment [OA].
	
%Justifier que $Z_{\text{M}}  = \dfrac{3}{\sqrt{13}} + \dfrac{2}{\sqrt{13}}\text{i}$.

D'après le définition du point M, on peut dire que
$\vect{\text{OA}} = \text{OA}.\vect{\text{OM}}$
autrement dit 
$Z_{\vect{\text{OA}}} = \sqrt{13}.Z_{\vect{\text{OM}}}$
et donc $Z_{\text{A}} = \sqrt{13}.Z_{\text{M}}$.

Donc $ Z_{\text{M}} = \dfrac{Z_{\text{A}}}{\sqrt{13}}
= \dfrac{3+2\i}{\sqrt{13}}
= \dfrac{3}{\sqrt{13}} + \dfrac{2}{\sqrt{13}}\i$.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 2,PtNameMath=false,PointSymbol=none}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(4.5,8.5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=10,gridcolor=orange!80,subgridcolor=orange!80](-3,-3)(9,17)
\psaxes[linewidth=1.2pt,labels=none](0,0)(-1.5,-1.5)(4.5,8.5)
\pstTriangle[PosAngleA=-135](0,0){O}(3,2){A}(-1,8){B}
\pscircle(O){1}
\pstGeonode[PosAngle=85](0.832,0.5547){M}
%\pstGeonode[PosAngle={-90,180},PointName=none](1,0){I}(0,1){J}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{B}{A}{O}
%\pstProjection[CodeFig=true,CodeFigColor=black,RightAngleSize=0.1,PointSymbol=none]{O}{I}{A,M}[H,H']
%\pstProjection[CodeFig=true,CodeFigColor=black,RightAngleSize=0.1,PointSymbol=none]{O}{J}{A,M}[K,K']
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}