\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{xspace}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont, lastpage}
\usepackage{textcomp}%,enumitem}
\usepackage[table]{xcolor}
\definecolor{amber}{rgb}{1,0.75,0.0}
\usepackage{graphicx}
% Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2.1cm, bottom=2.8cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole 16 juin 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}

\usepackage[np]{numprint}
\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Groupements I-II-III-IV 16 juin 2017~\decofourright   \\[4pt]Technique de la musique et de la danse}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill7 points}

\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Rappels :}\\
\setlength\parindent{9mm}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Dans la gamme de tempérament égal, l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant
les notes : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI. 

Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note, exprimées en hertz (Hz), est multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$.
\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associée un entier naturel $n$ appelé indice et les notes d'une octave
portent l'indice de cette octave. Ainsi le LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA
de l'octave d'indice 3, le LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus
de l'octave d'indice 3.

La fréquence de LA$_3$ est 440 Hz.
\item[$\bullet~~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore est
exprimé en décibels (dB) par :

\[N(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)\: \text{ où }\:I_0 = 10^{-12} \text{W.m}^{-2}\: \text{ et log désigne la fonction logarithme décimal.}\]

\item[$\bullet~~$] On rappelle que les intensités sonores s'ajoutent.
\item[$\bullet~~$] Pour deux notes de fréquence respectives $f_1$ et $f_2$, avec $f_2 \geqslant  f_1$, la différence de hauteur de ces notes, exprimée en savarts, est égale à $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$.
\item[$\bullet~~$] On estime que l'oreille humaine normale perçoit des sons dont la fréquence est comprise
entre $20$~Hz et \np{20000}~Hz. Le seuil de douleur est atteint pour des sons de niveau sonore
supérieur ou égal à $120$~dB.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip

Après un traumatisme, la plage des fréquences des sons audibles par Nathan s'est restreinte: elle
s'étend de $100$~Hz à \np{11000}~Hz. En outre, Nathan ne supporte plus un niveau sonore supérieur à
$90$~dB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre un son de fréquence 100 Hz et un son de fréquence \np[Hz]{11000}.% ? On arrondira le résultat à l'unité.

La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre un son de fréquence \np[Hz]{100}  et
un son de fréquence \np[Hz]{11000} est égale à :

$\np{1000} \log \left(\dfrac{\np{11000}}{100}\right)=\np{1000}\log (110) \approx \np{2041}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $55=4\times 12 +7$. Le quotient est $4$  et le reste  $7$ dans la division euclidienne de 55 par 12.
		\item  Si on monte de $55$ demi-tons à partir de LA$_3$, la  note obtenue est MI$_8$. Si nous  ajoutons quatre octaves, nous obtenons LA$_7$.
		En ajoutant encore sept demi-tons nous obtenons MI$_8$.
 	\end{enumerate}
\item  Montrons que la note la plus basse que Nathan puisse entendre est le SOL\#$_1$.

La suite des fréquences forme une suite géométrique de raison $q=2^{\frac{1}{12}}$? Soit $f$ la fréquence correspondant à la note la plus basse que Nathan puisse entendre.
%, nous avons donc $f\times \left(2 ^{\tfrac{1}{12}}\right)^n$.
 Déterminons le nombre $n$ de demi-tons à retirer à  la fréquence  de $LA_3$ soit \np[Hz]{440}  pour que $f$ soit supérieure à 100.

 $\dfrac{440}{2^{\tfrac{n}{12}}}>100 \quad  440> 100\times 2^{\tfrac{n}{12}} \quad 2^{\tfrac{n}{12}}<\np{4.4} \quad  \frac{n}{12}\ln 2< \ln \np{4.4} \quad  n<12\frac{\ln \np{4.4}}{\ln 2} \quad 12\frac{\ln \np{4.4}}{\ln 2}\approx \np{25.65}$

$n\in \N$ il faut donc diminuer la fréquence du LA$_3$   de 25 demi-tons  ce qui correspond à SOL\#$_1$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lors du concert d'une chorale, l'intensité sonore maximale était de $4.10^{-4}$ W.m$^{-2}$.
		
Nathan n'a pas pu rester dans la salle. Calculons $N(I)$

Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore est
exprimé en décibels (dB) par : $N(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right)$

$N(I)=10\log \dfrac{4}{10^{-12}}\approx 126$.  Le niveau sonore était donc trop élevé car $126>90$.

		\item Nathan souhaite assister au concert d'un orchestre de $60$ instruments identiques. On suppose que tous les instruments ont la même intensité sonore notée $I$ et le même niveau sonore noté $N(I)$. De plus Nathan perçoit tous les instruments de l'orchestre avec la même intensité sonore.
		
Montrons que le niveau sonore perçu par Nathan est égal à $N(I) + 10 \log 60$.

$N(60\times I)= 10 \log \left(\frac{60\times I}{10^{-12}}\right)= 10 \log \left(60\times\frac{ I}{10^{-12}}\right)$

$N(60 I)=10 \left(\log 60+\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\right)=10\log 60+10 \log\left(\frac{ I}{10^{-12}}\right)=10 \log 60 +N(I)$.

Le résultat est bien montré.

		\item En déduire le niveau sonore maximum de chaque instrument pour que le concert soit
supportable par Nathan.
Nous devons donc avoir au maximum $N(I)+10\log 60 =90$ d'où 

$N(I)=90-10\log 60=\np{72.21}$.

Le niveau sonore de chaque instrument ne devra pas dépasser \np[dB]{72.21}.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Une étude a été réalisée en 2015 en France sur 550 festivals de musique.

On y apprend que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $220$ festivals avaient une thématique unique, parmi lesquels 35\,\% étaient dédiés à la
musique de chambre.
\item[$\bullet~~$] $330$ autres festivals avaient plusieurs thématiques parmi lesquels certains proposaient de la musique de chambre dans leur programmation.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un festival parmi les $550$ considérés dans cette étude.

On note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $T$ l'évènement \og le festival avait une thématique unique \fg,
\item[ ] $C$ l'évènement\og le festival proposait de la musique de chambre dans sa programmation \fg,
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
\smallskip
\emph{$B$ étant un évènement de probabilité non nulle, on note $P_B(A)$ la probabilité de l'évènement $A$
sachant que l'évènement $B$ est réalisé.}
\smallskip

On note $B$ l'évènement contraire d'un évènement $B$.

Dans l'ensemble de l'exercice on arrondira, si nécessaire, les résultats au centième.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item La valeur de la probabilité $P_{T}(C)$ de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $T$
est réalisé est \np{0.35} car  parmi lesquels 35\,\% étaient dédiés à la musique de chambre..
		\item  La probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ vaut $0,4$ car 

 Il y a 220 cas favorables sur 550 cas possibles.$\dfrac{220}{550}=\np{0.4}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons  complété l'arbre pondéré ci-dessous correspondant à la situation décrite dans l'énoncé. %Seules les valeurs représentées par des pointillés sont attendues.

\smallskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$T$~}\taput{0,4}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{\np{0.35}}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.65}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{\np{0.6}}}
	  {
		  \TR{$C$}
		  \TR{$\overline{C}$}	  
	  }
}
\end{center}
\medskip

		\item La probabilité que le festival était un festival ayant une thématique unique
et proposait de la musique de chambre dans sa programmation est  notée $P(T\cap C)$.

$P(T\cap C)=P(T)\times P_{T}(C)=\np{0.4}\times \np{0.35}=0,14$.
 	\end{enumerate}
\item Selon l'étude, 39\,\% des festivals proposaient de la musique de chambre dans leur
programmation. Nous en déduisons que $P(C)=\np{0.39}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrons  que $P\left(\overline{T} \cap C\right)$ est égale à $0,25$.
		
		$C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers donc $P(C)= P(T \cap C ) + P\left(\overline{T} \cap C\right)$.
		
		$\np{0.39}=\np{0.14}+P\left(\overline{T}\cap C\right)$ d'où $P\left(\overline{T}\cap C\right) = \np{0.39} - \np{0.14} = \np{0.25}$
		\item La probabilité que le festival ait proposé de la musique de chambre sachant
que ce festival n'avait pas une thématique unique est notée $P_{\overline{T}}(C)$.

$P_{\overline{T}}(C)=\dfrac{P\left(\overline{T}\cap C\right)}{P\left(\overline{T}\right)}=\dfrac{\np{0.25}}{\np{0.6}}\approx \np{0.42}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 portant sur l'enseignement obligatoire}\hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0,5~;~4]. On désigne par $f'$ sa
fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Lecture graphique}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

Les réponses aux questions suivantes sont données avec la précision permise par la lecture du
graphique.% Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(1)$ est \np{1.5} et  celle de $f(3)$ d'environ $-\np{0.6}$.
\item Le nombre dérivée de $f$ en 1 $f'(1)$ a pour valeur environ $-2$.
\item Construisons le tableau de signes de $f'$, la fonction dérivée de la fonction$f$ sur l'intervalle [0,5~;4].

\begin{center}
 \begin{tabular}[]{|c|c >{\centering}m{1.1cm}c >{\centering}m{1.1cm}c|}
 \hline
$x$ & $\np{0.5}$& & $\approx \np{2.7}$ & & $4$\\\hline
$f'(x)$ && $-$&0&$+$&\\
\hline
 \end{tabular}
 \end{center}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.25)(4.25,2.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-2.25)(4.25,2.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=0.95pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{x dup mul x ln mul x dup mul 1.5 mul sub 3 add}
\uput[d](0.75,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.75){$\vect{\jmath}$}
\def\Func{x 2 neg mul 3.5 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.5pt,linecolor=amber]{0.35}{1.8}{\Func}
\psdot[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,1.5)\uput[l](1,1.5){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2 : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
On désigne par ln la fonction logarithme népérien.

On note e l'unique nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par :

\[f(x) = x^2 \ln x - 1,5x^2 + 3.\]


\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $f(1)$ est $1^2 \ln 1-\np{1.5}\times 1^2+3=\np{1.5}$ et celle de $f(\text{e})$ est $\e^2 \ln \e - 1,5\e^2 + 3 =-\np{0.5}\e^2+3$.
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~4]  :

$f'(x) = 2x\ln x+x^2\times \frac{1}{x}- 1,5(2x)=2x \ln x -2x= 2x(\ln x - 1)$.

\item  Étudions le signe de $f '(x)$ sur l’intervalle [\np{0.5} ; 4].

Sur $\R_+^*,\quad \ln{x}-1>0\iff x>\e$  

\begin{center}
 \begin{tabular}[]{|c|c >{\centering}m{1.1cm}c >{\centering}m{1.1cm}c|}
 \hline
$x$ & $\np{0.5}$& & $\e$ & & $4$\\\hline
$\ln x-1$&&$-$&0&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $-$&0&$+$&\\
\hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
 Donnons les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[\np{0.5}~;~4]$.
 
 Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $[\np{0.5}~;~\e[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $]\e~;~4],\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.


 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur $[\np{0.5}~;~4]$.
 
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$\np{0.5}$} \uput[u](4.5,2.45) {$\e$}    \uput[u](7.73,2.45){$4$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.37,1.45){$\approx \np{2.45}$}\uput[u](7.32,1.45){$\approx \np{1.18}$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.5)(7.3,1.55)
\uput[u](4.5,-0.15){$3-\np{0.5}\e^2$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\item  On désigne par A le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1. On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A.

Déterminons une équation de la droite $T$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est

$ y=f(a)+f'(a)(x-a)$

$f(1)=\np{1.5}\quad f'(1)= 2 (\ln 1 -1)= -2$. $T$ a pour équation  $y=-2\left(x-1\right)+\np{1.5}$ d'où $y=-2x+\np{3.5}$.




\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 portant sur l'enseignement renforcé }\hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
La rédaction d'un magazine culturel se réunit pour évoquer l'évolution du nombre d'abonnés depuis
sa création et établir des prévisions sur cette évolution. Les données sur les six dernières années
sont indiquées dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
Nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier : $y_i$&427 &1052 &1483 &1875 &2158 &2202\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série est représenté ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,yunit=0.0025cm}
\begin{pspicture}(-1,-300)(8.5,3300)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3200)}
\multido{\n=0+400}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=400](0,0)(0,0)(8.5,3300)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,417)(2,1052)(3,1483)(4,1875)(5,2158)(6,2202)
\uput[d](7.5,-200){Rang de l'année}\rput{90}(-1.5,2300){nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier}
\end{pspicture}
\end{center}
}
\medskip

\textbf{Partie 1}

Dans un premier temps le modèle retenu par la rédaction est un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la calculatrice,  l'équation  de la droite $\mathcal{D}$
d'ajustement de $y$ en $x$ du nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=360x+274$.
Les valeurs de $a$ et $b$ sont arrondies à l'unité.
%Aucune justification n'est demandée. 
\item  À l'aide de ce modèle et en expliquant la démarche :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons une estimation du nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier en 2018.
		
	En 2018, $x=8$. En remplaçant $x$ par 8 dans l'équation de la droite nous trouvons

 $y=360\times 8+274=\np{3154}$	
		\item Déterminons une estimation de l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés au 1\up{er}
janvier sera supérieur à \np{4000}. Pour ce faire, résolvons $360x+274 \geqslant \np{4000}$

$360x+274 \geqslant \np{4000}\quad 360 x\geqslant \np{3726} \quad x\geqslant \dfrac{\np{3726}}{360}\quad \dfrac{\np{3726}}{360}\approx \np{10.35}$.

Selon ce modèle, nous pouvons estimer qu'en 2021, le nombre d'abonnés sera supérieur à \np{4000}. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\textbf{Partie 2}

\medskip

	Un journaliste de la rédaction fait remarquer que le dernier point du nuage se distingue.

La rédaction choisit de modéliser l'évolution du nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier jusqu'en
2030 par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par 

\[f(x) = \np{2262}\frac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 10} ,\]

où $x$ modélise le rang de l'année mesuré à partir de 2010.

Ainsi, pour $n$ entier naturel non nul et inférieur ou égal à $20$,\: $f(n)$ est une estimation du
nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier de l'année $2010 + n$.

Une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ est tracée ci-dessous avec le nuage
points associé à la série:

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,yunit=0.0025cm}
\begin{pspicture}(-1,-300)(8.5,3300)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3200)}
\multido{\n=0+400}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=400](0,0)(0,0)(8.5,3300)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,417)(2,1052)(3,1483)(4,1875)(5,2158)(6,2202)
\uput[d](7.5,-200){Rang de l'année}\rput{90}(-1.5,2300){nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{6.5}{2262 2.71828 x exp mul 2.71828 x exp 10 add div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=amber]{6.5}{8}{2262 2.71828 x exp mul 2.71828 x exp 10 add div}
\psline(0,2250)(8,2250)\uput[l](0,2250){\scriptsize \np{2250}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Une estimation pour ce modèle du nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier 2018 est d'environ \np{2250}.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~20].

Pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~20] on a :
$f'(x) = \np{2262}\dfrac{\e^x(\e^x+10)-\e^x\e^x}{(\e^x+10)^2}=\np{22620} \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 10 \right)^2}$.

\item  Sur cet intervalle $f'(x)>0$ comme produit et quotient de réels strictement positifs  donc $f$ est strictement croissante sur [1~;~20]
%En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~20].
\item  Un journaliste affirme que selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier ne
dépassera jamais \np{2300} avant 2030. Cette affirmation est-elle exacte ? Pour vérifier cette affirmation,  résolvons $f(x)\geqslant \np{2300}$.

\begin{align*}
\np{2262}\frac{\e^x}{\e^x + 10}&\geqslant \np{2300}\\
\np{2262}\e^x &\geqslant \np{2300}(\e^x + 10)\\
\np{2262}\e^x &\geqslant \np{2300}\e^x + \np{23000}\\
\np{2262}\e^x -\np{2300}\e^x &\geqslant  \np{23000}\\
-38\e^x&\geqslant\np{23000}
\end{align*}

Il en résulte que cette inégalité est fausse  pour tout $x\in [1~;~20]$. L'affirmation est  donc vraie  mais nous pouvons remarquer que le nombre d'abonnés ne dépassera jamais \np{2262} si le modèle reste valable sur $[1~;~+\infty[$.

\end{enumerate}
\end{document}