\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole  juin 2014},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes
\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole 17 juin  2015~\decofourright \\[4pt]Technique de la musique et de la danse -- }}
    
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat traitera trois exercices :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
%\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

%\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Chaque réponse juste rapporte un point. Une mauvaise réponse, une absence de réponse ou plusieurs réponses ne donne aucun point et n'en enlève aucun.}
%
%\medskip
%
%\emph{Les parties \text{I} et \text{II} sont indépendantes.}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie I}

\medskip

L'arbre pondéré ci-dessous a été construit à partir d'une expérience aléatoire.% On désigne par $A$ et $B$ deux évènements, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ leurs évènements contraires.

L'arbre proposé dans le texte est complété en rouge:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\taput{0,35}}
	{
	\Tr{$B$}\taput{\red 0,7}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,3}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\red 0,65}}
	{
	\Tr{$B$}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\red 0,8}
	}
}

\end{center}

%\emph{Les valeurs des probabilités proposées ci-dessous ont été arrondies à $0,001$ près si nécessaire.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement $A \cap B$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}0,105 &\textbf{b.~~}0,7 &\textbf{c.~~}\fbox{0,245}
\end{tabularx}

$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0,35\times 0,7 = 0,245$

\medskip

\item La probabilité de l'évènement $B$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}\fbox{0,375} &\textbf{b.~~}0,9 &\textbf{c.~~}0,395
\end{tabularx}

D'après la formule des probabilités totales:
$p(B)=p(A\cap B)+p(\overline A \cap B) = 0,245 + 0,65\times 0,2 = 0,375$

\medskip

\item La probabilité de l'évènement $A$, sachant que l'évènement $B$ est réalisé, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}0,245 &\textbf{b.~~}\fbox{0,653} &\textbf{c.~~}0,7
\end{tabularx}

$p_B(A)= \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,245}{0,375} \approx 0,653$

\medskip

\end{enumerate}
 
\medskip

\subsubsection*{Partie II}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-4~;~3]$.

\smallskip

On a tracé sa représentation graphique $\mathcal{C}_g$ ci-contre dans un
repère du plan ainsi que la tangente $T$ à cette courbe au point A d'abscisse 2.

\smallskip

On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur l'intervalle $[-4~;~3]$.}\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4)(3.5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-3.95)(3.5,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.5,9)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 2 mul x 3 exp 3 div sub x dup mul 2 div sub 11 3 div add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.pt]{-4}{3}{11 4 x mul sub}
\uput[r](-3.5,5){\blue $\mathcal{C}_g$}\uput[ur](2,3){A}\uput[ur](1,7){$T$}
\psdots(2,3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](-4,1)(3,1)
\end{pspicture*}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[-4~;~3]$ l'équation $g(x) = 1$ admet

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}1 solution &\textbf{b.~~}\fbox{3 solutions} &\textbf{c.~~} 4 solutions
\end{tabularx}

La courbe et la droite horizontale d'équation $y=1$ ont trois points d'intersection dont les abscisses sont les solutions de l'équation $g(x)=1$.

\medskip
\item  Le nombre dérivé de la fonction $g$ en 2, $g'(2)$, vaut

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $- 4$&\textbf{b.~~}\fbox{$- \dfrac{1}{4}$}&\textbf{b.~~} $3$
\end{tabularx}

Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente $T$ qui passe par les points A(2~;~3) et B(3~:~$-1$). Il vaut donc
$\dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}} = \dfrac{3-2}{-1-3} = -\dfrac{1}{4}$.

\medskip

\item   Parmi les représentations graphiques ci-dessous, une courbe pouvant représenter la fonction dérivée $g'$ est

\newpage
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} la courbe 1 &\textbf{b.~~} \fbox{la courbe 2} &\textbf{c.~~} la courbe 3\\
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-14)(3.5,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-13.9)(3,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 3 exp 3 div  x dup mul 4 div  sub 1.5 x mul sub 11 3 div sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-12)(3.5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](-4.5,-10)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-10)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3,3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{2 x  sub x dup mul  sub }
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-5,-10)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-2)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3,4.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.46}{3}{x 2 add dup mul  x 2.5 add mul}
\end{pspicture*}
\end{tabularx}

En regardant les variations de la fonction $g$, la fonction dérivée doit être négative sur $[-4~;~-2]$, positive sur $[-2~;~1]$, puis négative sur $[1~;~3]$. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]On désigne par log la fonction logarithme décimal.
%\item[$\bullet~~$]Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore $L(I)$ est exprimé en décibels (dB) par $L(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ avec
%
%$I_0 =  10^{- 12}$ W.m$^{- 2}$.
%\item[$\bullet~~$]La différence de hauteur entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ (avec $f_1 < f_2$) exprimées en hertz (Hz) est le nombre $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)$ exprimé en savarts.
%\item[$\bullet~~$]Les questions font référence à la gamme de tempérament égal.
%\end{itemize}
% 
%\medskip
% 
%Dans cette gamme :
%
%\medskip
% 
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item L'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes; cela se traduit
%mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison
%$q$, où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que : $q^{12} = 2$.
%\item Les notes d'une octave sont : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.
%\item À chaque octave est associé un indice $n$, qui est un entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi LA$_3$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.
%\item La fréquence de la note LA$_3$ est 440 Hz.
%\item Une tierce majeure contient 4 demi-tons, une quarte contient 5 demi-tons.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rajoute une quarte à la note LA$_3$.




	\begin{enumerate}

		\item% Quelle est la note obtenue ?
On rajoute une quarte donc 5 demi-tons:

\medskip

\begin{center}
$\overbrace{\ldots{} \quad \text{SOL}\sharp \quad \Rnode{X}{\text{LA}} \quad \text{LA}\sharp \quad \text{SI}}^{\text{octave } 3} \quad 
\overbrace{\text{DO} \quad \text{DO}\sharp \quad \Rnode{Y}{\text{R\'E}} \quad \text{R\'E}\sharp \quad \ldots}^{\text{octave } 4}$
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt]{->}{X}{Y}
\mput*{$+5$}
\end{center}

\bigskip

On obtient la note R\'E de l'octave du dessus, soit R\'E$_4$.

		\item% Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de la note obtenue. Donner une réponse arrondie à l'unité.

La suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ tel que $q^{12}=2$; autrement dit, $q=2^{\frac{1}{12}}$.
La fréquence $f$ de la note R\'E$_{4}$ est donc $f=440\times q^5=440\times 2^{\frac{5}{12}} \approx 587$~Hz.

	\end{enumerate}

\item  Julien prétend qu'en ajoutant des tierces majeures à la note DO, il peut obtenir toutes les notes (DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI).% Julien a-t-il raison ?
	
%Justifier votre réponse.

En ajoutant des tierces majeures, soit 4 demi-tons, on passe de DO à MI, puis de MI à SOL$\sharp$, puis de SOL$\sharp$ à DO, et on recommence. Donc on n'atteint pas toutes les notes et donc Julien a tort.

\item  Une guitare classique a un niveau sonore d'environ $85$~dB.% Quelle est son intensité sonore $I_G$ exprimée en W.m$^{-2}$ ?

Le niveau sonore $L(I)$ est donné en fonction de l'intensité par la formule $L(I) = 10 \log \left ( \dfrac{I}{I_0} \right )$. 

On cherche donc l'intensité $I_G$ telle que $L(I_G)=85$:

$10 \log \left ( \dfrac{I_G}{I_0}\right ) = 85
\iff
\log \left ( \dfrac{I_G}{I_0}\right ) = 8,5
\iff
\dfrac{I_G}{I_0} = 10^{8,5}
\iff
I_G = 10^{8,5} \times I_0$

Or $I_0=10^{-12}$ donc
$I_G = 10^{8,5} \times 10^{-12}
\iff
I_G = 10^{-3,5}$
 
L'intensité de la guitare est donc d'environ $10^{-3,5}$~W.m$^{-2}$.

\item  À partir du LA$_3$ on monte jusqu'à une note de fréquence $987$~Hz.

	\begin{enumerate}

		\item% De combien de demi-tons est-on monté?
On monte d'un demi-ton en multipliant la fréquence par le nombre $q$. 

On cherche donc l'entier $n$ tel $440 \times q^n = 987$ ou encore 
$440 \times 2^{\frac{n}{12}} = 987$.

$440 \times 2^{\frac{n}{12}} = 987
\iff
2^{\frac{n}{12}} = \dfrac{987}{440}
\iff
\log \left ( 2^{\frac{n}{12}} \right ) = \log \left ( \dfrac{987}{440} \right )
\iff
\dfrac{n}{12} \log(2) = \log \left ( \dfrac{987}{440} \right )$

$\phantom{440 \times 2^{\frac{n}{12}} = 987}
\iff
n = 12\times \dfrac{\log \left ( \dfrac{987}{440} \right )}{\log(2)}
\iff
n\approx 14$

On est donc monté de 14 demi-tons, et on est arrivé à la note SI$_{4}$.

		\item La différence de hauteur entre ces deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ est donnée, en savarts,  par $\np{1000} \log \left (\dfrac{f_2}{f_1} \right )$.
Or $\np{1000} \log \left (\dfrac{987}{440} \right ) \approx 351$

La différence de hauteur entre ces deux notes est d'environ 351 savarts.

	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 7 points}

\medskip
% 
%On désigne par $I$ l'intervalle [1~;~7].
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=[1~;~7]$ par 
 $f(x)= \dfrac{x^2}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \ln (x)\right)$.
 
%où $\ln (x)$ désigne le logarithme népérien du nombre réel $x$.
%
%On note e le nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.
%
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 1~centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la valeur exacte de $f(1)$ et de $f(\e)$.
$f(1)=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{3}{2} - \ln(1)\right) = \dfrac{3}{4}$;
$f(\e)=\dfrac{\e^{2}}{2} \left ( \dfrac{3}{2} - \ln(\e)\right )
= \dfrac{\e^{2}}{2} \left ( \dfrac{3}{2} - 1\right )
= \dfrac{\e^{2}}{2} \left ( \dfrac{1}{2}\right )
= \dfrac{\e^2}{4}$

\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$,\: $f'(x) = x(1 - \ln(x))$.
On applique la formule de dérivation d'un produit:

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2x \times \left (\dfrac{3}{2}-\ln(x) \right ) + \dfrac{x^2}{2}\times \left ( 0-\dfrac{1}{x}\right )
= \dfrac{3}{2} x - x \ln(x) - \dfrac{x}{2}
= x - x \ln(x) = x\left ( 1- \ln(x)\right )$
		
		\item% Résoudre dans l'intervalle $I$,
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]l'équation $1 - \ln (x) = 0$
%\item[$\bullet~~$]puis l'inéquation  $1 - \ln (x) > 0$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $1-\ln(x)=0 \iff 1=\ln(x) \iff \ln(\e)=\ln(x)\iff \e=x \iff x=\e$

\item $1-\ln(x)>0 \iff 1>\ln(x) \iff \ln(\e)>\ln(x)\iff \e>x \iff x<\e$ car la fonction ln est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$.

\end{list}

		\item% Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $I$.
$f(7)=\dfrac{49}{2}\left ( \dfrac{3}{2} - \ln(7)\right ) \approx -10,9$
		
On établit le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & \e & \hspace*{\esp} & 7 \\ 
\hline
1-\ln(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\frac{\e^2}{4}}  &  &  \rule{0pt}{15pt} \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\frac{3}{4}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\frac{49}{2}\left( \frac{3}{2} - \ln(7)  \right )} \rule[-5pt]{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
				
	\end{enumerate}
\item On note $(T)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.
	\begin{enumerate}
		\item% Préciser le coefficient directeur de la droite $(T)$.
Le coefficient directeur de la tangente $(T)$ est $f'(1)=1\left ( 1-\ln(1) \right ) = 1$.
		\item% Déterminer une équation de la tangente $(T)$.
Une équation de $(T)$ est donnée par $y = f'(1)\left ( x-1 \right ) + f(1)$ soit $y= 1\left (x - 1\right ) + \dfrac{3}{4}$ c'est-à-dire $y = x - \dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate}

\item On complète le tableau de valeurs ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$x$		&1	 & 2	& 3	   & 4	  & 5	   & 6	    & 7		\\ \hline
$f(x)$	&0,75& 1,61	& 1,81 & 0,91 &	$-1,37$& $-5,25$& -10,92\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère \Oij, on trace la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $(T)$:

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-3,-11)(10,5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-11)(10,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-11)(10,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{7}{x x mul 2 div 1.5 x ln sub mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{5.25}{x 0.25 sub}
\uput[ur](6.1,-5.74){\blue $\mathcal C$}
\uput[ul](3,2.75){\red $(T)$}
\uput[130](1,0.75){\blue A}
\psdots[linecolor=blue](1,0.75)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}

		\item% Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 0$, dans l'intervalle $I$.
$f(x)=0 \iff \dfrac{x^2}{2}\left (\dfrac{3}{2} - \ln(x)\right )=0
\iff
\dfrac{x^2}{2} = 0 \text{ ou } \dfrac{3}{2} - \ln(x)=0
\iff
x = 0 \text{ ou } \e^{\frac{3}{2}}=x$

Or $0\notin I$ donc la seule solution de l'équation $f(x)=0$ dans $I$ est $x=\e^{\frac{3}{2}}$. 
		\item% En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle $I$.
\begin{list}{\textbullet}{On en déduit que:}

\item si $x\in \left [1~;~\e^{\frac{3}{2}}\right [$, alors $f(x)>0$;

\item si $x = \e^{\frac{3}{2}}$, alors $f(x)=0$;

\item si $x\in \left ]\e^{\frac{3}{2}}~;~7\right]$, alors $f(x)<0$.

\end{list}
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

\medskip
 
%On désigne par $I$ l'intervalle $[-1~;~2]$ et on note e le nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.
% 
% \smallskip
 
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $I = [-1~;~2]$ par : 
$f(x) = \text{e}x - \text{e}^x + 2$.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 2~centimètres.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Vérifier que $f(0) = 1$.
$f(0)= \e\times 0 - \e^{0} +2 = -1+2=1$

\item% Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$.
$f'(x) = \e -\e^{x}$

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Résoudre dans l'intervalle $I$,
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] l'équation $\text{e} - \text{e}^x = 0$
%\item[$\bullet~~$] puis l'inéquation $\text{e} - \text{e}^x > 0.$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $\e-\e^x=0 \iff \e^1 = \e^x \iff 1=x \iff x=1$

\item $\e-\e^x>0 \iff \e^1 > \e^x \iff 1>x \iff x<1$ car la fonction exponentielle est strictement croissante.

\end{list}

		\item 
$f(-1)=\e\times (-1) - \e^{-1} + 2 =2-\e-\dfrac{1}{\e} \approx -1,08$;
$f(1) = \e \times 1 - \e^{1} + 2 = 2$;
$f(2)=2\e - \e^{2} + 2 \approx 0,048$

On établit le tableau de variation de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x 					&- 1&\hspace*{\esp} 			& 1 			& \hspace*{\esp} & 2 \\ \hline
f'(x) = \e-\e^{x} 	&  	&\pmb{+} 					&\vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline
 					& 	&  							&\Rnode{max}{2}  &  &\rule{0pt}{15pt} \\  
f(x) 				& 	&     						&  				&  &\rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 					&\Rnode{min1}{2-\e-\frac{2}{\e}}&   			&  &  &\Rnode{min2}{2\e -\e^2+2} \rule[-5pt]{0pt}{\hauteur}    \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en des points dont les abscisses annulent la dérivée; donc au point 

		\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs approchées au centième près :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 1$ 		&$- 0,5$& 0	& 0,5	&1 	&1,5	& 2\\ \hline
$f(x)$	&$-1,09$ 	&$0,03$	& 1	& 1,71 	& 2 & 1,6 	& 0,05\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Dans le repère \Oij, on trace la courbe $\mathcal{C}$ (voir page suivante).

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(3,2.5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-4,-3)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-1.5)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{2.7183 x mul 2.7183 x exp sub 2 add}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchangle=-45,hatchcolor=blue]
{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{\f}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{2}{0}{0}
\closepath
}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{\f}
\uput[ur](1.5,1.6){\blue $\mathcal C$}
%\uput[ul](3,2.75){\red $(T)$}
%\uput[130](1,0.75){\blue A}
%\psdots[linecolor=blue](1,0.75)
\end{pspicture}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $I$ par 
$F(x) = \e\dfrac{x^2}{2}  - \e^x + 2x$.
		
$F'(x)= \e\times \dfrac{2x}{2} - \e^{x} + 2 = \e x -\e^{x} + 2 = f(x)$ donc $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.
		\item% Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations: $x = 0$ et $x = 2$.
Voir figure page suivante.					
		\item% Calculer l'aire exacte en cm$^2$ de ce domaine puis en donner une valeur approchée au mm$^2$ près.
La fonction $f$ est positive sur $[0~;~2]$ donc l'aire du domaine hachuré est en unités d'aire:

$\mathcal A = \displaystyle\int_0^2 f(t) \d t = F(2) - F(0)
= \left (\e\dfrac{4}{2} -\e^{2} + 4\right ) - \left ( 0 -\e^{0} + 0\right )
= 5+2\e-\e^2$.

L'unité sur chaque axe étant de 2~cm, une unité d'aire vaut donc 4~cm$^2$.

L'aire de la partie hachurée est donc égale à 
$4\left (5+2\e-\e^2\right )$ ~cm$^2$ soit environ 12,19~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
