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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat TMD Métropole~\decofourright \\[6pt] juin 2004}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 7 points}

\medskip

%On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = x + a + b\text{e}^{-x}, \]

%où $a$ et $b$ sont des réels.\\

%On rappelle que $\text{e}^{-x}$  peut aussi s'écrire $\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$.\\
%
%La courbe $\mathcal{C}$, sur la feuille annexe  à rendre avec la copie, est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.\\
%
%On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item  %Pour tout nombre réel $x$, déterminer $f'(x)$.
On a $f'(x) = 1 + (- 1) \times b\text{e}^{-x} = 1 - b\text{e}^{-x}$.
\item  %Déterminer graphiquement les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ sachant que ces valeurs sont de nombres entiers.
Graphiquement on lit :

$\left\{\begin{array}{l c r}
f(0)&=&4\\
f'(0)&=&0
\end{array}\right.$

\item  %En déduire un système d'équations vérifié par les nombres réels $a$ et $b$.

%Résoudre ce système pour déterminer les nombres réels $a$ et $b$.

On a $f(0) = a + b$ et 

$f'(0) = 1 - b$.

D'où  $\left\{\begin{array}{l c r}
a + b&=&4\\
1 - b&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
a + b&=&4\\
1 &=&b
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
a &=&3\\
1 &=&b
\end{array}\right. $

Donc $f(x) = x + 3 + \text{e}^{-x}$.

%On choisit pour la suite de l'exercice $f(x) = x + 3 + \text{e}^{-x}$.

\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item  %Montrer que la droite D d'équation $y =  x + 3$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage
de $+\infty$.
Soit la fonction $d$ définie sur $\R$ par :

$d(x) = f(x) - (x + 3) = \text{e}^{-x}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}d(x) = 0$, ce qui signifie que la droite (D) d'équation $y = x + 3$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item  %On nomme A le point d'abscisse $- 1$ de la courbe $\mathcal{C}$.
A$(- 1~;~y) \in \mathcal{C} \iff y = - 1 + 3  + \text{e}^{1} = 2 + \text{e}$.
%Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.

Une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point A est :

$y - (2 + \text{e}) = f'(- 1) (x - (- 1)) \iff y - (2 + \text{e}) = (1 - \text{e})(x 
+  1) \iff y = 2 + \text{e} + x(1 - \text{e}) + 1 - \text{e} \iff y = x(1 - \text{e}) + 3$

\item  %Tracer la droite D et la tangente T dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe  que l'on joindra à la copie.
Voir à la fin la figure.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 13 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle	 $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par :
 
\[f(x) = x^2\left(2\ln x - 3\right),\]

%et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2\ln x - 3 = + \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$ par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

%Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[,~f'(x) = 4x(\ln x - 1)$.
On a $f'(x) = 2x(2\ln x - 3) + x^2 \times \dfrac{2}{x} = 4x\ln x - 6x + 2x =  4x\ln x - 4x = 4x(\ln x - 1)$.
\item %Résoudre dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$, l'inéquation $\ln x - 1> 0$.
$\ln x - 1 > 0 \iff \ln x > 1 \iff x > \text{e}$ par croissance de la fonction exponentielle.

%En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$.
Comme $x \geqslant \dfrac{1}{\text{e}}, \: x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du facteur $\ln x - 1$.

$\bullet~~$Sur $]\text{e}~;~+ \infty[, \: f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante.

$\bullet~~$De même sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \text{e}\right[, \: f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante.
\item %Déterminer les valeurs exactes de $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~ f(1),~ f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$ et $f(\text{e})$.
$\bullet~~$$f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right) = \left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)^2\left(2\ln \dfrac{1}{\text{e}} - 3\right) = \dfrac{1}{(\text{e})^2}\left(-2\ln \text{e} - 3\right) = \dfrac{1}{(\text{e})^2}(-2 - 3) = - \dfrac{5}{\text{e}^2}$ ;

$\bullet~~$$f(1) = 1^2(2\ln 1 - 3) = - 3$ ;

$\bullet~~$$f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \left(\sqrt{\text{e}} \right)^2(2\ln \sqrt{\text{e}} - 3) = \text{e}\left(2 \times \frac{1}{2} - 3 \right) = \text{e}\times (- 2) = - 2\text{e}$ ;

$\bullet~~$$f(\text{e}) = \text{e}^2 (2\ln \text{e} - 3) = \text{e}^2(2 - 3) = - \text{e}^2$.
\item ~%Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.

%On portera les valeurs de $f(\text{e})$ et $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et leur valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.5)
%\psgrid
\psframe(10,2.5)\psline(0,2)(10,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.2,1.9){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[u](3,1.9){$1$}\uput[u](5,1.9){$\sqrt{\text{e}}$}\uput[u](7,1.9){$\text{e}$}\uput[u](9.5,1.9){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.7,1.5)(6.5,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5)
\uput[d](1.9,2){$- \frac{1}{\text{e}^2} \approx - 0,77$}\rput(3,1.2){$- 3$}\rput(5,0.8){$- 2\text{e}$}\uput[u](7,0){$- \text{e}^2 \approx - 5,44$}\uput[d](9.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %On nomme A le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
A a pour ordonnée $0$, donc son abscisse $x$ vérifie :

$x^2(2\ln x - 3) = 0 \iff 2\ln x - 3 = 0$, car $0 \notin \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ ;

$2\ln x - 3 = 0 \iff 2\ln x = 3 \iff \ln x = \frac{3}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{3}{2}}$. A$\left(\text{e}^{\frac{3}{2}}~;~0 \right)$.

\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.

%On fera apparaître le point A et la tangente au point d'abscisse e à la courbe $\mathcal{C}$.
La tangente à la courbe au point d'abscisse e a pour coefficient directeur 

$f'(\text{e}) = 4\text{e}(\ln \text{e} - 1) = 4\text{e}(1 - 1) = 0$ : la tangente est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8)(10,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,-8)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-7.9)(10,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3678}{10}{x ln 2 mul 3 sub x dup mul mul}
\uput[u](0.368,0){$\frac{1}{\text{e}}$}
\psline[linestyle=dashed](0.368,0)(0.368,-0.68)(0,-0.68)
\uput[l](0,-0.77){$- \frac{5}{\text{e}^2}$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-3)(0,-3)
\uput[u](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\psline[linestyle=dashed](1.649,0)(1.649,-5.456)(0,-5.456)
\uput[u](2.71828,0){$\text{e}$}\uput[l](0,-5.456){$- 2\text{e}$}
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,-7.389)(0,-7.389)
\uput[l](0,-7.389){$- \text{e}^2$}
\psline{<->}(1.728,-7.389)(3.728,-7.389)
\uput[ul](4.5,0){A}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln 2 mul 3 sub x dup mul mul}
\psline(2.71828,0)(1,0)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Soit $m$ un nombre réel.

%Déterminer graphiquement selon la valeur de $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)  = m$.
$\bullet~~$Si $m < - \text{e}^2$ : 0 solution ;

$\bullet~~$Si $m = - \text{e}^2$ : 1 solution ;

$\bullet~~$Si $- \text{e}^2 < m \leqslant - \dfrac{5}{\text{e}^2}$ : 2 solutions ;

$\bullet~~$Si $m > - \dfrac{5}{\text{e}^2}$ : 1 solution.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item~%Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par 

\[F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3.\]

%Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$.
On a $F'(x) = 3 \times  \dfrac{2}{3}x^2\ln x  + \dfrac{1}{x} \times \dfrac{2}{3}x^3 - 3 \times \dfrac{11}{9}x^2 =$

$ 2x^2\ln x + \dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{11}{3}x^2 = 2x^2\ln x - 3x^2 = x^2(2\ln x - 3) = f(x)$.

Conclusion $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$.
\item %Calculer l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.

%En donner la valeur exacte ainsi que la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$
D'après la question précédente :

I $ = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_1^{\text{e}} = \dfrac{2}{3}\text{e}^3 \ln \text{e} - \dfrac{11}{9}\text{e}^3 - \left(\dfrac{2}{3}1^3 \ln 1 - \dfrac{11}{9}1^3 \right) = \dfrac{2}{3}\text{e}^3 - \dfrac{11}{9}\text{e}^3 +  \dfrac{11}{9} = \dfrac{11}{9}  - \dfrac{5}{9}\text{e}^3 \approx - 9,94$ au centième près.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(8,10)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-5,-1)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-1)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.228}{7}{2.71828 x neg exp x add 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{0}{1 2.71828 sub  x mul 3 add}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-2,4)(2,4)
\uput[r](6.6,9.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=red](-1,0)(-1,4.7283)(0,4.7183)
\uput[d](-1,0){\red $- 1$} \uput[r](0,4.7183){\red $2 + \text{e}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}