\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole juin 2005 - Corrigé},
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\newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright \\[5pt]
Métropole  juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice}  \hfill 7 points}

Sur le schéma 1. $\mathcal{C}$ est la courbe représentative dans le repère \Oij{} d'une fonction $f$ définie  et dérivable sur $\cd -1~ ;~ 5\cg$.

On précise que la courbe passe par les points O(0~;~0), A (1~;~ 1) et B (3~;~0).

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin {pspicture}(-4,-4.255)(7,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4,-4.25)(7.25,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5}{x 3 exp 3 div x 2 exp 2 mul sub x 3 mul add 0.75 mul}
\uput[d](0,-4.5){Schéma 1}\uput[u](1,1){A}\uput[u](3,0){B}\uput[l](4.6,3){$\mathcal{C}$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline{<->}(0.2,1)(1.8,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=blue](-1,-4)(5,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  L'un des trois schémas suivants, 2, 3 ou  4, correspond à la courbe représentative de la dérivée $f'$ de $f$.% Préciser lequel, en justifiant la réponse.

\begin{list}{\textbullet}{D'après le schéma 1:}
\item la fonction $f$ est croissante sur $\cd -1~;~1 \cg$ donc $f'(x)$ est positif sur $\cd -1~;~1 \cg$;

\item la fonction $f$ est décroissante sur $\cd 1~;~3\cg$ donc $f'(x)$ est négatif sur $\cd 1~;~3\cg$;

\item la fonction $f$ est croissante sur $\cd 3~;~5\cg$ donc $f'(x)$ est positif sur $\cd 3~;~5\cg$.

\end{list}

Seule la fonction du schéma 2 vérifie ces trois conditions.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=0.4cm}
\renewcommand\pshlabel{\small}
\renewcommand\psvlabel{\small}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{5}{x dup mul 0.83333 mul 10 x mul 3 div  sub 2.5 add}
\uput[d](0,-5){Schéma 2}
\psline{<->}(1,-.7666)(3,-.7666)
\end{pspicture}
&
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6)
\renewcommand\pshlabel{\small}
\renewcommand\psvlabel{\small}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{5}{x 3 exp  3 div x dup mul 2 mul sub 3 x mul add 4 3 div sub 0.75 neg mul}
\psline{<->}(2,1)(4,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0,0)(2,0)
\uput[d](0,-5){Schéma 3}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6)
\renewcommand\pshlabel{\small}
\renewcommand\psvlabel{\small}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{5}{x 3  exp 3 div x dup mul 2 mul sub x 3 mul add 0.75 neg mul}
\uput[d](0,-5){Schéma 4}
\psline{<->}(0,-1)(2,-1) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(2,0)(4,0)
\end{pspicture} \\
\end{tabularx}

\bigskip

\item  Soit $m$ un réel quelconque.% Préciser graphiquement (à l'aide du schéma 1), le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$, suivant la valeur de $m$.

Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ est le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite horizontale d'équation $y=m$.

\begin{list}{\textbullet}{D'après le schéma 1:}
\item pour  $m \in \cg -\infty~;~4\cd$, l'équation $f(x)=m$ n'a pas de solution;

\item pour  $m \in \cd -4~;~0\cd$, l'équation $f(x)=m$ admet une solution;

\item pour  $m =0$, l'équation $f(x)=m$ admet deux solutions;

\item pour  $m \in \cg 0~;~1\cd$, l'équation $f(x)=m$ admet trois solutions;

\item pour  $m =1 $, l'équation $f(x)=m$ admet deux solutions;

\item pour  $m \in \cg 1~;~5\cg$, l'équation $f(x)=m$ admet une solution;

\item pour  $m \in \cg 5~;~+\infty\cd$, l'équation $f(x)=m$ n'a pas de solution.

\end{list}


\item  On admet que $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 + ax^2  + bx$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

	\begin{enumerate}
		\item%  Calculer $f(1)$ et $f(3)$ en fonction de $a$ et $b.$
$f(1)=\dfrac{1}{4}\times 1^3 + a\times 1^2 + b\times 1 = \dfrac{1}{4}+a+b$

$f(3)=\dfrac{1}{4}\times 3^3 + a\times 3^2 + b\times 3 = \dfrac{27}{4} + 9a + 3b$

		\item%  En déduire les nombres réels $a$ et $b$.
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A\,$(1~;~1)$ donc $f(1)=1$ ce qui équivaut à $\dfrac{1}{4}+a+b = 1$.\\[5pt]
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B\,$(3~;~0)$ donc $f(3)=0$ ce qui équivaut à $\dfrac{27}{4}+9a+3b = 0$.

\smallskip

On résout le système:

$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
\dfrac{1}{4}+a+b & 1\\[7pt]
\dfrac{27}{4}+9a+3b & 0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
b & \dfrac{3}{4} - a\\[7pt]
9a+3\left (\dfrac{3}{4}-a\right ) & -\dfrac{27}{4}
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
b & \dfrac{3}{4} - a\\[7pt]
6a & -\dfrac{36}{4}
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
b & \dfrac{9}{4} \\[7pt]
a & -\dfrac{3}{2}
\end{array}
\right.$

\smallskip

Donc $f(x)=\dfrac{1}{4}\,x^3 -\dfrac{3}{2}\,x^2 +\dfrac{9}{4}\,x$.

\medskip

		\item%  À l'aide de l'expression de la fonction $f$, retrouver les valeurs de $f'(1)$ et $f'(3)$.
$f(x)=\dfrac{1}{4}\,x^3 -\dfrac{3}{2}\,x^2 +\dfrac{9}{4}\,x$
donc
$f'(x) = \dfrac{1}{4}\times 3x^2 -\dfrac{3}{2}\times 2x +\dfrac{9}{4}\times 1
= \dfrac{3}{4}\,x^2 -3x + \dfrac{9}{4}$.

\smallskip

$f'(1)= \dfrac{3}{4} -3 + \dfrac{9}{4}=0$ et $f'(3)=\dfrac{3}{4}\times 9 -3\times 3 + \dfrac{9}{4}=0$

 	\end{enumerate}
 	
\end{enumerate}
	
\newpage

\section*{\textsc{Problème}  \hfill 13 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction, définie sur $\R$, par $f(x) =  \e^{2x} - 5\e^x +4$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{}
d'unités 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item%  En justifiant que $f(x)= \e^x\left(\e^x  - 5\right) + 4$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty.$
$\e^{2x}=\left ( \e^{x}\right )^2$ donc 
$f(x)= \left ( \e^{x}\right )^2 -5\e^{x} +4 = \e^{x}\left ( \e^{x} - 5\right ) +4$.
 
D'après le cours $\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{x}=+\infty$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{x} -5=+\infty$ et donc par produit $\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{x} \left ( \e^{x} - 5\right )=+\infty$.

On en déduit que   $\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{x} \left ( \e^{x} - 5\right ) +4=+\infty$ c'est-à-dire que $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$.
 		
		\item%  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ ; en déduire l'existence d'une asymptote $D$ au voisinage de $- \infty$, dont on précisera une équation.
D'après le cours $\ds\lim_{x \to -\infty} \e^{x}=0$ donc $\ds\lim_{x \to -\infty} \e^{x} -5=-5$ et donc par produit $\ds\lim_{x \to -\infty} \e^{x} \left ( \e^{x} - 5\right )=0$.

On en déduit que   $\ds\lim_{x \to -\infty} \e^{x} \left ( \e^{x} - 5\right ) +4=4$ c'est-à-dire que $\ds\lim_{x \to -\infty} f(x) =4$.

Cela signifie que la courbe $\mathcal{C}$ admet  la droite $D$ d'équation $y=4$ comme asymptote en $-\infty$.

		\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
%Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.

$f'(x)= 2\e^{2x} - 5\e^{x} + 0 = 2\left (\e^{x} \right )^2 -5\e^{x} = \e^{x}\left (2\e^{x} - 5 \right )$

		\item%  Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$.
Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2\e^{x} - 5$.

$2\e^{x} - 5 >0
\iff
\e^{x} > \dfrac{5}{2}
\iff
x > \ln\left ( \dfrac{5}{2}\right )$

Donc on peut déterminer le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs de $x$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & \ln\left ( \frac{5}{2}\right ) & \esp  & +\infty \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

		\item%  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur de $f\left[\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)\right]$.

$\e^{\ln\frac{5}{2}} = \dfrac{5}{2}$ donc $f\left (\dfrac{5}{2}\right ) = \dfrac{5}{2}\left ( \dfrac{5}{2} - 5\right ) +4 = -\dfrac{25}{4} + 4 = -\dfrac{9}{4} = -2,25$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \hspace*{\esp} & \ln\left ( \frac{5}{2}\right ) & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{4}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-2,25} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

	\end{enumerate}

\item Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\ln \left( \dfrac{1}{2}\right)$. 

%Calculer les valeurs exactes de l'ordonnée de A et du coefficient directeur de la droite $T$.

%La tangente $T$ a pour équation: $y=f'(x_{\text A})\left (x-x_{\text A}\right ) + f(x_{\text A})$

Le point A appartient à la courbe $\mathcal{C}$ donc son ordonnée est égale à:
$f(x_{\text A}) = f\left ( \ln \frac{1}{2} \right )$.

$\e^{\ln \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}$ donc 
$f\left ( \ln \frac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{2} - 5\right )+4 = \dfrac{7}{4}$

Le coefficient directeur de la droite $T$ est
$f'(x_{\text A}) = f'\left ( \ln \frac{1}{2} \right )= \dfrac{1}{2} \left ( 2\times \dfrac{1}{2} -5 \right )
= -2$.

La droite $T$ a donc pour équation $y=-2\left ( x - \ln\frac{1}{2}\right ) + \dfrac{7}{4}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0$.
$\Delta = b^2-4ac =  (-5)^2 - 4\times 1\times 4=25-16=9 = 3^2$

L'équation admet deux solutions :
$X'= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$ et
$X'' = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{5+3}{2} = 4$.

		\item%  En déduire la résolution de l'équation $f(x) = 0$.
$f(x)=0
\iff
\left ( \e^{x} \right )^2 - 5\e^{x} + 4 = 0
\iff
\e^{x} = 1 \text{ ou } \e^{x} = 4$ d'après la question précédente avec $X=\e^{x}$.

$\e^{x}= 1 \iff x=0$ et $\e^{x} = 4 \iff x=\ln(4)$

L'équation $f(x)=0$ a pour solutions $x=0$ et $x=\ln(4)$. 
		
	\end{enumerate}
\item On complète  le tableau de valeurs  suivant:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-5$	&$- 4$	&$- 2$	&$- 1,5$&$- 1$	&$- 0,5$&0	&0,5&1	&1,5&1,6\\ \hline
$f(x)$	&	$4$	&	$3,9$	&	$3,3$	&	$2,9$	&	$2,3$	&	$1,3$	& $0$	& $-1,5$	& $-2,2$	& $1,7$	& $3,8$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Figure:

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\def\xmin{-5}   \def\xmax{2}
\def\ymin{-3}   \def\ymax{10}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=0,gridwidth=0.3pt,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,\ymin)(4,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}

\def\f{2.718 2 x mul exp 5 2.718 x exp mul sub 4 add}

\pscustom[fillstyle=vlines,hatchangle=-45,hatchcolor=blue]
{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{1.386}{\f}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.386}{0}{0}
\closepath
}

\psplot[linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{4}
\psplot[linecolor=red]{-4}{2}{-2 x 0.5 ln sub mul 1.75 add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=2000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\uput[dl](0,0){O}

\uput[ur](1.5,1.7){\blue $\mathcal{C}$} 
\uput[d](0.75,4){\red $D$}
\uput[ur](-3,6.37){\red $T$}
\uput[ur](1.386,0){\blue $\ln(4)$}

\psdots[linecolor=blue](-0.693,1.75) \uput[dl](-0.693,1.75){\blue A}

\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item%  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
La fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie par
$F(x)= \dfrac{1}{2}\e^{2x} - 5\e^{x}+4x$.

		\item  
$\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\ln (4)} f(x)\:\d x
= F(\ln(4)) - F(0)
= \left ( \dfrac{1}{2} \e^{2\ln(4)} -5\e^{\ln(4)} +4\ln(4) \right ) - \left ( \dfrac{1}{2} \e^{0} - 5\e^{0} +0 \right )\\[5pt]
\phantom{\text{I}}
= 8 - 20 +4\ln(4) - \dfrac{1}{2} +5
= 4\ln(4) - \dfrac{15}{2}
\approx - 1,95$

\medskip

\emph{Remarque}

Il n'est pas étonnant que le résultat de l'intégrale soit négatif car la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\cd 0~;~\ln(4) \cg$.

L'aire hachurée sur la figure a pour mesure, en unité d'aire, 
$- \displaystyle\int_{0}^{\ln (4)} f(x)\:\d x$.

 	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}