\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\newcommand{\cd}{\texttt{[}}
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\pp}{\leqslant}
\newcommand{\pg}{\geqslant}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}

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pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole juin 2006 - Corrigé},
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\setlength\parindent{0mm}

\newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\ [5pt]
Métropole juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

%Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations vous sont proposées dont une seule est exacte. 
%
%Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse. 
%
%On ne demande pas de justification.
%
%\medskip
% 
%\emph{Toute réponse bonne donne $1$ point ; toute mauvaise réponse enlève $0,5$ point ; une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun.}
% 
%\emph{S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à $0$.}
%
%\medskip
%
%Les six questions font référence à la \textbf{gamme de tempérament égal}. 
%
%On rappelle que, dans cette gamme : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$, où 
%$q$ est un nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
%\item  une quinte juste contient sept demi-tons ; 
%\item  une quarte juste contient cinq demi-tons. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  En partant de LA et en augmentant d'une quarte on obtient la note RÉ. Sachant que la fréquence du LA$_{3}$ est de 440 Hz, la fréquence du RÉ$_{4}$ est environ de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 660,0 Hz
&	\textbf{b.~~} \fbox{587,3 Hz}
& 	\textbf{c.~~} 586,7 Hz 
\end{tabularx}

\medskip

En augmentant d'une quarte, on augmente de 5 demi-tons, donc on mulitplie la fréquence par $q^5 = 2^{\frac{5}{12}}$: la fréquence du RÉ est donc de $440 \times 2^{\frac{5}{12}} \approx 587,3$~Hz.

\medskip

\item Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quinte juste ascendante est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{3}{2}$
&	\textbf{b.~~} $\sqrt[7]{2^{12}}$
& 	\textbf{c.~~} \fbox{$2^{\frac{7}{12}}$} 
\end{tabularx}

\medskip

Une quinte juste correspond à 7 demi-tons donc le rapport des fréquences est $q^7=2^{\frac{7}{12}}$.

\medskip

\item Sachant que le rapport des fréquences de deux notes vaut environ \nombre{1,4983}  le nombre de demi-tons entre les deux notes est de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $6$
&	\textbf{b.~~} \fbox{$7$}
& 	\textbf{c.~~} $8$ 
\end{tabularx}

\medskip

Si le rapport des fréquence est environ \np{1,4983}, le nombre de demi-tons entre les deux notes est donné par l'entier $n$ tel que $q^n= \np{1,4983}$, c'est-à-dire $2^{\frac{n}{12}}= \np{1,4983}$:

$2^{\frac{n}{12}}= \np{1,4983}
\iff
\log\left ( 2^{\frac{n}{12}}\right )  = \log\left ( \np{1,4983} \right ) 
\iff
\dfrac{n}{12}\,\log\left ( 2\right )  = \log\left ( \np{1,4983} \right ) 
\iff
\dfrac{n}{12} = \dfrac{\log\left ( \np{1,4983} \right )}{\log(2)}\\[7pt]
\phantom{2^{\frac{n}{12}}= \np{1,4983}}
\iff
n = 12\, \dfrac{\log\left ( \np{1,4983} \right )}{\log(2)}
\iff
n \approx 7
$

\medskip

\item On considère la bande passante 20 à \nombre{20000}~Hz d'un appareil sonore. 

Sachant que la fréquence du DO$_{3}$ est d'environ 262~Hz, le nombre de DO d'octaves différentes pouvant passer dans cet appareil est de: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $4$
&	\textbf{b.~~} $7$
& 	\textbf{c.~~} \fbox{$10$} 
\end{tabularx}

\medskip

On passe d'un DO au DO de l'octave supérieure en multipliant la fréquence par 2, et on passe au DO de l'octave inférieure en divisant la fréquence par 2:

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
note & DO$_0$ & DO$_1$& DO$_2$& DO$_3$& DO$_4$& DO$_5$& DO$_6$& DO$_7$& DO$_8$& DO$_9$\\ 	
\hline 
fréquence & 33& 66& 131& \textcolor{red}{262} & 524 & \np{1048} & \np{2096} & \np{4192} & \np{8384} & \np{16768} \\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Si l'on additionne une fonction sinusoïdale de fréquence 110~Hz à une fonction sinusoïdale de fréquence 220 Hz, la fonction somme est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} Non périodique
&	\textbf{b.~~} Périodique de fréquence 330 Hz
& 	\textbf{c.~~} \fbox{Périodique de fréquence 110 Hz} 
\end{tabularx} 

\medskip

Une fonction $f$ périodique de fréquence 110~Hz a une période de $\dfrac{1}{110}$ donc, pour tout entier relatif $k$, $f\left ( x+ \dfrac{k}{110} \right )= f(x)$. 
Une fonction $g$ périodique de fréquence \np{220}~Hz a une période de $\dfrac{1}{\np{220}}$ donc, pour tout entier relatif $k$, $g\left ( x+\dfrac{k}{\np{220}} \right )= g(x)$. En particulier, $g\left ( x+  \dfrac{2}{\np{220}}\right )=g(x)$ autrement dit $g\left (  x+\dfrac{1}{110}\right ) = g(x)$.

On déduit que, pour tout $x$, $(f+g)\left (x+\dfrac{1}{110}\right )= f\left (x+\dfrac{1}{110}\right ) + g\left (x+\dfrac{1}{110}\right ) = f(x)+g(x)=(f+g)(x)$. 

Donc la fonction $f+g$ est périodique de période $\dfrac{1}{110}$ donc de fréquence 110~Hz.

\medskip

\item En partant de RÉ et en augmentant de $n$ quartes on obtient la note MI.

 L'entier $n$ est tel que :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \fbox{$5n \equiv 2\quad  (\text{modulo}~12)$}
&	\textbf{b.~~} $2n \equiv 12 \quad (\text{modulo}~ 5)$
& 	\textbf{c.} $\log~(5n)~=~\log~2~+~k~\log 12$, où $k$ est un entier relatif
\end{tabularx}   

\medskip

Une quarte correspond à 5 demi-tons et il y a deux demi-tons entre un RÉ et un MI puisqu'il y a le RÉ\# entre ces deux notes. Enfin tous les 12 demi-tons, on retombe sur la note RÉ.

Il faut donc que $5n$ soit égal à 2 augmenté d'un multiple de 12, donc que $5n \equiv 2\quad  (\text{modulo}~12)$.

\medskip
 
%\emph{Rappels} : 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  $\log$ désigne le logarithme décimal. 
%\item[$\bullet~$]  Si $a,\: b$ et $c$ sont des entiers non nuls, \og $a$ congru à $b$ \: modulo $c$ \fg s'écrit : $a \equiv  b \  (\text{modulo}\:c)$. 
%\end{itemize}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\cd -1~;~4\cg$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{\e^x}$.

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij, d'unités graphiques 3~cm sur l'axe des abscisses et 6~cm sur l'axe des ordonnées. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item%  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que pour tout $x$ de  l'intervalle $[-1~;~4],\: f'(x)  = \dfrac{x(2 - x)}{\text{e}^x}$.
$f'(x)=\dfrac{2x\times \e^x - x^2 \times \e^x}{\left ( \e^x\right )^2}
= \dfrac{x\e^x \left ( 2-x\right )}{\left ( \e^x\right )^2}
= \dfrac{x\left ( 2-x\right )}{ \e^x}$

		\item On étudie le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $\cd -1~;~4\cg$:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & -1 & \esp & 0 & \esp & 2 & \esp & 4 \\
\hline
x &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
2-x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
\e^x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
f'(x)=\dfrac{x\left (2-x\right )}{\e^x} &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \rule[-15pt]{0pt}{35pt}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item $f(-1)=\dfrac{(-1)^2}{\e^{-1}}= \e$; $f(0)=0$; $f(2)=4\e^{-2}\approx 0,54$ et $f(4)=16\e^{-4}\approx 0,29$
		
On dresse le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd -1~;~4\cg$:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -1 & \hspace*{\esp} & 0 & \hspace*{\esp} & 2 & \hspace*{\esp} & 4 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{\e} & &  & & \Rnode{max2}{4\e^{-2}} & & \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{16\e^{-4}}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item La tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point A d'abscisse $1$ a pour équation: $y=f'(1)\left ( x-1 \right ) + f(1)$.
		
$f(1)=\dfrac{1^2}{\e^1} = \dfrac{1}{\e}$ et $f'(1) = \dfrac{1(2-1)}{\e^1} = \dfrac{1}{\e}	$

$\mathcal{D}$ a pour équation 
$y=\dfrac{1}{\e}\left (x-1\right ) + \dfrac{1}{\e}	
\iff
y=\dfrac{1}{\e}\,x-\dfrac{1}{\e} + \dfrac{1}{\e}	
\iff
y=\dfrac{1}{\e}\,x$.

		\item%  Prouver que la droite $\mathcal{D}$ est confondue avec la droite (OA).
La droite $\mathcal{D}$ passe par le point A. Si $x=0$, $y=\dfrac{1}{\e	}\times 0 = 0$ donc la droite $\mathcal{D}$ passe par le point O. Donc la droite $\mathcal{D}$ est confondue avec la droite (OA).

	\end{enumerate} 

\item  On remplit le tableau de valeurs suivant:

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & $-1$ & $-0,5$ & $-0,25$ & 0 & 0,25 & 0,5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 	
\hline 
$f(x)$ & $2,72$ & $0,41$ & $0,08$ & 0 & $0,05$ & $0,15$ & $0,37$ & $0,54$ & $0,45$ & $0,29$ \\ 
\hline
\end{tabularx}

\smallskip

\item  On construit, dans le repère \Oij, la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$. 

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm}
\def\xmin{-1.09} \def\xmax{4.09}
\def\ymin{-0.5} \def\ymax{3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=0,gridwidth=0.5pt,gridcolor=gray](0,0)(-3,-3)(12,18)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,gridwidth=1pt,gridcolor=gray](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

\def\f{x x mul 2.718 x exp div}

\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.2pt]{-1}{4}{\f}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=2000,linewidth=1.2pt]{\xmin}{4}{x 2.718 div}
\uput[ur](-0.5,0.4){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[ul](3,1.1){\red $\mathcal{D}$}
\psdots[linecolor=red](1,0.368) \uput[-10](1,0.368){\red A}
\uput[dr](0,0){O}

\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill  Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%Une classe de terminale TMD comporte un pianiste, trois violonistes et deux flûtistes ayant tous des noms différents. 
%
%On met les noms de ces six musiciens dans un chapeau et on tire, successivement et sans remise, deux noms au hasard. On s'intéresse à l'instrument dont joue chacun des musiciens tirés au sort. 
%
%On donnera les probabilités sous la forme de fractions irréductibles. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On complète l'arbre de probabilités suivant:

\medskip

\begin{pspicture}(12,4.2)
%\psgrid
\rput(8,2){
\pstree[nodesepB=4pt,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{Piano}\taput{$\red \frac{1}{6}$}}
	{
	\TR{Violon}\nbput{$\frac{3}{5}$}
	\Tn{}	
	\TR{Flûte}\naput{$\red \frac{2	}{5}$}	
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{Violon}\naput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{Piano}\nbput{$\red \frac{1}{5}$}
	\TR{Violon}\naput{$\red \frac{2}{5}$}
	\TR{Flûte}\naput{$\red \frac{2}{5}$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{Flûte}\taput{$\red \frac{1}{3}$}}
	{\TR{Piano}\nbput{$\red \frac{1}{5}$}
	\TR{Violon}\naput{$\red \frac{3}{5}$}
	\TR{Flûte}\naput{$\red \frac{1}{5}$}
	}
}
}
\rput(0,2.05){1\up{er} tirage}
\rput(0,0.1){2\up{e} tirage}
\end{pspicture}

\bigskip

\item%  Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

On note respectivement $P_1$, $V_1$ et $F_1$ les événements \og le musicien choisi au 1\ier{} tirage est pianiste\fg, \og le musicien choisi au 1\ier{} tirage est violoniste\fg et \og le musicien choisi au 1\ier{} tirage est flûtiste \fg.

On définit de même $P_2$; $V_2$ et $F_2$ les événements correspondant pour le 2\ieme{} tirage.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On appelle $A$ l'événement : \og Les deux musiciens tirés au sort sont des violonistes \fg. 

$P(A)= P(V_1 \cap V_2) = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}$

\item On appelle $B$ l'événement : \og Les deux musiciens tirés au sort peuvent interpréter un duo violon-flûte \fg. 

$P(B) = P(V_1 \cap F_2) + P(F_1 \cap V_2) 
= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}\times  \dfrac{3}{5} 
= \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$

\item  On appelle $C$ l'événement : \og Les deux musiciens tirés au sort jouent du même instrument \fg. 

$P(C)= P(P_1\cap P_2) + P(V_1\cap V_2) + P(F_1\cap F_2) =
 = 0 + \dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}$

\item  On appelle $D$ l'événement  : \og Le deuxième musicien tiré au sort joue du violon \fg. 

$P(D)= P(P_1\cap V_2) + P(V_1\cap V_2) + P(F_1\cap V_2)
= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5}
= \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$

\end{list}

\item Sachant que le deuxième musicien tiré au sort joue du violon,  la probabilité pour que le premier musicien tiré au sort joue également du violon est:
$P_{V_2}(V_1) = \dfrac{P(V_1 \cap V_2)}{P(V_2)}
= \dfrac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2}}
= \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}}
= \dfrac{1}{5}\times \dfrac{2}{1} = \dfrac{2}{5}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 7 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est de 4~cm. On considère le point M$_{1}$ d'affixe $z_{1} =1 + \i$ et le point M$_{2}$ d'affixe $z_{2} =\sqrt{3} -\i$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer le nombre complexe $z_{1}\times  z_{2}$ sous forme algébrique. 
$z_{1}\times  z_{2}
= (1+\i)\left (\sqrt{3}-\i \right )
=  \sqrt{3}+\i\sqrt{3}-\i -\i^2
= \left ( \sqrt{3}+1\right ) +\i \left ( \sqrt{3} - 1\right )$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure.% Placer le point M$_{1}$ dans le repère \Ouv. 
		\item $\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) 
		= \sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\i \sqrt{2}\times  \dfrac{\sqrt{2}}{2}
		= \dfrac{2}{2} + \i \dfrac{2}{2} 
		= 1 + \i$. 
		
		\item% Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$ ?
$\left | z_1 \right | = \left | 1+\i \right | = \sqrt{2}$

Le nombre $z_1$ a pour argument le réel $\theta$ tel que $\cos \theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin  \theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 

Donc $\dfrac{\pi}{4}$ est un argument de $z_1$.

	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\i\right)
		= 2\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2\times \dfrac{1}{2}\i
		= \sqrt{3} - \i$.

		\item% Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{2}$.
$\left | z_2 \right | = \left | \sqrt{3}-\i \right | = \ds\sqrt{3+1} =2$

Le nombre $z_2$ a pour argument le réel $\theta'$ tel que $\cos \theta' = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin  \theta' = -\dfrac{1}{2}$. 

Donc $-\dfrac{\pi}{6}$ est un argument de $z_2$.

		\item% Construire le point M$_{2}$ dans le repère \Ouv. 
		
%On laissera apparents les traits de construction. 

Le module de $z_2$ est égal à 2 donc le point M$_2$ est situé sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 2.

Le nombre $z_2$ a pour partie imaginaire $-1$ donc le point M$_2$ est situé sur la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-1$.

La partie réelle du nombre $z_2$ est égale à $\sqrt{3}$ donc est positive, le point M$_2$ est donc le point d'abscisse positive situé à l'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}$.

Voir construction sur la figure.

	\end{enumerate}

\item

	\begin{enumerate}

		\item% À l'aide des résultats établis dans les questions 2. c. et 3. b., déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}\times  z_{2}$. 

$\left | z_1 \times z_2 \right | = \left | z_1 \right |\times \left | z_2 \right |= \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}$

$\arg\left (  z_1 \times z_2  \right ) 
= \arg\left (  z_1  \right ) + \arg\left (  z_2  \right )
= \dfrac{\pi}{4} +\left ( -\dfrac{\pi}{6}\right )
= \dfrac{\pi}{12} \text{ à } 2\pi \text{ près}$.
 
		\item Donc $z_{1}\times  z_{2}
		= 2\sqrt{2}\left (\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + \i.\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right )
		= 2\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + \i.2\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
		 
		\item% Déterminer alors la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. 
On a d'une part   $z_{1}\times  z_{2} = \left ( \sqrt{3}+1\right ) +\i \left ( \sqrt{3} - 1\right )$ et d'autre part $z_{1}\times  z_{2} = 2\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + \i.2\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

En identifiant les parties réelles des deux expressions de $z_1\times z_2$, on a 
$\sqrt{3} + 1 = 2\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
donc
$ \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.

	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\def\xmin{-1} \def\xmax{2.5}
\def\ymin{-1.5} \def\ymax{2.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.3pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

\uput[ur](1,1){M$_1$} \uput[dr](1.732,-1){M$_2$}
\psline(1,1) (0,0)(1.732,-1)

\psarc{->}(0,0){0.3}{0}{45} \uput[22.5](0.3;22.5){$\frac{\pi}{4}$}
\psarc{<-}(0,0){0.4}{-30}{0} \uput[-15](0.4;-15){$-\frac{\pi}{6}$}
\psdots(1,1)(1.732,-1) 

\psset{linecolor=red}
\pscircle(0,0){2}
\psplot{\xmin}{\xmax}{-1}

\uput[dl](0,0){O}

\uput[35](2;35){\red $\mathcal{C}$} 
\uput[d](0.75,-1){\red $\mathcal{D}$}

\end{pspicture*}
\end{center}
	
\end{enumerate}

\end{document}