\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
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% 5 fixe la hauteur de l'entête
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% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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pdftitle = {Métropole septembre 2009 - Corrigé},
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\setlength\parindent{0mm}

\newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse -- Corrigé} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse \\\decofourleft~Métropole juin 2009~\decofourright\\ }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

%\medskip
% 
%\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.\\ 
%Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée $0$ point.}
%
%\medskip
% 
%Une boîte de jeu est constituée de cartes comportant chacune une question. Chaque question porte soit sur le thème \og Musique \fg, soit sur le thème \og Danse \fg. Le quart des questions porte sur le thème \og Musique \fg{} et le reste porte sur le thème \og Danse \fg. Claire et Élise, deux élèves de Terminale TMD, jouent à ce jeu. Élise tire une carte au hasard dans la boîte, puis pose la question à Claire. Chaque carte a la même probabilité d'être tirée.
% 
%On sait que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  Lorsque l'on pose à Claire une question sur le thème \og Danse \fg, la probabilité que Claire 
%réponde correctement est $\dfrac{3}{5}$. 
%\item[$\bullet~$] Lorsque l'on pose à Claire une question sur le thème \og Musique \fg, la probabilité que Claire 
%réponde correctement est $\dfrac{2}{3}$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item $D$ : \og la question posée porte sur le thème Danse \fg{} ; 
%\item $M$ : \og la question posée porte sur le thème Musique\fg{} ;
%\item $C$ : \og Claire répond correctement à la question posée \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\smallskip
% 
%Dans cet exercice, $A$ et $B$ étant deux évènements, la probabilité de l'évènement A se note $P(A)$ et la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ sachant $B$ se note $P_{B}(A)$.
%
%\smallskip
% 
%On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.

On construit un arbre de probabilités correspondant au problème posé:

\newcommand{\fraction}[2]
{
\raisebox{0.5ex}{#1}%
\slash\raisebox{-0.5ex}{#2}
}

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm,treesep=1cm]%,nrot=ion:U
{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$D$}\naput{\fraction{3}{4}}}
	{
	\TR{$C$}\naput{\fraction{3}{5}}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\fraction{2}{5}}
	}	
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$M$}\nbput{\fraction{1}{4}}}
	{	
	\TR{$C$}\naput{\fraction{2}{3}}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\fraction{1}{3}}
	}
}
\bigskip
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  La probabilité que la question posée à Claire porte sur le thème \og Musique \fg{} est : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad \dfrac{1}{2}$&\textbf{b.} \qquad \fbox{$\dfrac{1}{4}$}&\textbf{c.} $\qquad \dfrac{2}{3}$\\
\end{tabularx}
\end{center} 

D'après le texte.

\medskip

\item  La fraction $\dfrac{2}{3}$ de l'énoncé est égale à la probabilité: 
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad P(C \cap M)$&\textbf{b.} \qquad  $P_{\text{C}}(M)$ &\textbf{c.} \qquad \fbox{$P_{M}(C)$} \\
\end{tabularx}
\end{center} 

Voir arbre.

\medskip

\item La probabilité que la question posée porte sur le thème \og Musique \fg{} et que Claire y réponde correctement est : 

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} \qquad \fbox{$\dfrac{1}{6}$} &\textbf{b.} $\qquad \dfrac{3}{4}$&\textbf{c.} $\qquad \dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

$P(M \cap C) = P(M)\times P_M(C)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}$

\medskip

\item La probabilité que Claire ne réponde pas correctement à la question posée 

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad \dfrac{37}{60}$&\textbf{b.} \qquad \fbox{$\dfrac{23}{60}$} & \textbf{c.} $\qquad \dfrac{1}{12}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

D'après la formule des probabilités totales:
$P\left(\overline{C}\right) = P\left(D \cap \overline{C}\right) + P\left(M \cap \overline{C}\right)
= \dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3}
= \dfrac{23}{60}$

\medskip
 
\item Sachant que Claire n'a pas répondu correctement à la question posée, la probabilité pour que la question posée porte sur le thème \og Musique \fg{} est : 
 
\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} \qquad \fbox{$\dfrac{5}{23}$} &\textbf{b.} $\qquad \dfrac{1}{12}$&\textbf{c.} $\qquad \dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
\end{center} 

$P_{\overline{C}}(M) = \dfrac{P\left(M \cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}
= \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{23}{60}} = \dfrac{1}{12}\times \dfrac{60}{23}
= \dfrac{5}{23}$


\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

%\medskip
%
%$\bullet~$ Dans la gamme de tempérament égal :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  l'octave est divisée en 12 demi-tons par le fait que la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$, où $q$ est le  nombre réel strictement positif tel que $q^{12} =  2$ ; 
%\item  une quinte juste contient sept demi-tons ;
%\item  les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ;
%\item  à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de  cette octave ; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au dessus de l'octave d'indice 3 ; 
%\item  la fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA$_{3}$ est $440$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%$\bullet~$ On rappelle que log désigne la fonction logarithme décimal et que pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :
%
%\[ \log (ab) = \log a + \log b~~ \text{et}~~ \log \left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - log b.\] 
%  
%$\bullet~$ Un son d'intensité sonore $I$, exprimée en W.m$^{-2}$, a un niveau sonore L($I$), exprimé en décibels (dB), défini par L$(I) = 10\log \left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ où $I_{0} = 10^{-12}$ W.m$^{-2}$. 
%
%\medskip
%
%Les questions l, 2 et 3 concernent la gamme de tempérament égal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On ajoute une quinte juste à la note LA$_{3}$·
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle note obtient-on ?
Ajouter une quinte juste, revient à ajouter 7 demi-tons:		
				 
\begin{center}
\Rnode{X}{LA$_3$} \quad LA\#$_3$ \quad SI$_3$ \quad DO$_4$ \quad DO\#$_4$ \quad R\'E$_4$ \quad R\'E\#$_4$ \quad  \Rnode{Y}{MI$_4$} 
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$+7$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}

Donc on obtient la note MI$_4$.
		\item% Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de la note obtenue. Donner la valeur arrondie à l'unité.
On monte de 7 demi-tons et la fréquence du LA$_3$ est de 440~Hz, donc la fréquence du MI$_4$ est:
 
$440\times q^7 = 440 \times 2^{\frac{7}{12}} \approx 659$~Hz.
	\end{enumerate} 
\item En ajoutant une quinte juste à une note, on obtient la note LA$_{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item On retranche 7 demi-tons à la note LA$_3$ pour obtenir la note dont on est parti:

\begin{center}
DO\#$_3$ \quad \Rnode{Y}{R\'E$_3$} \quad R\'E\#$_3$ \quad MI$_3$ \quad FA$_3$ \quad FA\#$_3$ \quad SOL$_3$ \quad SOL\#$_3$ \quad \Rnode{X}{LA$_3$}  
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$-7$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}

On est parti du RÉ$_3$.

		\item% Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de cette note. Donner la valeur arrondie à l'unité.
Le RÉ$_3$ est situé 7 demi-tons en dessous du LA$_3$ donc sa fréquence est:
$\dfrac{440}{q^7} = \dfrac{440}{2^{\frac{7}{12}}} \approx 294$~Hz.
	\end{enumerate}		 
\item Le rapport de fréquences $f_{1}$ et $f_{2}$, exprimées en hertz, de deux notes est de l'ordre de \np{2,3784}.
 
On désigne par $n$ le nombre de demi-tons qui séparent les deux notes. 
	\begin{enumerate}
		\item%  Démontrer que résoudre l'équation $2^{\frac{n}{12}} = \nombre{2,3784}$ permet de trouver le nombre $n$. 
On suppose $f_1<f_2$. Il y a $n$ demi-tons qui séparent la note de fréquence $f_1$ de la note de fréquence $f_2$ donc on cherche $n$ tel que: $f_2 = f_1\times q^n$ ce qui équivaut à $f_2 = f_1 \times 2^{\frac{n}{12}}$ ou encore $\dfrac{f_2}{f_1}= 2^{\frac{n}{12}}$.

On sait que $\dfrac{f_2}{f_1}= \nombre{2,3784}$ donc on cherche $n$ tel que $2^{\frac{n}{12}} = \nombre{2,3784}$.
		\item%  En déduire le nombre entier $n$.
$2^{\frac{n}{12}} = \nombre{2,3784}
\iff
\log\left (2^{\frac{n}{12}}\right ) = \log\left ( \nombre{2,3784}\right )
\iff
\dfrac{n}{12}\log\left (2\right ) = \log\left ( \nombre{2,3784}\right )
\iff
n= 12\times \dfrac{\log (\nombre{2,3784} )}{\log(2)}
$

On trouve $n=15$; 
il y a donc 15 demi-tons qui séparent les deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$.

	\end{enumerate} 

\item  Un son a une intensité sonore $I_{1}$, égale à $3,7 \times 10^{-6}$W.m$^{-2}$.% Calculer son niveau sonore L$\left(I_{1}\right)$. On donnera le résultat à 1~dB près. 

Son niveau sonore est: 
$L(I_1) = 10\,\log \left ( \dfrac{I_1}{I_0}\right )
= 10\,\log \left ( \dfrac{3,7\times 10^{-6}}{10^{-12}}\right )
= 10\,\log \left ( 3,7\times 10^{5}\right )
\approx 56$~dB.

\item Un son d'intensité sonore $I_{2}$ a un niveau sonore L$\left(I_{2}\right)$ égal à $45$~dB.% Déterminer une valeur approchée à $10^{-8}$ près de l'intensité sonore $I_{2}$ exprimée en W.m$^{-2}$. 

On cherche donc l'intensité $I_2$ telle que $L(I_2)= 45$:

$L(I_2)= 45
\iff
10\,\log \left ( \dfrac{I_2}{I_0}\right ) = 45
\iff
\log \left ( \dfrac{I_2}{10^{-12}}\right ) = 4,5
\iff
\log \left ( I_2\times 10^{12} \right ) = 4,5
\iff 
I_2 \times 10^{12} = 10^{4,5}\\[5pt]
\phantom{L(I_2)= 45}
\iff
I_2 = \dfrac{10^{4,5}}{10^{12}}
\iff 
I_2 = 10^{-7,5}
\iff
I_2 \approx 3\times 10^{-8}$~W.m$^{-2}$

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 7 points} 

 
%On désigne par I l'intervalle [1~;~9].
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I = [1~;~9], par : 
$f(x) = 10 \times  \dfrac{\ln (x) - 1}{x}$.
 
%On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I et par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. 

\begin{enumerate}
\item%  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = 10 \times  \dfrac{2 - \ln (x)}{x^2}$.
$f'(x)= 10\times \dfrac{\dfrac{1}{x}\times x - (\ln(x) -1) \times 1}{x^2}
= 10\times \dfrac{1 - \ln(x) + 1}{x^2}
= 10\times \dfrac{2-\ln(x)}{x^2}$

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation $2 - \ln (x) = 0$ puis l'inéquation $2 - \ln (x) > 0$. 
$2-\ln(x)=0 \iff 2=\ln(x) \iff \e^{2} = x \iff x= \e^{2}$

$2-\ln(x)>0 \iff 2>\ln(x) \iff \e^{2} > x \iff x < \e^{2}$
		
		\item% En déduire, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On en déduit le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & \e^{2} & \esp  & 9 \\
\hline
2-\ln(x) &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{-} &   \\
\hline
x^2 &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{-} &   \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

$f(1) = 10\times \dfrac{\ln(1) - 1}{1} = -10$;
$f(\e^{2}) = 10\times \dfrac{\ln(\e^{2}) - 1}{\e^{2}} 
= 10 \times \dfrac{2-1}{\e^{2}} = 10\e^{-2}\approx 1,35$;

$f(9)= 10\times \dfrac{\ln(9) - 1}{9} \approx 1,33$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur I:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & \e^{2} & \hspace*{\esp} & 9 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{10\e^{-2}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-10} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\dfrac{10}{9}\left ( \ln(9) - 1 \right )} \rule[-10pt]{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

	\end{enumerate} 

\item 

	\begin{enumerate}

		\item  On résout, dans l'intervalle I, l'équation $f(x) = 0$:
		
$f(x)=0 \iff 10\times \dfrac{\ln(x)-1}{x} = 0 \iff
\ln(x)-1=0 \iff \ln(x)=1 \iff x=\e$		


		\item  Donc la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ passe par le point de coordonnées $(\e~;~0)$.

	\end{enumerate} 

\item On complète le tableau de valeurs suivant:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&2&e	&3	&4	&5	&7	&9\\ \hline
$f(x)$	& $-10$	& $-1,53$ & 0 & 0,33 & 0,97	& 1,22 & 1,35 & 1,33 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item La tangente parallèle à l'axe des abscisses passe par le point de la courbe en lequel la dérivée s'annule, donc par le point de coordonnées $\left ( \e^{2}~;~10\e^{-2}\right )$; cette droite a donc pour équation $y= 10\e^{-2}$.

On construit, dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm, la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la tangente parallèle à l'axe des abscisses: 

\begin{center}
%%% unités en abscisse et ordonnée
\psset{unit=1cm}

%%% rectangle de tracé
\def\xmin {-1}   \def\xmax {10}
\def\ymin {-11}   \def\ymax {4}

%%% réservation du rectangle de tracé
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

%%% grille
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray!70] 

%%% axes
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 

%%% origine O
\uput[dl](0,0){O}

%%% vecteurs unitaires
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect{\imath}$,-120][$\vect{\jmath}$,210]

%%% définition de la fonction f en notation polonaise inverse
\def\f{x ln 1 sub x  div 10 mul}

%%% tracé de la fonction f
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{1}{9}{\f}
\uput[dr](1.5,-4){\blue $\mathcal{C}$}

%%% tracé de la tangente horizontale
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red,linewidth=1.2pt]{0.5}{9.5}{1.353}
\uput[u](2,1.35){\red $y= 10\e^{-2}$}

\end{pspicture}
\end{center}


\end{enumerate} 

\bigskip

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points} 

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est 2~cm.
 
\begin{enumerate}
\item  On considère le point M$_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item%  Placer le point M$_{1}$ dans le repère \Ouv. 
Voir figure.		
		
		\item%  Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$.
$|z_1| = \ds\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
donc
$z_1
=\sqrt{2} \left ( \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \i \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )		
= \sqrt{2} \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$

On cherche le réel $\alpha$ tel que: $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\alpha = -\dfrac{\pi}{4}$ à $2\pi$ près.

Le nombre complexe $z_1$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $-\dfrac{\pi}{4}$. 		
		
	\end{enumerate} 

\item On considère le nombre complexe $z_{2}$ de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$ et M$_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$. 

	\begin{enumerate}

	\item 	 
Le module de $z_2$ est égal à 2 donc le point M$_2$ se trouve sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 2.

On place le point A d'affixe 2 et on trace l'arc de cercle de centre A et de rayon 2; il coupe le cercle $\mathcal{C}$ en deux points et le point d'ordonnée positive est le point M$_2$.
		 
Voir figure.		 
		 		 		 
	\item% Écrire le nombre complexe $z_{2}$ sous la forme algébrique $a + \text{i} b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. 
$z_2= 2 \left ( \cos \dfrac{\pi}{3} + \i \sin \dfrac{\pi}{3} \right )
= 2 \left ( \dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )
= 1+\i \sqrt{3}$

	\end{enumerate}

\item

	\begin{enumerate}

		\item%  Démontrer que  $\dfrac{z_{2}}{z_{1}} = \left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$. 
$\dfrac{z_2}{z_1} 
= \dfrac{1+\i\sqrt{3}}{1-\i}
= \dfrac{\left (1+\i\sqrt{3}\right )\left (1+\i\right )}{\left (1-\i\right )\left (1+\i\right )}
= \dfrac{1+\i \sqrt{3} +\i - \sqrt{3}}{2}
= \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

		\item% En utilisant le résultat de la question 1. b., prouver que le nombre complexe $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}$ a pour  module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{7\pi}{12}$. 
D'après le cours:
$\left | \dfrac{z_2}{z_1} \right |
= \dfrac{|z_2|}{|z_1|}
= \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$;

et:
$\arg \left ( \dfrac{z_2}{z_1} \right ) = \arg\left ( z_2 \right ) - \arg \left ( z_1 \right )
= \dfrac{\pi}{3} - \left ( -\dfrac{\pi}{4}\right )
= \dfrac{\pi}{3} +\dfrac{\pi}{4}
= \dfrac{7\pi}{12}$ à $2\pi$ près.

		\item% Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.
D'après les questions précédentes:
$\dfrac{z_2}{z_1} = \sqrt{2} \left ( \cos \dfrac{7\pi}{12} + \i \sin \dfrac{7\pi}{12}\right )$
et
$ \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

En égalisant les parties réelles et les parties imaginaires on trouve:

$\sqrt{2} \cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$ donc
$\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
et
$\sqrt{2} \sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ donc
$\sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.

		
	\end{enumerate}
	
\vspace{0.5cm}
	
\begin{center}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-3}   \def\ymax {3}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 2,PtNameMath=false}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=orange!80,subgridcolor=orange!80]
\psaxes[linewidth=1.2pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect{u}$,-120][$\vect{v}$,210]
\uput[dl](0,0){O} \uput[60](2;60){M$_2$} \uput[-45](1,-1){M$_1$}  
\psdots(1,-1) \uput[dr](2,0){\red A}
\pscircle[linecolor=red](0,0){2}
\psarc{->}(0,0){0.7}{0}{60}  \uput[30](0.7;30){$\frac{\pi}{3}$}
\psarc{<-}(0,0){0.5}{-45}{0} \uput[-22.5](0.5;-22.5){$\frac{-\pi}{4}$}
\psline(2;60)(0,0)(1,-1)
\psarc[linecolor=red](2,0){2}{110}{130}
\end{pspicture}
\end{center}	
	
\end{enumerate}

\end{document}