\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pst-all,pst-eucl}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{vmargin}
\setmarginsrb{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
%\setlength\paperheight{297mm}
%\setlength\paperwidth{210mm}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole  juin 2012 - Corrigé},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\ Métropole juin  2012}}
    
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat traitera trois exercices :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
%\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

%\medskip
%
%On note I l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~10\right]$. On désigne par ln la fonction logarithme népérien. 
%
%On note e le nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.
%
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\text I = \left[\dfrac{1}{2}~;~10\right]$ par $g(x) = \ln x - 1$.
 
\begin{enumerate}
\item% Résoudre, sur l'intervalle I, l'équation $g(x) = 0$.
$g(x)=0 \iff \ln x -1 = 0 \iff \ln x = 1 \iff x=\e$ et $\e \in \text I$.

\item% Résoudre, sur l'intervalle I, l'inéquation $g(x) \geqslant  0$ et en déduire le tableau de signe de $g(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle 1.

$g(x)\geqslant 0 \iff \ln x -1 \geqslant 0 \iff \ln x \geqslant 1 \iff x \geqslant \e$; l'ensemble solution sur I est $\left [ \e~;~10\right ]$. 

\begin{tabular}{@{} l @{\hspace*{1cm} \textbullet \hspace*{0.5cm}} l}
Donc sur l'intervalle I: & $g(x)<0$ sur $\left [ \dfrac{1}{2}~;~\e \right[$;\\
 & $g(x)=0$ pour $x=\e$;\\
 & $g(x)>0$ sur $\left ] \e~;~10 \right ]$.
\end{tabular}

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par 
$f(x) = x\left (\ln x - 2\right )$.
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer la valeur exacte de $f(\text{e})$.
$f(\e) = \e \left ( \ln \e - 2 \right )
= \e \left ( 1-2\right )
= -\e$

\item% On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
 
%Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle I, et vérifier que l'on a $f^{\prime}(x) = g(x)$. 

$f'(x) = 1\times (\ln x - 2) + x\times \left ( \dfrac{1}{x} - 0\right )
= \ln x - 2 + 1 = \ln x - 1 = g(x)$

\item% En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\begin{tabular}[t]{@{} l @{\hspace*{1cm} \textbullet \hspace*{0.5cm}} l}
On en déduit le signe de $f'(x)$: & $f'(x)<0$ sur $\left [ \dfrac{1}{2}~;~\e \right[$;\\
 & $f'(x)=0$ pour $x=\e$;\\
 & $f'(x)>0$ sur $\left ] \e~;~10 \right ]$.
\end{tabular}

$f\left (\dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{\ln \frac{1}{2}-2}{2}$ et 
$f(10) = 10\left ( \ln 10 - 2\right )$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & \frac{1}{2} & \hspace*{\esp} & \e & \hspace*{\esp} & 10 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\dfrac{\ln \frac{•}{2} - 2}{2}}  &  &  &  & \Rnode{max2}{10 \left ( \ln 10 - 2 \right )}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-\e} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij{} d'unités graphiques 1~cm.

	\begin{enumerate}

		\item On complète le tableau suivant:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,5&1	& 2	& e	&3,5& 4 &5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10\\ \hline
$f(x)$	&$-1,35$&$-2$&$-2,61$&$-2,72$&$-2,62$&$-2,46$&$-1,95$&$-1,25$&$-0,38$&$0,64$&$1,78$&$3,03$\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item On trace la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij: 

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2,PtNameMath=false}
\def\xmin{-2} \def\xmax{11} \def\ymin{-5} \def\ymax{5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=gray!80](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,1){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue, plotpoints=2000]{0.5}{10}{x x ln 2 sub mul}
\uput[dr](8,0.64){\blue $\mathcal C$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

%\medskip
% 
%Pour attirer la clientèle, un supermarché organise un jeu : pour tout passage en caisse, chaque client se voit remettre un ticket. Il gagne soit un paquet de bonbons soit un bon d'achat de 150~\euro, selon les modalités suivantes :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 1\up{re} étape : un grattage du ticket révèle soit une marque verte, soit une marque rouge.
% 
%La marque est verte dans 35\,\% des cas.
%\item[$\bullet~~$] 2\up{e} étape : le ticket est passé dans une borne qui indique le gain du client.
%\begin{itemize}
%\item Si le ticket porte une marque verte, le client remporte un paquet de bonbons dans 90\,\% des cas et un bon d'achat de 150~\euro{} dans tous les autres cas. 
%\item Si le ticket porte une marque rouge, le client remporte un paquet de bonbons dans 98\,\% des cas et un bon d'achat de 150~\euro{} dans tous les autres cas.
%\end{itemize}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Tous les tickets ont été distribués.
% 
%À la sortie du magasin, on interroge un client au hasard. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.
% 
%On note 
%
%$V$ l'évènement \og le client a eu un ticket avec une marque verte \fg{}; 
%
%$R$ l'évènement \og le client a eu un ticket avec une marque rouge\fg{}; 
%
%$A$ l'évènement \og le client a gagné un bon d'achat de 150~\euro\fg{};
% 
%$B$ l'évènement \og le client a gagné un paquet de bonbons\fg.
 
\begin{enumerate}
\item% D'après l'énoncé :

	\begin{enumerate}

		\item% Parmi les évènements $V, R, A$ et $B$, lequel a $0,35$ pour probabilité ? 
D'après l'énoncé, la marque est verte dans 35\,\% des cas donc c'est l'événement $V$ qui a une probabilité de 0,35.		
		
		\item% Donner $p(B)$, la probabilité que le client gagne des bonbons sachant que son ticket est rouge.
D'après l'énoncé, si le ticket porte une marque rouge, le client remporte un paquet de bonbons dans 98\,\% des cas donc la probabilité $p_R(B)$ que le client gagne des bonbons sachant que son ticket est rouge est $0,98$.

	\end{enumerate} 

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer $p_V(A)$, la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $V$ est réalisé. 
$p_V(A)= 1-p_V(B) = 1-0,9 = 0,1$

		\item On complète l'arbre de probabilités modélisant la situation étudiée:
		
\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,treesep=1.3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$V$}\taput{$0,35$}}
	{\TR{$B$}\taput{0,9}
	\TR{$A$}\tbput{$0,1$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$}\tbput{0,65}}
	{\TR{$B$}\taput{0,98}
	\TR{$A$}\tbput{0,02}
	}
}
\bigskip
\end{center}
 
	\end{enumerate}

\item L'événement $V \cap A$ est \og le client a eu un ticket vert et a gagné un bon d'achat de 150~\euro{}\fg.

D'après l'arbre:
$p(V \cap A)= p(V) \times p_V(A) = 0,35\times 0,1 = 0,035$.  

\item% Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ est égale à $0,048$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$p(A)=p(V\cap A) + p(R\cap A) = 0,035 + 0,65\times 0,02 = 0,35 + 0,013 = 0,048$.

\item On sait que le client a gagné un bon d'achat de 150~\euro. 

La probabilité qu'il ait eu un ticket portant une marge rouge est:
$p_A(R) = \dfrac{p(R\cap A)}{p(A)} = \dfrac{0,013}{0,048} \approx 0,27$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] On considère la gamme tempérée : l'octave est divisée en 12 demi-tons (DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI). Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note est multipliée par $q =2^{\frac{1}{12}}$ ; une quinte correspond à 7 demi-tons. 
%\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier, et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Par exemple, la note LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, et la note LA$_{4}$ à la note LA de l'octave supérieure d'indice 4. 
%\item[$\bullet~~$] log désigne la fonction logarithme décimal. 
%\item[$\bullet~~$] Pour deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ exprimées en Hertz, avec $f_{2} > f_{1}$ ; , la différence de hauteur de ces notes exprimée en savarts est égale à $\np{1000} \text{log}\left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$. 
%\item[$\bullet~~$] On rappelle que lorsque deux entiers $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 12 et on note 
%
%$a \equiv b \quad \text{modulo}\: 12$.
%\end{itemize}
% 
%Les fréquences demandées seront arrondies au dixième. 
%
%On considère le LA$_{3}$ de fréquence $440$ Hz.
%
%\medskip

\begin{enumerate}

\item À partir du LA$_{3}$ on monte de 17 demi-tons. 

	\begin{enumerate}

		\item% Quelle est la note obtenue ? 
Si on monte de 12 demi-tons, on passe du LA de l'octave 3 au LA de l'octave 4. Puis on monte encore de 5 demi-tons, ce qui donne le RÉ de l'octave 5.

\begin{center}
${\ldots{} \quad \Rnode{X}{\text{LA}_3} \quad \ldots \quad \ldots \quad  \Rnode{Y}{\text{LA}_4} \quad \text{LA}\#_4 \quad \text{SI}_4} \quad \text{DO}_5 \quad \text{DO}\#_5 \quad \Rnode{Z}{\text{R\'E}_5} \quad  \ldots$
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$+12$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$+5$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}

		\item% Quelle est la fréquence de cette note ? 
La suite des fréquences est géométrique de raison $q$ avec $q=2^{\frac{1}{12}}$; la fréquence obtenue est donc

$440\times q^{17} = 440\times 2^{\frac{17}{12}} \approx \np{1174,7}$~Hz.

		\item% De combien de savarts est-on monté? (on arrondira à l'unité).
La différence de hauteur de ces notes est donnée par

$\np{1000}\,\log\left ( \dfrac{f_2}{f_1} \right ) 
= \np{1000}\,\log\left ( \dfrac{440\times 2^{\frac{17}{12}}}{440}\right )  
= \np{1000}\,\log\left ( 2^{\frac{17}{12}} \right )
= \np{1000}\times \dfrac{17}{12} \,\log(2)
\approx 426$~savarts.

	\end{enumerate} 
\item À partir du LA$_{3}$, on monte de $n$ quintes, (où $n$ désigne un nombre entier) et on obtient la note DO.% On cherche à déterminer la valeur de l'entier $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que le problème revient à résoudre l'équation $7n \equiv 3\:\: (\text{modulo}\: 12)$. 
Monter du LA au DO de l'octave du dessus, c'est monter de 3 demi-tons. Pour atteindre la note DO suivante, il faut monter de $3+12$ demi-tons, puis de $3+2\times 12$ pour le DO d'après, etc.

Il faut donc monter de $3+12k$ demi-tons où $k$ est un entier naturel.

On doit donc avoir $7n = 3+12k$ ce qui équivaut à $7n \equiv 3 \text{ modulo } 12$.

		\item On complète le tableau suivant 
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$&0 &1&2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline
$7n$ modulo 12&0&7&2&9&4&11&6&1&8&\textcolor{red}{3}&10&5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item% En déduire la valeur de l'entier $n$.
D'après le tableau de congruences, pour $n=9$, $7n$ est congru à 3 modulo 12; plus précisément, $7\times 9 = 63 = 12\times 5 + 3$. On passe donc du LA$_3$ au DO situé 5 octaves plus haut, c'est-à-dire au DO$_8$ en montant de 9 quintes.

	\end{enumerate} 
\item On joue une note dont la fréquence est $311,1$ Hz.

%On pose $q =2^{\frac{1}{12}}$. 

	\begin{enumerate}
		\item% Donner une valeur approchée, arrondie au millième, de $q^3,\:q^6$ et $q^9$.
$q^3 = 2^{\frac{3}{12}} \approx 1,189$;
$q^6 = 2^{\frac{6}{12}} \approx 1,414$;
$q^9 = 2^{\frac{9}{12}} \approx 1,682$
		 
		\item% À partir du LA$_{3}$, de combien de demi-tons est-on descendu pour obtenir cette note ? 
On cherche le nombre $n$ de demi-tons dont il faut descendre pour passer du LA$_4$ à la note de fréquence 311,1~Hz; on cherche donc $n$ tel que $311,1\times q^n = 440$ ou encore $311,1 \times 2^{\frac{n}{12}} = 440$:

$311,1 \times 2^{\frac{n}{12}} = 440
\iff
2^{\frac{n}{12}} =  \dfrac{440}{311,1}
\iff
2^{\frac{n}{12}} \approx 1,414$
donc
$n \approx 6$ d'après la question \textbf{3.a.}

On descend donc de 6 demi-tons pour passer  de la note de fréquence 440~Hz (le LA$_3$) à la note de fréquence 311,1~Hz.

		\item% Quelle est la note obtenue ?
On descend de 6 demi-tons depuis la note LA$_3$ donc on arrive à la note RÉ\#$_3$: 

\begin{center}
$\text{DO}_3 \quad \text{DO}\#_3 \quad \text{RÉ}_3 \quad \Rnode{Y}{\text{RÉ}\#_3} \quad \text{MI}_3 \quad \text{FA}_3 \quad \text{FA}\#_3 \quad \text{SOL}_3 \quad \text{SOL}\#_3 \quad  \Rnode{X}{\text{LA}_3} \quad \text{LA}\#_3 \quad \text{SI}_3 \quad \text{DO}_4$
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$-6$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}

	\end{enumerate} 
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est de 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
\begin{enumerate}
\item On considère le point M$_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure. 
		\item% Calculer le module du nombre complexe $z_{1}$ et déterminer un argument de $z_{1}$.
$\left | z_1 \right |^2=1^2+1^2=2$ donc $\left |z_1 \right |=\sqrt{2}$

On écrit donc 
$z_1
= \sqrt{2} \left ( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \i \right )
= \sqrt{2} \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \i \right )
$

On cherche un réel $\alpha$ tel que $\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\alpha)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; le réel $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ répond à la question.

Le nombre complexe $z_1$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère le nombre complexe $z_{2}$ de module $2$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$, et M$_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item% Construire le point M$_{2}$ dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de construction. 
Le module de $z_2$ vaut 2 donc le point M$_2$ se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Soit A le point d'affixe 2. On trace le point B tel que OAB soit un triangle équilatéral direct, et le point M$_2$ est tel que le triangle OBM$_2$ soit équilatéral direct. Ainsi l'angle AOM$_2$ mesure $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.

		\item% Écrire le nombre complexe $z_{2}$ sous la forme algébrique $a + \text{i}b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
Le nombre complexe $z_2$ a pour module $2$ et pour argument $\dfrac{2\pi}{3}$ donc:

$z_2 = 2 \left( \cos \left ( \dfrac{2\pi}{3}\right ) + \i \sin \left ( \dfrac{2\pi}{3} \right ) \right )
= 2 \left ( -\dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )
= -1 + \i \sqrt{3}$

	\end{enumerate}
\item	 
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $z_{1} \times z_{2}$.
$z_1\times z_2 = \left ( 1+\i \right ) \left ( -1+\i \sqrt{3}\right )
= -1 - \i + \i \sqrt{3} + \i^2 \sqrt{3}
= -1 +\i \left ( -1 + \sqrt{3} \right ) - \sqrt{3}
= \left ( -1 - \sqrt{3} \right ) +\i \left ( -1 + \sqrt{3} \right )$
		 
		\item% En utilisant le résultat de la question 1. b., démontrer que le nombre complexe $z_{1} \times z_{2}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{11\pi}{12}$. 
D'après le cours:
$\left | z_1\times z_2\right | 
= \left | z_1 \right |\times \left |z_2\right |$
donc $\left | z_1\times z_2\right | = \sqrt{2}\times 2 = 2\sqrt{2}$

On sait aussi que:
$\arg\left ( z_1 \times z_2 \right )
= \arg\left ( z_1 \right ) + \arg \left ( z_2\right ) \text{ modulo } 2\pi$ 
  
donc
$\arg\left ( z_1 \times z_2 \right )
= \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2\pi}{3}
= \dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{8\pi}{12}
= \dfrac{11\pi}{12} \text{ modulo } 2\pi$

Le nombre complexe $z_1\times z_2$ a donc pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{11\pi}{12}$.


		\item% Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{11\pi}{12} \right)$  et $\sin \left(\dfrac{11\pi}{12} \right)$. 
D'après la question \textbf{2.b.} on peut dire que
$z_1\times z_2 = 2\sqrt{2} \left ( \cos \left ( \dfrac{11\pi}{12}\right ) + \i \sin \left ( \dfrac{11\pi}{12}\right )\right )$.

D'après la question \textbf{2.a.} on peut dire que
$z_1\times z_2
= \left ( -1 - \sqrt{3} \right ) +\i \left ( -1 + \sqrt{3} \right )$.

Par identification des parties réelles et des parties imaginaires, on peut dire que:

$2\sqrt{2} \cos \left ( \dfrac{11\pi}{12}\right ) =  -1 - \sqrt{3}$
et que
$2\sqrt{2} \sin \left ( \dfrac{11\pi}{12}\right ) =  -1 + \sqrt{3}$.

Donc
$\cos \left ( \dfrac{11\pi}{12}\right ) 
= \dfrac{ -1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
= \dfrac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
et
$\sin \left ( \dfrac{11\pi}{12}\right ) 
= \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} 
= \dfrac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 2,PtNameMath=false}
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=gray!60](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.8,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.8){$\vect{v}$}
\psdots(1,1) \uput[ur](1,1){M$_{1}$}
\psdots(2;120) \uput[120](2;120){M$_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
{
\psset{linecolor=red,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt}
\psarc(0,0){2}{-15}{195}
\psarc(2;60){2}{175}{245}
\psarc(2,0){2}{115}{185}
\uput[dr](2,0){\red A} \uput[u](2;60){\red B}
\psline(2,0)(2;60)(0,0)
\psline(2;60)(2;120)
}
\psarc[linecolor=blue]{->}(0,0){0.5}{0}{120}
\uput[60](0.5;60){\blue $\frac{2\pi}{3}$}
\psline(1,1)(0,0)(2;120)
%\pstRightAngle[linecolor=black,RightAngleSize=0.15]{A}{O}{B}
%\psarc{->}(O){0.7}{0}{30}  \uput[15](0.7;15){$\frac{\pi}{6}$}
%\psarc{->}(O){0.5}{0}{120} \uput[60](0.5;60){$\frac{2\pi}{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}