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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technologique, techniques de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du Baccalauréat technologique TMD~\decofourright\\[5pt]Métropole  19 juin 2018}}
 
\end{center}

\vspace{0,75cm}
{\footnotesize

Le candidat traitera \textbf{{\large trois} \textsc{exercices} }:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice1}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice 2}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ L’exercice} 3 (qui porte sur le programme de l’enseignement obligatoire)

\textbf{\large OU} \textbf{ l’exercice} 4 (qui porte sur le programme de l’enseignement renforcé.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Le candidat  indiquera clairement son choix sur la copie.}

\medskip

La page ~\pageref{exo}~/\pageref{LastPage} est une annexe à rendre avec la copie.

\vspace{0.5cm}
}
\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill (6 points)}

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Dans cet exercice, on s’intéresse aux blessures liées à la pratique de la danse chez des
professionnels. Ces blessures s’apparentent à celles rencontrées chez les sportifs de haut niveau.

Dans la suite de l’exercice, on désignera par \textbf{\og danseur \fg{} une femme ou un homme} pratiquant la
danse de manière professionnelle.

La région pied-cheville est particulièrement sollicitée au cours de la carrière de danseur et les
blessures de cette partie du corps nécessitent un traitement spécifique.

Dans une clinique spécialisée dans le traitement des blessures des sportifs, on étudie les dossiers des
danseurs qui ont été soignés pour des blessures liées à leur profession.

\medskip

On constate que :

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 58\,\% des danseurs soignés dans cette clinique, pour des blessures liées à leur profession,
sont des femmes ;
\item [$\bullet$] parmi les danseurs soignés dans cette clinique, pour des blessures liées à leur profession :
\begin{itemize}
\item [\tiny  $\square$] 46\,\% des hommes ont été soignés pour des blessures de la région pied-cheville ;
\item [\tiny $\square$] 62\,\% des femmes ont été soignées pour des blessures de la région pied-cheville.
\end{itemize}
\end{itemize}

On choisit au hasard le dossier d’un danseur soigné dans cette clinique pour une blessure liée à sa profession.


On note $F$ l’évènement \og le dossier est celui d’une femme\fg{} et $C$ l’évènement \og le dossier est celui d’un danseur qui a été soigné pour une blessure de la région pied-cheville\fg.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$B$ étant un évènement de probabilité non nulle, $P_{B}( A)$    est la probabilité de l’évènement $A$ sachant
que l’évènement $B$ est réalisé.\\
$\overline{B}$ est l’évènement contraire de $B$.\\
\hline
\end{tabularx}
}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Donnons à partir de l’énoncé :
			\begin{enumerate}
			\item  la probabilité $P(F)$ de l’évènement $F$. $P(F)=\np{0.58}$ car 58\,\% des danseurs soignés dans cette clinique, pour des blessures liées à leur profession, sont des femmes ;
			\item  la probabilité $P_{F}(C)$ de l’évènement $C$ sachant que l’évènement $F$ est réalisé.

 $P_F(C)=\np{0.62}$ car 62\,\% des femmes ont été soignées pour des blessures de la région pied-cheville.
			\end{enumerate}
\item La situation de l’exercice est modélisée par l’arbre pondéré représenté ci-dessous.

%Il  est complété par les valeurs. représentées par des pointillés.
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$~}\taput{$\np{0.58}$}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{$\np{0.62}$}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{$\np{0.38}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$~}\tbput{$\np{0.42}$}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\np{0.46}}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{$\np{0.54}$}
	  }
	
}
\end{center}



 \item \begin{enumerate}
		\item L’évènement $\overline{F}\cap C$ est : \og Le dossier est celui d'un danseur  homme soigné pour des blessures pied-cheville\fg.
		\item Sa probabilité  $P\left(\overline{F} \cap C\right)$ est : $P\left(\overline{F}\cap C\right) = P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(C) = \np{0.42}\times \np{0.46} = \np{0.1932}$.
		\end{enumerate}
\item Montrons que la probabilité $P(C)$ de l’évènement $C$ est égale à \np{0,5528}. C et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers.

$P(C) = P(F\cap C) + P\left(\overline{F}\cap C\right) = P(F)\times P_{F}(C)+ \np{0.1932}= \np{0.58}\times\np{0.62} + \np{0.1932} = \np{0.3596}+\np{0.1932}=\np{0.5528}$. 

Nous obtenons bien la valeur cherchée.
\item La directrice de la clinique affirme que plus d’un tiers des danseurs soignés dans son
établissement pour une blessure pied-cheville sont des hommes. Cette affirmation est exacte. 

Calculons,  sachant que le danseur est soigné pour une blessure pied-cheville, la probabilité qu'il soit un homme c'est-à-dire calculons $P_{C}(\overline{F})$

$P_{C}(\overline{F})=\dfrac{P\left(\overline{F}\cap C\right)}{P(C)} = \dfrac{\np{0.1932}}{\np{0.5528}}\approx \np{0.3495}$. Le résultat est supérieur à un tiers.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill (8 points)}

\vspace{0.5cm}

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 2,5]. On désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\textbf{Partie 1 : Lecture graphique}

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par la lecture du graphique. Aucune justification n’est attendue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $f'(2)$ le nombre dérivé de $f$ en 2 est d'environ \np{7.5}.
\item La valeur maximale de la fonction $f$ sur l’intervalle [0~;~2,5] est d'environ \np{6.75}.
\item Graphiquement dans l’intervalle [0~;~2,5] l’équation $f(x) = 2$ a une solution \np{2.21}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-3)(3.2,7.4)
\multido{\n=-0.2+0.2}{18}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-2.5)(\n,7.4)}
\multido{\n=-2.4+0.2}{50}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-0.2,\n)(3.2,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.85pt,]{-}(0,0)(-0.25,-2.6)(3.2,7.4)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{2.5}{ 2.71828 x  exp 2  x sub mul  4 add }
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=darkgray](\n,-2.5)(\n,7.4)}
\multido{\n=-2+1}{10}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=darkgray](-0.2,\n)(3.2,\n)}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[l](0,0.52){$\vect{\jmath}$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[ur](2.3,-1){\blue $\mathcal{C}$}
\psset{arrowscale=1.8}
\def\Func{2 x sub   2.71828 2 exp mul   4 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.5pt,linecolor=cyan]{1.58}{2.43}{\Func}
\psline[linecolor=cyan, linewidth=0.75pt,linestyle=dashed]{<->}(1.6,7)(2.4,7)
\psline[linecolor=cyan, linewidth=0.75pt,linestyle=dashed]{<->}(2.4,7)(2.4,1)
\uput[u](2,7){$\approx \np{0.8}$}\uput[r](2.4,3.2){6}
\def\graph{ 2.71828 x  exp 2  x sub mul  4 add }
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 1 def \graph)(!1 /x 1 def \graph)(1,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=amber,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 2.217715 def \graph)(!2.217715 /x 2.217715 def \graph)(2.217715,0)
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\textbf{Partie 2 : Étude de la fonction $f$}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle [0 ; 2,5] par l’expression :

\[ f(x) = (2 - x)\e^{x} + 4.\]
\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle [0 ; 2,5], $f '(x) = -1\times\e^{x}+(2-x)\e^{x}=(1- x)\e^{x} $.
\item Étudions le signe de $f '(x)$ sur l’intervalle [0 ; 2,5].

Sur $\R,\quad \e^{x}>0$  il en est de même sur [0~;~2,5]. Par conséquent le signe de $f'(x)$ est celui de $1-x$.

\begin{center}
 \begin{tabular}[]{|c|c >{\centering}m{1.1cm}c >{\centering}m{1.1cm}c|}
 \hline
$x$ & $0$& & $1$ & & $\np{2.5}$\\\hline
$1-x$&&$+$&0&$-$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$&0&$-$&\\
\hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\item Donnons les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~\np{2.5}]$.


Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~1[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]1~;~\np{2.5}],\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; \np{2.5}]$.
 
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$1$}    \uput[u](7.73,2.45){$\np{2.5}$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$6$}\uput[d](7.32,0.45){$\approx -\np{2.09}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.25){$\e+4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Calculons la valeur exacte de $f '(2)$ le nombre dérivé de $f$ en 2. $f'(2)=(1 - 2)\e^{2}=-\e^{2}$.
\item Montrons que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle [0 ; 2,5], $f (x) < 6,75$. La fonction $f$ admet un maximum en 1 qui vaut $\e+4$ soit approximativement \np{6.72818}.

 Comme \np{6.75} >\np{6.71}, pour tout $ x \in [0~;\np{~2.5}],\quad f(x)<\np{6.75}$.
\item  On admet que l’équation $f (x) = 2$ possède une seule solution comprise entre 2 et 2,5.\\
Appelons-la $\alpha$.

À l’aide de la calculatrice, un encadrement au centième de $\alpha$  est  $\np{2.21}\leqslant \alpha \leqslant \np{2.22}$.
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} portant sur l’enseignement obligatoire\hfill (6 points)}

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
\hline 

\textbf{Rappels :}\\
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Dans la gamme de tempérament égal, l’octave est divisée en douze demi-tons égaux
séparant les notes DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.

Quand on monte d’un demi-ton, la fréquence de la note, exprimée en hertz (Hz), est
multipliée par $2^{\frac{1}{12}}.$
\item On dit qu’une note $N_1$ est plus aiguë qu’une note $N_2$ lorsque la fréquence de $N_1$ est
supérieure à celle de $N_2$. On dit également que $N_2$ est plus grave que $N_1$.
\item À chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel et les notes d’une octave portent
l’indice de cette octave. Ainsi LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de
l’octave d’indice 3 et LA$_4$ correspond à la note LA de l’octave d’indice 4 située au-dessus
de l’octave d’indice 3. La fréquence de la note LA$_3$ est égale à \np[Hz]{440}.
\item Si $I$ est l’intensité sonore (exprimée en $\mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2})$ d’un son, alors son niveau sonore,
exprimé en décibels (dB), est $N(I)=10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ avec $I_0= \np[W\cdot m^{-2}]{e{-12}}$
\item Les intensités sonores s’ajoutent.
\item La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$
exprimées en hertz (avec   $f_1> f_2$), est donnée par $\np{1000}\log\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)$
, où $\log$ désigne la fonction logarithme décimal.
\end{itemize}\\
\hline

\end{tabularx}
\setlength\parindent{0mm}
}

{\footnotesize
On considère une guitare qui comporte six cordes et des tiges métalliques situées sur le manche,
appelées frettes, permettant en pinçant les cordes de modifier la note produite.
}

\psset{unit=0.875cm}
\begin{pspicture}(16,4)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=Dandelion](0,1.2)(16,1.2)(16,2.7)(0,2.7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](15.1,1.2)(15.2,2.7)
\multido{\n=1.35+0.25}{6}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(16,\n)}
\psline(0.3,1.2)(0.3,2.7)
\psline(0.6,1.2)(0.6,2.7)
\psline(0.9,1.2)(0.9,2.7)
\psline(1.22,1.2)(1.22,2.7)
\psline(1.6,1.2)(1.6,2.7)
\psline(1.95,1.2)(1.95,2.7)
\psline(2.3,1.2)(2.3,2.7)
\psline(2.7,1.2)(2.7,2.7)
\psline(3.15,1.2)(3.15,2.7)
\psline(3.6,1.2)(3.6,2.7)
\psline(4.1,1.2)(4.1,2.7)
\psline(4.6,1.2)(4.6,2.7)
\psline(5.15,1.2)(5.15,2.7)
\psline(5.75,1.2)(5.75,2.7)
\psline(6.4,1.2)(6.4,2.7)
\psline(7.05,1.2)(7.05,2.7)
\psline(7.8,1.2)(7.8,2.7)
\psline(8.5,1.2)(8.5,2.7)
\psline(9.2,1.2)(9.2,2.7)
\psline(10.1,1.2)(10.1,2.7)
\psline(10.9,1.2)(10.9,2.7)
\psline(11.9,1.2)(11.9,2.7)
\psline(12.9,1.2)(12.9,2.7)
\psline(14,1.2)(14,2.7)
\rput(12,0.2){Frettes}\psline{->}(11.6,0.3)(10.9,1.2)\psline{->}(11.6,0.3)(11.9,1.2)
\rput(5,3.5){Manche de la guitare}\psline{->}(6,3.3)(5,2.7)
\rput(11,3.5){Cordes}
\psline{->}(11,3.2)(9,2.6)
\psline{->}(11,3.2)(9,2.35)
\psline{->}(11,3.2)(9,2.1)
\psline{->}(11,3.2)(9,1.85)
\psline{->}(11,3.2)(9,1.6)
\psline{->}(11,3.2)(9,1.35)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Dandelion]{
\pscurve(15.2,2.7)(15.4,2.78)(15.6,2.9)(15.8,3.1)(16,3.25)
\psline(16,2.7)(15.2,2.7)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Dandelion]{
\pscurve(15.2,1.2)(15.4,1.12)(15.6,1)(15.8,0.8)(16,0.65)
\psline(16,1.2)(15.2,1.2)
}
\end{pspicture}

\medskip
{\footnotesize
On peut gratter chaque corde \og à vide\fg, c’est-à-dire sans pincer la corde sur le manche, ce qui
produit un son ; on peut aussi gratter chaque corde en la pinçant entre deux frettes, ce qui produit un
autre son.}

\begin{itemize}
\item Les notes produites par chacune des six cordes grattées \og à vide\fg{} sont les suivantes :

MI$_1$, LA$_1$, RÉ$_2$, SOL$_2$, SI$_2$ et MI$_3$.
\item  En pinçant une corde, on peut monter au maximum de 24 demi-tons à partir de la note
obtenue lorsque la même corde est grattée \og à vide\fg.
\end{itemize}



\begin{enumerate}
\item  La note la plus aiguë que l’on puisse obtenir avec cette guitare est MI$_5$.

 La note la plus aiguë \og à vide\fg{} est MI$_3$. En ajoutant 24 demi-tons ou 2 octaves, maximum possible, nous obtenons MI$_5$.
\item \begin{enumerate}
\item  Justifions que la fréquence, arrondie à l’unité, de la note MI$_3$ vaut \np[Hz]{330}.

La suite des fréquences forme une suite géométrique de raison $q=2^{\frac{1}{12}}$.

Entre MI$_3$ et LA$_3$, il y a 5 demi-tons.  Si $f$ est la fréquence de $MI_3$, la fréquence du LA$_3$ est $f\times \left(2^{\tfrac{1}{12}}\right)^5$ d'une part et 440 de l'autre.

Nous avons donc $f\times \left(2^{\tfrac{1}{12}}\right)^5=440$ d'où $f= \dfrac{440}{ \left(2^{\tfrac{1}{12}}\right)^5}\approx 330$.
\item Calculons la fréquence, arrondie à l’unité, de la note la plus grave produite par une corde
grattée \og à vide\fg{} (MI$_1$).

En ajoutant  2 octaves à MI$_1$ nous obtenons MI$_3$. À chaque octave ajoutée, nous multiplions la fréquence par 2 d'où la fréquence de MI$_1$ est le quart de la fréquence de MI$_3$ soit à l'unité près 83.
\item Calculons la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre les notes MI$_1$ et MI$_3$.

La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$
exprimées en hertz (avec   $f_2> f_1$), est donnée par $\np{1000}\log\left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$

Nous avons $\dfrac{f_2}{f_1}=4$ d'où  $\np{1000}\log(4)\approx 602$

la différence de hauteur entre les notes MI$_1$ et MI$_3$ est 602 savarts.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le tableau est complété sur l'\textbf{annexe page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie.}
		\item Un guitariste a endommagé la corde qui produit un MI$_3$ à vide et ne peut s’en servir.
		
Le guitariste peut jouer de Mi$_1$ à Si$_1$ soit 7 demi-tons, puis de Si$_1$ à Si$_4$, soit $3 \times 12 = 36$.

$7 + 36 = 43$ demi-tons séparent désormais la note la plus grave MI$_1$  et la note la plus aiguë SI$_4$ jouable sur cette guitare.
\end{enumerate}
\item Le niveau sonore des sons produits par cette guitare vaut \np[dB]{90}.

Quatre guitares du même modèle jouent simultanément avec un niveau sonore de \np[dB]{90}  chacune.

Calculons le niveau sonore, exprimé en dB, des sons produits par ces quatre guitares jouant simultanément.

Si $I$ est l'intensité sonore d'une guitare, nous avons $4I$ l'intensité sonore des quatre guitares. Le niveau sonore est alors : 

$N(4I)=10\log \left(\frac{4I}{10^{-12}}\right)=10 \left(\log \left( 4  \times \frac{I}{10^{-12}}\right)\right)=10\left(\log 4+\log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\right)=10\log (4)+N(I)$

$N(4I)=90+10\log 4  \approx \np{96.02}$

Le niveau sonore des sons produits par ces quatre guitares jouant simultanément est de \np[dB]{96.02}.
\end{enumerate}



\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  portant sur l’enseignement renforcé \hfill (6 points)}

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Le rapport 2017 du SNEP (Syndicat National de l’Édition Phonographique) présente une synthèse
du marché français de la musique enregistrée.

La répartition ci-dessous donne les revenus annuels de la musique enregistrée en France entre 2010
et 2016, les montants étant exprimés en \textbf{millions d’euros}.

On distingue deux types de revenus :
\begin{itemize}
\item les revenus des ventes physiques correspondant aux ventes de CD, disques vinyles,…
\item les revenus des ventes numériques correspondant aux ventes des services d’accès à la
musique en ligne (téléchargement légal ou lecture en ligne).
\end{itemize}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Année& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015 &2016\\\hline
Rang de l’année : $x_i$& 0& 1 &2& 3& 4 &5& 6\\\hline
Revenus annuels des ventes
physiques en millions d’euros : $y_i$ &466& 413& 364& 367& 325& 274& 267\\\hline
Revenus annuels des ventes
numériques en millions d’euros : $z_i$&88& 111& 125& 126& 133 &152& 183\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : rapport 2017 du SNEP}}
\end{tabularx}
}
\medskip
{\footnotesize
Le nuage des points de coordonnées $( x_i~;~y_i)$ associé à la série des revenus des ventes physiques est
représenté, en annexe  page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, par des croix $\times$.

Le nuage des points de coordonnées $(x_i~;~z_i)$ associé à la série des revenus des ventes numériques
est représenté, en annexe page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, par des points $\bullet$.
}
\begin{enumerate}
\item  On note $\mathcal{D}$ la droite d’ajustement de $y$ en $x$ de la série $(x_i~;~y_i)$, obtenue par la méthode des
moindres carrés. À l'aide de la calculatrice,l’équation de la droite $\mathcal{D}$ est $y=-\np{32.64}x+\np{451.64}$.
 %sous la forme $y = ax + b$ et la
Elle est  tracée dans le repère donné en \textbf{annexe  page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie}. 
Les valeurs $a$ et $b$ sont arrondies  au centième. %Aucune justification n’est attendue.
\end{enumerate}
Dans la suite de l’exercice, on choisit de modéliser l’évolution des revenus des ventes physiques
jusqu’en 2020 par la droite d’équation $y = -33x + 452$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner une estimation des revenus, en millions d’euros, des ventes physiques en 2020, selon ce
modèle. En 2020 $x=10$ . 

En remplaçant $x$ par 10 dans l'équation de la droite $y=-33\times 10+452=122$.
Selon ce modèle une estimation du revenu des ventes physiques  en 2020 serait d'environ 122 millions d'euros. 
\end{enumerate}
On admet qu’une droite d’ajustement de la série $( x_i~;~z_i) $   a pour équation $y =13x + 91$ et que ce
modèle est valide jusqu’en 2020.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Selon ce modèle, à partir de quelle année le revenu des ventes numériques sera-t-il supérieur à
210 millions d’euros ? Pour ce faire, résolvons $13x+91\geqslant210$.

$13x+91\geqslant 210 \quad 13x\geqslant 119 \quad x\geqslant \frac{119}{13} \quad  \frac{119}{13}\approx \np{9.15}$.

Selon ce modèle, à partir de 2020 le revenu des ventes numériques sera supérieur à 210 millions d’euros. 
\item En utilisant ces deux modèles, estimons l’année à partir de laquelle les revenus des ventes
numériques dépasseront les revenus des ventes physiques. Pour ce faire, déterminons la plus petite abscisse pour laquelle l'ordonnée d'un point de la droite d'ajustement des recettes des ventes numériques est supérieure à l'ordonnée d'un point de la droite d'ajustement des revenus des ventes physiques.

Résolvons $13x+91\geqslant -33x+452$.

$13x+91\geqslant -33x+452 \quad (13+33)x\geqslant 452-91 \quad 46x\geqslant 361 \quad x\geqslant \frac{361}{46}\quad \frac{361}{46}\approx \np{7.84}$.

 En utilisant ces deux modèles,  l’année à partir de laquelle les revenus des ventes
numériques dépasseront les revenus des ventes physiques est 2018.
\end{enumerate}
\newpage


%\newgeometry{left=2cm}
\begin{center}

\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}3}

\medskip

\textbf{Question 3.a.}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Notes& MI$_1$ et LA$_1$& LA$_1$ et RÉ$_2$&RÉ$_2$ et SOL$_2$& SOL$_2$ et SI$_2$ &SI$_2$ et MI$_3$\\\hline
Nombre de demi-tons séparant les
deux notes &5&5&5&4&5\\\hline
\end{tabularx}

\begin{center}
$\text{DO}_1 \quad\text{DO}\# \quad \text{RÉ}\quad \text{RÉ}\#\quad \Rnode{X}{\text{MI}_1}\quad \text{FA} \quad \text{FA}\#\quad \text{SOL}\quad \text{SOL}\# \quad \Rnode{Y}{\text{LA}_1} \quad \text{LA}\# \quad \text{SI}_1 \quad \text{DO}_2 \quad \text{DO}\# \quad \Rnode{Z}{\text{R\'E}_2}\quad  \ldots$
 \ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
 \mput*{$+5$}
 \ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$+5$}
\vspace{1cm}
\bigskip
$\ldots \quad \Rnode{M}{\text{RÉ}_2}\quad \text{RÉ}\#\quad \text{MI}\quad \text{FA} \quad \text{FA}\#\quad \Rnode{N}{\text{SOL}}\quad \text{SOL}\# \quad \text{LA}_2 \quad \text{LA}\# \quad \Rnode{P}{\text{SI}_2} \quad \text{DO}_3 \quad \text{DO}\# \quad \text{R\'E}_3\quad \text{RÉ}\#\quad \Rnode{S}{\text{MI}_3}\quad \ldots$
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{M}{N}
 \mput*{$+5$}
 \ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=3pt,arrowscale=1.3]{->}{N}{P}
\mput*{$+4$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{P}{S}
 \mput*{$+5$}
\end{center}		

\label{exo}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\medskip

\textbf{Question 1.}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.205cm,yunit=0.015cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.05,-100)(11.6,550)
\multido{\n=0+0.2}{58}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,540)}
\multido{\n=0+20}{28}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11.4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,,Dy=100,]{-}(0,0)(11.2,550)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,466)(1,413)(2,364)(3,367)(4,325)(5,274)(6,267)
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.4](0,88)(1,111)(2,125)(3,126)(4,133)(5,152)(6,183)
\uput[ur](0,550){\footnotesize Revenus annuels }
\uput[ur](0,535){\footnotesize en millions d'euros}
\uput[dl](11,- 30){\footnotesize Rang de l'année : $x_i$}
\def\Func{x 33 neg mul 452 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.5pt,linecolor=cyan]{0}{11}{\Func}
\def\graph{x 13 mul 91 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.5pt,linecolor=amber]{0}{11}{\graph}
\end{pspicture}

{\footnotesize
Le nuage des points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$   associé à la série des revenus des ventes physiques est représenté par des croix $\times$.

Le nuage des points de coordonnées $(x_i~;~z_i)$    associé à la série des revenus des ventes numériques est représenté par des points $\bullet$.
}
\end{document}