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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technologique, techniques de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat technologique Métropole~\decofourright   \\[4pt]Techniques de la musique et de la danse \hspace{1em} 19 juin 2018}}
    
\end{center}

\vspace{0,75cm}
{\footnotesize
Le candidat traitera \textbf{{\large trois} \textsc{exercices} }:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice 1}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice 2}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ L’exercice} 3 (qui porte sur le programme de l’enseignement obligatoire)

\textbf{\large OU} \textbf{ l’exercice} 4  (qui porte sur le programme de l’enseignement renforcé.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Le candidat  indiquera clairement son choix sur la copie.}

\medskip
L’annexe en page ~\pageref{annexe} est à rendre avec la copie.
}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill (7 points)}

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize
Une classe de Terminale TMD comporte des élèves musiciens et des élèves danseurs.

Pour les besoins d’une enquête, on a distribué un questionnaire concernant les loisirs
à tous les élèves de cette classe. Tous y ont répondu.

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}
}
\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A :}

\vspace{0.25cm}

{\footnotesize
Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des \textbf{élèves musiciens}
interrogés.

On considère les évènements :

\begin{itemize}
\item[] $F$ : \og le questionnaire est celui d’une fille \fg{};
\item[] $L$ : \og le questionnaire est celui d’un élève dont le loisir préféré est la lecture \fg.
\end{itemize}

\framebox{
\begin{minipage}[]{0.9\linewidth}
On rappelle que $B$ étant un évènement de probabilité non nulle, $P_B(A)$ est la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

$\overline{B}$ est l'évènement contraire de $B$.\end{minipage}}
}
\begin{enumerate}
\item  Le tableau d’effectifs est complété sur l' \textbf{annexe page \pageref{annexe}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie}.

Dans toute la suite de cette partie les résultats seront donnés sous forme de fractions
irréductibles.

  L'univers est l'ensemble des élèves musiciens interrogés. La loi mise sur cet univers est la loi équiprobable. Il en résulte que la probabilité d'un événement $A$ est : $P(A)=\dfrac{\text{cardinal de A}}{\text{cardinal de l'univers}}$. \\Le cardinal de l'univers est 9. 
\item \begin{enumerate}
\item La probabilité $P(F)$ : $ P(F)=\dfrac{4}{9}$ .
\item La probabilité $P(L)$ : $P(L)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.
\item $F\cap L$ : Le questionnaire est celui d'une fille dont le loisir préféré est la lecture.
 
Sa probabilité : $P(F\cap L)=\dfrac{2}{9}$.
\item Les évènements $F$ et $L$ sont indépendants si et seulement si $P(F\cap L)=P(F)\times P(L)$.

$P(F) \times P(L)= \dfrac{4}{9}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{27}$

$\dfrac{2}{9}\not=\dfrac{4}{27}$. Par conséquent les évènements $F$ et $L$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Sachant que le questionnaire choisi est celui d’une fille,  la probabilité que
ce soit celui d’un élève dont le loisir préféré est la lecture est notée  $P_{F}(L)$. $P_{F}(L)=\dfrac{P(F \cap L)}{P(F)}=\dfrac{\left(\frac{2}{9}\right)}{\left(\frac{4}{9}\right)}=\dfrac{1}{2}$.
		\item  $P_{\overline{F}}(L)=\dfrac{P(\overline{F}\cap L)}{P(\overline{F})}=\dfrac{\left(\frac{1}{9}\right)}{\left(\frac{5}{9}\right)}=\dfrac{1}{5}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}

Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des \textbf{élèves danseurs}
interrogés.

On reprend les mêmes notations pour les évènements que dans la \textbf{partie A} c’est-à-dire :
\begin{itemize}
\item[]$F$ : \og le questionnaire est celui d’une fille \fg{} ;
\item[]$L$ : \og le questionnaire est celui d’un élève dont le loisir préféré est la lecture \fg.
\end{itemize}

On admet que l’on peut modéliser cette expérience aléatoire par l’arbre de probabilités suivant :
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~}\taput{$\np{0.75}$}}
	{
	\TR{$L$}\taput{$\np{0.72}$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\np{0.28}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$~}\tbput{$\np{0.25}$}}
	{\TR{$L$}\taput{$\np{0.74}$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\np{0.26}$}
	}
}
\end{center}
\medskip

Dans toute la suite de cette partie les résultats seront donnés sous forme décimale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Par lecture de l’arbre,  la probabilité que le questionnaire soit celui d’un élève dont le loisir préféré est la lecture sachant que c’est une fille est notée $P(F\cap L)$. 

$P(F\cap L)=p(F)\times P_{F}(L)=\np{0.75}\times \np{0.72}=\np{0.54}$
\item Déterminons $P(L)$. $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers  donc 

$P(L)=P(F\cap L)+P(\overline{F}\cap L) = \np{0.54} +\np{0.25}\times \np{0.74}= \np{0.54}+\np{0.185}=\np{0.725}$
\item Le professeur de danse a calculé que parmi les lecteurs, 74\,\% d’entre eux sont des filles.

A-t-il raison ?

Pour répondre à cette question, calculons P$_{L}(F)$. $P_{L}(F)=\dfrac{P(F\cap L)}{P(L)}=\dfrac{\np{0.54}}{\np{0.725}}\approx \np{0.7448}$.

Par conséquent le professeur de danse a raison. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip
\framebox{
\begin{minipage}[]{0.9\linewidth}
\textbf{RAPPELS}
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] Dans la gamme de tempérament égal, l’octave est divisée en douze demi-tons égaux
séparant les notes DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI. Quand
on monte d’un demi-ton, la fréquence de la note, exprimée en hertz (Hz), est multipliée
par $2^{\frac{1}{12}}$ .

\item [$\bullet$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel et les notes d’une octave portent
l’indice de cette octave. Ainsi LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de
l’octave d’indice 3 et LA$_4$ correspond à la note LA de l’octave d’indice 4 située au dessus
de l’octave d’indice 3. La fréquence de la note LA$_3$ est égale à \np[Hz]{440} .

\item [$\bullet$]La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$
exprimées en hertz (avec $f_1>f_2$ ), est donnée par $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)$, où $\log$ désigne la fonction logarithme décimal.

\item [$\bullet$] Une quinte juste contient sept demi-tons.

\item [$\bullet$] Lorsque deux entiers $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit
que $a$ est congru à $b$ modulo 12 et on note $a  \equiv b$  modulo 12.
\end{itemize}
\end{minipage}
}

\medskip

Luc et Émilie sont frère et s\oe ur  ; ils aiment tous deux la musique et l’arithmétique.

Ils s’amusent parfois à inventer de petits jeux qui mêlent les deux disciplines.
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Premier jeu :} Luc propose une note. Émilie joue avec sa clarinette la note 3 quintes au dessus
de celle proposée par Luc.
\begin{enumerate}
\item  Luc propose la note RÉ\#$_3$.  La note jouée par Émilie est DO$_5$.

Partant de la note RÉ\#, elle ajoute 3 quintes soit $3\times7 = 21$ demi-tons.  $21=12\times 2 -3$ donc 2 octaves $-3$

\medskip
		
\begin{center}
$\Rnode{X}{\text{RÉ}\#_3}\ldots{}\ldots{} \quad \Rnode{Z}{\text{DO}_5} \quad \text{DO}\#_5 \quad \text{RÉ}_5 \quad \Rnode{Y}{\text{RÉ}\#_5} \quad \text{MI}_5 \quad \text{FA}_5 \quad \text{FA}\#_5 \quad \text{SOL}_5 \quad \text{SOL}\#_5\quad  {\text{LA}}_5 \quad \ldots{} $
\ncbar[angle=90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}\mput*{$+24$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=-3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$-3$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}

\item Si Émilie joue un SI$_5$,  la note proposée par Luc est RÉ$_4$. Il faut donc ôter 21 demi-tons. De SI$_5$ à SI$_3$ nous ôtons 24 demi-tons 

 Il faut donc en ajouter 3. 
 
 \begin{center}
 $\ldots{} \quad \text{LA}_3 \quad \text{LA}\#_3 \quad \Rnode{X}{\text{SI}_3} \quad \text{DO}_4 \quad \text{DO}\#_4 \quad \Rnode{Z}{\text{R\'E}_4 }\quad  \ldots$
 \ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=-3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Z}
 \mput*{$+3$}
 \bigskip
 \end{center}
 
\item Calculons la fréquence du RÉ\#$_3$ ; \emph{\footnotesize le résultat sera arrondi à l’entier le plus proche.}

La suite des fréquences forme une suite géométrique de raison $q=2^{\frac{1}{12}}$;
il y a 6 demi-tons entre RÉ\#$_3$ et LA$_3$  donc la fréquence $f_1$ de la note RÉ\#$_3$ est telle que 
 
$ f_1\times q^{6} = 440$ or  $f_1\times 2^{\frac{6}{12}}=f_1\times \sqrt{2}=440$ donc  $f_1=\dfrac{440}{\sqrt{2}} \approx \np[Hz]{311}$.

\item Calculons  le rapport de fréquence entre la note proposée par Luc et celle jouée par Émilie. 

 Il y a 21 demi-tons  entre les deux notes.  En appelant $f_2$ la fréquence de la note jouée par Émilie nous avons $f_2=f_1\times \left(2^{\tfrac{1}{12}}\right)^{21}$ d'où $\dfrac{f_2}{f_1}= 2^{\frac{21}{12}}= 2^{\frac{7}{4}}$.
\item  $f_2 >f_1$ la différence de hauteur, en savarts, entre la note proposée par Luc et celle jouée par Émilie  est donnée par   $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$ soit  $\np{1000} \log \left(2^{\tfrac{7}{4}}\right)\approx 526,8$ soit à l'entier près $527$.
%; \emph{\footnotesize le résultat sera arrondi à l’entier le plus proche.}
\end{enumerate}

\item \textbf{Deuxième jeu :} Lorsque Luc joue une note, Émilie repère l’entier naturel $n$ correspondant à cette note dans le tableau ci-dessous et calcule l’entier $m$ compris entre 0 et 11 de la façon suivante :

\[m\equiv 5n + 1 \ \text{modulo }\, 12 .\]

Elle joue ensuite la note associée à $m$ avec sa clarinette.

\smallskip
\begin{tabular}{|m{1.62cm}|*{12}{c|}}\hline
$n$& 0& 1& 2& 3 &4 &5 &6 &7& 8& 9 &10& 11\\\hline
Note associé à $n$&
DO &DO\#& RÉ& RÉ\#& MI& FA& FA\#& SOL& SOL\#& LA& LA\#& SI\\\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item  Luc joue un DO. La note jouée par Émilie est DO\# car $m=5\times 0+1=1$
\item Le tableau est complété sur l'\textbf{annexe page \pageref{annexe}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie}.
\item Émilie joue la phrase musicale suivante :

DO\# --- DO\# --- DO\# --- SI --- LA --- SI --- DO\# --- LA --- SI --- SI --- DO\#.

Écrivons, à l'aide du tableau composé sur l'annexe, la phrase musicale jouée par Luc.

DO --- DO --- DO --- RÉ --- MI --- RÉ --- DO --- MI --- RÉ --- RÉ --- DO.


\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} portant sur l’enseignement obligatoire \hfill  7 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-1~;~4]$.
On désigne par $f'$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans le repère orthonormé  \Oij{} ci-dessous.
La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d’abscisse $x = 0$.


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1.6,-2.5)(4.2,3.3)
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,-2.2)(\n,3.1)}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](-1.6,\n)(4.2,\n)}
\multido{\n=-1.4+0.2}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-2.2)(\n,3.1)}
\multido{\n=-2.2+0.2}{26}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](-1.6,\n)(4.2,\n)}

\psaxes[linewidth=1.pt]{-}(0,0)(-1.6,-2.2)(4.3,3.1)
\psaxes[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\Func{x 2 exp x 2 mul add 2.71828 x exp div 1 add}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{4}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1.414,0){\scriptsize $\approx \np{1.41}$}\uput[l](0,2.185){\scriptsize $\approx\np{2.2}$}
\uput[dr](-0.8,-1.2){\blue $\displaystyle \mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=0.95pt,linecolor=cyan]{-1.6}{1.1}{x 2 mul 1 add}
\uput[dl](-1.1,-1.2){\textcolor{cyan}{$T$}}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[d](0.4,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 1.414 def \Func)(!1.414 /x 1.414 def \Func)(1.414,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=amber,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x -0.755 def \Func)(!-0.755 /x -0.755 def \Func)(-0.755,0)
\uput[u](-0.755,0){\scriptsize $\approx -\np{0.75}$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{->}(0,1)(1,1)(1,3)
\uput[d](0.5,1){\red 1}\uput[r](1,2){\red 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\vspace{0.25cm}

Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par la lecture du graphique. Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La valeur maximale de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1~;~4]$ est d'environ \np{2.2}.
Elle est atteinte pour une  valeur proche de \np{1.4}.
\item L'ensemble solution de l’équation $f(x)= - 1$ sur l’intervalle $[-1~;~4]$ est $\{\approx -\np{0.75}\}$.
\item La valeur de $f'(0)$ est 2. (voir en rouge sur la figure)
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B : étude de la fonction $f$}

\vspace{0.25cm}
 
On admet que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-1~;~4]$ par :

\[f(x)=\dfrac{ x^2+ 2x}{\e^x}+ 1.\]

\begin{enumerate}
\item À l’aide de la calculatrice,  le tableau de valeurs est complété sur l'\textbf{annexe page \pageref{annexe}/\pageref{LastPage},
à rendre avec la copie}. Ces valeurs sont arrondies au \textbf{centième}.
\item Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1~;~4]$ :

\[f'(x)=\dfrac{(2x+2)\e^{x}-(x^2+2x)\e^{x}}{(\e^{x})^2}=\dfrac{\e^{x}(2x+2-(x^2+2x))}{(\e^{x})^2}=\dfrac{2-x^2}{\e^x}.\]

Nous trouvons bien le résultat attendu.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $2 - x^2$ est de la forme $a^2-b^2$ où $a=\sqrt{2}$ et $b=x$ d'où $2- x^2 = \left(\sqrt{2} - x\right)\left(\sqrt{2} + x\right)$.
		\item Déterminons le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-1~;~4]$.

$x\in [-1~;~4],\quad x+\sqrt{2}$ est strictement positif. Il en résulte que le signe de $f'(x$) est celui de $\sqrt{2}-x$

\begin{center}
 \begin{tabular}[]{|c|c >{\centering}m{1.1cm}c >{\centering}m{1.1cm}c|}
 \hline
$x$ & $-1$& & $\sqrt{2}$ & & $4$\\\hline
$f'(x)$ && $+$&0&$-$&\\
\hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\item Donnons les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1~;~4]$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $\left[-1~;~\sqrt{2}\right[,\: f'(x) > 0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x) < 0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $\left]\sqrt{2}~;~4\right],\:f'(x) < 0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur $[-1~;~4]$.
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-1$} \uput[u](4.5,2.45) {$\sqrt{2}$}    \uput[u](7.73,2.45){$4$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[d](1.37,0.5){$1-\e$}\uput[d](7.32,0.54){$24\e^{-4}+1$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\approx \np{2.174}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item La fonction $f'$ s'annulant en changeant de signe en $\sqrt{2}$ alors $f$  admet en ce point un extremum. Cet extremum est un maximum car $f$ est d'abord croissante et ensuite décroissante. Sur l’intervalle $[-1~;~4]$ $f$ admet une valeur maximale $f(\sqrt{2})$. $f(\sqrt{2})=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{\e^{\sqrt{2}}}+1$.
$f(\sqrt{2})\approx \np{2.17}$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item  $f'(0)=\dfrac{2-0^2}{\e^{0}}=2$.%, le nombre dérivé de $f$ en 0.
\item La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente $T$ au point A d’abscisse 0.

 Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$  est :
 
$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

Une équation de la droite $T$ est $y=2x+1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} portant sur l’enseignement renforcé\hfill  7 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$, d’expression :
\[f (x)=x -x\ln(x)\ \text{où }\ln \text{représente le logarithme népérien du nombre  }\ x.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé

\Oij{}  d'unité graphique \np[cm]{2}.



\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.3,-1.5)(4.2,1.9)
\def\Func{x x x ln mul sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=aliceblue,linecolor=aliceblue]
{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{\Func}
\lineto(2.7818,0)\lineto(1,0)
\closepath % indispensable !
}
\multido{\n=-0.4+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,-1.2)(\n,1.4)}
\multido{\n=-1.2+0.2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](-0.4,\n)(4.1,\n)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](\n,-1.2)(\n,1.4)}
\multido{\n=-1+1}{3}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](-0.4,\n)(4.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt]{-}(0,0)(-0.4,-1.2)(4.1,1.4)

\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{3.5}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](2,0.6){\blue $\displaystyle \mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[d](0.4,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](-0.1,0.5){$\vect{\jmath}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Calculons la valeur exacte du nombre  $f(\e)$. $f(\e)=\e-\e\ln(\e)=\e-\e=0$.
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item  Montrons que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$, $f' (x)= - \ln(x)$.

$f'(x)=1-\left(\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x}\right)=1-(\ln(x)+1)=-\ln(x)$

\item Étudions le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$.

Si $x \in]0 ~;~1[,\ \ln(x)<0$ et si $x\in ]1~;~+\infty[\ \ln(x)>0$.

 \begin{center}
 \begin{tabular}[]{|c|c >{\centering}m{1.1cm}c >{\centering}m{1.1cm}c|}
 \hline
$x$ & $\np{0.5}$& & $1$ & & $\np{3.5}$\\\hline
$f'(x)$ && $+$&0&$-$&\\
\hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\item Étudions la variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[\np{0.5}~;~1[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]1~;~\np{3.5}],\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$.

  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$\np{0.5}$} \uput[u](4.5,2.45) {$1$}    \uput[u](7.73,2.45){$\np{3.5}$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.42,0.685){\footnotesize $\frac{\ln(2)+1}{2}$}\uput[d](7.32,0.75){\footnotesize $\frac{7+7\ln\left(\frac{2}{7}\right)}{2}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Justifions que $f (x)$ est positif, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle [1 ; \e] .

Sur [1~;~\e] la fonction est strictement décroissante  $1\leqslant x\leqslant\e$ entraîne $f(1)\geqslant  f(x)\geqslant f(\e)$. Or question 1 $f(\e)=0$ donc 
sur cet intervalle  $f(x)$ est positif.
\item Par lecture graphique, %donner un encadrement en unités d’aire par deux entiers consécutifs
 l’aire grisée a une valeur comprise entre 1 u.a et 2 u.a.

\item \begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $F$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$, par :
\[F (x)= \dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{x^2}{2}\ln(x)\]

La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$ si $F'=f$.

$F'(x)=\dfrac{3}{4}(2x)-\left(\dfrac{2x}{2}\ln(x)+\dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3}{2}x- \left( x \ln x +\dfrac{x}{2}\right)=x-x\ln x=f(x)$

$F$ est une primitive de $f$ sur [\np{0.5}~;~\np{3.5}]
\item On considère l'intégrale $K$ définie par :
\[\displaystyle  K=\int_1^{\e} f(x)\mathrm{d}x\]

Calculons $K $ 

\[\displaystyle  K=\int_1^{\e} f(x)\mathrm{d}x=\left[ \dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^{\e}=\dfrac{3}{4}\e^2-\dfrac{\e^2}{2}\ln(\e)-\dfrac{3}{4}\times 1^2+\dfrac{1^2}{2}\ln(1)=\dfrac{1}{4}\e^{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{\e^2-3}{4}\]

Donnons une valeur approchée  $K\approx \np{1.0973}$ soit au centième $\np{1.10}$.

\item On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, les droites
d'équations $x = 1$,  $x =\e$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

 La fonction $f$ étant positive sur [1~;~\e], l'aire de la partie de plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=\e$ est en unités d'aire $\displaystyle  \int_1^{\e} f(x)\mathrm{d}x$ c'est-à-dire $K$.

On désigne par $A$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de cette partie du plan.

Donnons une valeur arrondie au centième de $A$ en cm$^2$.

$A=K u.a. =\np{1.0973} \times 4=\np[cm^2]{4.389}$ soit au centième  $\np[cm^2]{4.39}$.


\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
\end{center}
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\textbf{Partie A}

\textbf{Question 1 : tableau d’effectifs}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline {2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Le loisir préféré
est la lecture&
Le loisir préféré
n’est pas la lecture&
\multirow{2}{1.cm}{Total}\\\hline
Nombre de filles &\textcolor{blue}{2}&2& 4\\\hline
Nombre de garçons& 1&\textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{5}\\\hline
Total &\textcolor{blue}{3}&\textcolor{blue}{6}&9\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\textbf{Question 2.b.}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.87cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Note proposée
par Luc&
DO& DO\# &RÉ& RÉ\# &MI &FA &FA\# &SOL&SOL\#& LA& LA\# &SI\\\hline
$n$ repéré
par Émilie &0 &1& 2 &3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11\\\hline
$m$ calculé
par Émilie&1&6&11&4&9&2&7&0&5&10&3&8\\\hline
Note jouée
par Émilie&DO\#&FA\#&SI&MI&LA&R\'E&SOL&DO&FA&LA\#&R\'E\#&SOL\#\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}
\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\textbf{Partie B}\footnote{Le texte original donnait  \textbf{ Partie A}}

\textbf{Question 1 : tableau de valeurs} (valeurs  arrondies au \textbf{centième)}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$& $-1$ &0& 1& 2& 3& 4\\\hline
$f(x$)&$-\np{1.72}$&\np{1}&\np{2.10}&\np{2.08}&\np{1.75}&\np{1.44}\\\hline
\end{tabularx}

\label{annexe}
\end{document}
