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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat TMD~\decofourright\\
Métropole juin 2003}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 7 points}

\medskip
 
%On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 3~;~2]$.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij. 
%
%\medskip
%
%\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3,- 6)(2,16)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,- 6)(2,16)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 3 exp x 2 exp add 6 x mul sub}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{2 x mul 12 add}
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](-2,0)(-2,8)(0,8)
%\uput[dr](1.5,-3.4){\blue $\mathcal{C}$}
%\multido{\n=-3+1}{6}{\uput[d](\n,0){\n}}
%\uput[r](0,8){8} \uput[r](0,12){12}
%\uput[ul](-2,8){A}\uput[ul](0,12){B} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{En utilisant ce graphique :}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les valeurs entières de $f(- 2)$ et $f(- 1)$.
		On lit :
		
$\bullet~~$$f(- 2) = 8$ (ordonnée de B) ;

$\bullet~~$$f(- 1) \approx 6$. 
		\item %Donner, dans l'intervalle $[- 3~;~2]$, les solutions de l'équation $f(x) = 0$.
$f(x) = 0  \iff x = 0$ ou $x = 2$. 
		\item ~%Donner, dans un tableau, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle $[- 3~;~2]$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1.5)
\psframe(5,1.5)\psline(0,1)(5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}  \uput[u](1.2,0.9){$- 3$}  
\uput[u](3,0.9){$0$}  \uput[u](4.8,0.9){$2$}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}   \rput(2,0.5){$+$}\rput(3,0.5){$0$}  \rput(4,0.5){$-$}  
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate} 
\item %A est le point de la courbe $\mathcal{C}$ ayant pour abscisse $- 2$ et B est le point de coordonnées (0~;~12).
 
%En admettant que la droite (AB) est tangente au point A à la courbe $\mathcal{C}$, calculer $f'(-2)$.
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $- 2$ est le nombre dérivé $f'(- 2)$.

Ce coefficient directeur est égal à $\dfrac{12 - 8}{0- (- 2)} = 2$.

Donc $f'(- 2) = 2$. 

\item  %On suppose qu'il existe des réels $a,\, b,\, c$ et $d$ tels que pour tout $x$ de l'intervalle $\mathcal{C}$,\, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant certains résultats obtenus au 1. a. et au 1. b., montrer que les réels $a,\, b,\, c$ et $d$ vérifient le système : 

%\[\left\{\begin{array}{r c l} 
%-27a + 9b - 3c + d 	&=&0\\
%d 					&=&0 \\
%8a + 4b + 2c + d 	&=&0\\ 
%- 8a + 4b - 2c + d 	&=&8
%\end{array}\right.\] 
Avec A : $- 2$ a pour image 8, donc $8 = - 8a + 4b - 2c + d$ ;

Avec O : $0$ a pour image 0, donc $0 = d$ ;

$2$ a pour image $0$, donc $0 = 8a + 4b + 2c + d$ ;

$- 3$ a pour image $0$, donc $0 = - 27a + 9b - 3c + d$.

Conclusion $a, b, c, d$ sont des réels qui vérifient le système :

\[\left\{\begin{array}{r c l} 
-27a + 9b - 3c + d 	&=&0\\
d 					&=&0 \\
8a + 4b + 2c + d 	&=&0\\ 
- 8a + 4b - 2c + d 	&=&8
\end{array}\right.\] 
		\item %En déduire les valeurs des réels $a,\, b,\, c$ et $d$ et donner l'expression de $f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[- 3~;~2]$,
		On a donc $d = 0$, d'où :
		
$\left\{\begin{array}{r c l} 
- 27a + 9b - 3c &=&0\\
8a + 4b + 2c&=&0\\ 
- 8a + 4b - 2c&=&8
\end{array}\right.$ soit en ajoutant les deux dernières équations $\iff \left\{\begin{array}{r c l} 
- 27a + 9b - 3c &=&0\\
8a + 4b + 2c&=&0\\ 
8b &=&8
\end{array}\right.$ d'où $b = 1$. Il reste $\left\{\begin{array}{r c l} 
- 27a + 9 - 3c &=&0\\
8a + 4 + 2c&=&0\\ 
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{r c l} 
- 9a + 3 - c &=&0\\
4a + 2 + c&=&0\\ 
\end{array}\right.$ d'où en ajoutant $- 5a + 5 = 0 \iff a = 1$ d'où on déduit $c = 3 - 9a = 3 - 9 = - 6$.

Conclusion : pour $x \in [- 3~;~2]$, \: $f(x) = x^3 + x^2 - 6x$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 13 points}

\medskip

\textbf{I.} %On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x - \text{e}^x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer, pour tout $x$ de $\R$, l'expression de $g'(x)$.
On a $g'(x) = 1 -  \text{e}^x$.
		\item %Étudier le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x$.
$\bullet~~$$1 -  \text{e}^x > 0 \iff 1 > \text{e}^x \iff 0 > x $ (par croissance de la fonction logarithme népérien).

$\bullet~~$$1 -  \text{e}^x < 0 \iff 1 < \text{e}^x \iff 0 < x $ (par croissance de la fonction logarithme népérien).

$\bullet~~$$1 -  \text{e}^x = 0 \iff 1 = \text{e}^x \iff 0 = x $ (par croissance de la fonction logarithme népérien).
	\end{enumerate} 
\item %Établir le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$ (on ne calculera pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$). 
De la question précédente on déduit que la fonction $g$ est croissante sur $]- \infty~;~0[$ et décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. $g(0) = 0 - \text{e}^0 = - 1 $ est le maximum de la fonction.
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ ? 
$g(0) = 0 - \text{e}^0 = - 1 $ est le maximum de la fonction.
		\item %Quel est le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$ ? 
		Puisque le maximum est inférieur à zéro, on en déduit que $g(x) < 0$ quel que soit le réel $x$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II.} %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2}  - \text{e}^x,\]

%et on désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij d'unité graphique 2~cm.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty$ et que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = 0$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Vérifier que, pour tout $x$ de $\R*$,\, $f(x) = x^2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\text{e}^x}{x^2}\right)$. 
Pour $x \ne 0$, on peut factoriser $x^2$ :

$f(x) = x^2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\text{e}^x}{x^2} \right)$.

%En utilisant le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2} = + \infty$, déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2} = + \infty$ entraîne que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{2} - \text{e}^x = - \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
	\end{enumerate} 
\item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de $\R$,\, $f'(x) = g(x)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$f'(x) =  \dfrac{2x}{2} - \text{e}^x = x - \text{e}^x = g(x)$.
		\item %En utilisant la partie I. 3. dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
		On a vu dans la partie I que $g(x) < 0$ pour tout réel $x$, donc $f'(x) < 0$ qui montre que la fonction $f$ est décroissante sur $\R$ de plus l'infini à moins l'infini.
		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser le coefficient directeur de la droite (T) tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
Le coefficient directeur de la droite (T) tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$ est égal à $f'(0) = g(0) = - 1$. 
		\item ~%Dans le repère \Oij, tracer la droite (T) et la courbe $\mathcal{C}$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6,-6)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.95,-5.95)(6,6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{6}{x dup mul 2 div 2.71828 x exp sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-6}{6}{x 1 add neg}
\uput[u](5,-6){(T)}\uput[r](2,-5.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[ul](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{(\psline(0,0)(1,0)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{0}{x dup mul 2 div 2.71828 x exp sub}}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. 
Une primitive de $x\longmapsto \dfrac{x^2}{2}$ est $x\longmapsto \dfrac{x^3}{6}$ et une primitive de $x\longmapsto \text{e}^x$ est 

$x\longmapsto \text{e}^x$, donc une primitive de la fonction $f$ est la fonction définie par 

$x\longmapsto \dfrac{x^3}{6} - \text{e}^x$.
		\item %Calculer l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. En donner la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à $10^{- 2}$ près.
I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{6} - \text{e}^x  \right]_0^1 = \dfrac{1^3}{6} - \text{e}^1 - \left(\dfrac{0^3}{6} - \text{e}^0 \right) = \dfrac{1}{6} - \text{e} + 1 = \dfrac{7}{6} - \text{e} \approx - 1,551$, soit $- 1,55$ au centième près. (ce que l'on peut vérifier sur le graphique)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}