\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
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% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
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% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}

\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse \\\decofourleft~Métropole septembre 2010~\decofourright}}
    
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat traitera trois exercices :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
%\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

%\medskip
%
%\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie et sans justification la réponse choisie.\\ 
%Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée $0$ point.}
%
%\medskip
% 
%On rappelle que :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$ ; 
%\item[$\bullet~~$] pour tout nombre réel $x,\, \text{e}^{x}$ désigne l'exponentielle de $x$ ; 
%\item[$\bullet~~$] pour tout nombre réel $x, \sin x$ désigne le sinus de $x$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans un repère \Oij{} du plan, la courbe d'équation $y = \ln x$ 
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{n'a pas de point d'abscisse négative ou nulle.} 
		\item n'a pas de point d'ordonnée négative ou nulle. 
		\item admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
	
\medskip

La fonction ln est définie sur $] 0~;~+\infty [$.

\medskip	
	
	
\item  Dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ , l'équation $\ln x = -5$ a pour solution: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$-5 \text{e}^5$&\textbf{b.}~~ \fbox{$\dfrac{1}{\text{e}^5}$} &\textbf{c.}~~$\text{e}^{\frac{1}{5}}$\\
\end{tabularx} 

\medskip

$\ln x = -5 \iff x=\e^{-5} \iff x = \dfrac{1}{\e^{5}}$

\medskip


\item  Dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'inéquation $\e^x + 3 > 0$ : 
\begin{enumerate}
\item n'admet aucune solution.
\item admet une et une seule solution. 
\item \fbox{admet tout réel $x$ pour solution.}
\end{enumerate} 

\medskip

Pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc $\e^{x}+3>0$; l'équation a donc pour solution tout réel $x$.

\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x + 1) \e^x$.
 
Sa fonction dérivée $f'$ est donnée par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$f'(x) = \e^x$&\textbf{b.}~~$f'(x) = x\e^x$& 
\textbf{c.}~~\fbox{$f'(x) = (x + 2)\e^x$} \\
\end{tabularx} 

\medskip

$f'(x)= 1\times \e^{x} + (x+1)\times \e^{x} = (x+2)\e^{x}$

\medskip
 
\item La fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2\ln x - x$ admet un maximum au point d'abscisse :
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$0$&\textbf{b.}~~\fbox{$2$} &\textbf{c.}~~e \\
\end{tabularx} 

\medskip

$f'(x)= \dfrac{2}{x} - 1 = \dfrac{2-x}{x}$ donc $f'(x)$ passe de positive à négative pour $x=2$.

\medskip

\item Dans un repère \Oij{} du plan, la courbe d'équation $y = \sin x$ admet une tangente au point O dont le coefficient directeur est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$0$&\textbf{b.}~~\fbox{$1$} &\textbf{c.}~~$- 1$ \\ 
\end{tabularx} 

\medskip 

La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus; donc la tangente à la courbe représentant la fonction sinus au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur $\cos(0)=1$.

\medskip


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%On se place dans la gamme de tempérament égal. On rappelle que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] une octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI, DO ; 
%\item[$\bullet~~$] à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave; ainsi LA$_{3
%}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3 ; 
%\item[$\bullet~~$] à chaque note de chaque octave est associée une fréquence ; 
%\item[$\bullet~~$] la suite des fréquences forme une suite géométrique de raison le nombre réel $q$ défini  par $q = \sqrt[12]{2}$ soit $q = 2^{\frac{1}{12}}$ ; 
%\item[$\bullet~~$] la fréquence de la note LA$_{3}$ est égale à 440 Hz ; 
%\item[$\bullet~~$] la différence de hauteur, exprimée en savarts, de deux notes de fréquences respectives 
%$f_{1}$ et $f_{2}$ avec $f_{2} \geqslant f_{1}$ vaut $\np{1000}\log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$, où log désigne la fonction logarithme décimal.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que l'intervalle entre les notes LA$_{3}$ et MI$_{4}$ est de sept demi-tons (ce qui correspond en musique à une quinte). 

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que la fréquence de la note MI$_{4}$, arrondie à l'unité, est égale à 659~Hz. 
La suite des fréquences forme une suite géométrique de raison $q=2^{\frac{1}{12}}$; il y a 7 demi-tons entre LA$_3$ et MI$_4$ donc la fréquence de la note MI$_4$ est
$440\times q^{7} = 440 \times 2^{\frac{7}{12}} \approx 659$~Hz.

		\item La différence de hauteur des notes LA$_{3}$ et MI$_{4}$ est
$\np{1000}\,\log \left ( \dfrac{f_2}{f_1} \right )
= \np{1000}\,\log \left ( \dfrac{659}{440} \right )
\approx 175,43$~savarts.

\smallskip

\textbf{Remarque}

Si on calcule cette différence de hauteur en prenant $f_1=440$ et $f_2=440\times 2^{\frac{7}{12}}$, on trouve $175,60$~savarts; on peut donc  s'étonner que le sujet demande une réponse au centième.
		 
%Donner la valeur décimale arrondie au centième.

	\end{enumerate} 

\item

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer la fréquence de chacune des notes LA$_{4}$ et LA$_{2}$, situées respectivement une octave au-dessus et une octave au-dessous de la note LA$_{3}$. 
Le LA$_2$ est situé 12 demi-tons en dessous du LA$_3$ donc sa fréquence est la moitié de celle du LA$_3$ donc 220~Hz.

Le LA$_4$ est situé 12 demi-tons au dessus du LA$_3$ donc sa fréquence est le double de celle du LA$_3$ donc 880~Hz.

		\item La différence de hauteur entre les notes LA$_{3}$ et LA$_{4}$ est 
$\np{1000} \,\log \left ( \dfrac{880}{440}\right )
= \np{1000} \,\log (2) \approx 301,03$~savarts.
		 
%Donner la valeur décimale arrondie au centième.

	\end{enumerate} 

\item La différence de hauteur entre deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ (avec $f_{2} \geqslant f_{1}$) est égale à $100,34$~savarts. 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la valeur décimale arrondie au centième du rapport $\dfrac{f_{2}}{f_{1}}$ est $1,26$. 
On a donc 
$\np{1000}\,\log \left ( \dfrac{f_2}{f_1} \right ) = 100,34
\iff
\log \left ( \dfrac{f_2}{f_1} \right ) = \np{0,10034}
\iff
\dfrac{f_2}{f_1} = 10^{\,\np{0,10034}}
\iff
\dfrac{f_2}{f_1} \approx 1,26$.
 
		\item% Démontrer que l'intervalle entre les deux notes considérées est d'environ quatre demi-tons (ce qui correspond en musique à une tierce majeure).
$\dfrac{f_2}{f_1} \approx 1,26$ donc on cherche un nombre entier $n$ tel que
$1,26 = q^n$ ou encore 

$1,26 = 2^{\frac{n}{12}}
\iff
\log(1,26) = \log \left ( 2^{\frac{n}{12}} \right )
\iff
\log(1,26) = \dfrac{n}{12}\,\log (2)
\iff
12 \, \dfrac{\log(1,26)}{\log(2)} = n
\iff
n \approx 4$.

	\end{enumerate} 

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}
%
%\medskip
%
%Un luthier a constaté que, en moyenne : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] sur dix clients se présentant dans son atelier, un seul achète un violon ; 
%\item[$\bullet~~$] parmi les clients qui achètent un violon, 30\,\% achètent aussi un archet ; 
%\item[$\bullet~~$] parmi les clients qui n'achètent pas de violon, 20\,\% achètent un archet.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le luthier a dressé la liste de tous les clients qui se sont présentés dans l'atelier pendant une période donnée.
% 
%On choisit au hasard un client dans cette liste. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.
% 
%On note :
% 
%\begin{description}
%\item[ ] V l'évènement \og le client a acheté un violon \fg{} ;
%\item[ ] A l'évènement \og le client a acheté un archet \fg.
%\end{description}
% 
%On rappelle que l'évènement contraire d'un évènement E est noté $\overline{\text{E}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On complète l'arbre de probabilités suivant qui correspond à cette situation:

\medskip

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{V}\naput{0,1}}
	{
	\TR{A}\naput{\red $0,3$}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red $1-0,3=0,7$}
	}	
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{V}$}\nbput{\red $1-0,1=0,9$}}
	{	
	\TR{$A$}\naput{0,2}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red $1-0,2=0,8$}
	}
}
\bigskip
\end{center} 

\item
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que le client ait acheté un violon et un archet est:
		
$p(V\cap A) = p(V)\times p_V(A) = 0,1 \times 0,3 = 0,03$.
		
		\item La probabilité que le client n'ait rien acheté est 
		
$p(\overline V\cap \overline A) = 
p(\overline V)\times p_{\overline{V}}(\overline{A}) 
= 0,9 \times 0,8 = 0,72$. 

		\item L'événement \og le client a acheté au moins un des deux objets\fg{} est l'événement contraire de \og le client a acheté les deux objets ou le client n'a rien acheté\fg; donc la probabilité de cet févénement est:
		
$p=1-\left ( p(V\cap A) + p(\overline V\cap \overline A) \right )
= 1-(0,03 + 0,72) = 1-0,75 = 0,25$.		 

	\end{enumerate} 

\item% Montrer que la probabilité de l'évènement A est $0,21$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$p(A) = p(V\cap A) + p(\overline{V}\cap A)
= 0,03+0,9\times 0,2 = 0,03 + 0,18 = 0,21$.


\item La probabilité que le client ait acheté un violon sachant qu'il a acheté un archet est:

$p_A(V)= \dfrac{p(V\cap A)}{p(A)} = \dfrac{0,03}{0,21} = \dfrac{1}{7}
\approx 0,14$.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 7 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~ 4] par 
$f(x) = (3 - x) \ln x$.

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'unité graphique 2~cm.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Calculer la valeur exacte du nombre réel $f(\text{e})$, puis en donner la valeur décimale  arrondie au centième. 
$f(\e)= \left (3-\e\right ) \ln\e = 3-\e \approx 0,28$

		\item% Résoudre l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle [0,5~;~4]. 
$f(x) = 0 
\iff 
\left (3-x\right )\ln x = 0
\iff
3-x=0 \text{ ou } \ln x = 0
\iff
x=3 \text{ ou } x=1
$

Les solutions de l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle [0,5~;~ 4] sont $x=1$ et $x=3$.

		\item Parmi les trois courbes proposées en annexe, une seule représente la fonction $f$.
		 
%En utilisant les questions précédentes la déterminer. Pour cela, donner, pour chaque courbe éliminée, au moins un argument justifiant son élimination.

On a vu que $x=3$ est une solution de l'équation $f(x)=0$, donc $f(3)=0$ et donc la courbe représentant la fonction $f$ doit passer par le point de coordonnées $(3~;~0)$. 
Cela permet d'éliminer la courbe 1. 

L'image par la fonction représentée par la courbe 2 du nombre $\e$ est négative; donc la courbe 2 est à éliminer.

La fonction $f$ est donc représentée par la courbe 3.

	\end{enumerate} 
	
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par 
$F(x) = \left(3x - \dfrac{1}{2} x^2\right)\ln x + \dfrac{1}{4}x^2 - 3x$.
 
%On désigne par $F'$ la fonction dérivée de la fonction $F$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer, pour tout $x$ de l'intervalle [0,5~;~4], $F'(x)$. 
$F'(x) = \left ( 3 - \dfrac{1}{2}\times 2x \right ) \ln x + \left ( 3x-\dfrac{1}{2} x^2 \right )\times \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}\times 2x - 3
= (3-x) \ln x + 3 - \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{2} x - 3
= (3-x) \ln x$

		\item% Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~4]. 
$F'(x)=(3-x) \ln x = f(x)$ donc la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 4].

		\item% Calculer l'intégrale I définie par $\text I = \displaystyle\int_{1}^3 (3 - x) \ln x\:\text{d}x$. En donner la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième. 
D'après le cours

$I = \displaystyle\int_{1}^3 (3 - x) \ln x\:\text{d}x
= F(3) - F(1) 
= \left [ \left ( 3\times 3 -\dfrac{1}{2} \times 3^2\right) \ln 3 + \dfrac{1}{4} \times 3^2 - 3\times 3 \right ] - 
\left[ \left( 3 - \dfrac{1}{2} \right) \ln 1 + \dfrac{1}{4} - 3 \right]\\[5pt]
\phantom{I}
= 
\left [ \left ( 9-\dfrac{9}{2}\right) \ln 3 + \dfrac{9}{4} - 9 \right ] - 
\left[  \dfrac{1}{4} - 3 \right]
=
\dfrac{9}{2} \ln 3 - \dfrac{27}{4} + \dfrac{11}{4}
=
\dfrac{9}{2} \ln 3 - 4
\approx
0,94$

		\item On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.

La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[ 1~;~3 ]$ donc 
$\mathcal A = \ds\int_1^3 f(x) \d x = I$ unités d'aires.

L'unité sur chaque axe est de 2~cm donc l'unité d'aire vaut 4~cm$^2$.

$\mathcal A =  \left ( \dfrac{9}{2} \ln 3 - 4 \right ) \times 4
\approx 3,78$~cm$^2$.
		 
%Déduire des questions précédentes la valeur décimale arrondie au dixième de la mesure $\mathcal{A}$.

	\end{enumerate} 

\end{enumerate} 
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 4 : ANNEXE}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X>{\centering \arraybackslash}X} 
Courbe 1	&Courbe 2 \\
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.5)(4.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange!70]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-2)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{x ln 3.5 x sub mul}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0.5,0)
\uput[d](0.5,0){0,5}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](2.718,0)
\uput[d](2.718,0){e}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.5)(4.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange!70]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-2)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 x   sub x ln mul neg}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0.5,0)
\uput[d](0.5,0){0,5}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](2.718,0)
\uput[u](2.718,0){e}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}

\bigskip

Courbe 3

\medskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.5)(4.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange!70]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-2)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 x   sub x ln mul}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0.5,0)
\uput[d](0.5,0){0,5}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](2.718,0)
\uput[d](2.718,0){e}
\end{pspicture*}

\end{center}


\end{document}