\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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\setmarginsrb{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{2.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\newcommand{\cd}{\texttt{[}}
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\pp}{\leqslant}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}

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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole septembre 2006 - Corrigé},
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\newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse \\[10pt] 
\decofourleft ~Métropole septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

%Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations vous sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque question, indiquer sur la copie la réponse exacte. 
%
%\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point.}
%
%\emph{Une réponse fausse enlève $0,5$ point.}
%  
%\emph{L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\emph{Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Question& Réponse A& Réponse B& Réponse C\\ \hline 
1
&\parbox{3.5cm}{Le nombre réel \\$\ln \left( \e^3\right) - \ln \left(\dfrac{1}{\e^2}\right)+ 2\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{\e}}\right)$\\ est égal à :} 
&2
&$\sqrt{\e}$
&\fbox{4}\\ 
\hline
2
&\parbox{3.5cm}{L'équation $\ln \left( x^2\right) = 0$ a pour solution(s) dans $\R$ :} 
&0
& e
& \fbox{$-1$ et 1}\\ 
\hline 
3
&\parbox{3.5cm}{Une valeur approchée à l'unité près de $\ln \left(2^{\nombre{10000}}\right)$ est :} 
&\fbox{ \nombre{6931}}
& 693
& \nombre{69315}\\ 
\hline 
4
&\parbox{3.5cm}{La dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $g(x)=x(\ln x - 1)$, est définie par :} 
&\fbox{$g'(x) = \ln x$}
& $g'(x)=\dfrac{1}{x}- 1$
& $g'(x) = \ln x - 1$\\ 
\hline 
5
&\parbox{3.5cm}{Dans un repère, une équation de la tangente au point d'abscisse 
e à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle 
$]0 ~;~ + \infty[$ par $f(x) = x+ \ln x$ est :} 
&$y=x+ \text{e} + 1$
&$ y =(1+\text{e})x$
& \fbox{$y = \left (1+\dfrac{1}{\e}\right )x$}\\ 
\hline 
6
&\parbox{3.5cm}{La fonction $f$ étant définie sur l'intervalle $\cg 0 ~;~ 10\cd$ par $f(x)=(\ln x)^2 -2\ln x$, on peut affirmer que :} 
&\parbox{3cm}{L'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique sur l'intervalle $\cg 0 ~;~ 10\cd$}
&\parbox{3cm}{La fonction $f$ est décroissante sur  l'intervalle $\cg 0 ~;~ 10\cd$}
&\fbox{\parbox{3cm}{La fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ s'annule une fois en changeant de signe sur l'intervalle $\cg 0~;~10\cd$}} \\ 
\hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Explications}

\begin{enumerate}
\item $\ln \left( \e^3\right) - \ln \left(\dfrac{1}{\e^2}\right)+ 2\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{\e}}\right)
= 3 - \left (-\ln(\e^2)\right ) +2\left (-\ln\left (\sqrt{\e}\right ) \right )
= 3+2 - 2\times \dfrac{1}{2} = 4$

\item $\ln(x^2)=0 \iff x^2 = 1 \iff x=-1 \text{ ou } x=1$

\item $g(x)=x\left (\ln(x)-1\right )$ donc
$g'(x)=1\times \left (\ln(x)-1\right ) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x)-1+1=\ln(x)$

\item La tangente a pour équation $y = f'(\e)(x-\e) + f(\e)$.

$f(x)=x+\ln(x)$ donc $f(\e)=\e+\ln(\e)=\e+1$

$f(x)=x+\ln(x)$ donc $f'(x)=1+\dfrac{1}{x}$ donc $f'(\e) = 1+\dfrac{1}{\e}$

La tangente a pour équation
$y= \left ( 1+\dfrac{1}{\e}\right )(x-\e) + \e+1
\iff
y= \left ( 1+\dfrac{1}{\e}\right )x - \e -1 +\e+1
\iff
y= \left ( 1+\dfrac{1}{\e}\right )x$

\item $f(x)=\left (\ln(x)\right )^2 - 2\ln(x)$
donc
$f'(x)=2\times \dfrac{1}{x}\times \ln(x) -2\times \dfrac{1}{x}
= \dfrac{2}{x}\left (\ln(x)-1\right )$ s'annule et change de signe pour $\ln(x)-1=0$ donc pour $x=\e$.


\end{enumerate}

\newpage

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

On enregistre un son correspondant à une certaine note de musique. Ce son est analysé à l'oscilloscope. %On obtient la courbe, donnée sur le document 1 de l'annexe 1 (ci-dessous). 

La courbe obtenue est celle d'une fonction périodique $g$ de variable $t$, où $t$ est le temps exprimé en millisecondes.
 
\textbf{A.} On utilise le graphique pour répondre aux questions suivantes.% On justifiera chaque réponse. 

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $\cd 0~;~14\cg$.
 
	\begin{enumerate}
		\item%  Quel est le signe de la fonction $g'$ sur l'intervalle [2 ~;~ 4] ? 
La fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $\cd 2~;~4\cg$ donc la fonction dérivée $g'$ est négative sur cet intervalle.

		\item% Quel est le signe de la fonction $g'$ sur l'intervalle [9~;~ 11] ? 
La fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $\cd 9~;~11\cg$ donc la fonction dérivée $g'$ est positive sur cet intervalle.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item%  Déterminer le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$ sur l'intervalle [1 ~;~ 10]. 
La courbe représentant la fonction $g$ coupe 3 fois l'axe des abscisses entre $x=1$ et $x=10$ donc l'équation $g(x)=0$ admet 3 solutions sur l'intervalle $\cd 1~;~10\cg$.
 
		\item% Donner une valeur approchée à 0,2 ms près de la solution qui appartient à l'intervalle [3~;~4]. 
Une valeur approchée à 0,2~ms de la solution qui appartient à l'intervalle $\cd 3~;~4\cg$ est $3,6$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.} On sait que la période $T$, exprimée en ms, de la fonction $g$ est comprise entre 0 et 14. 

\begin{enumerate}
\item%  Déterminer graphiquement la valeur de $T$ arrondie au dixième. 
D'après le graphique, on voit que $g(x+10,2)=g(x)$ donc la période $T$ de la fonction $g$ est $10,2$~ms.

\item% Déterminer la fréquence $f$ en Hz de la note (on rappelle que la fréquence en Hz est l'inverse de la période exprimée en s). On donnera le résultat arrondi à l'unité. 
La période est de $10,2\times 10^{-3}$ seconde.

On sait que $f=\dfrac{1}{T}$ donc $f=\dfrac{1}{10,2\times 10^{-3}} \approx 98$~Hz.

\item En utilisant le document 2, on déduit que la note jouée est le SOL de l'octave 1.
\end{enumerate}

\medskip

%\textbf{ANNEXE 1}
%
%\medskip
 
\textbf{Document 1 :} Graphique de la fonction $g$ pour $t \in \cd 0 ~;~ 14\cg$ : en abscisse, une unité correspond à 1 ms, c'est-à-dire $0,001$ seconde

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(14.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4)(14.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(-0.5,-4)(14.4,4)
\psplot[plotpoints=2000]{0}{14}{x 180 mul 3.14159 div 1.23 mul sin  x 180 mul 3.14159 div 0.615 mul sin 1.2 mul add 1.5 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Document 2 :} Fréquence en hertz des notes de la gamme tempérée, arrondie à 1 hertz 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline{2-8}
\multicolumn{1}{c|}{}&DO& RE &MI &FA &SOL &LA &SI\\ 	
\hline 
Octave 0& 33& 37& 41& 44 &49 &55 &62 \\ \hline
Octave 1 &65 &73 &82 &87 & \textcolor{red}{98} &110 &123 \\ \hline
Octave 2& 131 &147 &165 &175 &196 &220 &247 \\ \hline
Octave 3 &262 &294 &330 &349 &392 &440 &494\\ \hline 
Octave 4 &523 &587 &659 &698 &784 &880 &988 \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 6 points}

\begin{enumerate}
\item  La probabilité pour que le jeton tiré soit jaune est
$P(J)=1-P(B)-P(V)= 1-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.

\item  On donne un arbre de probabilités correspondant à la situation décrite par l'énoncé:

\begin{center}
\bigskip
{
\psset{treesep=.75cm,levelsep=*4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\ncput*{$\frac{1}{2}$}}
	                        {
	                        \TR{$R$}\ncput*{$\frac{1}{2}$}
			                \TR{$C$}\ncput*{$\frac{1}{2}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\ncput*{$\frac{1}{3}$}}
	                        {
	                        \TR{$R$}\ncput*{$\frac{3}{10}$}
			                \TR{$C$}\ncput*{$\frac{7}{10}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$J$}\ncput*{$\frac{1}{6}$}}
	                        {
	                        \TR{$R$}\ncput*{$\frac{2}{5}$}
			                \TR{$C$}\ncput*{$\frac{3}{5}$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}


\item  %À l'aide de cet arbre, déterminer la probabilité : 
	\begin{enumerate}
		\item%  Que le jeton tiré soit rond. 
D'après la formule des probabilités totales:

$P(R)=P(B \cap R) + P(V \cap R)  + P(J \cap R) 
= P(B)\times P_B(R) + P(V)\times P_V(R) + P(J)\times P_J(R)\\[5pt]
\phantom{P(R)}
= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{5}
= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15}
= \dfrac{5}{12}$.

		\item%  Que le jeton tiré ne soit ni blanc, ni carré. 
Si le jeton n'est ni blanc ni carré, il peut être vert et rond, ou jaune et rond. 

La probabilité cherchée est donc:
$P(V \cap R)  + P(J \cap R) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{5}
= \dfrac{1}{6}$.

	\end{enumerate}
\item Sachant que le jeton tiré est rond,  la probabilité qu'il soit jaune est:

$P_R(J)= \dfrac{P(J\cap R)}{P(R)}
= \dfrac{\frac{1}{15}}{\frac{5}{12}} = \dfrac{1}{15} \times \dfrac{12}{5} = \dfrac{4}{25}$.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix) \hfill 6 points} 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cg -1 ~;~ + \infty\cd$ par :
$f(x) = x - 1 + \dfrac{4}{ x+1}$.
 
%\smallskip 
% 
%Sur l'annexe 2, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. 
\begin{enumerate}

\item%  Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1$ sur l'annexe 2  à rendre avec la copie. 
On trace la droite $\Delta$ au moyen des points:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & 1 & 5\\
\hline
$y=x-1$ & 0 & 4\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item   On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cg -1 ~;~ + \infty\cd$.  

	\begin{enumerate}

		\item%  Démontrer que $f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x+1)^2}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]-1 ~;~ + \infty[$. 
$f'(x)=1+ \dfrac{-4\times 1}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2+2x+1-4}{(x+1)^2}$

Or $(x-1)(x+3)= x^2 - x + 3x -3 = x^2+2x-3$.

Donc sur $\cg -1~;~+\infty\cd$, $f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}$.

		\item On étudie le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $\cg -1 ~;~ + \infty\cd$:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & -1 & \esp & 1 & \esp  & +\infty \\
\hline
x-1 &  & \boldsymbol{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
x+3 &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
(x+1)^2 & 0 \hfill{} & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
f'(x) = \dfrac{\left (x-1\right )\left (x+3\right )}{\left ( x+1\right )^2} \rule[-13pt]{0pt}{30pt}
&  \vline\;\vline\hfill{}
& \boldsymbol{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
		\item $f(1)=1-1+\dfrac{4}{1+1} =2$; on peut dresser le tableau de variations de  $f$ sur l'intervalle $\cg -1 ~;~ + \infty\cd$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *3{c} c|}
\hline
 x & -1 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\;\vline &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline \Rnode{max1}{\hspace{3mm}}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\hspace{3mm}}   \\
f(x) &\vline\;\vline &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \vline\;\vline & &   \Rnode{min}{2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		

	\end{enumerate}

\item On considère le domaine plan délimité par les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$, la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}

		\item%  Hachurer soigneusement ce domaine sur l'annexe 2  à rendre avec la copie. 
Voir figure.

		\item% On indique que si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction $g$ définie sur l'intervalle I par $g(x) = \ln [u (x)]$ a pour dérivée la fonction $g'$  définie sur l'intervalle I par $g'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$. 
Soit $H$ la fonction définie sur $\cg -1~;~+\infty\cd$ par $H(x) = 4\ln (x + 1)$.		
		
$H'(x)=4\times \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{4}{x+1\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ donc la fonction $H$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{4}{x+1}$ sur l'intervalle $\cg -1~;~+\infty\cd$.

		\item% Montrer que la mesure $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$, de l'aire du domaine hachuré à la question 3. a., est égale à $\displaystyle\int_{1}^3 \dfrac{4}{x + 1}\:\text{d}x$. 

%Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
	
Soit $g$ la fonction définie sur $\cg -1~;~+\infty\cd$ par $g(x)=x-1$. 

Sur l'intervalle $\cd 1~;~3 \cg$, $f(x)>g(x)$ donc la fonction $f-g$ est positive.

D'après le cours, on peut dire alors que:

$\mathcal{A} = \ds\int_1^3 (f-g)(x) \d x$
donc 	
$\mathcal{A} = \ds\int_1^3 f(x) - g(x) \d x
= \ds\int_1^3 x-1 + \dfrac{4}{x+1} - (x-1) \d x
= \ds\int_1^3 \dfrac{4}{x+1} \d x
$.

L'unité graphique est de 1~cm sur chaque axe, donc l'unité d'aire est de 1~cm$^2$.

On peut donc dire que la mesure $\mathcal{A}$, exprimée en cm~$^2$ est  
$\ds\int_1^3 \dfrac{4}{x+1} \d x$.

On a vu que $H'(x)=\dfrac{4}{x+1}$ donc
$\mathcal{A} = H(3)-H(1)= 4\ln(4) - 4\ln(2) = 4\ln\left ( \dfrac{4}{2} \right ) = 4\ln(2)$~cm$^2$.
	
	\end{enumerate} 



\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(11,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-3)(11,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(-2,-3)(11,8)

\def\f{x 1 sub 4 x 1 add div add}
\def\g{x 1 sub}

\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{1}{3}{\f}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{1}{\g}
\closepath
}

\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{-0.583}{8.55}{\f}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linecolor=red]{-1.5}{9}{\g}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1,-2.5)(-1,8)
\uput[ul](5.7,5.3){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dr](6,5){\red $\Delta$}
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{document}