\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}

\newcommand{\e}{\,\text{e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright \\ 
Métropole septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

%Dans une université, 55\:\% des étudiants possèdent un ordinateur. 
%Parmi les étudiants ayant un ordinateur :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 20\:\% ont un violon ; 
%\item[$\bullet~$] 30\:\% ont une flûte ; 
%\item[$\bullet~$] Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%Parmi les étudiants n'ayant pas d'ordinateur : 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 5\:\% ont un violon ; 
%\item[$\bullet~$] 15\:\% ont une flûte ; 
%\item[$\bullet~$] Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit au hasard un étudiant de cette université. Tous les étudiants ont la même probabilité d'être choisis. 
%
%On définit les évènements suivants : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] D : \og l'étudiant a un ordinateur \fg; 
%\item[$\bullet~$] V : \og  l'étudiant a un violon \fg; 
%\item[$\bullet~$] F : \og  l'étudiant a une flûte \fg; 
%\item[$\bullet~$] R : \og  l'étudiant n'a aucun de ces deux instruments de musique \fg. 
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On rappelle que $\overline{\text{D}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement D. 

\begin{enumerate}

\item%  Déterminer la probabilité pour que l'étudiant n'ait pas d'ordinateur. 
On sait que 55\,\% des étudiants possèdent un ordinateur donc 45\,\% n'en possèdent pas: $P(\overline{D})=0,45$.

\item  On complète l'arbre de probabilités suivant, correspondant à la situation décrite par l'énoncé:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=*3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$D$}\ncput*{$0,55$}}
	{
	\TR{$V$}\ncput*{$0,2$}
	\TR{$F$}\ncput*{$0,3$}
	\TR{$R$}\ncput*{$0,5$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{D}$}\ncput*{$0,45$}}
	{
	\TR{$V$}\ncput*{$0,05$}
	\TR{$F$}\ncput*{$0,15$}
	\TR{$R$}\ncput*{$0,8$}
	}
}
\bigskip
\end{center} 
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  L'évènement \og l'étudiant a un ordinateur et un violon \fg{} est $D \cap V$:
		
$P(D \cap V) = P(D) \times P_D(V)= 0,55 \times 0,2 = 0,11$.		
		 
		\item  L'évènement \og l'étudiant a un violon et n'a pas d'ordinateur \fg{} est $\overline{D} \cap V$:
		
$P(\overline{D} \cap V) = P(\overline{D}) \times P_{\overline{D}}(V)
= 0,45 \times 0,05 = \np{0,0225}$.		 

		\item%  En déduire que la probabilité de l'évènement V est égale à \np{0,1325}. 
D'après la formule des probabilités totales:

$P(V) = P(D \cap V)  + P(\overline{D} \cap V) 
= 0,11 + \np{0,0225} = \np{0,1325}$. 

	\end{enumerate} 

\item La probabilité de l'évènement \og l'étudiant a un ordinateur \fg{} sachant qu'il a un violon est:

$P_{V}(D) = \dfrac{P(D\cap V)}{P(V)}=\dfrac{0,11}{\np{1,1325}}
\approx 0,83$. 

%On donnera la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

%\begin{center} \textbf{Questionnaire à choix multiple} \end{center}
%
%\emph{Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations sont proposées dont \textbf{une seule est exacte}.}
%
%\emph{Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse.}
%  
%\emph{Toute réponse bonne donne $1$ point, toute mauvaise réponse enlève $0,5$ point, une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun. S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à $0$.}
%
%\medskip
% 
%On désigne par log le logarithme décimal et par $\ln$ le logarithme népérien. 

\begin{enumerate}
\item  Soit T le nombre réel tel que : $5^{\np{4000}} = 10^{\text{T}}$. Alors on peut affirmer que : 

\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$\ln \text{T} = f\np{4000}\ln 5 - \ln 10$  
&\textbf{b.}~~\fbox{$\log 5 = \dfrac{\text{T}}{\np{ 4000}}$}  
&\textbf{c.}~~ T $ = \np{2000}$\\
\end{tabularx}

\medskip

$5^{\np{4000}} = 10^{\text{T}}
\iff \log\left (5^{\np{4000}}\right ) = \log\left ( 10^{\text{T}} \right )
\iff \np{4000}\,\log5 = \text{T}\,\log\left ( 10 \right )
\iff \log 5  = \dfrac{\text{T}}{\np{4000}}$
car $\log 10=1$.

\medskip

\item   On rappelle que, dans la gamme de tempérament égal :
\begin{itemize}
\item  l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes, si bien que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ où $q$ est un nombre réel positif tel que $q^{12} =  2$. 
\item  une quarte juste contient cinq demi-tons. 
\end{itemize}

Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quarte juste ascendante est : 

\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~égal à $\dfrac{4}{3}$   
&\textbf{b.}~~inférieur à   $\dfrac{4}{3}$
&\textbf{c.}~~\fbox{égal à $2^{\frac{5}{12}}$} \\
\end{tabularx}
 
\medskip

Une quarte juste correspond à 5 demi-tons donc le rapport de fréquences est de $2^{\frac{5}{12}}$.

\medskip 
 
\item   La somme d'une fonction sinusoïdale de fréquence 400~Hz et d'une fonction sinusoïdale de fréquence 800~Hz, est : 

\textbf{a.}~~non périodique

\textbf{b.}~~périodique de fréquence \np{1200} Hz 

\textbf{c.}~~\fbox{périodique de fréquence 400 Hz}

\medskip

Une fonction $f$ périodique de fréquence 400~Hz a une période de $\dfrac{1}{400}$ donc, pour tout entier relatif $k$, $f\left ( x+ \dfrac{k}{400} \right ) = f(x)$. 

Une fonction $g$ périodique de fréquence \np{1200}~Hz a une période de $\dfrac{1}{\np{1200}}$ donc, pour tout entier relatif $k$, $g\left ( x+\dfrac{k}{\np{1200}} \right )= g(x)$. En particulier, $g\left ( x+  \dfrac{3}{\np{1200}}\right )=g(x)$ autrement dit $g\left (  x+\dfrac{1}{400 }\right ) = g(x)$.

On déduit que, pour tout $x$, $(f+g)\left (x+\dfrac{1}{400}\right )= f\left (x+\dfrac{1}{400}\right ) + g\left (x+\dfrac{1}{400}\right ) = f(x)+g(x)=(f+g)(x)$. 

Donc la fonction $f+g$ est périodique de période $\dfrac{1}{400}$ donc de fréquence 400~Hz.
 
\medskip

\item  On rappelle que: 

Si $a,\: b$ et $c$ sont des entiers naturels, \og $a$ congru à $b$ modulo $c$ \fg{} s'écrit : $a \equiv  b\:\: (\text{modulo}~ c)$.

 L'équation $7n \equiv 11\:\:(\text{modulo}~ 12)$ d'inconnue $n$, entier compris entre 0 et 6 : 

\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~\fbox{a une solution et une seule}   
&\textbf{b.}~~n'a aucune solution 
&\textbf{c.}~~a deux solutions\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7 \linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$n=$  			& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 					& 6 \\  \hline
$7n \equiv$  	& 0 & 7 & 3 & 7 & 4 & \textcolor{red!80}{11}& 6 \\    \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\e^{-3x+1} < \text{e}^{-2x+3}$  d'inconnue réelle $x$ est : 

\begin{tabularx}{1\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~l'intervalle $\cg -\infty~;~-2\cd$ 
&\textbf{b.}~~l'intervalle $\cd -2~;~+\infty\cd$
&\textbf{c.}~~\fbox{l'intervalle $\cg -2~;~+\infty\cd$}
\end{tabularx}

\medskip

$\e^{-3x+1} < \e^{-2x+3}
\iff
-3x+1 < -2x+3
\iff
-2<x$

\medskip


\item  On considère une échelle de fréquence logarithmique graduée de 40 à \np{10000}~Hz et de longueur totale 24~cm.
 
Sachant que de 40 Hz à \np{10000}~Hz, il y a entre sept et huit octaves, on peut alors affirmer que sur  cette échelle : 

\textbf{a.}~~toutes les octaves ont une \og largeur \fg{} de 15 mm environ.

\textbf{b.}~~\fbox{toutes les octaves ont une \og largeur \fg{} de 3 cm environ.}

\textbf{c.}~~l'octave DO$_{4}$-DO$_{5}$ a une \og  largeur \fg{} bien supérieure à l'octave DO$_{3}$-DO$_{4}$. On considère ici que la note DO$_{4}$ correspond à une fréquence de 520~Hz. 

\medskip

La fréquence de 40~Hz correspond à la graduation 0 sur l'échelle logarithmique; de plus, $\log(40)\approx 1,60$.

La fréquence de \np{10000}~Hz correspond à la graduation 24 sur l'échelle logarithmique, et $\log(\np{10000}) = 4$.

On passe d'une note à la même note de l'octave du dessus en multipliant la fréquence par 2; on s'intéressera donc aux fréquences 40, 80, 160, 320, 640, \np{1280}, \np{2560}, \np{5160} et \np{10000}. Il y a donc 7 octaves plus une incomplète entre les notes de fréquences 40~Hz et \np{10000}~Hz. 

Pour répondre à la question, on établit un tableau de proportionnalité entre les logarithmes décimaux des fréquences et les positions entre 0 et 24~cm sur l'échelle logarithmique:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
fréquence $f$ & 40&80&160	&320	&640&\np{1280} &\np{2560} &\np{5120} &\np{10000}\\ \hline
$\log(f)$ 		&1,60&1,90	&2,20	&2,51	&2,81	&3,11	&3,41	&3,71&4\\   \hline
cm				&	0&3,00	&6,00	&9,10	&12,10	&15,10	&18,10	&21,10&24\\
\hline
\end{tabularx}

\smallskip

Toutes les octaves ont donc une largeur d'environ 3~cm sur l'échelle logarithmique. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 7 points}

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cg 0~;~+ \infty\cd$ par : $ g(x) = x^2 +3 - 2 \ln x$.

	\begin{enumerate}
		\item%  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 

%	Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[,~ g'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 1) }{x}$. 

$g'(x) = 2x + 0 -2\times \dfrac{1}{x} 
= \dfrac{2x^2-2}{x}
= \dfrac{2\left (x^2-1\right )}{x}
= \dfrac{2\left (x-1\right )\left (x+1\right )}{x}$
	
		\item  On étudie le signe de $g'(x$) pour tout $x$ de $\cg0 ~;~ + \infty\cd$. 
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 1 & \esp  & +\infty \\
\hline
x-1 &  & \boldsymbol{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
x+1 &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
x & 0 \hfill{} & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
g'(x)=\dfrac{2\left (x-1\right )\left (x+1\right )}{x} \rule[-10pt]{0pt}{27pt}
&  \vline\;\vline\hfill{}
& \boldsymbol{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}				
		
		\item% Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[$.
	 
%Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées. 

$g(1) = 1^2 + 3 - 2\ln 1 = 4$, on dresse le tableau de variations de $g$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\,\vline\hfill{}  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\,\vline\hfill{}\Rnode{max1}{}  &  &  &  & \Rnode{max2}{}   \\
f(x) &\vline\,\vline\hfill{} &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\,\vline\hfill{}  & &   \Rnode{min}{4} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item%  En déduire que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[,~ g(x) > 0$.
La fonction $g$ admet le nombre 4 comme minimum sur l'intervalle $\cg 0~;~+\infty\cd$, donc $g(x)>0$ sur cet intervalle.

	\end{enumerate} 

\item  Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\cg 0 ~;~ + \infty\cd$ par: $f(x) = x - \dfrac{1}{x} + \dfrac{ 2\ln x}{x}$.

%On désigne par $f'$, la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item%  Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ~;~ + \infty[,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.$ 
$f'(x)= 1- \left (-\dfrac{1}{x^2}\right ) + \dfrac{2\times \dfrac{1}{x}\times x - 2\ln x \times 1}{x^2}
= 1+\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2-2\ln x}{x^2}
= \dfrac{x^2+3-2\ln x}{x^2}
= \dfrac{g(x)}{x^2}$
		\item Comme $g(x)>0$ pour tout $x>0$, on en déduit que $f'(x)>0$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$.  
		\item On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cg 0~;~+ \infty\cd$: 
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{5cm}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\,\vline\hfill{}  & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\,\vline\hfill{}  &    & \Rnode{max}{\phantom{A}}   \\
f(x) &\vline\,\vline\hfill{} &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \vline\,\vline\hfill{}    \Rnode{min}{\phantom{A}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}\\ \hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
%Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées. 

		\item On complète le tableau de valeurs suivant: 
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0,75 	&1 	&1,5 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 \\ \hline
$f(x)$	&$-1,35$&0 	&$1,37$ &$2,19$ &$3,40$ &$4,44$ &$5,44$	&$6,43$	&$7,41$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item On trace la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle \cd 0,75~;~ 7\cg:
		
\bigskip		
		
{\hspace{-2cm}
\psset{unit=2cm}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {7.5}
\def\ymin {-1.5}   \def\ymax {7.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 

\uput[dl](0,0){O}

\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}

\def\f{x 1 x div sub 2 x ln mul x div add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0.75}{7}{\f}%  tracé de la courbe

\end{pspicture*}}
		 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

\textbf{A. } On considère la fonction $T$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right]$ par :
$T(x) = 2 \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right)$.

\begin{enumerate}
\item%  Calculer le réel $T\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$. 
$T\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)
= 2 \cos \left(\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3\pi}{4}\right) 
= 2 \cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right) 
= 0$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item%  Montrer que, pour tout réel $x$ tel que $0 \leqslant  x < \dfrac{3\pi}{4}$, on a $0 \leqslant  \dfrac{2x}{3} < \dfrac{\pi}{2}$. 
$0 \leqslant  x < \dfrac{3\pi}{4}
\iff
0 \leqslant  2x < 2\times \dfrac{3\pi}{4}
\iff
0 \leqslant  2x < \dfrac{3\pi}{2}
\iff
0 \leqslant  \dfrac{2x}{3} < \dfrac{\dfrac{3\pi}{2}}{3}
\iff
0 \leqslant  \dfrac{2x}{3} < \dfrac{3\pi}{2}\times \dfrac{1}{3}\\[5pt]
\phantom{0 \leqslant  x < \dfrac{3\pi}{4}}
\iff
0 \leqslant  \dfrac{2x}{3} < \dfrac{\pi}{2}
$
		\item Si $x \in \left[0~;~  \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\dfrac{2x}{3} \in \left [ 0~;~\dfrac{\pi}{2} \right [$.
		
On sait que si $0 \pp X < \dfrac{\pi}{2}$, alors $\cos X >0$, on en déduit que $\cos \left ( \dfrac{2x}{3}\right ) >0$ et donc que $T(x)>0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Par la suite, on admettra que si $x$ appartient à l'intervalle $\left] \dfrac{3\pi}{4}~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right]$ alors $T( x) < 0$. 

\textbf{B.} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right]$  par: 
$f(x) = 3\sin  \left(\dfrac{2x}{3}\right)$.

\begin{enumerate}
\item%  Calculer les réels $f(0),~ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ et $f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$. 
$f(0)=3\sin(0) = 0$;
$f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) 
= 3 \sin \left (\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3\pi}{4} \right )
= 3 \sin \left (\dfrac{\pi}{2} \right )
= 3\times 1 = 3$

$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)
= 3 \sin \left (\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3\pi}{2} \right )
= 3 \sin(\pi) = 0$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		
Pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$, $f'(x) = 3\times \dfrac{2}{3} \times \cos \left ( \dfrac{2x}{3} \right ) 
= 2 \cos \left ( \dfrac{2x}{3} \right ) = T (x)$. 
		\item On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & \frac{3\pi}{4} & \hspace*{\esp} & \frac{3\pi}{2} \\ 
\hline
T(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{3}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}  \\ \hline
\end{array} $
}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\textbf{C.} 
\begin{enumerate}
\item Pour calculer l'intégrale $I$ définie par  $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}  3 \sin \left( \dfrac{2x}{3}\right)\:\text{d}x$, il faut déterminer une primitive de la fonction $f$; on sait que la fonction $\sin(x)$ a pour primitive la fonction $-\cos(x)$ donc une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie par 
$F(x)= -\dfrac{9}{2} \cos\left ( \dfrac{2x}{3} \right )$.

Donc $I = F\left ( \dfrac{3\pi}{2}\right ) - F\left ( 0 \right ) 
=  \left [ -\dfrac{9}{2}\cos\left ( \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3\pi}{2} \right )\right ]
- \left [  -\dfrac{9}{2}\cos\left ( \dfrac{0}{3} \right )\right ]
= \dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} = 9
$ unités d'aire.

\item% Sur le graphique de la fin, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 
On considère le domaine plan délimité par les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{3\pi}{2}$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$. 
On appelle $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de ce domaine. 


la fonction $f$ est positive sur $\left [0~;~\dfrac{3\pi}{2} \right ]$ donc $\mathcal{A} = \ds\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x) \d x = I = 9$ unités d'aire.

L'unité graphique étant de 2~cm sur chaque axe, l'unité d'aire est de 4~cm$^2$.

Donc $\mathcal{A} = 4\times 9 = 36$~cm$^2$.

\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT RENFORCÉ (au choix)}

\vspace{1cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 4 : annexe}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.75)(5.01,4.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](-0.5,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{x 180 mul 3.14159 div 2 mul 3 div sin 3 mul}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{4.71239}{\f}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4.71239}{0}{0}
\closepath
}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt,plotpoints=2000]{0}{4.71239}{\f}
\uput[ur](3,2.75){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](4.712,0){$\dfrac{3\pi}{2}$}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}