\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
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\setlength\parindent{0mm}

\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse -- Corrigé} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse \\\decofourleft~Métropole septembre 2009~\decofourright\\ }}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

%\medskip
%
%Parmi les 250 partitions d'une bibliothèque, 75 proviennent de l'éditeur Andante et le reste provient d'autres maisons d'édition. 
%
%4\,\% des partitions qui proviennent de l'éditeur Andante comportent au moins une erreur. Parmi les partitions ne provenant pas de l'éditeur Andante, 161 ne comportent aucune erreur.
%
%\medskip
% 
%Un musicien choisit au hasard une partition de cette bibliothèque. Chaque partition a la même probabilité d'être choisie.
%
% 
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A : \og la partition choisie provient de chez Andante \fg{} ; 
%\item[] E : \og la partition choisie comporte au moins une erreur \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\textbf{Les probabilités seront données sous forme décimale.}
%
%\medskip
% 
\begin{enumerate}
\item%  Donner la probabilité de l'évènement $A$ et celle de son événement contraire $\overline A$. 
D'après le texte, sur 250 partitions, 75 proviennent de l'éditeur Andante; donc la probabilité qu'une partition choisie au hasard sur les 250 provienne de l'éditeur Andante est:
$p(A)=\dfrac{75}{250} = 0,3$.

\item% Sachant que la partition choisie ne provient pas de chez Andante, démontrer que la probabilité que cette partition comporte au moins une erreur est égale à $0,08$. 
On sait que 75 partitions sur 250 proviennent d'Andante, donc $250-75=175$ ne proviennent pas d'Andante. Sur ces 175, il y en a 161 qui ne comportent pas d'erreur, donc $175-161 = 14$ qui comportent au moins une erreur.
Sachant que la partition ne provient pas de chez Andante, la probabilité qu'elle ne comporte pas d'erreur est:
$p_{\overline{A}}\left(\overline{E}\right) = \dfrac{14}{175}= 0,08$.

\item On construit un arbre de probabilité traduisant la situation:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A$}\naput{0,3}}
	{
	\TR{$E$}\naput{$0,04$}
	\TR{$\overline{E}$}\nbput{\red $1-0,04=0,96$}
	}	
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red $1-0,3=0,7$}}
	{	
	\TR{$E$}\naput{0,08}
	\TR{$\overline{E}$}\nbput{\red $1-0,08=0,92$}
	}
}
\bigskip
\end{center} 

\item L'évènement \og la partition choisie provient de chez Andante et comporte au moins une erreur \fg{} est l'événement $A\cap E$:
$p(A \cap E)= p(A) \times p_A(E)= 0,3\times 0,04 = 0,012$. 

\item% Démontrer que la probabilité de l'évènement $E$ est égale à $0,068$. 
D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de l'évènement $E$ est égale à:

$p(E)= p(A\cap E) + p\left(\overline{A}\cap E\right) = 0,012 + 0,7 \times 0,08 = 0,012 + 0,056 = 0,068$.

\item Sachant que la partition choisie comporte une erreur, la probabilité que cette partition ne provienne pas de l'éditeur Andante est:
$p_E\left(\overline{A}\right) = \dfrac{p\left(E \cap \overline{A}\right)}{p(E)}
= \dfrac{0,056}{0,068} \approx 0,82$. 

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

%\medskip
%
%\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.\\
%Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée $0$ point.}
%
%\medskip
% 
%Les questions font référence à la gamme de tempérament égal.
%
% Dans cette gamme :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}  
%\item l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$, où $q$ est le nombre réel 
%strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
%\item  les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RE, RE\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ; 
%\item  à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de  cette octave; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au dessus de l'octave d'indice 3 ; 
%\item  une quinte contient sept demi-tons; 
%\item  la fréquence, exprimée en Hertz, du LA$_{3}$ est de 440.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On considère un individu qui perçoit les sons dont la fréquence, exprimée en Hertz, est comprise entre 50 et \nombre{15000}. 

\begin{enumerate}
\item  La fréquence, exprimée en hertz, de la note FA$_{5}$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 554&  \textbf{b.~~} \fbox{\nombre{1397}}& \textbf{c.~~} \nombre{1760}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Pour passer de LA$_3$ à FA$_5$ on monte de 20 demi-tons:

\begin{center}
\ldots{} \quad \Rnode{X}{LA$_3$}  \quad \ldots \quad \ldots \quad  \Rnode{Y}{LA$_4$} \quad LA\#$_4$ \quad SI$_4$ \quad DO$_5$ \quad DO\#$_5$ \quad R\'E$_5$ \quad R\'E\#$_5$ \quad  MI$_5$ \quad \Rnode{Z}{FA$_5$} \quad \ldots
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$+12$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$+8$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}

La fréquence de la note FA$_5$ est donc 
$440\times q^{20} = 440\times 2^{\frac{20}{12}} \approx \np{1397}$.

\medskip

\item  Le nombre de notes LA d'octaves différentes que l'individu peut percevoir est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 7&  \textbf{b.~~} 8& \textbf{c.~~} \fbox{9}\\
\end{tabularx}
\end{center} 

On part du LA$_3$ qui a une fréquence de 440~Hz. On passe au LA de l'ocatve du dessus en multipliant la fréquence par 2, et on passe au LA de l'octave du dessous en divisant par 2. On multiplie et on divise par 2 autant de fois qu'on peut en restant dans la plage audible entre 50~Hz et \np{15000}~Hz:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
note & LA$_0$ & LA$_1$ & LA$_2$ & LA$_3$ & LA$_4$ & LA$_5$ & LA$_6$ & LA$_7$ & LA$_8$\\ 
\hline
fréquence & 55 & 110 & 220 & 449 & 880 & \np{1760} &  \np{3520} & \np{7040} &  \np{14080}\\   
\hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Le nombre de notes LA que peut percevoir l'individu est 9.

\medskip

\item  La plus basse note audible pour cet individu est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} SOL$_{0}$&  \textbf{b.~~} \fbox{SOL\#$_{0}$} & \textbf{c.~~} LA$_{0}$\\
\end{tabularx}
\end{center}
  
L'individu peut entendre le LA$_0$ qui a une fréquence de 55~Hz. La note juste en dessous est SOL\#$_0$ dont la fréquence est 
$\dfrac{55}{q} = \dfrac{55}{2^{\frac{1}{12}}} = 55\times 2^{-\frac{1}{12}} \approx 52$~Hz. Donc cette note est encore audible.

Celle du dessous est SOL$_0$ de fréquence
$\dfrac{55}{q^2} = 55 \times 2^{-\frac{2}{12}} \approx 49 < 50$ donc n'est pas audible.

La plus basse note audible est donc  SOL\#$_0$.
  
\item  Le nombre entier d'octaves commençant par DO que cet individu peut percevoir est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \fbox{7}&  \textbf{b.~~} 8 & \textbf{c.~~} 9\\
\end{tabularx}
\end{center}

La plus basse note que peut entendre l'individu est le SOL\#$_0$ donc la plus basse note DO qu'il peut entendre est le DO$_1$.  

On passe du LA$_0$ (de fréquence 55~Hz) au DO$_1$ en ajoutant 3 demi-tons donc la fréquence du DO$_1$ est $55\times q^3 = 55\times 2^{\frac{3}{12} } \approx 65,5$~Hz.

Le SI$_1$ est à 11 demi-tons du DO$_1$ donc sa fréquence est de 
$65,5 \times q^{11} = 65,5 \times 2^{\frac{11}{12}} \approx 123,5$~Hz.

On établit le tableau des fréquences des notes DO et SI pour différentes octaves:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
octave & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 
\hline
DO & 65,5 & 131 & 262 & 524 & \np{1048} & \np{2096} & \np{4192} & \np{8384} \\   
\hline
SI & 123,5 & 247 & 494 & 988 & \np{1976} & \np{3953} & \np{7908} & \textcolor{red}{\np{15808}} \\   
\hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Le nombre entier d'octaves que l'individu peut percevoir est donc 7.

\item  En ajoutant neuf quintes à la note DO$_{3}$ on trouve la note:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} DO\#$_{8}$&  \textbf{b.~~} RÉ$_{8}$& \textbf{c.~~} \fbox{RÉ\#$_{8}$} \\
\end{tabularx}
\end{center} 

Une quinte est égale à 7 demi-tons donc ajouter 9 quintes revient à ajouter $9\times 7 = 63$ demi-tons. De plus $63 = 12 \times 5 + 3$.

\begin{center}
\ldots{} \quad \Rnode{X}{DO$_3$}  \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad  \Rnode{Y}{DO$_8$} \quad DO\#$_8$ \quad  R\'E$_8$ \quad \Rnode{Z}{R\'E\#$_8$} \quad  MI$_8$  \quad \ldots
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$+5\times 12$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$+3$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}


\item En ajoutant $n$ quintes à la note D0$_{3}$ on trouve un MI audible par l'individu considéré.
 
Le nombre $n$ vaut:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \fbox{4} &  \textbf{b.~~} 5& \textbf{c.~~} 6\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\begin{center}
\Rnode{A}{DO$_3$}  \quad \ldots \quad  \ldots \quad  \Rnode{B}{SOL$_3$} \quad \ldots \quad  \ldots \quad  \Rnode{C}{RÉ$_4$} \quad \ldots \quad \ldots \quad  \quad  \Rnode{D}{LA$_4$}  \quad \ldots \quad  \ldots \quad  \Rnode{E}{MI$_5$} 
{\psset{angle=-90,linearc=0.2,arrowscale=1.3}
\ncbar[nodesep=3pt,offsetB=3pt]{->}{A}{B}
\mput*{$+7$}
\ncbar[nodesep=3pt,offsetA=3pt,offsetB=3pt]{->}{B}{C}
\mput*{$+7$}
\ncbar[nodesep=3pt,offsetA=3pt,offsetB=3pt]{->}{C}{D}
\mput*{$+7$}
\ncbar[nodesep=3pt,offsetA=3pt]{->}{D}{E}
\mput*{$+7$}
}
\bigskip
\bigskip
\end{center} 

Donc $n=4$.

On peut aussi utiliser les congruences. Pour passer d'un DO à un MI, il faut ajouter 4 demi-tons modulo~12; on doit donc chercher $n$ tel que 
$7n \equiv 4 \text{ modulo } 12$. On calcule les congruences modulo 12:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$n$ & 1 & 2 & 3 & 4  \\ 
\hline
$7n \equiv$ & 7 & 2 & 9 & 4 \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center} 

On retrouve $n=4$.
  
\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

%\medskip
% 
%On désigne par I l'intervalle $[-2~;~2]$.
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I = $[-2~;~2]$, par
$f(x) = \dfrac{x + 2}{\e^x }$.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm. 

\begin{enumerate}

\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 

	\begin{enumerate}
	
		\item $f'(x)=\dfrac{1\times \e^{x} - (x+2)\times \e^{x}}{\left ( \e^{x}\right )^2}
= \dfrac{\e^{x}( 1 - x - 2)}{\left ( \e^{x}\right )^2}
= \dfrac{-x-1}{\e^{x}}$

		\item On étudie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & -2 & \esp & -1 & \esp  & 2 \\
\hline
-x-1 &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{-} &   \\
\hline
\e^{x} &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{-} &   \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

		\item% Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
$f(-2)=0$; $f(-1)= \dfrac{-1+2}{\e^{-1}}=\e$; $f(2)= \dfrac{2+2}{\e^{2}} = 4\e^{-2}\approx 0,54$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur I:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & -2  & \hspace*{\esp} & -1 & \hspace*{\esp} & 2 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{4 \e^{-2}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

	\end{enumerate} 

\item% Déterminer, sous la forme $y = ax + b$, l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
L'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 0 est
$y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

$f(0)=\dfrac{0+2}{\e^{0}} = \dfrac{2}{1} = 2$;
$f'(0)=\dfrac{0-1}{\e^{0}} = -1$

La tangente $\mathcal{T}$ a pour équation $y=-x+2$.

\item On complète le tableau de valeurs suivant:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$	&$-2$& $- 1,8$&$- 1,5$ &$- 1$ &$- 0,5$ &0 &0,5 &1 &1,5 &2  \\  \hline
$f(x)$	&3	& 1,25	& 2,24	& 2,72	& 2,47	& 2	& 1,52	& 1,10	& 0,78	& 0,54 \\  \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item On construit la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $\mathcal{T}$ ainsi que la tangente parallèle à l'axe des abscisses. 

\begin{center}

%%% unités en abscisse et ordonnée
\psset{unit=2cm}

%%% rectangle de tracé
\def\xmin {-3}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {4}

%%% réservation du rectangle de tracé
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

%%% grille
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray!70] 

%%% axes
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 

%%% origine O
\uput[dl](0,0){O}

%%% vecteurs unitaires
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,-120][$\vec{\jmath}$,210]

%%% vecteurs i et j
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}

%%% points I et J
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}% seconde

%%% définition de la fonction f en notation polonaise inverse
\def\f{x 2 add 2.718 x exp div}
%%% tracé de la fonction f
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-2}{2}{\f}
\uput[r](-1.74,1.5){\blue $\mathcal{C}$}
%%% fonction g
\def\g{x neg 2 add}
%%% tracé de la fonction g
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red,linewidth=1.2pt]{-2.2}{2.2}{\g}
\uput[ur](-1.5,3.5){\red $\mathcal{T}$}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red,linewidth=1.2pt]{-2.2}{2.2}{2.718}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

\medskip 
  
%On désigne par I l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I = $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$, par: 
$f(x) = 6\sin (2x) - 4 \sin (3x)$.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $10$~cm.
 
\begin{enumerate}
\item%  Calculer $f(0),~f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. 
$f(0) = 6 \sin(0) - 4 \sin(0) = 0$;

$f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) 
= 6 \sin \left ( 2\dfrac{\pi}{12} \right ) - 4 \sin \left ( 3\dfrac{\pi}{12} \right )
= 6 \sin \left ( \dfrac{\pi}{6} \right ) - 4 \sin \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) 
= 6\times \dfrac{1}{2} - 4 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}
= 3- 2\sqrt{2}$

$f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) 
= 6 \sin \left ( 2\dfrac{\pi}{6} \right ) - 4 \sin \left ( 3\dfrac{\pi}{6} \right )
= 6 \sin \left ( \dfrac{\pi}{3} \right ) - 4 \sin \left ( \dfrac{\pi}{2} \right ) 
= 6\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 4 \times 1
= 3 \sqrt{3} - 4$

\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I.% Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = 12[\cos (2x) - \cos (3x)]$. 

$f'(x)= 6\times 2 \times \cos(2x) - 4\times 3\times \cos(3x)
= 12 \cos(2x) - 12 \cos(3x)
= 12\left (\cos(2x) - \cos(3x)\right )$

\item 
	\begin{enumerate}

		\item  
$f'(0) = 12\left (\cos(0) - \cos(0)\right )
= 12(1-1) = 0$ 

		\item  On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{6}\right],~ \cos (2x) > \cos (3x)$.
		
On en déduit que $f'(x)>0$ pour tout $x$ de I, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur I. 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{3cm}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & \frac{\pi}{6} \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{3 \sqrt{3} - 4}   \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{0} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


	\end{enumerate} 

\item On construit  la courbe $\mathcal{C}$:

\begin{center}
\psset{unit=10cm}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {0.7}
\def\ymin {-0.1}   \def\ymax {1.5}

\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

\psaxes[trigLabels=true,trigLabelBase=2,dx=\psPiH,xunit=\psPi,arrowscale=1.7]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid
\def\f{x 2 mul 0.01745329252 div sin 6 mul x 3 mul 0.01745329252 div sin 4 mul sub}

\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue]
{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0pt]{0}{0.5236}{\f}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0pt]{0.5236}{0}{0}
\closepath
}

\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{0.5236}{\f}

\psdots[linecolor=red](0,0)(0.2618,0.1716)(0.5236,1.196)
\uput[d](0.2618,0){\red $\frac{\pi}{6}$}
\uput[d](0.5236,0){\red $\frac{\pi}{12}$}

\uput[dl](0,0){O}

\end{pspicture*}
\end{center}

\item On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la droite passant par le point de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{6}~;~0\right)$ parallèle à l'axe des ordonnées et la courbe $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure.		
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan hachurée.
		 
%Donner l'expression de la mesure $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale. 
Par définition: $\mathcal{A} = \ds\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} f(x) \d x$.
		\item  On considère la fonction $F$ définie, pour tout réel $x$ de I, par :
$F(x) = -3 \cos (2x) + \dfrac{4}{3} \cos (3x)$.
 
%Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 

$F'(x)= -3\times (-2)\sin(2x) + \dfrac{4}{3} \times (-3)\sin(3x)
= 6\sin(2x) -4 \sin(3x) = f(x)$

donc la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur I.
		\item%  En déduire la valeur exacte de la mesure $\mathcal{A}$. 
On en déduit que:

$\mathcal{A} = F\left ( \dfrac{\pi}{6} \right ) - F(0)
= \left[ -3 \cos \left (2\dfrac{\pi}{6}\right ) + \dfrac{4}{3} \cos \left (3\dfrac{\pi}{6}\right ) \right ] -  \left [ -3 \cos (0) + \dfrac{4}{3} \cos (0) \right ]\\[5pt]
\phantom{\mathcal{A}}
= \left[ -3 \cos \left (\dfrac{\pi}{3}\right ) + \dfrac{4}{3} \cos \left (\dfrac{\pi}{2}\right ) \right ] -  \left [ -3  + \dfrac{4}{3} \right ]
= \left[ -3 \times \dfrac{1}{2} + 0  \right ] +3  - \dfrac{4}{3} 
= -\dfrac{3}{2} +3 - \dfrac{4}{3}
= \dfrac{1}{6}$ unités d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}