\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
%\setlength\paperheight{297mm}
%\setlength\paperwidth{210mm}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole septembre 2011 - Corrigé},
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\setlength\parindent{0mm}
\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} % le i des complexes
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\Métropole septembre 2011}}
    
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat traitera trois exercices :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
%\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
%\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\section*{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

%\medskip
%
%Un conservatoire organise un spectacle et auditionne des élèves de TMD. 
%Parmi les élèves auditionnés, 80\,\% sont des musiciens et les autres sont des danseurs. Le conservatoire retient pour le spectacle 75\,\% des musiciens et 60\,\% des danseurs. 
%
%On interroge au hasard un des élèves auditionnés.
%
%Chaque élève auditionné a la même probabilité d'être interrogé.
% 
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{description}
%\item[ ] M : \og l'élève interrogé est musicien \fg{} ; 
%\item[ ] D : \og l'élève interrogé est danseur \fg{} ; 
%\item[ ] R : \og l'élève interrogé est retenu pour le spectacle \fg.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note $\overline{\text{R}}$ l'évènement contraire de l'évènement R.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre de probabilités suivant qui correspond à cette situation: 

\bigskip

\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$M$}\taput{$0,80$}}
		{
		\TR{}~[tnpos=r]{$R$}\taput{$0,75$}
		\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{$0,25$}
 		}
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$D$}\tbput{$0,20$}}
		{
		\TR{}~[tnpos=r]{$R$}\taput{$0,60$}
 		\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{$0,40$}
 		}
}
\end{center}

\bigskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que l'élève interrogé soit musicien et soit retenu pour le spectacle est $p(M \cap R)$: 

$p(M \cap R) = p(M)\times p_M(R)= 0,80\times 0,75 = 0,60$		
		
		\item% Démontrer que la probabilité de l'évènement R est $0,72$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$p(R)= p(M\cap R) + p(D\cap R)
=  p(M)\times p_M(R) +  p(D)\times p_D(R)
= 0,60 + 0,20\times 0,60 = 0,72$

	\end{enumerate}
	
\item% Les évènements M et R sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
$p(M)=0,80$ et $p(R)=0,72$ donc $p(M)\times p(R)=0,80\times 0,72=0,576$

$p(M\cap R) = 0,60$

$p(M)\times p(R) \neq p(M\cap R)$ donc les événements $M$ et $R$ ne sont pas indépendants.


\item La probabilité que l'élève interrogé soit musicien sachant qu'il est retenu pour le spectacle est $p_R(M)$:

$p_R(M) = \dfrac{p(M\cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,60}{0,72} \approx 0,83$

\end{enumerate}

\medskip

\section*{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

\subsection*{Partie 1. Étude graphique}

\medskip
 
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle \cd 0,5~;~3\cg.
 
%L'unité graphique est de 2~cm en abscisse et de 1~cm en ordonnée.

\medskip
 
Par lecture graphique:
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Donner, avec la précision que permet le graphique, les valeurs des nombres $f(0,5)$ et $f(3)$ ; 
 $f(0,5)\approx -1$ et $f(3) \approx 5,6$.

		\item Le nombre réel $\alpha$ de l'intervalle \cd 0,5~;~3\cg{} tel que $f(\alpha) = 0$ vaut environ $1,9$. 

		\item La valeur minimale de la fonction $f$ sur l'intervalle \cd 0,5~;~3\cg{} est d'environ $-2$.

	\end{enumerate} 

\item La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\cg \alpha~;~3 \cg$.

\end{enumerate}

\begin{figure}[t!]
\centering
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-2.8)(3.5,6.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-0.75,-2.8)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.75,-2.8)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.75,-2.8)(3.5,6)
\psdots(0.5,-1)(3,5.6)\uput[ul](2.4,2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.5}{3}{x  dup mul 2 x mul add 5  sub x ln 4 mul sub}
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(0.5,-1)(0.5,0)
\uput[ul](1.94,0){\blue $\alpha$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{figure}

\subsection*{Partie 2. Étude de la fonction}

\medskip
 
%On désigne par ln la fonction logarithme népérien. 

La fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$ de \cd 0,5~;~3\cg, par 
$f(x) = x^2 + 2x - 5 - 4\ln x$.
 
%On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle \cd 0,5~;~3\cg,\: $f^{\prime}(x)$. 
$f'(x)= 2x+2-\dfrac{4}{x}$

\item $(x - 1)( x + 2) = x^2 -x+2x-2 = x^2 +x - 2$
 
\item% Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle \cd 0,5~;~3\cg.
$f'(x)= 2x+2-\dfrac{4}{x} 
= \dfrac{2x^2 +2x -4}{x}
= \dfrac{2\left (x^2 +x -2\right )}{x}
= \dfrac{2\left ( x-1\right ) \left ( x+2\right )}{x}$
pour tout $x$ de $\cd 0,5~;~3\cg$.


\item On étudie le signe de la fonction dérivée $f'$ sur l'intervalle \cd 0,5~;~3\cg:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0,5  & \hspace*{2cm} & 1 & \hspace*{2cm} & 3 \\
\hline
x-1 &  & \boldsymbol{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
x+2 &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
x &  & \boldsymbol{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \boldsymbol{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \boldsymbol{+} &   \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
 
\item% Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle \cd 0,5~;~3\cg. 
$f(0,5)= -3,75 -4\,\ln(0,5) \approx -0,977$;
$f(1)= -2$ et $f(3)= 10-4\,\ln(3)\approx 5,6$ 

On dresse le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cd 0,5~;~3\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0,5 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 3 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{-3,75 -4\,\ln(0,5)}  &  &  &  & \Rnode{max2}{10-4\,\ln(3)}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{-2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 7 points}
%
%\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}
%
%\medskip

%Dans la gamme de tempérament égal :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$ , où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
%\item[$\bullet~~$] une quinte juste contient sept demi-tons ; une quarte contient cinq demi-tons ; 
%\item[$\bullet~~$] les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ; 
%\item[$\bullet~~$] à chaque octave est associé un indice n entier naturel; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et 
%LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3 ; 
%\item[$\bullet~~$] la fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA$_{3}$ est 440 Hz ; 
%\item[$\bullet~~$] la différence de hauteur entre deux notes de fréquences $f_{1}$ et $f_{2}$ (avec $f_{1} > f_{2}$) est le  nombre $10^3 \log \left(\dfrac{f_{1}}{f_{2}}\right)$ où log désigne la fonction logarithme décimal ; cette différence de hauteur s'exprime en savarts quand les fréquences sont exprimées en hertz.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Dans les questions 1. et 2., on ne tiendra pas compte des indices des octaves.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On part de la note LA. On ajoute quatre quintes donc $4\times 7=28$ demi-tons et $28= 2\times 12+4$.
		
Si on ajoute un multiple de 12 demi-tons, on reste sur la même note; en ajoutant 24 demi-tons on obtient donc un LA. En ajoutant 4 demi-tons de plus, on obtient la note DO\#.

\begin{center}
${\ldots{} \quad \Rnode{X}{\text{LA}} \quad \ldots \quad \ldots \quad  \Rnode{Y}{\text{LA}} \quad \text{LA}\# \quad \text{SI}} \quad \text{DO} \quad \Rnode{Z}{\text{DO}\#} \quad \text{R\'E} \quad  \ldots$
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$+24$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$+4$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}		
				
		\item% Montrer que l'on obtient la même note qu'au a. en retranchant quatre quartes de la note LA.
Une quarte fait 5 demi-tons donc quatre quartes font $4\times 5 = 20$ demi-tons et $20 = 12 + 8$.

En retranchant 12 demi-tons, on obtient la même note LA ; en retranchant 8 demi-tons de plus, on obtient la note DO\#.

\begin{center}
$\ldots{} \quad \text{DO} \quad \Rnode{Z}{\text{DO}\#} \quad \text{RÉ} \quad \text{RÉ}\# \quad \text{MI} \quad \text{FA} \quad \text{FA}\# \quad \text{SOL} \quad \text{SOL}\#\quad  \Rnode{Y}{\text{LA}} \quad \ldots{} \quad \ldots \quad  \Rnode{X}{\text{LA}} \quad \text{LA}\# \quad \ldots{}$
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetB=-3pt,arrowscale=1.3]{->}{X}{Y}
\mput*{$-12$}
\ncbar[angle=-90,linearc=0.2,nodesep=3pt,offsetA=-3pt,arrowscale=1.3]{->}{Y}{Z}
\mput*{$-8$}
\bigskip
\bigskip
\end{center}

On obtient donc la même note qu'à la question \textbf{a.}
	\end{enumerate} 
	
\item On désigne par $n$ un entier naturel non nul. 
	\begin{enumerate}
		\item% Établir la congruence $7n \equiv  - 5n\quad  (\text{modulo}\: 12)$. 
$12\equiv 0 \quad (\text{modulo }12)$ donc

$12n \equiv 0 \quad (\text{modulo }12) \iff
7n + 5n \equiv 0 \quad (\text{modulo }12)
\iff 7n \equiv -5n \quad (\text{modulo }12)$
		\item On ajoute $n$ quintes à la note LA; donc on ajoute $7n$ demi-tons.

Si on retranche $n$ quartes à la note LA, on retranche $5n$ demi-tons, ou on ajoute $-5n$ demi-tons. Or on a vu que $7n \equiv - 5n \quad (\text{modulo } 12)$ donc les deux notes obtenues sont les mêmes, avec $n$ octaves d'écart.		
	\end{enumerate} 
\item On part de la note LA$_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item On cherche la fréquence $f_{1}$ de la note obtenue en ajoutant quatre quintes à la note LA$_{3}$.% On donnera la valeur arrondie à l'unité. 

La suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ avec $q^{12}=2$. 

Si on monte de 4 quintes, on monte de $4\times 7=28$ demi-tons; 

la fréquence de la note obtenue est donc
$f_1 = 440\times q^{28} = 440\times 2^{\frac{28}{12}} \approx \np{2217}$~Hz.
		\item On cherche la fréquence $f_{2}$ de la note obtenue en retranchant quatre quartes de la note LA$_{3}$.% On donnera la valeur arrondie à l'unité.

Retrancher quatre quartes revient à retrancher $4\times 5=20$ demi-tons; la fréquence de la note obtenue est donc
$f_2=440\times q^{-20} = 440\times 2^{-\frac{20}{12}} \approx 139$~Hz.
		\item La différence de hauteur entre les deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ (avec $f_1>f_2$) est
		
$10^3\,\log \left ( \dfrac{f_1}{f_2}\right ) 
= 10^3\,\log \left ( \dfrac{440\times 2^{\frac{28}{12}}}{440\times 2^{-\frac{20}{12}}}\right )
= 10^3 \,\log\left ( 2^{\frac{48}{12}}\right )
= 10^3 \,\log\left ( 2^{4}\right )
=\np{4000}\,\log(2)		
\approx \np{1204}$~savarts.	

On obtient $\np{1203}$ comme résultat si on calcule
$ 10^3\,\log \left ( \dfrac{\np{2217}}{139}\right )$.		 
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\newpage

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 7 points}

%\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}
%
%\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique, c'est-à-dire sous la forme $x + \text{i}y$  où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}
= \dfrac{\sqrt{3}+\i}{1-\i}
= \dfrac{\left (\sqrt{3}+\i\right )\left (1 + \i\right )}{\left (1-\i\right )\left (1+\i\right )}
= \dfrac{\sqrt{3} + \i + \i \sqrt{3} + \i^2}{1-\i^2}
= \dfrac{\sqrt{3} + \i + \i \sqrt{3} -1}{2}
= \dfrac{\sqrt{3} -1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3} +1}{2}
$

\item
	\begin{enumerate}
		\item Voir figure. % Placer le point A dans le repère \Ouv. 
		\item %Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$.
$\left | z_{\text{A}}\right | = \ds\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$;
donc 
$z_{\text{A}} = \sqrt{2} \left (  \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \i \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )
= \sqrt{2} \left (  \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i  \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$

On cherche donc un réel $\alpha$ tel que
$\cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et
$\sin(\alpha) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$;
$\alpha = -\dfrac{\pi}{4}$ répond à la question.

Le nombre complexe $z_{\text A}$ a donc pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $-\dfrac{\pi}{4}$.		 
%On pourra exploiter le graphique. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On sait que le module du nombre complexe $z_{\text{B}}$ est $2$. 
Donc $z_{\text B} = 2\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1}{2} \right )$

On cherche donc un nombre $\beta$ tel que 
$\cos (\beta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et 
$\sin (\beta) = \dfrac{1}{2}$;
$\beta = \dfrac{\pi}{6}$ répond à la question.

Le nombre complexe $z_{\text B}$ a donc pour module $2$ et pour argument $\dfrac{\pi}{6}$.
		\item% Construire le point B dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de  construction.
Le module de $z_{\text B}$ est égal à 2 donc le point B se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 2.

La partie imaginaire de $z_{\text B}$ est égale à 1 donc le point B se trouve sur la droite d'équation $y=1$.

Le point B se trouve donc à l'intersection du cercle et de la droite.

Voit figure.
	\end{enumerate} 
\item  

	\begin{enumerate}
		\item% À l'aide des résultats établis dans les questions 2. b. et 3. a., déterminer le module et un  argument du nombre complexe 
D'après le cours, 
$\left | \dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} \right |
= \dfrac{ \left |z_{\text{B}}\right |}{\left | z_{\text{A}}\right |} 
= \dfrac{2}{\sqrt{2}}
= \sqrt{2}$. 

D'après le cours,
$\arg \left(  \dfrac{z_{\text B}}{ z_{\text A}}\right ) 
= \arg \left ( z_{\text B} \right ) - \arg \left ( z_{\text A} \right )$
à $2\pi$ près,

donc 
$\arg \left(  \dfrac{z_{\text B}}{ z_{\text A}}\right )
= \dfrac{\pi}{6} - \left ( -\dfrac{\pi}{4}\right )
= \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4}
= \dfrac{2\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12} 
= \dfrac{5\pi}{12}$ à $2\pi$ près.

Le nombre 
$\dfrac{z_{\text B}}{ z_{\text A}}$
a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{5\pi}{12}$.
		\item On en déduit que 
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} 
= \sqrt{2} \left ( \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) + \i \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) \right )= \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) + \text{i}\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$. 
		\item% Déterminer alors la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$. 
On a vu que 
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) + \text{i}\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$
et que
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}
= \dfrac{\sqrt{3} -1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3} +1}{2}
$;

par identification des parties réelles on peut dire que:

$\sqrt{2} \cos \left( \dfrac{5\pi}{12}\right ) = \dfrac{\sqrt{3} -1}{2} $
et donc
$ \cos \left(\dfrac{5\pi}{12} \right ) = \dfrac{\sqrt{3} -1}{2\sqrt{2}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=3pt 2}
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=orange!70](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](1,0){$\vect u$} \uput[ul](0,1){$\vect v$} 
\psdots(1,-1)(1.732,1)
\uput[dr](1,-1){A} \uput[70](1.732,1){B}
\pscircle[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){2}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](\xmin,1)(\xmax,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psline(1,-1)(0,0)(1.732,1)
\psarc{<-}(0,0){0.5}{-45}{0} \uput[-22.5](0.5;-22.5){$-\frac{\pi}{4}$}
\psarc{->}(0,0){0.7}{0}{30}  \uput[15](0.7;15){$\frac{\pi}{6}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}