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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage{tkz-tab,tkz-fct}
%Tapuscrit Isabelle Faure (merci à elle)
%\renewcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\N{\mathbb{N}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
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\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small 13 juin 2012}
\begin{center}
{\Large \textbf{\red \decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers~\decofourright\\13 juin 2012}}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{\textcolor{blue}{EXERCICE 1 \hfill 4 points}}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}




\begin{enumerate}
\item La droite $(IJ)$ passe par $I\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, et elle est dirigée par $ \vect{IJ}\left(-1~;\dfrac{1}{3}~;~1\right) $. 

Une représentation paramétrique de cette droite est  
$\left\{\begin{array}{lcr}x&=&1 -1 \times t \\
y&=& \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times t  \\
z&=& 0 +1 \times t \end{array}\right. ,~t\in\mathbb{R}$, soit $\left\{\begin{array}{lcr}x&=&1 - t \\
y&=& \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z&=&t \end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$

\item La droite qui a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
y=t'\\
z=1-t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$, passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$, c'est-à-dire $K$ ; le vecteur de coordonnées $\left(a-\dfrac{3}{4}~;~1~;~-1\right)$ en est un vecteur directeur. Or $ \vect{KL}\left(a-\dfrac{3}{4}~;~1~;~-1\right) $. C'est donc bien une représentation paramétrique de $ (KL) $.

\item Les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, le système suivant admet une solution unique pour $ (t,~t') $.

$\left\{\begin{array}{l c r}x&=&1 - t \\
y&=& \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z&=&t \\
x&=&\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
y&=&t'\\
z&=&1-t'\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{lcr}x&=&1 - t \\
y&=& \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z&=&t \\
1 - t &=&\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
\dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}&=&t'\\
t&=&1-t'\end{array}\right.  \iff$

$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 - t \\
y&=& \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}\\
z&=&t\\
1 - (1-t') &=&\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1-t'}{3}&=&t'\\
t&=&1-t'\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{lcr}x&=&1 - t \\
y&=& \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z&=&t \\
t' &=&\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1-t'}{3}&=&t'\\
t&=&1-t'\end{array}\right.$

On obtient finalement 
$\left\{\begin{array}{lcr}
x&=&1 - t \\
y&=& \dfrac{1}{3} + \dfrac{t}{3}   \\
z&=&t \\
\dfrac{1}{2}&=&\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \times \left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
t'&=& \dfrac{1}{2}\\
t&=&1-t'\end{array}\right. $ qui a une solution si et seulement si $ \dfrac{1}{2} =\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} \times \left(a-\dfrac{3}{4}\right) \iff a = \dfrac{1}{4} $.

\textbf{Remarque :}\emph{ Au passage, on a trouvé les coordonnées du point d'intersection des deux droites $ \left( \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right)  $. On a  $ t = t'=\dfrac{1}{2} $ et on reporte pour avoir $x$,\:$y$,\:$z$.} 

\end{enumerate}

%\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
%\noindent Dans la suite de l'exercice, on pose $a=\dfrac{1}{4}$.\\
%Le point L a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~0\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
D'après la question précédente, dans ce cas, les diagonales $ (IJ) $ et $ (KL) $ du quadrilatère $ IKJL $ sont sécantes en un point $ \Omega $. On vérifie que $ \Omega \left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)  $ est bien le milieu de $ [IJ] $ et $ [KL] $.

\emph{Rappel de la formule : le milieu de $ [IJ] $ a pour coordonnées} $\left(\dfrac{x_I+x_J}{2}~;~\dfrac{y_I+y_J}{2}~;~\dfrac{z_I+z_J}{2} \right)$. 

On vérifie sans problème que l'on a bien $ \left( \dfrac{x_I+x_J}{2},\dfrac{y_I+y_J}{2},\dfrac{z_I+z_J}{2}  \right) = \left( \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right)  $ et aussi 
$ \left( \dfrac{x_K+x_L}{2}~;~\dfrac{y_K+y_L}{2}~;~\dfrac{z_K+\text{z}_L}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right)  $.

Les diagonales du quadrilatère $IKJL$ se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.

\emph{On pouvait aussi montrer que $ \vect{IK} $ et $ \vect{LJ} $ ont les mêmes coordonnées.}

%\item La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.	.\\
%On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
%\begin{center}
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,5.5)
%\psframe(0.3,0.2)(4,4)
%\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)
%\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)
%\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)
%\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)
%\uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} 
%\uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E}
%\psdots(1.53,0.2)(0.65,4.28)(4.17,5.1)
%\uput[d](1.53,0.2){I}
%\uput[d](0.65,4.28){K}
%\uput[d](4.17,5.1){J}
%\uput[d](0.3,2.48){M}
%\uput[r](5.4,2.88){N}
%\uput[r](4.35,0.5){L}
%\psline(0.65,4.28)(4.17,5.1)
%\psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48)
%\psline(0.3,2.48)(1.53,0.2)
%\psline[linestyle=dashed](1.53,0.2)(4.35,0.5)
%\psline(5.4,2.88)(4.35,0.5)
%\psline[linestyle=dashed](5.4,2.88)(4.17,5.1)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.}

\item
\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\overrightarrow{n}$  est un vecteur normal au plan $(IJK)$ si et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs directeurs \textbf{non colinéaires} de ce plan.

Comme $ I, J, K $ définissent ce plan, ils sont non alignés et les vecteurs $ \vect{IJ} $ et $ \vect{IK} $ ne sont pas colinéaires.

Le repère étant orthonormé, on peut utiliser l'expression analytique du produit scalaire.

 $\vect{IJ}\left(-1~;~\dfrac{1}{3}~;~1\right)$ et donc $ \vect{IJ} \cdot \vect{n} = -1 \times 8 + \dfrac{1}{3} \times 9 + 1 \times 5 = 0$.
 
 Les vecteurs $ \vect{IJ}$ et $\vec{n} $ sont bien orthogonaux.
 
 De même :  $\vect{KL}\left(-\dfrac{1}{2}~;~1~;~-1\right)$ et donc $ \vect{KL} \bullet \vect{n} = -\dfrac{1}{2} \times 8 +1 \times 9 - 1 \times 5 = 0$.
 
 $ \vect{n} $ est bien orthogonal à deux vecteurs non colinéaire de $ (IJK) $, il est bien normal à ce plan.

\item Le plan $(IJK)$ a donc une équation cartésienne de la forme $8x+9y+5z+d=0$. Comme le point $I$ appartient à ce plan, ses coordonnées doivent vérifier cette équation : 

$ 8 \times 1 + 9 \times \dfrac{1}{3} + 5 \times 0 + d = 0 \iff d = -11  $...

\item \emph{Je détaille le cas de $M$. Une manière de répondre à cette question est de chercher une représentation paramétrique de $ (BF) $ qui passe par $B(1~;~0~;~0)$ et est dirigée par $ \vect{BF}(0~;~0~;~1) $.}

$M$ est le point d'intersection du plan $ (IJK) $ et de la droite $ (BF) $. Ses coordonnées $ (x~;~y~;~z) $ doivent donc être solutions du système formé par les trois équations issues d'une représentation paramétrique de $ (BF) $ et l'équation $8x + 9y+ 5z+ d = 0$ du plan $(IJK)$ :

$\left\{\begin{array}{l}x=1 + 0 \times t  \\
y= 0 + 0 \times t  \\
z= 0 + 1 \times t \\
8x + 9y + 5z - 11=0
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}x=1  \\
y= 0  \\
z=  t \\
8 \times 1 +9 \times 0 +5\times t -  11=0
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}x=1  \\
y= 0  \\
z=  \dfrac{3}{5} \\
 t = \dfrac{3}{5}
 \end{array}\right.$

Les coordonnées du point $M$ sont $ \left( 1~;~0~;~\dfrac{3}{5} \right)  $.

De même, les coordonnées de $N$ sont solutions de 

$\left\{\begin{array}{l}x=0+ 0 \times t  \\
y= 1 + 0 \times t  \\
z= 0 +1 \times t \\
8x+9y+5z-11=0
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}x=0  \\
y=1  \\
z=  t \\
8 \times 0 +9 \times 1 +5\times t -  11=0
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}x=0  \\
y= 1  \\
z=  \dfrac{2}{5} \\
 t = \dfrac{2}{5}
 \end{array}\right.$
 
Les coordonnées du point $N$ sont $ \left( 0~;~1~;~\dfrac{2}{5} \right)  $.
 
\emph{Une autre manière de répondre, est d'utiliser l'équation du plan $(IJK)$ donnée dans la question précédente.}
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{\textcolor{blue}{EXERCICE 2 \hfill 5 points}}
%On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour  $n$ entier naturel non nul par : \[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$.\\
%Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.

$G$ est dérivable sur $\R$ car c'est la composée de la fonction carrée suivie de la fonction exponentielle toutes deux dérivables sur $\R$ (puis produit par $ \dfrac{1}{2} $). 

Pour tout réel $x$, on pose $ u(x) = x^2 $, ainsi $ u'(x) = 2x $ :

$ G'(x) = \dfrac{1}{2} \times u'(x) \mathrm{e}^{u(x)} = \dfrac{1}{2} \times 2x \mathrm{e}^{x^2} = g(x) $

\item $I_1 =\displaystyle \int_0^1x^1\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x = \displaystyle \int_0^1 g(x) \text{ d}x = \left[ G(x)\right]_0^1 = G(1)-G(0) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e} - \dfrac{1}{2} $.

\[I_1 =  \dfrac{1}{2}\mathrm{e} - \dfrac{1}{2}\]

\item %À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\]
$ I_{n+2} =  \displaystyle{\int_0^1 x^{n+2} \mathrm{e}^{x^2} } \:\text{d}x  =  \displaystyle{\int_0^1 x^{n+1} \times x \mathrm{e}^{x^2} } \:\text{d}x$

 Posons $\left\{\begin{array}{l c l}
u(x)&=& x^{n+1}\\
v^{\prime}(x) &=&x \mathrm{e}^{x^2} = g(x)
\end{array}\right. \Rightarrow 
\left\{\begin{array}{l c l}
u^{\prime}(x)&=&(n+1)x^{n}\\
v(x) &=& \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2} = G(x)
\end{array}\right.$

Toutes les fonctions sont continues car dérivables sur $[0~;~1]$ ; on peut donc intégrer par parties :

$ I_{n+2} = \left[ G(x) x^{n+1} \right]_0^1 -  \displaystyle{\int_0^1 (n+1)x^{n} \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2} } \:\text{d}x =  \dfrac{1}{2} \mathrm{e}- 0 - \dfrac{n+1}{2} \displaystyle{\int_0^1 x^{n}\mathrm{e}^{x^2} } \:\text{d}x = $

$\dfrac{1}{2} \mathrm{e} - \dfrac{n+1}{2} I_n$...

\item  On fait $n=1$ dans l'égalité précédente : $I_3 = \dfrac{1}{2} \mathrm{e} - \dfrac{1+1}{2} I_1 =\dfrac{1}{2} \mathrm{e}-I_1 = \dfrac{1}{2} $ 

On recommence avec $ n=3 : I_5 = \dfrac{1}{2} \mathrm{e} - \dfrac{3+1}{2} I_3 = \dfrac{1}{2} \mathrm{e} - 2 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \mathrm{e} -1$.

\[I_3 = \dfrac{1}{2} \qquad I_5 = \dfrac{1}{2} \mathrm{e} -1\]

\end{enumerate}

\item
%\item On considère l'algorithme suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*2{l|}} \hline
%\multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\
%&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\
%\hline
%\multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\
%&\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\
%&\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\
%\hline
%\textbf{Sortie}&Afficher $u$\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

On remarque que $ I_1 =\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$ et que $ I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n $.

\danger \emph{Dans la boucle, on gère $u$ avant $n$ : on utilise la valeur de $n$ entrante pour la nouvelle affectation de $u$.}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|c|c|X|} \hline
Étape 				& $u$ 	& $n$ 	& Commentaire \\\hline
Initialisation 		&$I_1$	& $1$ 	&ce sont les valeurs en entrant dans la boucle  \\\hline
Première entrée 	& $I_1$ &$1$ 	&\\
Première sortie
 de la boucle 		& $I_3$ & $ 3 $ &on incrémente de $2$ en $2$ \\\hline
Seconde entrée 		& $I_3$ & $ 3 $ &\\
Seconde sortie 		& $I_5$ & $ 5 $ & \\ \hline
$\vdots$ 			&$\vdots$& $\vdots$& la dernière valeur vérifiant $n > 21 $ est $19$\\\hline
Dernière entrée 	& $I_19$ &$19$ 	&\\
Dernière sortie 	&$I_{21}$&$21$ 	&  \\\hline
Affichage 			&$I_{21}$&  	&le terme obtenu en dernier \\ \hline
\end{tabularx}

En sortie de cet algorithme, on obtient $I_{21} $.

\item 
\begin{enumerate}
\item \emph{Ici, il faut revenir à la définition de $ I_n $}

Pour tout $x \in [0~;~1]$,\: $x^n\mathrm{e}^{x^2} \geqslant 0 $ car \og une fonction exponentielle \fg{} est  positive. Comme  $I_n$ est donc l'intégrale d'une fonction positive, les bornes étant dans l'ordre croissant, finalement $I_n \geqslant 0$.

\item $\forall n \in \N$,\: \forall x \in [0~;~1],

\begin{array}[t]{lcll}
x \leqslant 1 & \Longrightarrow & x^{n+1} \leqslant x^n & \text{on a multiplié par } x^n \geqslant 0 \text{ et vérifié en }0\\
 & \Longrightarrow & x^{n+1}\mathrm{e}^{x^2} \leqslant x^n\mathrm{e}^{x^2} & \text{on a multiplié par } \mathrm{e}^{x^2} >0 \\
 & \Longrightarrow & I_{n+1} \leqslant I_n  & \text{par intégration de l'inégalité}  \\
\end{array} $

Par définition, la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.

\item La suite $\left(I_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$, elle est donc convergente vers une limite $ \ell \geqslant 0 $.

\end{enumerate}

\item

% \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
%\noindent Déterminer la valeur de $\ell$.

Montrons par l'absurde que $ \ell = 0 $ . Supposons donc $ \ell \neq 0 $.

On va \og passer à la limite \fg{} dans la relation $\forall n \in \N, I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n $.

D'une part : comme $ \ell \neq 0$, par produit $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{n+1}{2}I_n  = +\infty$ et 

$ \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n  = - \infty$ 

D'autre part  $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} I_{n+2} = \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} I_{n} = \ell $

On devrait donc avoir $ \ell = - \infty $, ce qui est absurde car $ \ell \geqslant 0 $ (voir la question 3. c)

Conclusion : $ \ell =0 $
\end{enumerate}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{\textcolor{blue}{EXERCICE 3 \hfill 6 points}}
%On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjecture graphique}}\\

%\noindent Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.\\
%
%\bigskip

Les solutions de l'équation $ (E) $ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir $2$. L'une comprise entre $-1$ et $0$, l'autre entre $0$ et $1$.

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \R,x^2 + x^3 = x^2(1+x)$. Comme un carré est positif ou nul, $ x^2+x^3 $ est du signe de $ 1 + x $. 
\begin{itemize}
\item $ x^2+x^3=0 $ pour $x \in \left\lbrace -1~;~0 \right\rbrace $.
\item $ x^2+x^3 >0$ pour $ x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[$.
\item  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]- \infty~;~ -1[$.
\end{itemize}

\item $x$ solution de $(E)\iff \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) \iff x^2+x^3 = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3}$. Or, pour tout réel $x, \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3} >0$, alors que  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~-1[$. $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.

\item $ \mathrm{e}^{0} = 1 $  et $ 3 \times (0^2 + 0^3)=0 $. Donc $0$ n'est pas solution de (E).
\end{enumerate}

\item $\forall x \in ]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[, \begin{array}[t]{lcll}
(E) & \iff & \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) & \\
& \iff & \ln \mathrm{e}^{x} = \ln \left( 3\left(x^2+x^3\right)\right) & a=b \iff \ln a = \ln b \\
& \iff & x = \ln 3 + \ln \left( x^2\left( 1+x \right) \right) & \ln (ab) = \ln a + \ln b \\
& \iff 	& x = \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) & \\
& \iff 	&  \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) -x = 0 & \\
& \iff 	&  h(x) = 0 & \\
\end{array} $

\item 
\begin{enumerate}
\item $h$ est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc $h$ est bien dérivable sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$. 

Si $u>0$ sur un intervalle, alors $ \ln u $ est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est $ \dfrac{u'}{u} $.

Pour tout réel $x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[, h'(x) = 0 + \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2(x+1)+x-x(x+1)}{x(x+1)}$.
On a bien : $h'(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.$

\item Pour étudier le sens de variations de $h$, on étudie le signe de sa dérivée. 

Les numérateurs et dénominateurs sont des trinômes du second degré. 

Pour le dénominateur, les racines sont $0$ et $-1$, le coefficient dominant est $1>0$. Il est donc positif \og à l'extérieur \fg{} des racines, négatif \og entre \fg{} les racines (voir le tableau).

Pour le numérateur, pas de racine évidente. On calcule donc le discriminant. On trouve : $ \Delta =12>0 $ et les deux racines sont $ x_1 = \dfrac{-2+2 \sqrt{3}}{-2} = 1-\sqrt{3} $ et 

$ x_2 = 1+\sqrt{3} $. Le coefficient dominant est $-1>0$, d'où le signe... 

\begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
\hline $x$ & $-1$  &  & $1-\sqrt{3}$ &  & $0$& & $ 1+\sqrt{3} $ & &$+\infty$\\ 
\hline $-x^2+2x+2$ &   & $-$ & $0$ & & $+$ & &$0$  &$-$&\\ 
\hline $x(x+1)$ & $0$ &   & $-$&   &$0$ & &$+$ & &\\ 
\hline $h'(x)$ & $\mid\mid$ & $+$ & $0$ &$-$  &$\mid\mid$&$ + $ &$ 0 $ &$-$& \\ 
\hline 
\end{tabular}\end{center} 

Étude des limites aux bornes :

\begin{itemize}
\item Limite en $ -1 $

$ \left. \begin{array}{l}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3 - 1 \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad x^2  & = & 1 \\
\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln x^2   =  0  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad 1+x  & = & 0 \\
\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad \ln (1+x)   =  -\infty 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} $

$\displaystyle \lim_{x \to -1} \quad h(x)  =  - \infty$

\item Limite en $ 0 $

$ \left. \begin{array}{l}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3  \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad x^2  & = & 0 \\
\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln x^2   =  -\infty  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad 1+x  & = & 1 \\
\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle\lim_{x \to 0} \quad \ln (1+x)   =  0 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} $

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \quad h(x)  =  -\infty  $

\item Limite en $ +\infty $

$ \left. \begin{array}{r}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad \ln 3 -x   =  - \infty \\
 \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad x^2  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln x^2   =  +\infty  \\

\left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln (1+x)   =  +\infty 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow}$

$ \text{on a la F.I. }\og +\infty - \infty\fg$

$ h(x) = \ln 3 +(x+1) \left( \dfrac{2 \ln x}{x+1} + \dfrac{\ln(1+x)}{x+1}-\dfrac{x}{x+1} \right)  $.

Or 

\begin{itemize}
\item $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x+1}   = \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} = 1  $ 
\item $  \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad \dfrac{ \ln X }{X} & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad\dfrac{\ln(1+x)}{x+1}   =  0 $
\item Pour tout $x > 1, 0 \leqslant\dfrac{\ln x}{x + 1} < \dfrac{ \ln x}{x}  $. Par comparaison, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x} = 0 $ et le théorème des gendarmes assure que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x+1} = 0 $

Finalement avec des opérations élémentaires, on obtient enfin 

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty } h(x) = -\infty $.

Pour avoir le tableau de variations complet, il nous faut encore les signes de $ h\left(1-\sqrt{3}\right) <0 $ et $ h(1 + \sqrt{3})> 0 $ que l'on obtient avec la calculatrice. 

\begin{center}

%\begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit[espcl=3]
%{$x$ /1,$h'(x)$ /1,$h(x)$ /2}{$-1$,$1-\sqrt{3}$,$0$,$1+\sqrt{3}$,$+\infty$}
%\tkzTabLine{d,+,z,-, d ,+,z,-,}
%\tkzTabVar{D-/$- \infty$,+/$h(1-\sqrt{3})$,-D-/$-\infty$,+/$h(1+\sqrt{3})$,-/$-\infty$}
%%\tkzTabVal[draw]{2}{3}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
%\tkzTabVal[draw]{3}{4}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
%\tkzTabVal[draw]{4}{5}{.5}{$\alpha_2$}{$0$}
%\end{tikzpicture}}

\medskip

\psset{xunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,2.5)\psline[linewidth=0.3pt](1.15,0)(1.15,2.5)
\psline[linewidth=0.3pt](4.975,0)(4.975,2.5)\psline[linewidth=0.3pt](5.025,0)(5.025,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.2,2.4){$- 1$} \uput[u](3,2.4){$1 - \sqrt{3}$} \uput[u](5,2.4){$0$} 
\uput[u](6,2.4){$\alpha_1$} \uput[u](7,2.4){$1 + \sqrt{3}$} \uput[u](8,2.4){$\alpha_2$} \uput[u](8.6,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} 
\uput[u](2,1.9){$+$} \uput[u](3,1.9){$0$} \uput[u](4,1.9){$-$} 
\uput[u](6,1.9){$+$} \uput[u](7,1.9){$0$} \uput[u](8,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$h$} 
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](3,2){$h\left(1 - \sqrt{3}\right)$}
\uput[u](4.5,0){$- \infty$}\uput[u](5.5,0){$- \infty$}
\uput[d](7,2){$h\left(1 + \sqrt{3}\right)$}
\uput[u](8.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3,1.4)\psline{->}(3.3,1.4)(4.5,0.5)
\psline{->}(5.5,0.5)(6.8,1.4)\psline{->}(7,1.4)(8.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{itemize}

\item \begin{itemize}
\item Sur l'intervalle $ \left]-1 ~;~ 0\right[  $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+~;~-) $, donc $h(1-\sqrt{3}) $ est un maximum pour $h$ sur cet intervalle. Or $ h(1-\sqrt{3}) <0$ donc l'équation $ h(x) = 0 $ n'a pas de solution sur $ \left]-1~;~0\right[$. C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.

\item Sur l'intervalle $ ]0 ~;~ 1+\sqrt{3}[ $ la fonction $h$ est dérivable, donc continue ; $0$ est compris entre $ \displaystyle \lim_{x \to 0 }h(x) $ et $ h\left(1+\sqrt{3}\right) $, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ h(x) = 0 $ admet donc au moins une solution sur $ \left[0~;~ 1+\sqrt{3} \right[$. Comme $h$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution $ \alpha_1 $ est unique.

La calculatrice donne : $ h(0,61) \approx -0,02 $ et $ h(0,62) \approx 0,24 $.

$0$ est donc compris entre $ h(0,61) $ et $ h(0,62) $, le raisonnement précédent assure donc que $\alpha_1 \in [0,61~;~0,62] $.

On trouve de même que  $0,618 < \alpha_{1} < 0,619$

Une valeur approchée de $\alpha_1$, arrondie au centième est donc  $0,62$.

\item Comme $ h(1+\sqrt{3}) > 0 $, $0$ est aussi compris entre  $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty }h(x) $ et $ h\left(1 + \sqrt{3}\right)$. Le même raisonnement assure donc l'existence d'une autre solution dans cet intervalle. Voir le tableau.

Avec la calculatrice, on trouve $7,12 $ comme valeur approchée de $\alpha_2$, arrondie au centième.
\end{itemize}
\item La conjecture de la partie A est erronée. Il y a bien deux solutions mais pas dans les intervalles prévus !
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{\textcolor{blue}{EXERCICE 4 \hfill 5 points}}
\emph{\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}}\\


\begin{enumerate}
\item On a complété en rouge le premier arbre :
\medskip

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm,nodesep=2.5pt}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\TR{$A$}\taput{ $0,2$}}
{
\TR{$B$}\taput{ $0,68$}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{\red $0,32 $}
}
\pstree
{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\red $0,8 $}}
{
\TR{$B$}\taput{\red $0,6 $}
\TR{$\overline{B}$}\tbput{ $0,4$}
}
} $ \quad $
et $ \quad $ on l'inverse : $ \qquad $
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
\pstree
{\TR{$B$}\taput{ ?}}
{
\TR{$A$}\taput{ $ 0,32$ }
\TR{$\overline{A}$}\tbput{ $ $}
}
\pstree
{\TR{$\overline{B}$}\tbput{ $ $}}
{
\TR{$A$}\taput{ $ $}
\TR{$\overline{A}$}\tbput{ $ $}
}
}
\medskip

Avec la formule des probabilités totales, on calcule d'abord $ p(B) $.

$ p(B) = p(A \cap B) + p(\overline{A} \cap B) = p(A) \times p_A(B) +  p(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(B) = 0,2 \times 0,68 + 0,8 \times 0,6 = 0,616$.

On peut ajouter $ 0,616 $ à la place du ? sur l'arbre inversé.

Enfin, la formule des probabilités conditionnelles : 

$ p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B}{p(B)} = \dfrac{0,2 \times 0,68}{0,616} \approx 0,22 $. 

Donc $ p_A(B)\neq 0,32$.

\textbf{L'affirmation est fausse}

\item L'urne contient $n+3$ boules. L'univers est l'ensemble des paires de boules tirées.
Comme elles sont \og indiscernables \fg{} au toucher, il y a équiprobabilité.

Le nombre de tirages possibles est $\displaystyle \binom{n+3}{2} = \dfrac{(n+3)(n+2)}{2}$.

Le nombre de tirages contenant $2$ boules rouges est $\displaystyle \binom{n}{2} $.

Le nombre de tirages contenant $2$ boules noires est $\displaystyle \binom{3}{2} $.

Le nombre de tirages contenant $1$ boule de chaque couleur est $\displaystyle \binom{n+3}{2}- \displaystyle \binom{n}{2}  - \displaystyle \binom{3}{2} $ ou bien $ \displaystyle \binom{3}{1} \times \displaystyle \binom{n}{1} =3n$. \emph{Un tirage simultané peut être assimilé à un tirage successif sans remise)}.

La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est donc $ \dfrac{3n \times 2}{(n+3)(n+2)} $

Le problème revient à résoudre $ \dfrac{3n \times 2}{(n+3)(n+2)} =\dfrac{9}{22} \iff 3n^2- 29n+ 18 = 0 $. 

C'est une équation du second degré. On cherche une solution entière positive. Plusieurs façons de répondre ici :

\begin{itemize}
\item On peut calculer le discriminant, il est positif, puis les solutions $9$ et $ \dfrac{2}{3} $... 
\item On peut aussi utiliser les variations que l'on connait bien ! On affiche la courbe, et on vérifie que $9$ est OK.
\end{itemize}


\textbf{L'affirmation est vraie.}

\item \emph{On peut chercher l'écriture complexe de la rotation de centre A d'affixe $3 - 2\mathrm{i}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ ou justifier que l'on a bien l'écriture complexe d'une rotation puis vérifier que $A$ est invariant et que l'angle est le bon.}

La rotation de centre A d'affixe $3 - 2\mathrm{i}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ a pour écriture complexe
$ z'= \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{-\pi}{2}}\left(z - z_A\right) + z_A $. Soit $ z'= -\mathrm{i}(z - 3 + 2\mathrm{i}) +3 - 2\mathrm{i} \iff z' = -\mathrm{i}z + 3\mathrm{i}+2 + 3 -2 \mathrm{i} \iff z' = -\mathrm{i}z+5 +\mathrm{i}$

\textbf{L'affirmation est vraie.}
 
\item On sait que $ z\overline{z} = \mid z \mid^2 $. Donc $ (E) \Rightarrow z^2 = \mid z \mid^2 + 1 $.

Ces deux nombres complexes devraient avoir le même module, ce qui conduit à $ \mid z \mid^2 = \mid z \mid^2 +1 $, équation qui n'a pas de solution dans $ \R $. (Dans $\C$ non plus d'ailleurs !).

\textbf{L'affirmation est fausse.}

\item On place les trois points pour \og voir \fg.

\begin{center}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw[->,color=black] (-1.62,0) -- (2.34,0);
\foreach \x in {-1,1,2}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-1.12) -- (0,1.68);
\foreach \y in {-1,1}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-1.62,-1.12) rectangle (2.34,1.68);
\begin{scriptsize}
\fill [color=qqqqff] (-1,0) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-0.86,0.28) node {$A$};
\fill [color=qqqqff] (0,1) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (0.16,1.28) node {$B$};
\fill [color=qqqqff] (1.73,-0.73) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (1.9,-0.46) node {$C$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'angle en $A$ pourrait convenir. Or, $\left(\vect{AB},\vect{AC} \right) = arg\left( \dfrac{c-a}{b-a} \right)  $.

$  \dfrac{c-a}{b-a} = \dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}(1-\sqrt{3})+1}{\mathrm{i}+1 } = \dfrac{(\sqrt{3}+1+\mathrm{i}(1-\sqrt{3}))(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) } =$

$ \dfrac{\sqrt{3}+1+\mathrm{i}(1-\sqrt{3})+1-\sqrt{3} - \mathrm{i} \sqrt{3} -\mathrm{i}}{2} = \dfrac{2 -2 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}$.

Finalement $   \dfrac{c-a}{b-a} = 1-\mathrm{i} \sqrt{3} = 2 \left( \dfrac{1}{2} - \mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) $ et $ arg\left( \dfrac{c-a}{b-a} \right) =- \dfrac{\pi}{3} \qquad (2 \pi) $.

Dans le triangle $ABC$ l'angle en $A$ est égal à 60\degre.

\textbf{L'affirmation est vraie.}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{EXERCICE 4 \hfill 5 points}}
\emph{\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}}\\

\begin{enumerate}
\item On vérifie qu'un tel couple est bien solution de $(E)$. Pour tout entier relatif $k$, on a :

$ 3(9+2k)-2(13+3k) = 27 + 6k -26-6k = 1 $.

On a prouvé que tous les couples de cette forme sont solutions de $(E)$. On n'a pas prouvé que ce sont les seuls... mais on a déjà résolu un certain nombre d'équations diophantiennes, et on sait qu'ils ont la bonne forme.

Certains correcteurs pourraient ici vouloir le détail de la résolution proprement dite...

\textbf{L'affirmation est vraie.}

\item \emph{Une rapide exploration avec le tableur de la calculatrice laisse penser que l'affirmation est vraie : on n'échappe pas à une preuve rigoureuse !}

Notons $ d $ le PGCD de $a$ et $b$.

\begin{itemize}
\item Comme $d$ divise $a$ et $b$, il divise toute combinaison linéaire de $a$ et $b$, donc en particulier $ 3b-2a = 7 $. $d$ est donc un diviseur (positif) de $7$, c'est donc $1$ ou $7$.
\item Supposons que $ n \equiv 2 \qquad (7) $. Montrons qu'alors $ d=7 $.

$ n \equiv 2 \qquad (7) \Rightarrow  \left\lbrace \begin{array}{l}
a \equiv 3 \times 2 + 1 \qquad (7) \\
b \equiv 2 \times 2 + 3 \qquad (7) 
\end{array} \right. \Rightarrow  \left\lbrace \begin{array}{l}
a \equiv 0 \qquad (7) \\
b \equiv 0 \qquad (7) 
\end{array} \right.  \Rightarrow $

$7 \text{ est un diviseur commun à } a \text{ et } b$ et dans ce cas, le PGCD est bien $7$.
\item Réciproquement, supposons que $ d =7 $, montrons qu'alors $ n \equiv 2 \qquad (7) $.

$ d=7 \Rightarrow 7 \mid a \Rightarrow 3n+1   \equiv 0 \qquad (7)  \Rightarrow 3n  \equiv -1 \qquad (7) $

\danger, il ne faut pas se laisser tenter par la division ! On veut bien inverser $3$, il nous faut un multiple de $3$ congrue à $1$ modulo $7$. $15$ est parfait. On multiplie donc par $5$ :

$ d=7 \Rightarrow 15n \equiv -5 \qquad (7) \Rightarrow n \equiv 2 \qquad(7) $

car $ 15 \equiv 1 \qquad (7) $ et $ -5 \equiv -5+7 \qquad (7) $ 

\end{itemize}

\textbf{L'affirmation est vraie.}

\item L'affirmation est \og pour tout entier $n$...\fg. Pour montrer qu'elle est fausse, il suffit d'exhiber un contre exemple !

Si $n=0$, alors $ a=21, b=2 $. La division euclidienne de $a$ par $b$ s'écrit : 

$21 = 10 \times 2 + 1$

Le quotient est $10$ alors que $ n+2 = 2 $.

\textbf{L'affirmation est fausse}

Pour une recherche systématique (inutile ici) :

Le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ sont respectivement égaux à $n+2$ et $n+17$ si et seulement si $ a =  (n+2) b +(n+17)$ avec $ 0\leqslant n+17 <b $.

On vérifie la première condition :

$  (n+2) b +(n+17) =  (n+2) (2n+2) +(n+17) = 2n^2 + 4n + 2n+4+n+17 = $

$2n^2 +7n +21 = a$

On vérifie la seconde condition :

$ 0 \leqslant n+17$ est toujours vraie car $n$ est un entier naturel.

$ n+17 < b \iff n+ 17 < 2n+2 \iff  15 < n$. On voit que cette condition n'est pas toujours réalisée...


\item On sait que la similitude directe réciproque de $s$ a pour centre $A$, rapport $ \dfrac{1}{\sqrt{2}} $ et angle $ -\dfrac{\pi}{4} $.

$ z'=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}z+\dfrac{- 1 + 7\mathrm{i}}{2} $ est bien l'écriture complexe d'une similitude directe car elle est de la forme 

$ z' = az+b $ avec $ a= \dfrac{1-\mathrm{i}}{2} \in \C^*$ et $ b=\dfrac{-1+7\mathrm{i}}{2} $.

\begin{itemize}
\item l'affixe du centre est l'unique solution de $ z=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}z+\dfrac{-1+7\mathrm{i}}{2} $. 

On teste si l'affixe de $A$ est solution : si $ z=  3+4\mathrm{i}$, alors 

 $ \dfrac{1-\mathrm{i}}{2}z+\dfrac{-1+7\mathrm{i}}{2} = \dfrac{1-\mathrm{i}}{2}( 3+4\mathrm{i})+\dfrac{-1+7\mathrm{i}}{2} = \dfrac{ 3+4\mathrm{i} - 3\mathrm{i}+4 -1+7\mathrm{i}}{2} = \dfrac{6+8\mathrm{i}}{2} = 3 + 4\mathrm{i} =z_A$.
 
 Le centre est bien $A$.
\item le rapport est $ \mid a \mid = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} =  \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
\item l'angle est $ arg(a) = arg \left( \dfrac{1-i}{2} \right) = - \dfrac{\pi}{4} \qquad (2\pi)$
\end{itemize}

\textbf{L'affirmation est vraie.}

\item  \emph{Cette similitude existe bien car les points sont deux à deux distincts.}

La similitude directe qui transforme $A$ en $C$ et $B$ en $D$ a pour angle $ \left( \vect{AB} ; \vect{CD} \right)  $, soit $ arg \left( \dfrac{d-c}{b-a} \right)  $.

$ \dfrac{d-c}{b-a} = \dfrac{4 + \sqrt{3} + 4\mathrm{i}\sqrt{3} -1+2\sqrt{3}-\mathrm{i}(3 + \sqrt{3}) }{ 4 - \mathrm{i} -1 - 2\mathrm{i} } = \dfrac{3+ 3 \sqrt{3}+ \mathrm{i} (-3+3\sqrt{3})}{3-3\mathrm{i}} = $

$\dfrac{\left( 1+\sqrt{3} +\mathrm{i}(-1+\sqrt{3})\right) (1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}$

$ \dfrac{d-c}{b-a} = \dfrac{1+\sqrt{3} +\mathrm{i}(-1+\sqrt{3}) + \mathrm{i}+\mathrm{i}\sqrt{3} -(-1+\sqrt{3})}{2} = \dfrac{2 + 2\mathrm{i}\sqrt{3}}{2} = 1+\mathrm{i} \sqrt{3} = 2 \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) $. 

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a = 1 + 2\mathrm{i}$, $b = 4 - \mathrm{i}$, $c=1-2\sqrt{3}+\mathrm{i}(3 + \sqrt{3})$ et 

$d =4 + \sqrt{3} + 4\mathrm{i}\sqrt{3}$.

La similitude directe qui transforme A en C et B en D a donc pour angle $\dfrac{\pi}{3}$.

\textbf{L'affirmation est vraie.}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}