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%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 2025}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small 26 juin 2025}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet Polynésie 26 juin 2025 \decofourright}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 20 points}

\begin{enumerate}
\item On peut lire dans la cellule \textsf{D2} que l'effectif correspondant aux élèves de 12 ans est 8. Il y a donc 8 élèves de 12 ans inscrits à l'activité d'escalade.

\item Le nombre total, c'est l'effectif total, c'est donc la somme des différents effectifs.

On a \quad $N = 1 + 3 + 8 + 12 + 4 + 2 = 30$.

Il y a en tout 30 élèves inscrits à l'escalade.

\item Dans la cellule \textsf{H2}, on peut inscrire la formule : \quad \textsf{= SOMME(B2 : G2)},

ou bien, si on ne connaît pas la fonction somme :\quad \textsf{= B2 + C2 + D2 + E2 + F2 + G2}.

On rappelle que \textsf{B2 : G2} représente le \og bloc \fg de cellules qui va de \textsf{B2} (en haut à gauche) à \textsf{G2} (en bas à droite).

\item Les élèves qui ont 14 ans ou plus sont au nombre de $4 + 2 = 6$ (les 4 qui ont 14 ans et les 2 qui ont 15 ans).

Cela représente :\quad $\dfrac{6}{30} = \dfrac{1 \times 6}{5\times 6} = \dfrac{1}{5}$.

Le professeur a donc raison.

\item Calculons l'âge moyen des élèves inscrits :

$\overline{a} = \dfrac{10 \times 1 + 110 \times 3 + 12 \times 8 + 13 \times 12 + 14 \times 4 + 15 \times 2}{30} = \dfrac{381}{30} = 12,7$.

Comme $12,7 < 13$, on peut dire que la moyenne d'âge n'a pas augmenté, au contraire, elle a baissé légèrement. (de 0,3 ans, soit entre 3 et 4 mois).

\item S'il y a une hausse de 10~\% du nombre  d'inscrits, alors, l'année prochaine, il y aura : \quad $30 \times \left(1 + \dfrac{10}{100}\right) = 30 \times 1,1 = 33$ inscrits.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill 22 points}

\begin{enumerate}
\item Le point E est sur le segment [BD], donc on en déduit :

$\mathrm{BD} = \mathrm{BE} + \mathrm{ED} = 250 + 750 = \np{1000}$~(m).

\item Dans le triangle ABD, rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :

$\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AD}^2 = \mathrm{BD}^2$

En remplaçant les grandeurs connues, on a : \quad $500^2 + \mathrm{AD}^2 = \np{1000}^2$

Soit : \quad $\mathrm{AD}^2 = \np{1000}^2 - 500^2 = \np{1000000} - \np{250000} = \np{750000}$.

Comme AD est une longueur, c'est un nombre positif, donc :

$\mathrm{AD} = \sqrt{\np{750000}} \approx 866,03$

En arrondissant au mètre près, on a donc bien AD environ égale à \np[m]{866}.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le triangle EAB, rectangle en E, le côté [AB] est l'hypoténuse du triangle et le côté [EB] est le côté opposé à l'angle $\widehat{\mathrm{EAB}}$.

On a donc : \quad $\sin\left(\widehat{\mathrm{EAB}}\right) = \dfrac{\mathrm{EB}}{\mathrm{AB}}$.

On connaît les deux longueurs, donc, on a :\quad
$\sin\left(\widehat{\mathrm{EAB}}\right) = \dfrac{250}{500} = \dfrac{1}{2}$.

	\item On a donc :\quad$\widehat{\mathrm{EAB}} = \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 30$\degres.
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le codage de la figure, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la même droite (AD). Par propriété, elles sont donc parallèles.

		\item On sait que : les points B, E et D sont alignés, dans cet ordre, et que les points A, E et C dans le même ordre, car les segments [AC] et [DB] se coupent en E.

On sait également que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Dans cette configuration, le théorème de Thalès permet de dire que les fractions suivantes sont égales :
\quad $\dfrac{\mathrm{EB}}{\mathrm{ED}}=\dfrac{\mathrm{EA}}{\mathrm{EC}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}$.

Notamment : \quad $\dfrac{\mathrm{EB}}{\mathrm{ED}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}$.

Soit, en remplaçant les longueurs connues : \quad $\dfrac{\mathrm{250}}{\mathrm{750}}=\dfrac{\mathrm{500}}{\mathrm{DC}}$.

D'où, par un produit en croix : \quad $\mathrm{DC} = 500\times \dfrac{750}{250} = 500 \times 3 = \np{1500}$~(m).
	\end{enumerate}
\item Si le piéton fait le tour du jardin botanique, la distance $d$ qu'il va parcourir, c'est le périmètre du jardin, soit :

$d = \mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CD} + \mathrm{DA} \approx 500 + \np{1323} + \np{1500} + 866 = \np{4189}$~(m).

Puisque la vitesse moyenne du piéton est de 1,1~(m), cela signifie qu'il lui faudra :

$\dfrac{\np{4189}}{1,1} \approx \np[s]{3808}$.

Or, une heure, c'est 60 minutes, soit $60 \times 60 = \np{3600}$~(secondes).

$\np{3808} > \np{3600}$, donc il faudra plus d'une heure au piéton pour faire le tour du jardin botanique : le temps est supérieur à une heure.

\emph{Remarque :} on peut aussi convertir : \np{3808} secondes, c'est 1 heure, 3 minutes et 28 secondes, donc supérieur à une heure.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill 20 points}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Bonne réponse :} 9, réponse D.

En effet, comme c'est $(-3)^2$, doit $(- 1) \times (- 1)$, le résultat est bien positif.

\item \textbf{Bonne réponse :} $2^3 \times 3^2 \times 5$, réponse D.

En effet, dans deux propositions, on a 9 et 8 qui ne sont pas des nombres premiers. Dans la troisième proposition fausse, le calcul ne donne pas 360 :

$2^3 \times 3^2 \times 7 = 504 \neq 360$.

Par contre : \quad $2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$,\quad et les facteurs représentés sont 2, 3 et 5, qui sont bien premiers.

\item \textbf{Bonne réponse :} 45 cm, réponse B.

En effet, l'aire du rectangle est donnée par :\quad $\mathcal{A} = L  \times \ell$, \quad où $L$ est la longueur du rectangle et $\ell$ sa largeur.

En remplaçant les informations connues, on a :\quad $135 = L \times 3$

Donc :\quad $L = 135 \div 3 = \np[cm]{45}$.

\item {Bonne réponse :} $2x + 3$, réponse D.

En effet, les points D et E sont sur le segment [BG], et les longueurs BD et DE sont codées comme étant égales. On a donc :

$\mathrm{BG} = \mathrm{BD} + \mathrm{DE} + \mathrm{EG} = x + x + 3 = 2x + 3$.

\item \textbf{Bonne réponse :} KBOL, réponse C.

En effet, la translation qui transforme D en M transforme G en K, F en B, H en O et I en L.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 4 \hfill 20 points}

\begin{enumerate}
\item Si on choisit 5, on a :
	\begin{itemize}[label=\textbullet]
		\item à gauche : \quad $5 + 4 = 9$ \quad et à droite :\quad $5 - 2 = 3$;
		\item en multipliant : \quad $9 \times 3 = 27$;
		\item en soustrayant le carré de 5 :\quad $27 - 5^2 = 27 - 25 = 2$.
	\end{itemize}
	
Avec 5 comme nombre de départ, on a bien 2 comme résultat final.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Bonne réponse :} $(x + 4)(x - 2) - x^2$, expression C.

En effet, si on note $x$ le nombre choisi, on a :
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item à gauche : \quad $x + 4$ \quad et à droite :\quad $x - 2$;
\item en multipliant : \quad $(x + 4)(x - 2)$;
\item en soustrayant le carré de $x$ :\quad $(x + 4)(x - 2) - x^2$.
\end{itemize}

Dans l'expression A, on oublie les parenthèses, dans l'expression D, on confond le carré de $x$ avec le double de $x$, et dans l'expression B, on cumule les deux erreurs des expressions A et D.

\item Développons notre expression :

$\begin{aligned}
(x + 4)(x - 2) - x^2 &= x^2 - 2x + 4x - 8 - x^2\\
	& = x^2 - x^2 + (4-2)x - 8\\
	& = 2x - 8\\
 \end{aligned}$

On a bien le résultat final égal à $2x - 8$, sous sa forme développée et réduite.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La représentation \no 1 ne convient pas, car la fonction $f$ a une expression de la forme $f(x) = ax + b$, c'est donc une fonction affine, et donc, sa représentation graphique est une droite : la représentation \no 1 n'est pas une droite, elle ne convient pas.

La représentation \no 2 ne convient pas non plus, car le coefficient directeur de $f$ est $2$, qui est positif. Cela signifie que, si on part d'un point qui est sur la représentation de $f$, et que l'on avance d'une unité en abscisse, alors il faut évoluer de $+2$, soit augmenter de 2 unités en ordonnées : c'est ce qui se passe pour la représentation \no 3, mais la représentation \no 2, il faudrait \textbf{diminuer} de 2 unités en ordonnées, c'est pour cela que la représentation \no 2 ne convient pas.

		\item La représentation \no 3 passe par le point de coordonnées $(4 ; 0)$, donc l'image de 4 par la fonction $f$ est 0.
	\end{enumerate}
\item Si on veut que le résultat final soit égal à 100, et que l'on cherche le nombre à choisir, cela revient à résoudre l'équation $f(x) = 100$.

$\begin{aligned}
	f(x) = 100 &\iff 2x - 8 = 100\\
	&\iff 2x = 108\\
	&\iff x = \dfrac{108}{2}\\
	&\iff x = 54
\end{aligned}$

Pour obtenir 100 comme résultat final, il faut avoir choisi 54 comme nombre de départ.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 5 \hfill 18 points}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Il y a 12 faces sur le dé, donc 12 issues possibles à l'expérience.

Comme les 12 faces sont numérotées de 1 à 12, cela signifie que chaque numéro est présent sur une face et une seule.

Donc il y a une seule face qui porte le numéro 4 : il n'y a qu'une seule issue favorable à l'événement.

La probabilité est donc :\quad $\dfrac{\text{nb d'issues favorables}}{\text{nb d'issues total}} = \dfrac{1}{12}$.

La probabilité est bien de $\dfrac{1}{12}$.

\item Dans les nombres de 1 à 12, il y a six nombres pairs : 2; 4; 6; 8; 10 et 12.

La probabilité est donc de :\quad $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.

\item Il y a quatre multiples de 3 :\quad 3; 6; 9 et 12.

La probabilité est donc de :\quad $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0,33 > 0,3$.

Tom a raison, la probabilité d'avoir un multiple de 3 est de $\dfrac{1}{3}$, qui est supérieure à 0,3.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Pour simuler un lancer de dé à 12 faces, il faut un nombre aléatoire entre 1 et 12. Cela donne donc :

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks, num start=2,baseline=2]
\blockvariable{mettre \selectmenu{Dé 1} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{12}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Dé 2} à \ovaloperator{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{12}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Résulat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Dé 1} + \ovalvariable{Dé 2}}}
\end{scratch}
\end{center}

\item Si le résultat du dé \no 1 est 8 et celui du dé \no 2 est 3, alors à la fin du bloc \begin{scratch} \blockmoreblocks{Lancer} \end{scratch}, la variable \ovalvariable{Résultat} contient la valeur $8 + 3 = 11$.

	Dans le programme principal, le test \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat} > \ovalnum{6}} sera donc Vrai, puisque 11 > 6, et donc le lutin va dire \og Gagné !\fg{} pendant 2 secondes.
\end{enumerate}
\end{document}