\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : René Roux
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% Tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé René Roux
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat TES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 2 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé Baccalauréat Terminale ES Amérique du Nord
~\decofourright\\2 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple 011 l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln (x) - x$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On a alors :
pour tout $x\in ]0~;~+\infty[$, $f'(x)=1\times \ln (x)+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln (x) +1-1=\ln (x)$.\\

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$f'(x) = 0$ & \textbf{b.~~}\fbox{$f'(x) = \ln (x)}$ & \textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{1}{x} - x$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Les entiers naturels $n$ vérifiant l'inéquation $6 \times 0,95^n - 1 \leqslant 2$ appartiennent à l'intervalle :

\medskip
$6 \times 0,95^n - 1 \leqslant 2 \iff 6 \times 0,95^n \leqslant 3 \iff 0,95^n \leqslant \dfrac{3}{6} \iff 0,95^n \leqslant 0,5$ \\
$\iff \ln (0,95^n)\leqslant \ln (0,5) \iff n\times \ln (0,95) \leqslant \ln (0,5) \iff n\geqslant \dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)} \text{ car } \ln (0,95)<0$\\

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\left]- \infty~;~\dfrac{\ln 3}{\ln (5,7)}\right]$&\textbf{b.~~}$
\left] -\infty~;~\ln \left(\frac{0,5}{0,95}\right)\right]$&\textbf{c.~~}$\left]- \infty~;~\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)}\right]$&\textbf{d.~~}$\fbox{\left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)}~;~+ \infty\right[}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2~m.

Un tube métallique est considéré comme étant dans la nonne si sa longueur est comprise entre 1,98~m et 2,02~m. On prélève au hasard un échantillon de \np{1000} tubes, on observe que $954$ tubes sont dans la norme.
\\
On détermine un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% : $I_n= \left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\right ]$

On a $f=\dfrac{954}{1000}=0,954$.
Les trois conditions sont réalisées : $n=1 000\geqslant 30$ , $n\times f=954\geqslant 5$ et $n\times(1-f)=46\geqslant 5$.\\
Donc : $I_{1000}= \left [ 0,954-\dfrac{1}{\sqrt{1000}}~;~0,954+\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\right ] \approx \left[ 0,922~;~0,986 \right]$

\smallskip

L'intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95\,\%, avec les bornes arrondies à $10^{-3}$, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\fbox{[0,922~;~0,986]}$&\textbf{b.~~}$[0,947~;~0,961]$&\textbf{c.~~}$ [1,98~;~2,02] $&\textbf{d.~~}$[0,953~;~0,955]$
\end{tabularx}
\medskip
%\pagebreak
\item Pour un archer, la probabilité d'atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.

On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible. L’expérience est répétée 6 fois. Les lances sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de 0,8, ou il ne la touche pas. La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n=6 et p=0,8.
On veut détermine $P(X=3)$ : $P(X=3)=\dbinom{6}{3} \times 0,8^3\times 0,23^3=\np{0,08192}$\\
%\medskip
Quelle est la probabilité qu'il touche 3 fois la cible sur une série de 6 tirs ?\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,512 &\textbf{b.~~} 2,4 &\textbf{c.~~} \np{0,262144} &\textbf{d.~~}\fbox{\np{0,08192}}
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En juin 2017, on peut estimer qu’il y aura $27~500}-150=27~350$ étudiants dans cette université.
		\item \'A la rentrée de septembre 2017, il y aura à la suite de l'augmentation de 4\,\% :  $1,04\times 27~350}=28~444$ étudiants.
		\end{enumerate}
\item  Soit $u_n$ le nombre d'étudiants en septembre de l'année 2016+n. En juin de l'année suivante (année $(n+1)$), 150 étudiants auront démissionné, pour une reste de $u_n-150$. Puis à la rentrée de septembre de l'année $(n+1)$, le nombre d'étudiants aura subi une augmentation de 4\%, soit $1,04\times (u_n-150)=1,04\times u_n -156$. Donc en Septembre de l'année $(n+1)$ il y aura $1,04u_n-156$ étudiants,\\ soit pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,04u_n - 156$.
\item  Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{l l X}
L1& Variables : &$n$ est un nombre entier naturel\\
L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
L3& Traitement :&$n$ prend la valeur 0\\
L4& 			&$U$ prend la valeur \np{27500}\\
L5& 			&Tant que $U \leqslant \bf{33~000}$ faire\\
L6& 			&$n$ prend la valeur $\bf{n+1}$\\
L7& 			&$U$ prend la valeur $\bf{1,04\times U-156}$\\
L8& 			&Fin Tant que\\
L9& Sortie: &Afficher $\bf{n}$
\end{tabularx}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
		
Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes; on arrondira les valeurs de $U$ à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{X|}}\hline		
&Init &Étape 1 &Étape 2&Étape 3 &Étape 4&Étape 5&Étape 6\\ \hline
Valeur de $n$& 0 &1&2&3&4&5&6\\ \hline
Valeur de $U$& \np{27500}&\np{28444}&\np{29426}&\np{30447}&\np{31509}&\np{32613}&\np{33762}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item La valeur affichée en sortie de cet algorithme est : $\n=6$.
	\end{enumerate}
\item  On cherche à calculer explicitement le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
	
Pour cela, on note $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - \np{3900}$.
	\begin{enumerate}
		\item  $v_{n+1}=u_{n+1}-3900=1,04\times u_n-156-3900=1,04\times u_n-4056=1,04(u_n-3900)=1,04v_n$.\\
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 1,04 et de premier terme $v_0=27500-3900=23600$.
		\item Donc pour tout entier $n$, $v_n=v_0\times q^n=23600\times 1,04^n$.\\
		De plus, On a $u_n=v_n+3900$ donc $u_n=3900+23600\times 1,04^n$
		\item La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de $q=1,04$. $q>1$ donc la limite de la suite $(v_n)$ quand $n$ tend vers l'infini est égale à l'infini. Donc la limite de la suite $(u_n)$ quand $n$ tend vers l'infini est aussi égale à l'infini. Le nombre d'étudiants de cette université ne se stabilisera jamais, et continuera à augmenter à l'infini dépassant toute limite de capacité que l'on souhaiterait imposer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités ci-dessous :
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$I$} \naput{0,01}}
	{\TR{$T$}\naput{0,20}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{0,80}
	}
\pstree{\TR{$\overline{I}$} \naput{0,99}}
	{\TR{$T$}\naput{0}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{1}
	}
}
\end{center}
\medskip

\item Formule de Bayes : $p(I\cap \overline{T})=p_{I}(\overline{T})\times p(I)=0,01\times 0,80=0,008$
\item Formule de probabilités totales :\\
$p(T)=p(T\cap I)+p(T\cap \overline{I})=p_{I}(T)\times p(I)+p_{\overline{I}}(T)\times p(\overline{I})=0,01\times 0,20+0,99\times 0=0,002$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $p(9\leqslant X \leqslant 13)\approx 0,383$ (à l'aide calculatrice).
\item $p(X \leqslant 6)=0,5-p(6\leqslant X \leqslant 11)\approx 0,106$ (à l'aide calculatrice).
\item A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que $a\approx 15$ pour que $P(X\leqslant a)=0,84$.
Cela signifie donc que 84\% des personnes atteintes de la maladie cœliaque ont attendu au plus 15 pour être diagnostiqué après l’apparition des premiers symptômes.
\item D'après le cours, nous savons que : $P\left( \mu -3\sigma \leqslant X \leqslant \mu+3\sigma\right) \approx 0,997$.\\
Donc cela donne : $P\left( 11-3\times 4 \leqslant X \leqslant 11+3\times 4\right) \approx 0,997$ soit $P\left( -1 \leqslant X \leqslant 23\right) \approx 0,997$.
Cela correspond donc à la courbe en rouge.

\begin{center}

\psset{xunit=0.35cm, yunit=40cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-4}   \def\xmax {30}
\def\ymin {-0.02} \def\ymax {0.12}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,0.15)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=-4+1}{34}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.11)}
\multido{\n=0.00+0.02}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](-4,\n)(30,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt,Dx=1,Dy=0.02]%
{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{4}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000,linestyle=dashed
]{\xmin}{\xmax}{\f}

%\def\inf{2} \def\sup{6}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
%\closepath % indispensable !
%}

%\uput[d](\m,0){$\mu$} 

\def\m{11}% moyenne 
\def\s{4}% écart type
\def\g{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{\g}

\def\m{11}% moyenne 
\def\s{6}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000,linestyle=dashed
]{\xmin}{\xmax}{\f}

\end{pspicture*}

\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe possède 9 sommets, il est donc d’ordre 9.
		\item La chaîne D−M−H−R−B−V−G−L−J permet de passer par tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
		\item Les sommets H et G ne sont pas adjacents. Le graphe n’est pas complet.
	\end{enumerate}
\item Le graphe possède plus de deux sommets (cinq sommets) de degré impair donc il ne possède pas de chaîne eulérienne. Sarah ne pourra pas emprunter toutes les routes une et une seule fois.
\item 
	
\begin{enumerate}
\medskip
		\item M =
\begin{pmatrix}	
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 \\
1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 
\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&1 &1 &1 &0 &0 &1\\ 
\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&1 &0 &0 &0 &0 &0\\ 
\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&0 &1 &1 &1 &0 &0 
\end{pmatrix}
\medskip
	\item Le nombre de chemins de longueur 4 permettant d’aller de B à D est $M(1,2)^4=3$. Il s’agit des chemins : B−R−H−M−D, B−V−L−M−D et B−V−J−M−D.\\
\end{enumerate}

\item A l’aide de l’algorithme de Dijkstra on obtient le tableau suivant:

\begin{center}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize{Sommets}	&B 					&D 					&G 					&H					&J					&L				&M				&R				&V \\ \hline
B 											&	0					&$\infty$ 	&$\infty$		&272 (R)		&$\infty$		&$\infty$ &$\infty$ &\textcolor{red}{50 (B)} 	&220 (B)\\ \hline
R 											& $\times$	&$\infty$ 	&150 (R)		&272 (R)		& $\infty$	&$\infty$ &$\infty$ &$\times$	&220 (B)\\ \hline
G 											& $\times$	&$\infty$ 	&$\times$		&272 (R)		& $\infty$	&291 (G)  &$\infty$ &$\times$ &220 (B)\\ \hline
V 											& $\times$	&$\infty$ 	&$\times$		&\textcolor{red}{272 (R)}		& 412 (V) 	&291 (G)  &670 (V)  &$\times$ &$\times$\\ \hline
H 											& $\times$	&$\infty$ 	&$\times$		&$\times$		& 412 (V) 	&291 (G)  &567 (H)  &$\times$ &$\times$\\ \hline
L 											& $\times$	&$\infty$ 	&$\times$		&$\times$		& 412 (V) 	&$\times$	&567 (H)  &$\times$ &$\times$\\ \hline
J 											& $\times$	&$\infty$ 	&$\times$		&$\times$		& $\times$ 	&$\times$	&\textcolor{red}{567 (H)}  &$\times$ &$\times$\\ \hline
M 											& $\times$	&\textcolor{red}{617 (M)}  	&$\times$		&$\times$		& $\times$ 	&$\times$	&$\times$   &$\times$ &$\times$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\end{center}
Le plus court chemin permettant d’aller de B à D est le chemin B-R-H-M-D. Il faut parcourir 617 km.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\pagebreak

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle [0,7~;~6] ; on suppose que $f$ est dérivable.

\bigskip

\textbf{PARTIE A: Étude graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-4}{4-3}=-4$. Donc $f'(3)=-4$.
\item La fonction $f$ est décroissante sur les intervalles $[~0,7~;~1]$ et sur $[~2~;~6~]$ ; elle est croissante sur l'intervalle $[~1~;~2~]$. On peut donc en déduire le signe de $f'$sur l'intervalle $[~0,7~;~6~]$.\\

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 $x$ 		& 0,7 	& \hspace*{\esp} & 1 											& \hspace*{\esp} & 2 										& \hspace*{\esp} & 6 	\\ \hline
$f'(x)$ &  			 &  \pmb{-} 			& \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} 			& \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} 			 & 		\\  \hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Étude théorique}

\medskip

%On admet que la fonction $f$ est définie par 

%\[f(x) = \left(x^2 - 2x + 1)\text{e}^{-2x+6}.\]

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=(2x-2)\times\text{e}^{-2x+6}+\left(x^2 - 2x + 1)\times (-2) \text{e}^{-2x+6})=\left( 2x-2-2x^2+4x-2\right) \times \text{e}^{-2x+6}=\left(-2x^2 + 6x - 4\right)\text{e}^{-2x+6}$.
\item Pour tout $x\in [0,7~;~6]$,  $\text{e}^{-2x+6}>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que le trinôme du second degré $-2x^2 + 6x - 4$.\\
$\Delta=6^2-4\times(-2)\times(-4)=4$, donc deux solutions $x_1=\dfrac{-6-2}{-4}=2$ et $x_2=\dfrac{-6+2}{-4}=1$.\\
En utilisant le signe du trinôme du second degré, on établit le tableau de variations suivant :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*7{c}|}
\hline
x 							& 0,7  					& \hspace*{\esp} & 1 											& \hspace*{\esp} 	& 2 											&\hspace*{\esp} 												& 6\\ \hline
-2x^2 + 6x - 4  &  							&   \pmb{-} 			& \vline\hspace{-2.7pt}0 	& \pmb{+} 				&\vline\hspace{-2.7pt}0		& \pmb{-} 														& \\ \hline
f'(x) 					&  							&   \pmb{-} 			& \vline\hspace{-2.7pt}0 	& \pmb{+} 				&\vline\hspace{-2.7pt}0 	& \pmb{-} 														& \\ \hline
								& \Rnode{max1}{}&								   &								 					&  								&  	\Rnode{max2}{e^2}			 	&																			& \\  
f(x) 						& 							&     						&  												&  								&  \rule{0pt}{\hauteur}		& 																		&\\  
								& 							& 					 			& \Rnode{min1}{0} 					&  								&  												&  \rule{0pt}{\hauteur} 							& \Rnode{min3}{}
 \ncline{->}{max1}{min1} 
 \ncline{->}{min1}{max2}
 \ncline{->}{max2}{min3} 
 \\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


\item 
\medskip
	\begin{enumerate}
		\item La ligne 3 donne la forme factorisée de la dérivée second $f''$. On en déduit que pour tout $x\in[~0,7~;~7~]$, $f''(x)$ a le même signe que le trinôme du second degré $2x^2 - 8x + 7$. La ligne 4 permet de déterminer les solutions de l'équation $f''(x)=0$, ce qui nous donne les racines du trinôme. En utilisant le signe du trinôme du second degré, on en déduit que $f''(x)\geqslant 0$ si et seulement si $x\in \left[\dfrac{- \sqrt{2}+4}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}\right]$.
		\item Avec les mêmes lignes, on peut aussi en déduire que la dérivée seconde $f''$ s'annule et change de signe pour les deux valeurs $x_1=\dfrac{- \sqrt{2}+4}{2}$ et $x_2=\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}$.La courbe représentative de la fonction $f$ admet donc deux points d'inflexion aux points d'abscisses données précédemment.
		\item On pose $I = \displaystyle\int_3^5  f(x)\:\text{d}x$.\\
On utilise à présent la ligne 5 : $I = \displaystyle\int_3^5  f(x)\:\text{d}x=F(5)-F(3)$\\
		$F(5)=\dfrac{1}{4}(-50+10-1)\text{e}^{-4}=-\dfrac{41}{4}\text{e}^{- 4}$ et $F(3)=\dfrac{1}{4}(-18+6-1)\text{e}^0=-\dfrac{13}{4}$
		
$I=-\dfrac{41}{4}\text{e}^{-4}-\left(-\dfrac{13}{4}\right)=\dfrac{13-41\text{e}^{-4}}{4}\approx 3,1$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}