\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add,pst-func}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Corrigé Nathalie Defloraine
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES Antilles-Guyane},
pdftitle = {16 juin 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 16 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat terminale ES Antilles-Guyane
~\decofourright\\[4pt]16 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ sont deux évènements d'une expérience aléatoire. On note $\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$. On sait que : $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ et $P\left(A \cap B\right) = 0,42$. On peut affirmer que :
	\begin{enumerate}
		\item $P_A(B) = 0,3$.
		\item  $P\left(A \cup B\right) = 0,58$.
		\item \fbox{$P_B(A) = 0,84$}.
		\item $P\left(A \cap \overline{B}\right) = 0,28$.
	\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,6+0,5-0,42=0,68$.
\item $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0,42}{0,6}=0,7$.
\item $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,42}{0,5}=0,84$.
\item $P(A) = P(A \cap B) + P\left(A \cap \overline{B}\right)$ d'où $P\left(A \cap \overline{B}\right) = P(A) -  P(A \cap B) = 0,6 - 0,42 = 0,18$.
\end{itemize}
\item Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~5]$.
	\begin{enumerate}
		\item L'espérance de cette loi $X$ est $\dfrac{2}{5}$.
		\item \fbox{$p(X > 2) = \dfrac{3}{5}$}.
		\item $p(X \leqslant 2) = \dfrac{3}{5}$.
		\item $p(X \leqslant 5) = 0$.
	\end{enumerate}
Si $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[a~;~b]$,$p(c < X < d) = \dfrac{d-c}{b-a}$

\begin{itemize}
\item $E(X)=\dfrac{0+5}{2}=\dfrac{5}{2}$
\item $p(X > 2)=p(2 < X \leqslant 5)=\dfrac{5-2}{5-0} =\dfrac{3}{5}$
\item $p(X \leqslant 2) =p(0 \leqslant X \leqslant 5) =\dfrac{2-0}{5-0}=\dfrac{2}{5}$
\item $p(X \leqslant 5) = p(0 \leqslant X \leqslant 5) =\dfrac{5-0}{5-0}=1$
\end{itemize}
\item Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de 100 mL. On admet que le volume contenu dans le flacon peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 100 mL et d'écart type 2 mL.
	\begin{enumerate}
		\item $p(Y \leqslant 100) =0,45$.
		\item $p(Y > 98) =0,75$.
		\item \fbox{$p(96 \leqslant Y \leqslant 104) \approx 0,95$}.
		\item $p(Y \leqslant 110) \approx0,85$.
	\end{enumerate}
\item Un article de journal affirme, qu'en France, il y a 16 \% de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l'échantillon de la population française à étudier qui permettrait d'obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l'échantillon est :
	\begin{enumerate}
		\item 30.
		\item 64.
		\item 100.
		\item \fbox{400}.
	\end{enumerate}
L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$

On résout $\dfrac{2}{\sqrt{n}} = 0,1 \Longleftrightarrow \sqrt{n}=20 \Longleftrightarrow n=400 $
\item La fonction $f$ est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1)$. La fonction $g$ est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu = 3$ et d'écart type $\sigma = 2$.
La représentation graphique de ces deux fonctions est :
	\begin{enumerate}
\item ~

\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.8cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=3, mue=2, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](6.5,.05){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.8cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=.75, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](4.5,.25){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.8cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=3, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-3.5,.07){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](5.5,.1){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=.8cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](5.5,.1){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
$f$ est la densité associée à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1)$ donc $f(0)\simeq 0,4$ donc on peut éliminer $c$.

$g$ est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu = 3$ et d'écart type $\sigma = 2$.La représentation graphique de cette fonction est donc symétrique par rapport à la droite d'équation $x=3$. On peut donc éliminer $a$.

De plus, on sait que $P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \simeq 0,68 $ soit $P(1 \leqslant X \leqslant 4)\simeq 0,68 $, on peut donc exclure $b$ car l’aire sous la courbe représentative de $g$ entre 1 et 5 est supérieure à $4$ carreaux soit $0,8$.
\fbox{Réponse d}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Un particulier possède une piscine et décide de s'équiper d'un système automatique de remplissage pour tenir compte de l'évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu'il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4\,\% de la quantité d'eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de $2~ \mathrm{m}^3$ d'eau par jour. 

Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient $75~\mathrm{m}^3$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube $\left(\mathrm{m}^3\right)$, $n$ jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage.

Ainsi, $u_0 = 75$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

$u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)\times 75 + 2 = 74$ ;

$u_2=0,96\times 74 + 2 = 73,04$.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

$u_2- u_1\neq u_1-u_0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

$\dfrac{u_2}{u_1}\neq \dfrac{u_1}{u_0}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.

\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,96\times u_n +2$.

$u_n$ est le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube ($\mathrm{m}^3$), $n$ jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage.
$u_{n+1}$ est le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube ($\mathrm{m}^3$), $n+1$ jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage.

Chaque jour il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4\,\% , une baisse de 4\,\% correspond à multiplier par $\left(1-\dfrac{4}{100}\right)$ et il apporte de $2~\mathrm{m}^3$ d'eau par jour

donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,96\times u_n +2$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 50$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_0$.
		
Pour tout entier $n$ on a :

$v_{n+1} = u_{n+1} - 50$

$= 0,96 u_n + 2 - 50$

$= 0,96 \left (v_n + 50 \right) - 48$

$= 0,96 v_n + 48 - 48$

$= 0,96 v_n$

$v_0 = u_0 - 50 = 75 - 50 = 25$

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 25 $ et de raison $q=0,96$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
$\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $v_0= 25$ et de raison $q = 0,96$ donc, 
pour tout $n$, $v_n = v_0 \times q^n = 25 \times 0,96^n$.\hfill{}
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 25\times 0,96^n+50$.

On a vu que, pour tout $n$, $v_n = 25 \times 0,96^n$ et $u_n=v_n + 50$ donc, 

pour tout $n$, $u_n= 25\times 0,96^n + 50 $.\hfill{} 
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

$\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 ;

or $0 < 0,96 < 1$ donc la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite 0. 

Pour tout $n$, $u_n = v_n + 50$ donc la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $50$.

Au bout d’un grand nombre de jour  le volume d'eau stagnera à $50 \mathrm{m}^3$
	\end{enumerate}
\item Si le volume d'eau dans la piscine est inférieur à $65 \mathrm{m}^3$, le niveau de l'eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d'eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.65\linewidth}{|l X|c|}\hline
Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel 	& L1\\
 			& $u$ est un nombre réel 			& L2\\
Traitement :& $n$ prend la valeur 0 			& L3\\
			& $u$ prend la valeur 75 			& L4\\
			& Tant que $u$ \red{$\geqslant 65$} & L5\\
			& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$u$ prend la valeur \red{$0,96\times u+2$}} 											& L6\\
			& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$n$ prend la valeur $n+1$} & L7\\
			& Fin Tant que & L8\\
Sortie :	& Afficher $n$ & L9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes L5 et L6 de cet algorithme.
		\item Quel est le résultat affiché en sortie de cet algorithme ?
		
L'algorithme affiche le premier jour à partir duquel le volume d'eau devient insuffisant. Ici $n = 13$
		\item Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?
 
$\begin{array}{l !{\iff} l l}
25 \times  0,96^n + 50 \leqslant 65	& 25 \times  0,96^n \leqslant  65 - 50	& \\
			  					&0,96^n \leqslant \dfrac{15}{25} 		& \\
			   					&\ln (0,96^n) \leqslant  \ln (0,6) 		& \text{croissance de la fonction ln sur } ]0~;~+\infty[ \\[7pt]
			  					&n\times \ln(0,96 ) \leqslant  \ln (0,6)& \text{propriété de la fonction ln}\\[7pt]
			  					&n \geqslant  \left(\dfrac{\ln(0,6)}{\ln(0,96)} \right) & \text{car } \ln(0,96)< 0 \\
			  					&n  \geqslant 12,51 					&
\end{array}$

Le niveau est suffisant pendant 12 jours.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le plan d'un centre de vacances. Les arêtes représentent les allées et les sommets, les carrefours. On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.25)(6.2,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleu}
\Cnode(0,1.5){A}\Cnode(1,3){B}\Cnode(1.5,0){C}\Cnode(3.5,3){D}\Cnode(3.5,0){E}\Cnode(4.5,1.5){F}\Cnode(6,1.5){G}
\sf{\footnotesize{
 \ncline{C}{A}\naput{110}\ncline{A}{B}\naput{75}
 \ncline{B}{C}\nbput{30} \ncline{C}{E}\naput{72}
 \ncline{E}{B}\nbput{42} \ncline{B}{D}\naput{50}
 \ncline{D}{F}\naput{103}\ncline{F}{E}\nbput{40}
 \ncline{E}{G}\nbput{93} \ncline{G}{F}\nbput{80}
\uput[l](0,1.5){A}\uput[u](1,3){B}\uput[d](1.5,0){C}
\uput[u](3.5,3){D}\uput[d](3.5,0){E}\uput[l](4.5,1.5){F}
\uput[r](6,1.5){G}
}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le service d'entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour C, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles ? Justifier la réponse.

Effectuer un parcours qui passe une seule fois par chaque allée c'est chercher si il existe une chaîne eulérienne.

Le graphe est connexe car deux sommets quelconques peuvent être reliés par une chaîne et il n'y a que deux sommets C et F de degré impair donc d'après le théorème d'Euler, il existe donc des chaînes eulériennes d'extrémités C et F.
Donc en partant de C il est possible de trouver un parcours passant une et une seule fois par chaque allée et terminant par F.

\item Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.

Effectuer un tel parcours c'est chercher s'il existe un cycle eulérien.
Pour qu'un graphe connexe admette un cycle eulérien, il faut que tous ses sommets soient de degré pair. Ce qui n'est pas le cas donc un tel parcours n'est pas possible

\item Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline 
\  A\   &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &  Sommet choisi \\ \hline
\sur 0 	&$\infty$ 	&$\infty$ &$\infty$ 	&$\infty$ 	&$\infty$ 	&$\infty$ 	&A \\\hline 
 		&\sur{75(A)}&110(A) 	& $\infty$ 	&$\infty$  	&$\infty$  	&$\infty$  	&B \\\hline
 		&  			&75+30 =   	& 75+50 =  	&75+42 =	&   		&          	&\\[-3pt]
 		&         	&\sur{105(B)}&125(B)	&117(B)  	&$\infty$  	& $\infty$ 	&C \\ \hline
 		&  			&          	&      		&105+72 	&   		&      		&\\[-3pt]
 		&           &			& 125(B) 	&\sur{117(B)}&$\infty$  &$\infty$ 	&E \\ \hline
 		&  			&       	&  			&   		&117+40 = 	& 117+93 = 	&\\[-3pt]
 		&  			& 			&      		&   		&\sur{157(F)}&210(E)	&  F\\ \hline
 		&  			&  			& 			&  			&   		&157+80		&\\[-3pt]
 		&  			&      		&       	&  			&   		&\sur{210(E)}&G\\ \hline
\end{tabular} }
\end{center} 

Le chemin le plus court pour aller de A vers G est de longueur 210 : A -- B -- E -- G

\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du
centre ou à l'extérieur. On constate chaque jour que :
\begin{itemize}
\item 5\,\% des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain ;
\item 20\,\% des vacanciers ayant déjeuné à l'extérieur s'inscrivent pour déjeuner au centre de
vacances le lendemain.
\end{itemize}

On note $D$ l'état \og Déjeuner au centre de vacances \fg{} et $E$ l'évènement \og Déjeuner à l'extérieur \fg.

\begin{enumerate}
\item Construire un graphe modélisant cette situation.\\
 L'énoncé se traduit par le graphe probabiliste suivant :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\bf D}
\psnode(6,0){B}{\bf E}
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,05} 
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,2}
\nccircle[angleA=60]{->}{A}{.5cm} \Bput{0,95}
\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,8}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre
alphabétique.

 $M = \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,2&0,8\end{pmatrix}$.
\item Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxième jour ? Le cinquième jour ?

On note $P_1$ l'état probabiliste le 1\up{er} jour : $P_1 = \begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}$.

$P_2 = P_1 \times M=\begin{pmatrix}0,3875& 0,6125\end{pmatrix}$

Le deuxième jour 38,75\,\% des vacanciers déjeuneront au centre.

$P_5 = P_1 \times M^4=\begin{pmatrix}0,626& 0,374\end{pmatrix}$

Le cinquième jour 62,6\,\% des vacanciers déjeuneront au centre.
\item L'état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ est-il stable ?

On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l'état stable associé à ce graphe.

On sait que l'état stable $P = \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$ vérifie l'équation  : $P = P \times M$. 

On a donc le système : 
$\left\{\begin{array}{l c r}
\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,2&0,8\end{pmatrix}\\
a + b&=&1\hfill{}
\end{array}
\right. 
\iff$
 
$\left\{
\begin{array}{l c r}
a&=&0,95a + 0,2b\\
b&=&0,05a + 0,8b\\
a + b&=&1 \hfill{}
\end{array}\right.$
$\iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
0,05a-0,2b&=&0\\
-0,05a+0,2b&=&0\\
a+b&=&1
\end{array}\right. 
\iff $

$\left\{\begin{array}{l c r}
0,05a-0,2b&=&0\\
a+b&=&1
\end{array}\right. 
\iff$

$\left\{\begin{array}{l c r}
0,05(1 - b)-0,2b&=&0\\
a &=&1 - b
\end{array}\right.  
\iff \left\{\begin{array}{l c r}
0,05&=&0,25b\\
a &=&1 - b
\end{array}\right. 
\iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
\dfrac{0,05}{0,25}&=&b\\
a &=&1 - b
\end{array}\right.$
 
$\iff 
\left\{\begin{array}{l c r}
0,2&=&b\\
a&=&0,8\\
\end{array}\right.$\\

On a donc $P = \begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix}$.

Donc l'état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ n'est pas stable.


\item Peut-on affirmer qu'à terme, si les comportements des vacanciers restent les mêmes, 75~\% des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?

On a vu que l'état stable est $P = \begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix}$.

Donc à terme 80\% des vacanciers prendront leur déjeuner au centre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-4~;~10]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, et $f''$ sa dérivée seconde.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $- 2$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Le domaine $S$ grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 2$ et la droite d'équation $x = 4$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(11,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+4)*EXP(-.5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{2}{4}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](4,0)(2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5,-1)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{10}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline{<->}(-3.5,5.43656)(-.5,5.43656)
\psdots(-2,5.43656)
\uput[ul](-2,5.4){\footnotesize{\prune{$A$}}}\uput[u](6.5,.3){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en la justifiant, la valeur de $f'(- 2)$.

$f'(- 2)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $- 2$. En ce point la tangente est parallèle à l'axe des abscisses donc 
$f'(- 2) = 0$ 
\item Par une lecture graphique, quel semble être le signe de $f'(4)$ ?

Sur l'intervalle $[-2~;~10]$ la fonction $f$ est décroissante donc sa dérivée est négative donc $f'(4)$ est négatif.
\item Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire du domaine $S$ grisé sur la figure.

L'aire du domaine $S$ est comprise entre $3$ et $4$.

\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
La fonction $f$ précédente est définie sur l'intervalle $[-4~;~10 ]$ par $f(x) = (x +4)\mathrm{e}^{-0,5x}$.

\begin{enumerate}
 \item
 		\begin{enumerate}
			 \item Montrer que $f'(x) = (- 0,5x - 1)\mathrm{e}^{-0,5x}$.
			 
$f$ est de la forme $u\times v$ avec $u(x)= x + 4$ et $v(x)=\text{e}^{-0,5x}$
				
$u'(x) = 1$ et $v'(x) = - 0,5\text{e}^{0,5x}$
		
$f'(x) = 1\text{e}^{-0,5x}+ (x + 4)\times (-0,5\text{e}^{-0,5x}$
		
$\phantom{f'(x)}= \text{e}^{-0,5x}(1 - 0,5x)$
		
$\phantom{f'(x)}= \text{e}^{-0,5x}(- 0,5x + 1)$		
			 \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~10 ]$.
			 
$\text{e}^{-0,5x}$ est toujours positif donc $f'(x)$ est du signe de $- 0,5x + 1$.

		$- 0,5x + 1=0 \Longleftrightarrow x = -2$.
		
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{8pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*6{c}|}\hline
x 		& - 4  	& \hspace*{\esp} & - 2 				& \hspace*{\esp}& 	&10 \\ \hline
-0,5x+1 &  		&\pmb{+}& \vline\hspace{-2.7pt}0 	& \pmb{-}		& 	& \\ \hline
f'(x) 	&  		&\pmb{+}& \vline\hspace{-2.7pt}0 	& \pmb{-} 		&   &\\ \hline
		& 		& 		& \Rnode{max}{2\text{e}} 	&  				&  	&\\ 
f(x) 	& 		&     	&  							&  				& 	& \\
		&\Rnode{min1}{0}&&							&				&	&\Rnode{min2}{14\text{e}^{-5}}\\
		&\ncline{->}{min1}{max}& &					& 				&	&\ncline{->}{max}{min2} \\  \hline
\end{array}$
\end{center}

			 \item Montrer que sur l'intervalle $[ 1 ; 6 ]$ l'équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution.

On notera $\alpha$ cette unique solution.
	Sur l'intervalle $[1~;~6]$ la fonction $f$ est dérivable donc continue et strictement décroissante. $f(1) = 5\text{e}^{-0,5}\approx 3,03$ et $f(6) = 10\text{e}^{-3} \approx 0,498$.
		
D'après la propriété des valeurs intermédiaires, pour tout réel $k \in [10\text{e}^{-3}~;~ 5\text{e}^{-0,5}]$ l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique.
En particulier l'équation $f(x) = 1,5$ admet une solution unique $\alpha$.
				
			\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
			
À l'aide de la table de la calculatrice on obtient :

$f(3,11)\approx \np{1,5015}$ , $f(3,12)\approx \np{1,4961}$ donc $\alpha \approx 3,11$.
 	\end{enumerate}
\item On admet que la dérivée seconde de $f$ est définie par $f''(x) = 0,25x\mathrm{e}^{-0,5x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~10 ]$.
  
On étudie le signe de $f''(x)$.
  Pour tout réel $x$, $\text{e}^{-0,5x}>0$ donc $f"$ est du signe de $0,25x $.
  
$ 0,25x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$
			
Sur $[-4~;~0]$, $f$ est concave.
			
Sur $[0~;~10]$, $f$ est convexe.
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion $I$ dont on calculera les coordonnées.
 L'abscisse du point d'intersection est donc $x = 0$, son ordonnée $f(0) = 4$ d'où $I$ a pour coordonnées $(0,4)$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x-12)\mathrm{e}^{-0,5x}$. Comment peut-on montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-4~;~10 ]$ ? \emph{On ne demande pas d'effectuer cette vérification.}
		  
Pour prouver que $F$ est une primitive de $f$ on vérifie que $F'(x) = f(x)$.  
		\item Calculer $S = \displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\;\mathrm {d}x$.
		
$S = F(4) - F(2)= - 20\mathrm{e}^{-2}-(-16\mathrm{e}^{-1}\approx 3,18$ u.a.
  
On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = 4 + \mathrm{e}^{-5x}$.

On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

Le domaine $\mathcal{D}$ hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d'équation $y = a$, parallèle à l'axe des abscisses, selon l'exemple donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=8cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-.15,-.5)(1.3,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4+EXP(-5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=darkgray,hatchwidth=0.25pt] \grestore }
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(1,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-.15,-.5)(1.3,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(-.15,2.1)(1.3,2.1)
\uput[ul](0,2.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[ul](1.3,2.1){\footnotesize{\prune{$y=a$}}} \uput[u](.2,4.4){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la valeur $a = 3$ ne convient pas.

La fonction $f$ est positive sur $[0~;~1]$.
L'aire de la partie hachurée est donnée par :

$I =\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm {d}x$.

Une primitive de $f$ est $F(x)=4x-\dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{-5x}$

donc $I=F(1)-F(0)=4-\dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{-5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{21}{5}-\dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{-5}\approx 4,198$ u.a.

Si $a=3$ l'aire du rectangle situé sous la droite d'équation $y=3$ est égale à 3 u.a.

Donc la valeur $a=3$ ne convient pas.
\item Déterminer à $0,1$ près une valeur de $a$ qui convienne.

L'aire du rectangle situé sous la droite d'équation $y=a$ est $a\times 1 = a$~u. a.
On résout donc $a = \dfrac{I}{2} \Longleftrightarrow a\approx 2,099 \approx 2,1$
\end{enumerate}
\end{document}