\documentclass[10pt]{article}
%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : René Roux
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 5 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES Liban
~\decofourright\\[5pt]5 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{2}{x}$.

La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~e] se calcule avec la formule : $\dfrac{1}{\text{e}-1}\displaystyle\int_1^{\text{e}} g(x)\:\text{d}x$.

Une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est la fonction $G$ définie par :

\[G(x) =2~\ln (x)\]

$\dfrac{1}{\text{e}- 1}\displaystyle\int_1^{\text{e}} g(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{\text{e} - 1}~\left[~G(x)~\right]_1^{\text{e}}=\dfrac{1}{\text{e} - 1} \left(G(\text{e})-G(1)\right) = \dfrac{1}{\text{e}-1} (2\ln \dfrac{1}{\text{e} - 1} - 0) = \dfrac{2}{\text{e} - 1}$. \textbf{Réponse c.}

\item D'après le cours, nous savons que : $P\left( \mu -2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma\right) \approx 0,95$.

La courbe est symétrique autour de la droite $x = \mu = 1$.

Donc en utilisant le graphique, on obtient : $\mu - 2\sigma=0,6$ donc $2\sigma = 0,4$ soit $\sigma=0,2$.
\textbf{Réponse d}.
	
\item D'après l'énoncé $p = 0,15$.

On vérifie ensuite les trois conditions : $n = 50\geqslant 30$ ; $np=7,5\geqslant 5$ et $n(1 - p)= 42,5\geqslant 5$.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% de la proportion de clients qui devraient acheter un bouquet est : 

$I_{50}= \left [p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right]
= $

$\left [0,15 - 1,96 \dfrac{\sqrt{0,15\times 0,85}}{\sqrt{50}}~;~0,15 + 1,96 \dfrac{\sqrt{0,15\times 0,85}}{\sqrt{50}}\right] \approx \left[0,051~;~0,249\right]$. \textbf{Réponse a}.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}
\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\textbf{Partie A : L'accord de Kyoto (1997)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le calcul du taux de baisse se calcule avec : $\dfrac{V_A-V_D}{V_D}\times 100 =\dfrac{486 - 559}{559}\times 100 \approx - 13,1\,\%$.

En 2011 la France respectait donc déjà cet engagement.
\item  Le nombre de mégatonnes en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010 sera : 

$486 \div \left(1-\dfrac{5,6}{100}\right)\approx 514,8$~(mégatonnes).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_0 = 41$. Puis on enlève 2\,\%  à $u_0$ et on ajoute 200 tonnes soit 0,2 milliers de tonnes,

soit $u_1 = 41 - 41\times \dfrac{2}{100}+0,2 = 0,98\times 41+0,2=40,38$.
\item Pour calculer la quantité émise l'année $n+1$, on enlève 2\,\% (il restera donc 98\,\%) à la quantité émise lors de l'année $n$ puis on ajoute 0,2 (200 tonnes en milliers de tonnes).

Donc pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-10 = 0,98 \times u_n + 0,2- 10 = 0,98 \times u_n - 9,8 = 0,98\times \left(u_n-10\right) = 0,98 \times v_n$.
		
Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Son premier terme est $v_0 = u_0 - 10 = 31$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0\times q^n = 31\times 0,98^n$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 10$ donc $u_n = v_n + 10 = 31 \times (0,98)^n + 10$.
		
\[u_n  = 31 \times (0,98)^n + 10, \: n \in \N.\]
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Nous savons que $q\in ]-1~;~1[$ donc la suite géométrique de raison $q$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini. Donc la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite 0 en l'infini. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini est donc égale à 10.
		\item Cela veut donc dire qu'au bout d'un très grand nombre d'année, les émissions de cette zone industrielle tendrons vers 10 milliers de tonnes, sans pouvoir descendre encore en dessous de cette limite.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
\parbox{0.45\linewidth}{Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de
l'algorithme} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
1& Variables\\
2&\quad $U$ est du type nombre\\
3&\quad  $n$ est du type nombre entier\\
4& Début Algorithme\\
5&\quad  $U$ prend la valeur $41$\\
6&\quad  $n$ prend la valeur $0$\\
7&\quad  Tant que {\color{red}{$U\geqslant 20,5$}} faire\\
8&\quad \quad  Début Tant que\\
9&\quad \quad  $U$ prend la valeur {\color{red}{$0,98\times U+0,2$}}\\
10&\quad \quad $n$ prend la valeur $n + 1$\\
11&\quad \quad  Fin Tant que\\
12&\quad  Afficher $n$\\
13& Fin Algorithme\\ \hline
\end{tabularx}}

\item L'algorithme affiche 54. Donc au bout de 54 années après 2005, et donc en 2059, les émissions de la zone industrielle auront diminué de moitié.	
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, $p(S)=0,18$ et $p_{\overline{F}}(S)=0,175$.
\item Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB = 2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$} \naput{$0,52$}}
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$} \nbput{\footnotesize{\color{red}{$1-0,52=0,48$}}}}
	{\TR{$S$}\naput{$0,175$}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\footnotesize{{\color{red}{$1-0,175=0,825$}}}}
	}
}
\end{center}
\item Formule de Bayes : $p\left(\overline{F} \cap S\right) = p_{\overline{F}}(S)\times p\left(\overline{F}\right)=0,175\times 0,48=0,084$.

La probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un homme demandeur d'emploi sans expérience est égale à $0,084$.
\item On cherche : $p_{S}\left(\overline{F} \right)$. La formule de Bayes donne : $p_{S}\left(\overline{F} \right) = \dfrac{p\left(\overline{F} \cap S \right)}{p(S)}=\dfrac{0,084}{0,18}\approx 0,467$.

La probabilité que la fiche d'un demandeur d'emploi sans expérience soit celle d'un homme est environ $0,467$. 
\item Formule des probabilités totales : $p(S) = p(S\cap F) + p\left(S\cap \overline{F}\right)= p_{F}(S)\times p(F)+ p_{\overline{F}}(S)\times p\left(\overline{F}\right)$.

Donc $p_{F}(S) = \dfrac{p(S)-p_{\overline{F}}(S)\times p\left(\overline{F}\right)}{p(F)} =\dfrac{0,18 - 0,084}{0,52} \approx 0,185$.

La probabilité que la fiche d'une femme soit celle d'un demandeur d'emploi sans expérience est au millième près $0,185$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}
\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fiches de demandeurs d'emploi sans expérience. 

L’expérience est répétée 5 fois. Les tirages sont indépendants, identiques et aléatoires. À chaque fiche il y a deux issues : il est sans expérience, avec une probabilité de 0,18, ou il est avec expérience avec une probabilité de 0,82. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,18$.
On veut déterminer $P(X\geqslant 1)$ :

 $P(X\geqslant 1) = 1 - p(X<1) = 1 - p(X = 0) = 1 - \dbinom{5}{0} \times 0,18^0\times 0,82^5\approx 0,629$.

La probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience est 0,629 au millième près.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le graphe probabiliste :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe
\def\nomG{A}
\def\nomD{B}
\def\valGD{0,12}
\def\valDG{0,14}
\def\valGG{0,88}
\def\valDD{0,86}
\Rnode{G}{\nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
\ncarc{->}{G}{D} 
      \Aput{\valGD}
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}
\nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\valGG}
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}
\end{pspicture}
\end{center}


\item $a_0 = 0,30$ et $b_0 = 1 - a_0 = 0,70$.
\item Calculons $P_3 = \begin{pmatrix}a_3& b_3\end{pmatrix}$.

$P_3 = \begin{pmatrix}a_0& b_0\end{pmatrix}\times M^3 = \begin{pmatrix}0,30& 0,70\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}^3 \approx \begin{pmatrix}0,442& 0,558\end{pmatrix}$
Donc en 2018, il y aura environ 44,2\,\% des abonnés chez l'opérateur Alpha.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les termes de la matrice de transition $M$ ne sont pas nus, donc l'état $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ qui se trouve en résolvant le système d'équations suivant : 
		
$\begin{pmatrix}x& y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x& y\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$, d'où  : $\left\{\begin{array}{l c l}
x &= &0,88x + 0,14y\\
y &=& 0,12x + 0,86y
\end{array}\right.$
		
Ces deux équations se simplifient pour obtenir : $0,12x+0,86y=0$. De plus $x+y=1$. Donc le couple $(x~;~y)$ est solution du système :
		 $\left\{\begin{array}{l c l}
0,12x - 0,14y &= &0\\
x + y &=& 1
		\end{array}\right.$
		\item Par substitution :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
0,12x - 0,14y &= &0\\
x + y &=& 1
\end{array}\right.
		\iff 
		\left\{\begin{array}{l c l}
0,12(1-y) - 0,14y &= &0\\
x &=& 1-y
		\end{array}\right.
		\iff$
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
0,12 - 0,26y &= &0\\
x  &=& 1-y
		\end{array}\right.
	\iff
		\left\{\begin{array}{l c l}
y &= &\dfrac{0,12}{0,26} = \dfrac{12}{26} = \dfrac{6}{13} \\
x  &=& 1- \dfrac{6}{13}= \dfrac{7}{13}
		\end{array}\right.$
		
L'état stable du système est $P = \begin{pmatrix}\dfrac{7}{13}&\dfrac{6}{13}\end{pmatrix}$.
		\item On a $\dfrac{6}{13} \approx 0,462$ et $\dfrac{7}{13} \approx 0,538$.
		
		Au bout d'un grand nombre d'années, l'opérateur Alpha aura environ $53,8\,\%$ des abonnés, et  Bravo $46,2\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l’aide de l’algorithme de Dijkstra on obtient le tableau suivant:

\begin{center}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A 		&B 			&C 		&D			&E			&F		&G		&H		&I &\footnotesize{Sommets}\\\hline
$\infty$&$\infty$	&0		&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$ &$\infty$ &$\infty$ &$\infty$	&C	\\ \hline
25 (C)	&30 (C)     &$\times$&20 (C)	&$\infty$	&$\infty$ &$\infty$ &$\infty$	&$\infty$&D	\\ \hline
25 (C)	&30 (C) 	&$\times$&$\times$	& 40 (D)	&$\infty$ &$\infty$ &$\infty$ &35 (D)	&A	\\ \hline
$\times$&30 (C) 	&$\times$&$\times$	&40 (D)	 	&$\infty$ &$\infty$ &35 (A)	 	&35 (D)	&B\\ \hline
$\times$&$\times$ 	&$\times$&$\times$	&40 (D)	 	&$\infty$ &$\infty$ &35 (A)	 	&35 (D)	&H\\ \hline
$\times$&$\times$ 	&$\times$&$\times$	&40 (D)	 	&45 (H)	&55 (H)	  &$\times$ & 35 (D)	&I\\ \hline
$\times$&$\times$ 	&$\times$&$\times$	&40 (D)	 	&45 (H)	&55 (H)	  &$\times$ &$\times$	&E\\ \hline
$\times$&$\times$  	&$\times$&$\times$	& $\times$ 	&45 (H)	&55 (H)	  &$\times$ &$\times$	&F\\ \hline
$\times$&$\times$  	&$\times$&$\times$	& $\times$ 	&$\times$	&50 (F)	  &$\times$ &$\times$&G\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\end{center}
Le tracé le moins cher pour aller de C à G sera : C -- A -- H -- F -- G.
\item Son coût est de 50 milliers d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont liées}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est continue, dérivable sur l'intervalle [0~;~10]. De plus, $f$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$, de dérivée $-\dfrac{u'}{u^2}$.

Donc $f'(x)=-\dfrac{-100\text{e}^{-x}}{\left(0,5 + 100\text{e}^{-x} \right)^2}=  \dfrac{100\text{e}^{-x}}{\left(0,5 + 100\text{e}^{-x} \right)^2}$

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'intervalle [0~;~10],
		
$100\text{e}^{-x} - 0,5 \geqslant 0 \iff 100\text{e}^{-x} \geqslant 0,5 \iff \text{e}^{-x} \geqslant \dfrac{0,5}{100} \iff \text{e}^{-x} \geqslant 0,005 \iff -x \geqslant \ln (0,005)$

$\iff x \leqslant -\ln (0,005)$.
		\item Le tableau de signes de la fonction $f''$ sur l'intervalle [0~;~10] :
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
\def\esp{2.5cm}
\def\hauteur{20pt}
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & -\ln (0,005) & \hspace*{\esp} & 10 \\ 
\hline
f''(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline
\end{array} $
}
\end{center}	

 	\end{enumerate}
\item  La dérivée seconde $f''$ s'annule et change de signe pour $x=-\ln (0,005)$. Donc $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x = -\ln (0,005) = \ln \left(\dfrac{1}{0,005} \right) = \ln 200 \approx 5,3$. 
\item  De plus le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle [0~;~10] nous permet d'affirmer que la fonction $f$ est concave sur l'intervalle [~$\ln 200$~;~10] car $f''(x) \leqslant 0$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés \degres C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f(10) = \dfrac{1}{0,5 + 100\text{e}^{-10}}\approx 1,98$, en arrondissant le résultat au centième.
		\item $2150 = 1900 + 10\times 25$ donc cela correspond à $x = 10$.  Cela signifie donc qu’en l’année 2150 l’augmentation de température sera de $1,98$ degré. L’objectif de l’accord de Paris sera respecté.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'abscisse du point d'inflexion est : $x = -\ln(0,005)\approx 5,298$, donc ce sera vers l'année $1900+5,3\times 25\approx 2032$.
		\item $f\left(-\ln (0,005)\right)=\dfrac{1}{0,5 + 100\text{e}^{-\left(-\ln (0,005)\right)}}=\dfrac{1}{0,5+100\times (0,005)} =1$, soit 1 degré Celsius supplémentaire par rapport à 1900.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f'$ est strictement positive pour tout $x$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle [0~;~10]. La température terrestre augmentera donc continuellement. Par conséquent l’affirmation est fausse.
		\item La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[\ln 200~;~10]$. Cela signifie donc que la fonction dérivée de $f$ est décroissante sur cet intervalle. Or  $x = \ln 200\approx 5,298$ correspond à l'année 2032. La vitesse du réchauffement climatique diminuera donc après 2032 donc à partir de 2033.
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est strictement croissante et continue sur l’intervalle $[~0~;~10~]$. De plus $f(0)\approx 0$ et $f(10)\approx 2$. $1,5\in [f(0)~;~f(10)]$ donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 1,5$ possède une unique solution notée $\alpha$ dans l'intervalle  $[~0~;~10~]$.

À l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha \approx 6,4$. C’est donc au cours de l’année $1900+6,4\times 25\approx 2060$ que la température terrestre atteindra d'après ce modèle son seuil critique.
\end{enumerate}
\end{document}