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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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pdftitle = {Polynésie Sujet 1 13 mars 2023},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Polynésie 13 mars 2023~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 4 points \hfill Thème: probabilités}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La situation peut se traduire par l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$J$~}\taput{0,21}}
	{\TR{$T$}\taput{0,32}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,68}
	}
\pstree{\TR{$\overline{J}$~}\tbput{0,79}}
	{\TR{$T$}\taput{0,20}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,80}
	}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On calcule : $p(J \cap T) = p(J) \times p_J(T) = 0,21 \times 0,32 = \np{0,0672}$.
\item On a de même $p\left(\overline{J} \cap T \right) = p\left(\overline{J}\right) \times p_{\overline{J}}(T) = 0,79 \times 0,20 = 0,158$.


D'après la loi des probabilités totales :

$p(T) = p(J \cap T) + p\left(\overline{J} \cap T \right) = \np{0,0672} + 0,158 = \np{0,2252}$.
\item Il faut trouver la probabilité conditionnelle :

$p_T(J) = \dfrac{p(T \cap J)}{p(T)} = \dfrac{p(J \cap T)}{p(T)} = \dfrac{\np{0,0672}}{0\np{0,2252}} \approx 0,298$, soit 0,30 au centième près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que la population de la ville est assez importante pour que la sélection de 120 personnes puisse être assimilé à un tirage avec remise de 120 personnes chacune d'elles ayant une probabilité d'avoir moins de 35 ans de 0,30.

La loi de probabilité de $X$ suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}(120~;~0,30)$.
\item La calculatrice donne $p(X \geqslant 50) = 1 - p(X \leqslant 49) \approx \np{0,0044}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points \hfill Thème: géométrie dans l'espace}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'équation paramétrique de $d_2$ montre qu'elle contient le point de coordonnées $(-3~;~0~;~5)$ et de vecteur directeur dont les composantes sont les coefficients de $k$ donc $\vect{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.
		\item Les vecteurs directeurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ ne sont manifestement pas colinéaires, donc les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
		\item Une représentation paramétrique de la droite $d_1$ est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=2 + t\\
y&=&3 - t\\
z&=&t
\end{array}\right. \quad , t \in \R$.

S'il existe un point commun aux deux droites, il doit donc exister des réels $k$ et $t$ tels que :

$\left\{\begin{array}{l c l c l}
x &=& 2 + t&=&2k - 3\\
y&=&3 - t&=&k\\
z&=&t&=&5
\end{array}\right.$

La dernière équation donne $t = 5$, puis la deuxième $k = 3 - 5 = - 2$ et en remplaçant dans la première $2 + 5 = - 4 - 3$ : cette égalité est fausse, donc $d_1$ et $d_2$  ne sont pas sécantes.
		\item Les droites n'étant ni sécantes ni parallèles elles ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\vect{w}\ \cdot \vect{u} = - 1 - 2 + 3 = 0$ ;
		
		de même $\vect{w}\ \cdot \vect{v} = - 2 + 2 + 0 = 0$, donc le vecteur $\vect{w}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$.
		\item Un point commun au plan $P$ et à la droite $d_2$ a ses coordonnées qui vérifient le système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2k - 3\\
y &=&k\\
z &=&5\\
5x + 4y - z - 22 &=& 0
\end{array}\right. \quad , t \in \R$, d'où en remplaçant $x,\:y,\:z$ dans la dernière équation :

$5(2k - 3) + 4(k) - 5 - 22 = 0\iff 10k - 15 + 4k - 27 = 0\iff 14k = 42 \iff 7k = 21 \iff k = 3$.

Le point commun au plan $P$ et à la droite $d_2$ a pour coordonnées (6 - 3~;~3~;~5) soit M(3~;~3~;~5).
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item $\Delta$ et $d_1$ ont leurs vecteurs directeurs $\vect{w}$ et $\vect{u}$  orthogonaux donc ces droites sont orthogonales.
		
Ces deux droites sont sécantes s'il existent des réels $t$ et $r$ tels que 

$\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=&2 + t&=&- r + 3\\
y&=&3 - t&=&2r + 3\\
z&=&t   &=&3r + 5
\end{array}\right. \quad , t, r  \in \R$.

La dernière équation $t = 3r + 5$ donne en remplaçant dans la deuxième : 

$3 - 3r - 5 = 2r + 3 \iff - 5 = 5r \iff r = - 1$, d'où $t = 5 - 3 = 2$ et en remplaçant dans la première équation on obtient $2 + 2 = 1 + 3$, égalité vraie.

$\Delta$ et $d_1$ sont sécantes au point L(4~;~1~;~2)
		\item  Conclusion : on a trouvé une droite $\Delta$ perpendiculaire commune aux deux droites $d_1$ et $d_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points \hfill Thème: fonction exponentielle, algorithmique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x - x$ est convexe.

$f$ est définie et dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$.

On a $f'(x) = \text{e}^x - 1$, puis $f''(x) = \text{e}^x$.

On sait que $\text{e}^x > 0$ quel que soit $x$, donc $f$ est convexe sur $\R$. l'affirmation est vraie.

\item \textbf{Affirmation :}L'équation $\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0$ admet $\ln (3)$ comme unique solution dans $\R$.

Cette équation se traduit par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2\text{e}^x - 6&=&0\quad \text{ou}\\
\text{e}^x + 2&=&0
\end{array}\right.\]

$\bullet~~$ On sait (voir ci-dessus) que $\text{e}^x > 0 \Rightarrow \text{e}^x + 2  > 2 > 0 $. Donc la deuxième équation n'a pas de solution.

$\bullet~~$$2\text{e}^x - 6=0 \iff 2\text{e}^x =6 \iff \text{e}^x = 3 \iff x = \ln 3$, par croissance de la fonction logarithme népérien : c'est la seule solution donc l'affirmation est vraie.

\item \textbf{Affirmation :}\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.\]

On a $\dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = \dfrac{\text{e}^{2x}\left(1 - \text{e}^{-2x} \right)}{\text{e}^{x}\left(1 - x\text{e}^{-x} \right)} = \text{e}^{x}\dfrac{\left(1 - \text{e}^{-2x} \right)}{\left(1 - x\text{e}^{-x} \right)}$.

$\bullet~~$Au numérateur on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \text{e}^{-2x} = 1$ ;

$\bullet~~$Au dénominateur $x\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^x}$ et l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - x\text{e}^{-x} = 1$.

Le quotient a pour limite 1 et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} = + \infty$, on a finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = +\infty$ : l'affirmation est fausse.

\item La fonction $F$ est définie et dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = 2\text{e}^{3x} + 3(2x + 1)\text{e}^{3x} = \text{e}^{3x}(2 + 6x + 3) = (6x + 5)\text{e}^{3x} = f(x)$.

D'autre part $F(0) = 1\text{e}^{0} + 4 = 1 + 4 = 5$

$F$ est donc la primitive de $f$ sur $\R$ qui prend la valeur 5 quand $x = 0$, l'affirmation est vraie.
\item L'execution donne $\dfrac{1 + 9 + \ldots + 5}{10} = \dfrac{50}{10} = 5$.

L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 6 points \hfill Thème: suites, fonctions}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démonstration par récurrence :
		
\emph{Initialisation} : On a bien $u_0 = 2 \times 0,9^0 - 3 = 2 - 3 = - 1$ : la relation est vraie au rang $0$ ;
		
\emph{Hérédité} : On suppose que pour $n \in \N$, \: $u_n  = 2 \times 0,9^n - 3$. 

Alors par définition de la suite $u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3$ ou $u_{n+1} = 0,9\left(2 \times 0,9^n - 3\right) - 0,3 = 2 \times 0,9^{n+1} - 2,7 - 0,3 = 2 \times 0,9^{n+1} - 3$.

La relation est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : la relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie $n \in \N$ elle l'est aussi au rang $n + 1$.

D'après le principe de récurrence :
\[u_n  = 2 \times 0,9^n - 3, \:	n \in \N.\]
\item On sait que $0 < 0,9 < 1$ implique que $0 < 0,9^n \leqslant 1$ puis en multipliant par $2 > 0$,

$0 < 2 \times 0,9^n \leqslant 2$ et enfin  en ajoutant à chaque membre le nombre $- 3$ :

$- 3 < 0,9^n - 3 \leqslant - 1$, soit $- 3 < u_n \leqslant - 1$.
		\item Quel que soit $n \in \N$, \: $u_n+1 - u_n = 0,9u_n - 0,3 - u_n = - 0,1u_n - 0,3$.
		
Or l'encadrement trouvé précédemment $- 3 < u_n < - 1$ donne par produit par $- 0,1$, 
		
$ 0,1 < - 0,1u_n < 0,3$ et en retranchant $0,3, \: -0,2 - 0,1u_n - 0,3  < 0$.
		
Conclusion : quel que soit le naturel $n$, \: $u_{n+1} - u_n < 0$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
		\item 	La suite $\left(u_n\right)$ décroissante et minorée par $-3$ converge vers une limite $\ell$, avec $\ell\geqslant - 3$.
		
D'autre part de l'égalité $u_n  = 2 \times 0,9^n - 3$, sachant que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,9^n = 0$, on déduit que 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = -3$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $- 3$.
	\end{enumerate}
\item On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3~;~-1]$ par :
\[g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Justifications:
		
$\bullet~~$ $- 3 < x \leqslant - 1 \Rightarrow - 1,5 < 0,5x \leqslant - 0,5 \Rightarrow 0 < 0,5x + 1,5 \leqslant 1 $. Donc la fonction est définie sur $]- 3~;~- 1]$

$\bullet~~$ La fonction $g$ est dérivable sur $]- 3~;~- 1]$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = \dfrac{0,5}{0,5x + 1,5} - 1 = \dfrac{0,5 - 0,5x - 1,5}{0,5x + 1,5} = \dfrac{-0,5x - 1}{0,5x + 1,5}$.

On a vu ci-dessus que $0,5x + 1,5 > 0$, le signe de $g'(x)$ est donc celui de $-0,5x - 1$ :

\begin{itemize}
\item $g'(x) = 0 \iff -0,5x - 1 = 0 \iff - 1 = 0,5x \iff - 2 = x$ ;
\item $g'(x) > 0 \iff -0,5x - 1 > 0 \iff - 1 > 0,5x \iff - 2 > x$ ;
\item $g'(x) < 0 \iff -0,5x - 1 < 0 \iff - 1 <0,5x \iff - 2 < x$ ;
\end{itemize}

Conclusion : la fonction est croissante sur $]-3~;~-2]$ et décroissante sur $[- 2~;~-1]$.

$\bullet~~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to - 3} \ln (0,5 x + 1,5) = - \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to - 3}g(x) = - \infty$

$\bullet~~$$g(- 1) = \ln (-0,5 + 1,5) - (- 1) = 0 + 1 = 1$ ;

$\bullet~~$$g(-2) = \ln (- 1+ 1,5) - (- 2) = 2 + \ln 0,5 = 2 + \ln \dfrac12 = 2 - \ln 2 \approx 1,31$.
		\item D'après le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle $]- 3~;~- 2]$, la fonction $g$ est strictement croissante de moins l'infini à $g(-2) > 0$ et est continue sur cet intervalle : il existe donc un réel unique 

$\alpha \in ]- 3~;~-2]$ tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne :

$g(-2,9) \approx \np{- 0,957}$ et $g(-2,8) \approx \np{0,4974}$, d'où $-2,9 < \alpha < -2,8$ ;

$g(-2,89) \approx \np{-0,01}$ et $g(-2,88) \approx 0,067$, d'où $-2,89 < \alpha < -2,88$ ;

$g(-2,889) \approx \np{-0,002}$ et $g(-2,888) \approx 0,006$, d'où $-2,889 < \alpha < -2,888$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que que soit $n \in \N$, \: $v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right)$ et en utilisant la formule du \textbf{1. a.}, $v_n = \ln \left(0,5 \left(2 \times 0,9^n - 3\right) + 1,5\right) = \ln \left(0,9^n - 1,5 + 1,5\right) = \ln 0,9^n = n \ln 0,9$.

L'égalité $v_n = n \ln 0,9$, montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique  de raison $\ln 0,9$.
		\item On a $u_n = v_n \iff u_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right) \iff \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right) - u_n = 0 \iff g\left(u_n\right) = 0$.
		\item On a donc $g\left(u_n\right) = 0 \iff u_n = \alpha$, soit $2 \times 0,9^n - 3 = \alpha$.
		
Or on a vu que  $-2,889 < \alpha < -2,888$  : on en déduit que $-2,889 < 2 \times 0,9^n - 3 < -2,888$, soit en ajoutant 3 :

$0,111 < 2 \times 0,9^n < 0,112 \iff \np{0,0555} < 0,9^n < \np{0,0556}$ soit par croissance du logarithme népérien $\ln \np{0,0555} < n \ln 0,9 < \ln \np{0,0556}$ et enfin 
$\dfrac{\ln \np{0,0556}}{\ln 0,9}< n < \dfrac{\ln \np{0,0555}}{\ln 0,9}$ (car $\ln 0,9 < 0$).

Or $\dfrac{\ln \np{0,0556}}{\ln 0,9} \approx 27,4$ et $\dfrac{\ln \np{0,0555}}{\ln 0,9} \approx 27,5$.

On aurait donc un entier $n$ tel que $27,4 < n < 27,5$. Donc $n$ ne peut être un naturel.

Conclusion : il n'existe pas $k$ tel que $u_k = \alpha$.
\item On a vu que $u_n = \alpha \iff g\left(u_n\right) = 0 \iff u_n = v_n$. On vient de voir que ceci n'est pas possible : il n'existe pas $k \in \N$ tel que $v_k = u_k$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}