\documentclass[10pt]{article}
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\newcommand{\cadre}[1]{\red \mbox{\rule[-0.4 cm]{0 cm}{1cm} \black #1} \black}
\input{tabvar}% à telecharger sur http://membres.multimania.fr/leger/tex/indext.html tableau generé à partir de pstplus. Placer le fichier tabvar dans le même dossier que ce fichier.
\begin{document}
\setlength \parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin  2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole 21 juin 2010 \decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\blue \textbf{\textsc{ 
Exercice 1 : QCM}\hfill 5 points}\\ \black \normalsize
%\medskip
% 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois propositions sont données, une seule est exacte.\\ 
%Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la proposition qu'il juge exacte.\\ 
%Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.\\ 
%\textbf{Aucune justification n'est demandée.}}

%\medskip
 
%\textbf{On pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre.}
 
%Un orthophoniste étudie sa clientèle sur l'année qui vient de s'écouler. Sur $620$~clients, il remarque que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 75\:\% sont des personnes mineures ; 
%\item[$\bullet~$] 30\:\% sont de sexe féminin ; 
%\item[$\bullet~$] 31 clients sont des hommes majeurs.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%\medskip
 
%Il choisit au hasard la fiche de l'un de ses patients. On note : 
Avec les données de l'énoncé on établit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{Age}{Sexe}& $H$ & $\overline{H}$ & Total \\ \hline
$m$ & 403 &62&465 \\ \hline
$\overline{m}$&31&124&155 \\ \hline
Total & 434&186&620 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $m$ l'évènement: \og la fiche est celle d'une personne mineure \fg{}; 
%\item[] $\overline{m}$ l'évènement contraire de $m$ : \og la fiche est celle d'une personne majeure \fg ; 
%\item[] $H$ l'évènement : \og la fiche est celle d'une personne de sexe masculin \fg{} ; 
%\item[] $\overline{H}$ l'évènement contraire de $H$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
%Les résultats proposés sont arrondis à 0,01 près.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item % La probabilité que la fiche soit celle d'un homme majeur est :
%
%\medskip%
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,05 & 0,07 & 0,31 \\
%\end{tabularx}
$p(H \cap m)=\dfrac{31}{620}=0,05$
\medskip

\item %La probabilité que la fiche soit celle d'une fille mineure est:
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,10 & 0,13 & 0,33 \\
%\end{tabularx}
$p(\overline{H} \cap  m)=\dfrac{62}{620}=0,1$
%\medskip 

\item %La probabilité que la fiche soit celle d'une personne majeure ou d'une personne de sexe masculin est :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,05 & 0,90  & 0,95  \\
%\end{tabularx}
$p(\overline{m}\cup H)=\dfrac{155+434-31}{620}=0,9$
%\medskip 
 
\item%L'évènement : \og la fiche est celle d'une femme ou d'une personne mineure \fg{} est :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$m \cup H$ & $m \cap \overline{H}$ & $m \cup \overline{H}$\\
%\end{tabularx}
$m \cup \overline{H}$
%
%\medskip 
%
\item %Sachant que l'on a tiré une fiche d'une personne mineure, la probabilité que ce soit une fille est :
%
%\medskip%
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,10 & 0,13 & 0,33\\
%\end{tabularx}
$p_m(\overline{H})=\dfrac{62}{465}=0,13$
%\medskip 
\end{enumerate}

\blue
\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 7 points} \black \normalsize
\medskip
%Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la consommation de soins et de biens médicaux en milliards d'euros depuis l'année 2000.
%
%\medskip
%
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\multicolumn{10}{c}{\textbf{Consommation de soins et de biens médicaux à partir de 2000}}\\ \hline 
&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline
1&Ann\'ee&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline
2&Rang de l'ann\'ee : $x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
3&D\'epenses en milliards d'euros : $y_{i}$&115,1& 151,2 &121,7&129,5&137,9& 144,9 &156,5 &163,8\\ \hline 
4&Évolution en pourcentage&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&&&&&&&\\ \hline
\multicolumn{10}{l}{\small \emph{Champ : France métropolitaine et Dom. 
Source : Drees, comptes de la santé (base 2000).}}\\
\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%\emph{Il n'est pas demandé de compléter le tableau}
%
%\medskip
% 
\red
\section*{A. Droite d'ajustement} \black
%
%\medskip
% 
%On suppose que la droite d'ajustement entre le rang de l'année $x$ et les dépenses en milliards d'euros $y$ a pour équation : $y = 7x + 115$. En utilisant cette équation, déterminer le montant des dépenses en 2010. 
En 2010, $x=10$ donc $7\times10+115=185$\\
\red {\black En 2010, les dépenses de soins et de biens médicaux seront de 185 milliard d'euros} \black
% 
\red
\section*{B. Évolution} \black
% 
\begin{enumerate}
\item %Quel est le pourcentage d'évolution global entre 2000 et 2007, à 0,1\:\% près ? 
$T=\dfrac{V_A-V_D}{V_D}=\dfrac{163,8-115,1}{115,1}=0,423$

\red { \black Entre 2000 et 2007, les dépenses de soins et de biens médicaux ont augmenté de 42,3\%} \black 
\item %On veut déterminer l'évolution en pourcentage entre deux années consécutives.
la formule, pouvant être recopié vers la droite, à entrer en C4 pour déterminer le taux d'évolution des dépenses entre 2000 et 2001 est \cadre{C4=(C3-B3)/B3} 
%Quelle formule doit-t-on entrer en C4, pour déterminer le taux d'évolution des dépenses entre 2000 et 2001 et pouvoir recopier vers la droite cette formule jusqu'en I4 ?
\end{enumerate} \red
\section*{C Limitation des dépenses} \black
%Afin de mieux maîtriser les dépenses de santé, le gouvernement souhaitait, à partir de 2008, que les dépenses liées à la consommation de soins et de biens médicaux n'augmentent que de 2\:\% par année. On modélise cette évolution par une suite. On désigne par $u_{n}$ le montant maîtrisé des 
%dépenses pour l'année $(2007+n)$ en milliards d'euros. On a donc $u_{0} = 163,8$.
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la valeur de $u_{1}$ (donner la valeur exacte). 
$u_1=163,8\times \left(1+\dfrac{2}{100} \right)$ donc \cadre{$u_1=167,076$}
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? On précisera les éléments caractéristiques de la suite.
Augmenter une valeur de 2\% revient à la multiplier par  $\left(1+\dfrac{2}{100} \right)$, donc comme pour passer d'un terme de la suite au suivant, il faut multiplier par 1,02, \red {\black la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=163,8$ et de raison $q=1,02$.} \black
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
Donc pour tout entier $n$ : \cadre{$u_n=163,8\times(1,02)^n$}
\item %En supposant que cette modélisation reste valable jusqu'en 2015, à combien peut-on estimer le montant des dépenses en 2015 ? (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près) 
En 2015, $n=8$, donc $u_8=163,8\times 1,02^8=191,918$\\
\red {\black En 2015, les dépenses sont estimées à 191,918 milliards d'euros} \black
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\blue 
\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 8 points} \black \normalsize
%
%\medskip
% 
%On a étudié jusqu'à l'année 2008 le parcours professionnel des personnes ayant obtenu en 2000 un diplôme de la santé ou du social (niveau III). Le nombre $x$ représente le temps écoulé en années  depuis l'obtention de leur diplôme. On considèrera que $x$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{12}~;~8\right]$. 
%
%\medskip
%
\red
\section*{Partie A} \black
%
%\medskip
% 
%On étudie le pourcentage de ces personnes ayant un contrat de travail. Le pourcentage est modélisé  par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{12}~;~8\right]$ par : 

%\[f(x) = 88 + 10 \times \log (x)\]
%
% où $\log$ désigne le logarithme décimal.
% 
% \medskip
%  
\begin{enumerate}
\item %Quel est le pourcentage de personnes ayant un contrat de travail au bout de 2 ans, puis de 3 ans et 6 mois à 1\:\% près? 
\[ f(2)=88 + 10 \times \log (2)=91  \text{ à 1\:\% près} \]
\[ f(3,5)=88 + 10 \times \log (3,5)=93  \text{ à 1\:\% près} \]
\cadre{\begin{minipage}{14 cm}
91\% des personnes ayant obtenu leur diplôme en 200 ont un contrat de travail 2 ans après et 93\% d'entres elles ont un contrat 3 ans et demi après. \end{minipage} }
\item %Résoudre l'inéquation $f(x) > 94$. Interpréter ce résultat.
\begin{eqnarray*}
f(x) &> &94 \\
88 + 10 \times \log (x)&> &94 \\
10 \times \log (x) &> &94-88=6 \\
 \log (x)&> & \dfrac{6}{10} \\
 x &>& 10^{0,6} \approx 3,98
\end{eqnarray*}
\cadre{Après 4 ans, 94\% des personne ayant eu leur diplôme de niveau III en 2000 ont un contrat de travail.}
\end{enumerate}
\red
\section*{Partie B} \black
%
%\medskip
% 
%On étudie dans cette partie parmi les personnes qui avaient un contrat de travail, la part de ceux qui travaillaient pour le secteur public. Le pourcentage de ces personnes travaillant pour le secteur 
%public est modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{12}~;~8\right]$ par : 
%
%\[g(x) = - 0,7x^2 + 7,7x + 45.\]

%En utilisant la courbe $\mathcal{C}_{g}$ donnée en annexe :

\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le pourcentage de personnes travaillant pour le secteur public est maximal. Calculer ce pourcentage. 
Le maximal est atteint en $x=5.5$. $g(5.5)= \displaystyle - 0,7(5,5)^2 + 7,7\times(5,5) + 45=66,175$.

\cadre{\begin{minipage}{14 cm}
Le pourcentage de personnes travaillant dans le secteur public est maximal après 5 ans et demi. Ce pourcentage est de 66,175\%
 \end{minipage} }
\item %Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la dérivée de $g$. Compléter le tableau de variations sur la feuille annexe. 
$g'(x)=-0,7\times 2x+7,7\times 1+0$ donc \cadre{$g'(x)=-1,4x+7,7$}
$g'(x)=0$ si $-1,4x+7,7=0$ donc 

$7,7=1,4x$ donc $x=\dfrac{7,7}{1,4}=5,5$\\
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{\dfrac{1}{2}}&&\tx{5.5}&&\tx{8}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{- \text{signe de $a=-1,4$}}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{45,6}&\fm&\txh{66,175}&\fd&\txb{61,8}\cr
}$$
\item% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
% 
%Déterminer graphiquement pendant quelle durée ce pourcentage est supérieur à 65\:\%. Faire apparaître les traits de construction sur le graphique. 
On doit résoudre graphiquement l'inéquation $g(x)>65$.

\cadre{\begin{minipage}{14cm}
Pendant 2 ans et demi, le pourcentage de personnes ayant un contrat de travail dans le secteur public parmi celles ayant obtenu leur diplôme en 2000 est supérieur à 65 \% \end{minipage}}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\Large  {\bf Annexe} \normalsize

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\begin{pspicture}(-0.5,-2)(8.5,70)
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\uput[d](8.5,0){$x$}\uput[l](0,70){$y$}\uput[d](7.5,63){$\mathcal{C}_{g}$}
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\end{center}
\end{document}