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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie 10 juin 2011~\decofourright}\\[4pt] \textbf{Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

%Un institut de surveillance sanitaire a publié pendant un an des bulletins hebdomadaires relatifs à l'épidémie du chikungunya sur l'île de La Réunion.
% 
%Le tableau ci-dessous indique le nombre $n$ estimé de personnes nouvellement contaminées par semaine entre le 13 février et le 2 avril 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Numéro de la semaine $x_{i}$ &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13\\ \hline 
%Nombre de personnes $n_{i}$ nouvellement contaminées&\np{23850} &\np{16650} &\np{11620} &\np{8100} &\np{5660} &\np{3950} &\np{2750}\\ \hline
%\end{tabularx} 
% 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le tracé du nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~n_{i}\right)$ montre %qu'un ajustement affine n'est pas judicieux. On choisit un changement de variable $y_{i} = \ln%\left(n_{i}\right)$ pour obtenir un ajustement affine convenable.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
%Numéro de la semaine $x_{i}$& 7 &8 	&9 	&10 &11 &12 	&13\\ \hline  
%$y_{i}$						&	&	&	&	&	&8,28	&\\ \hline 
%\end{tabularx} 
 
\medskip 
 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier en le complétant le tableau ci-dessus en donnant les résultats arrondis à $0,01$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Numéro de la semaine $x_{i}$& 7 &8 	&9 	&10 &11 &12 	&13\\ \hline  
$y_{i}$						&10,08	&9,72	&9,36	&9,00	&8,64	&8,28	&7,92\\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip
		 
		\item %Représenter le nuage de points $N_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. On prendra comme unités : 1~cm pour 1~semaine en abscisse et 4~cm pour 1 en ordonnée. L'origine du repère aura pour coordonnées $(0~;~6)$.
Voir à la fin de l'exercice.
	\end{enumerate} 
\item  %On appelle $G$ le point moyen du nuage obtenu. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées de $G$. Placer ce point sur le graphique.
On a G(10~;~9). 
		\item %On choisit de prendre comme ajustement affine la droite passant par $G$ et le point $N_{6}(12~;~8,28)$.
%Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y = m x + p$.
On a $m = \dfrac{y_{N} - y_{G}}{x_{N} - x_{G}} = \dfrac{8,28 - 9}{12 - 10} = \dfrac{-0,72}{2} = - 0,36$.

Puis $b = y_{G} - x_{G}\times m = 9 - 10 \times (- 0,36) = 9 + 3,6 = 12,6$.

Une équation de la droite d'ajustement est donc $y = - 0,36x + 12,6$.
	\end{enumerate} 
\item  %En utilisant l'équation obtenue à la question 2. b. : 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre de personnes nouvellement contaminées la semaine numéro 15.
En utilisant l'équation précédente avec $x = 15$, on obtient $y = - 0,36 \times 15 + 12,6 = 12,6 - 5,4 = 7,2$. (résultat visible graphiquement)		
%En réalité le nombre de personnes nouvellement contaminées s'élève à \np{1500} : que pensez vous de l'ajustement ? Quel est le pourcentage d'erreur ? 
On a $7,2 = \ln n$ soit $\text{e}^{7,2} = n$. Or $\text{e}^{7,2} \approx \np{1339}$. L'ajustement n'est plus valable la 15\up{e} semaine ; le pourcentage d'erreur est :

$\dfrac{\np{1500} - \np{1339}}{1500} = \dfrac{161}{1500}\approx 10,7\,\%$.
		\item Déterminer à partir de quelle semaine, le nombre $n$ de personnes nouvellement contaminées sera inférieur ou égal à \np{1000}.
On a $\ln \np{1000} \approx 6,908$.
		
Il faut donc en utilisant l'ajustement linéaire résoudre l'équation dans $\N$ :
		
$12,6 - 0,36x < 6,908$ soit $12,6 - 6,908 < 0,36x$ ou encore $5,692 < 0,36x$ et enfin $x > \dfrac{5,692}{0,36} \approx 15,8$.

Il faudra donc attendre la semaine 16.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\psset{xunit=1cm,yunit=4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-0.2)(9.15,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=6,Oy=6]{->}(0,0)(-1,-0.2)(9.1,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=6,Oy=6](0,0)(-1,-0.2)(9.1,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt](9,4.5)
\psdots(1,4.08)(2,3.72)(3,3.36)(4,3)(5,2.64)(6,2.28)(7,1.92)(4,3)(6,2.28)
\uput[ur](4,3){G}\uput[ur](6,2.28){N}
\psplot{0}{9}{4.44 0.36 x mul sub}
\uput[dl](0,0){6}
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Au mois de mars 2006, l'île de la Réunion compte \np{780000}~habitants dont 30\,\% sont contaminés par le chikungunya. Dans cette population les personnes de moins de 25 ans représentent 40\,\% et parmi elles 12,5\,\% sont contaminés. Les personnes âgées de 25 à 55 ans représentent également 40\,\% mais elles sont trois fois plus contaminées. 

\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau ci-dessous sans justifier les réponses :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline   
Âge							& moins de 25 ans& de 25 à 55 ans& plus de 55 ans &Total\\ \hline 
Nombre de personnes 
non contaminées				&\np{273000}	&\np{195000}	&\np{78000}			&\np{546000}\\ \hline 
Nombre de personnes 
contaminées					&\np{39000}		&\np{117000}	&\np{78000}			&\np{234000}\\ \hline 
Total						&\np{312000}	&\np{312000}	&\np{156000}		&\np{780000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item %On choisit au hasard un habitant. On considère les évènements suivants : 

%A : \og La personne est contaminée \fg. 

%B : \og La personne a plus de 55 ans \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
		On a $p(\text{A}) = \dfrac{\np{234000}}{\np{780000}} = \dfrac{3}{10} = 0,3$.
		
$p(\text{B}) =  \dfrac{\np{156000}}{\np{780000}} = \dfrac{2}{10} = 0,2$. 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement A$~\cup~$B.
n a $p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B})$

Or $p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{\np{78000}}{\np{780000}} = 0,1$, donc 

$p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,3 + 0,2 - 0,1 = 0,4$.
	\end{enumerate} 
\item  %On choisit au hasard une personne de plus de 55 ans. Quelle est la probabilité qu'elle soit contaminée ?
Sur les $\np{156000}$ personnes de plus de 55 ans, \np{78000} sont contaminées soit 50\,\%. La probabilité qu'elle soit contaminée sachant qu'elle a plus de 55 ans est égale à 0,5.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[y' = \left(-\dfrac{1}{3} \ln 2\right)y \quad (1)\]
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\R$ cette équation.
Avec $a \in \R$, on sait que les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions définies par $y = C\text{e}^{ax}$, avec $C$ réel quelconque.

Donc ici les fonctions solutions sont définies par : $y =  C\text{e}^{-\frac{1}{3} \ln 2x}$, avec $C$ réel quelconque.

\item %Déterminer la fonction $f$ solution de (1) qui vérifie la condition initiale 

%$f(0) = 5$.
Si $f(0) = 5$ alors $C\text{e}^{-\frac{1}{3} \ln 2 \times 0} = 5$, soit $C = 5$.

On a donc $f(x) = 5\text{e}^{-\frac{1}{3} \ln 2x}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

%\[F(t) = 5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t}.\]
 
%Sa courbe représentative $\mathcal{C}$	est tracée sur le document en annexe \textbf{que vous devrez rendre avec votre copie}. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $F(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ? En donner une interprétation graphique.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to - \infty} \text{e}^t = 0$ et comme  $\displaystyle\lim_{t \to - \infty} \left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t = - \infty$, on conclut que $\displaystyle\lim_{t \to - \infty} f(t) = 0$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item %Soit $F'$ la fonction dérivée de $F$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $F'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
On a $F'(x) = - \frac{1}{3} \ln 2 \times 5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t} = - \frac{5}{3}\ln 2 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t}$. 
		\item %Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$	au point d'abscisse $0$. La tracer dans le repère en annexe.
La tangente à $\mathcal{C}$	au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $f'(0) =  - \frac{5}{3}\ln 2$. Elle a donc pour équation $y = - \frac{5}{3}\ln 2x + b$.

Comme le point de coordonnées (0~;~5) appartient à cette tangente on a :

$5 = - \frac{5}{3}\ln 2 \times 0 + b$ soit $b = 5 + \frac{5}{3}\ln 2$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est donc 

$y = - \frac{5\ln 2}{3}x + 5 + \frac{5}{3}\ln 2$.
	\end{enumerate}
\item %Vérifier que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[,\, F(t + 3) = \dfrac{1}{2}F(t) \quad (2)$.
$F(t + 3) =  5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)(t + 3)} = 5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t}\times \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2 \times 3\right)} = 5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t} \times \text{e}^{- \ln 2} =$

$ 5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t} \times \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} = 
5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}F(t)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Le nombre de cellules, exprimé en millions, d'une culture cellulaire soumise à une expérimentation est modélisé, en fonction du temps, par la fonction $F$. 
\begin{enumerate}
\item %Comment interpréter l'égalité (2) de la question B. 3. ? 
L'égalité (2) signifie que toutes les trois heures (si $t$ est exprimée en heure) le nombre de cellules est divisé par 2.
\item %Déterminer l'instant $t$ (en heures et minutes) où le nombre de cellules n'est plus que de \np{750000}.
Il faut résoudre l'équation :

$5 \text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t} = 0,75$ ou  $\text{e}^{\left(-\frac{1}{3} \ln 2\right)t} = \np{0,15}$ soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

$-\frac{1}{3} \ln 2 \times t = \ln \np{0,15}$ ou encore $t = - \dfrac{3}{\ln 2} \ln \np{0,15}$.

Or $- \dfrac{3}{\ln 2} \ln \np{0,15} \approx 8,2109$ soit environ 8~heures 13~minutes. 
\item %Retrouver graphiquement le résultat en faisant apparaître les tracés utiles.
On trace la droite d'équation $y = 0,75$ qui coupe la courbe en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit environ 8,2~h.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
\textbf{Annexe}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.6667cm,yunit=1.333cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(16.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(16.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(16.5,5.5)
\multido{\n=0.25+0.50}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(16.5,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](15.5,-0.25){$t$ en heures}\uput[r](0,5.25){$y = F(t)$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{5 2.71828 2 ln 3 div x mul exp div}
\psline[linestyle=dashed]{->}(0,0.75)(8.21,0.75)
\psline[linestyle=dashed]{->}(8.21,0.75)(8.21,0)
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=3cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=7]{->}(0,0)(0,0)(2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=7](0,0)(0,0)(2,1.1)
%\multido{\n=0.25+0.50}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(16.5,\n)}
%\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](2.5,0){$t$ en heures}
\uput[r](0,1.1){$y = F(t)$}\uput[d](1.21,-0.025){$\approx 8,2$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{5 2.71828 2 ln 3 div x 7 add mul exp div}
\psline[linestyle=dashed]{->}(0,0.75)(1.21,0.75)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.21,0.75)(1.21,0)
\rput(1.25,1.1){Agrandissement $ \times 5$}
\end{pspicture}


\end{center}
\end{document}
