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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biochimie La Réunion~\decofourright\\[4pt] juin 2011}}\\

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

%\textbf{Questionnaire à choix multiples :} \emph{pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}
%
%\bigskip
% 
%On inscrira sur la copie la référence de la question (exemple : A 1.) et la lettre de la réponse choisie.
%
%\bigskip
 
\textbf{A.} %Sur les 800 élèves d'un lycée, 450 pratiquent un sport et parmi ceux-ci $\dfrac{1}{3}$ sont des externes.

%De plus 21,25\,\% des élèves du lycée sont des externes ne pratiquant aucun sport.
 
%On interroge un élève au hasard parmi les 800 ; chaque élève a la même probabilité d'être interrogé.

On peut résumer l'énoncé dans un tableau : (externes ne pratiquant aucun sport : $\dfrac{21,25}{100} \times 800 = 8 \times 21,25 = 170$)

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&Pratiquent un sport&Ne pratiquent pas un sport	&Total\\ \hline
Externes	&150				&170						&320\\ \hline
Non-externes&300				&180						&480\\ \hline
Total		&450				&350						&800\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %La probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{450}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{9}{16}$&\textbf{c.~~} $0,45$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
La probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est : $\dfrac{450}{800} = \dfrac{9}{20} = 0,45$ Réponse \textbf{c.} 
\item  %La probabilité d'interroger un élève externe est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $0,32$&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~} $0,4$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
La probabilité d'interroger un élève externe est : $\dfrac{320}{800} = \dfrac{40}{100} = 0,4$. Réponse \textbf{c.~~}

\item  %La probabilité d'interroger un élève qui est externe ou qui pratique un sport est : 
La probabilité d'interroger un élève qui est externe ou qui pratique un sport est :

$\dfrac{150 + 170 + 300}{800} = \dfrac{620}{800} = \dfrac{155}{200} = \dfrac{31}{40}$. Réponse \textbf{b.~~}
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $\dfrac{77}{80}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{31}{40}$&\textbf{c.~~} $0,75$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item %On interroge au hasard un élève parmi les externes, la probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $\np{0,46875}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{16}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{3}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
Il y a parmi les 320 externes 150 sportifs. La probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est : $\dfrac{150}{320} = \dfrac{15}{32} = \np{0,46875}$. Réponse  \textbf{a.~~}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.} %On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln x - x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$&\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$&\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
On a $f(x) = x (\ln x - 1)$ . Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  x = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \ln x = + \infty$, on par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = + \infty$. Réponse \textbf{c.~~}
\item  %L'équation $f(x) = 0$ admet pour solution :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $0$&\textbf{b.~~} $1$&\textbf{c.~~} $\text{e}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
D'après l'écriture précédente $f(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$ ou $\ln x - 1 = 0$.

La première solution n'est pas valable puisque $x > 0$ ; reste  $\ln x - 1 = 0$ soit $\ln x = 1$ ou encore $x = \text{e}$. Donc réponse \textbf{c.~~}
\item  %La fonction dérivée de $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
On a $(x \ln x)' = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$. D'o\`u $f'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$. Réponse \textbf{a.~~}

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $f'(x) = \ln x$&\textbf{b.~~} $f'(x)= \dfrac{1}{x} - 1$&\textbf{c.~~} $f'(x) = \ln x + x - 1$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip   
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{C.} %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = 1 + \text{e}^{- x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %En $+ \infty$ la courbe représentative de $f$ admet une asymptote d'équation : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $y = 0$&\textbf{b.~~} $y = 1$&\textbf{c.~~} $x = 0$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$, ce qui signifie que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote (horizontale à la courbe représentative de $f$ au voisinage de plus l'infini.
\item  Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par : 

$F(x) = x -  \text{e}^{- x}$. Réponse \textbf{c.~~}

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $F(x) = -  \text{e}^{- x}$&\textbf{b.~~} $F(x) = x +  \text{e}^{- x}$&\textbf{c.~~} $F(x) = x -  \text{e}^{- x}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{D.} %Soit l'équation différentielle $y' + 2 y = 0$ ; parmi les solutions de cette équation, on considère la solution particulière $f$ telle que $f(0) = 3$. L'expression de $f(x)$ sur $\R$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} 
%\textbf{a.~~} $f(x) = 3\text{e}^{- 2x}$&\textbf{b.~~} $f(x) = 3\text{e}^{2x}$&\textbf{c.~~} $f(x) = -3\text{e}^{- 2x}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip   
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies sur $\R$ par 

$f(x) = C\text{e}^{-2x}$. La solution vérifiant $f(0) = 3$ est telle que $C\text{e}^{-2 \times 0} = 3$ soit $C = 3$.

Ob a donc $f(x) = 3\text{e}^{-2x}$. Réponse \textbf{a.~~}
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude graphique d'une courbe de titrage}

\medskip
 
%Dans une solution d'acide chlorhydrique, on verse un volume $v$ (en mL) d'une solution d'hydroxyde de sodium et on mesure à chaque étape de l'expérience le pH de la solution obtenue.
% 
%Un élève a fait les mesures suivantes (pH arrondi à $0,1$ près) :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline 
%Volume $v$ (ml) de NaOH versé &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12 &14\\ \hline
%pH &2,2 &2,3 &2,4 & 2,5 &2,6 &2,7&2,9&3,8\\ \hline\hline
%Volume $v$ (ml) de NaOH versé &16 &18 &20 &22 &24 &26 &28 &30\\ \hline 
%pH & 7 &10,1 &11 &11,3 &11,4 &11,5 &11,6 &11,7\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Tracer la courbe $(C)$ de titrage obtenue à partir du tableau ci-dessus.
Voir la courbe à la fin. 
%Unités : en abscisses 1 cm pour 2~mL ; en ordonnées 1~cm pour unité de pH. 
\item  %À l'équivalence le pH de la solution est $7$. Quel volume de solution d'hydroxyde de sodium a été versé à l'équivalence ? 
Le pH vaut 7 quand on a versé 16~m de NaOH.
\item  %Quel est le pH initial de la solution d'acide chlorhydrique ?
Le pH initial était égal à 2,2. 
\item  %Au point E(16~;~7), la courbe $(C)$ admet une tangente (T) de coefficient directeur égal à 2. Déterminer l'équation de la tangente (T) et tracer cette tangente sur la courbe du 1.
L'équation réduite est donc $y = 2x + b$. Les coordonnées de E vérifient cette équation c'est-à-dire que $7 = 2 \times 16 + b$ soit $b = 7 - 32 = - 25$.

La tangente (T) a donc pour équation $y = 2x - 25$. 
\item  %Pour un volume $v$ de solution d'hydroxyde de sodium versé inférieur strictement à 12~ml, on cherche à décrire à l'aide d'une fonction l'évolution du pH en fonction du volume $v$. Quel type de fonction pourrait-on proposer ? Déterminer cette fonction.
Les points de cordonnées inférieures à 12 semblent être alignés. Une fonction linéaire semble adaptée pour représenter les variations du pH en fonction du volume. On constate que la valeur initiale est égale à 2,2 et que pour un ajout de 2~mL le pH augmente de 0,1, donc de 0,05 pour un ajout de 1~mL.

La fonction est donc définie par : $y = 0,05x + 2,2$. (équation de droite) 
\end{enumerate}

\medskip
\psset{xunit=0.375cm,yunit=0.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(30,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(30,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(30,12)
\psdots(0,2.2)(2,2.3)(4,2.4)(6,2.5)(8,2.6)(10,2.7)(12,2.9)(14,3.8)(16,7)(18,10.1)(20,11)(22,11.3)(24,11.4)(26,11.5)(28,11.6)(30,11.7)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,2.2)(2,2.3)(4,2.4)(6,2.5)(8,2.6)(10,2.7)(12,2.9)(14,3.8)(16,7)(18,10.1)(20,11)(22,11.3)(24,11.4)(26,11.5)(28,11.6)(30,11.7)
\psplot{14}{18}{2 x mul 25 sub}
\psline[linestyle=dashed](16,0)(16,7)(0,7)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'un modèle mathématique}

\medskip
 
%On considère que la courbe $(C)$, obtenue en partie A, est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur [0~;~30] par 
%
%\[f(x) = 0,05 x + 10,2 - \dfrac{8}{1 + \text{e}^{x - 16}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la valeur exacte de $f(16)$ est $7$.
Avec $x = 16$, on a  $f(16) = 0,05 \times 16 + 10,2 - \dfrac{8}{1 + \text{e}^{16 - 16}} = 0,8 + 10,2 - \dfrac{8}{2} = 11 - 4 = 7.$
\item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer qu'on peut écrire : 
 
%\[f'(x) = 0,05 + \dfrac{8\text{e}^{x - 16}}{\left(1 + \text{e}^{x - 16}\right)^2}\]
On a $f'(x) = 0,05 - \left(- \text{e}^{x - 16}\times \dfrac{8}{\left(1 + \text{e}^{(x - 16)}\right)^2}}\right) =   0,05 + \dfrac{8\text{e}^{(x - 16)}}{\left(1 + \text{e}^{(x - 16)}\right)^2}$.
\item  %Justifier que, pour tout $x$ réel de [0~;~30], $f'(x) > 0$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur cet intervalle.
Tous les termes du quotient $\dfrac{8\text{e}^{x - 16}}{\left(1 + \text{e}^{x - 16}\right)^2}$ sont positifs, donc ce quotient est positif. On en déduit que $f'(x) \geqslant 0,5 > 0$ et ce quel que soit le réel $x$.

On en déduit que la fonction $f$ est croissante en particulier sur l'intervalle [0~;~30].
\item  %Soit $\left(T_{\text{A}}\right)$ la tangente à $(C)$ au point A$(14~;~f(14))$ et soit $\left(T_{\text{B}}\right)$ la tangente à $(C)$ en B$(18~;~f(18))$.
 
%Montrer que $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{B}}\right)$ sont deux droites parallèles.
Les coefficients directeurs respectifs des deux tangentes sont égaux aux nombres dérivés $f'(14)$ et $f'(18)$.

Or $f'(14) = 0,05 + \dfrac{8\text{e}^{14 - 16}}{\left(1 + \text{e}^{14 - 16}\right)^2} = 0,05 +  \dfrac{8\text{e}^{- 2}}{\left(1 + \text{e}^{- 2}\right)^2}$ soit en multipliant chaque terme du quotient par $\text{e}^{4}$,

$f'(x) = 0,05 + \dfrac{8\text{e}^{2}}{\left(\text{e}^{2} + 1\right)^2}$.

Comme $f'(18) = 0,05 + \dfrac{8\text{e}^{18 - 16}}{\left(1 + \text{e}^{18 - 16}\right)^2} = 0,05 +  \dfrac{8\text{e}^{2}}{\left(1 + \text{e}^{2}\right)^2}$.

Les deux tangentes ont donc le même coefficient directeur : elles sont parallèles.
\item  %On donne $f(14) = 3,85$ et $f(18) = 10,15$ à $10^{-2}$ près. À quel point du graphique de la première partie de l'exercice correspond le milieu de [AB] ? (Justifier).
Le milieu de [AB] a pour abscisse  $\dfrac{14 + 18}{2} = 16$ ce qui correspond au point d'équivalence de la partie 1. Il correspond effectivement à un pH de $\dfrac{3,85 + 10,15}{2} = 7.$
\end{enumerate}
\end{document}

