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%tapuscrit : Denis Vergès Merci à Roger Queille pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Antilles juin 2011~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.\\ 
%Le candidat doit recopier sur sa copie la réponse qu'il estime correcte. Aucune justification n'est demandée.\\
%Chaque bonne réponse rapporte un point.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On donne l'équation d'inconnue $z$ dans $\C :\quad z^2 - z + 1 = 0$.

%Les solutions de cette équation sont :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$z = \cos \dfrac{5\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{3}$&$z = \cos \dfrac{\pi}{6} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z = \cos \dfrac{2\pi}{3} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$\\ 
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$z' = \cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z' = \cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$&$z' = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
On a $\Delta = 1 - 4 \times 1 = - 3 = \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2 < 0$, donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées :

$\dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3} }{2} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3} }{2} = \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{- \sqrt{3}}{2} = \cos \dfrac{5\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{3}$.
\item %Une primitive $F$ de $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{1}{2}\ln \left(\text{e}^x + 1 \right)$&$\ln \left(\text{e}^x + 1 \right)$&$\dfrac{1}{\text{e}^x + 1}$\\ \hline
%\end{tabularx}
Posons $u(x) = \text{e}^x + 1$, alors $u'(x) = \text{e}^x$ et $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$. On reconnaît la dérivée de la fonction $\ln u(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1  \right)$ car comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, on a $\text{e}^x + 1 > 1 > 0$, donc la fonction $\ln \left(\text{e}^x + 1  \right)$ est bien définie sur $\R$.

\medskip

\item %Dans une entreprise, une machine fabrique des flacons en verre, de 500~mL. Un flacon peut présenter l'un des deux défauts suivants :

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item défaut A : le volume n'est pas conforme 
%\item défaut B : le verre est de mauvaise qualité
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Sur un lot de 100 flacons, les informations suivantes sont données :
%
%\begin{description}
%\item[ ] 10 présentent au moins le défaut A 
%\item[ ] 6 présentent au moins le défaut B 
%\item[ ] 2 présentent les deux défauts simultanément.
%\end{description}
 
	\begin{enumerate}
		\item %On tire au hasard un flacon dans le lot. Chacun des flacons ayant la même probabilité d'être tiré. La probabilité qu'un flacon ne présente aucun défaut est :
		
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 		 
%0,86 &0,84 &0,18\\ \hline
%\end{tabularx}
Il y a $10 - 2 = 8$ flacons ne présentant que le défaut A,

$6 - 2 = 4$ ne présentant que le défaut B, 
et 2 qui présentent les deux défauts, soit en tout $8 + 4 + 2 = 14$ flacons avec défaut(s) soit finalement 86 flacons sans défaut.

La probabilité cherchée est donc égale à $\dfrac{86}{10} = 0,86$.
\medskip 
		\item  %Un flacon sans défaut rapporte 3~\euro{} à l'entreprise, un flacon avec un seul défaut coûte 1~\euro{} à l'entreprise et un flacon avec les deux défauts coûte 4~\euro{} à l'entreprise.
		 
%Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque flacon choisi au hasard dans le lot de 100, associe le gain (positif ou négatif) correspondant.
 
%L'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$ est : 
On a le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de défauts&0&1&2\\ \hline
Valeurs de $X$&3&$- 1$&$- 4$\\ \hline
probabilité&0,86&12&2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%0	&2,38	&$-2$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
D'o\`u E$(X) = 3  \times 0,86 + ( - 1) \times 0,12 + (- 4) \times 0,02 = 2,58 - 0,12 - 0,08 = 2,38$~\euro.
	\end{enumerate}
\item %On donne l'équation différentielle (E) : $3 y' = 2 y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur $\R$ et $y'$ sa dérivée.
 
%La solution $f$ de (E) qui vérifie $f(0) = 3$ est définie par :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$f(x) = - 3\text{e}^{\frac{2}{3}x}$&$f(x) = 3\text{e}^{-\frac{2}{3}x}$&$f(x) = 3\text{e}^{\frac{2}{3}x}$ \\ \hline
%\end{tabularx}
L'équation s'écrit $y' = \frac{2}{3}y$.

Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme $f(x) = C \text{e}^{\frac{2}{3}x}$, avec $C \in \R$.

Si $f(0) = 3$, alors $C \text{e}^{\frac{2}{3} \times 0} = 3 \iff C = 3$.

La solution est donc définie par $f(x) = 3\text{e}^{\frac{2}{3}x}$.
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip
 
%La désintégration du Thorium, corps radioactif, donne du Radium.
% 
%On désigne par N$_{0}$ le nombre d'atomes dans un échantillon de Thorium à l'instant $t = 0$, par N$_{1}$ le nombre d'atomes de Thorium un jour après, et, pour tout entier naturel $k$, par N$_{k}$ le nombre d' atomes de Thorium $k$ jours après.
% 
%On sait que le nombre d'atomes de Thorium diminue de 3,7\,\% par jour.
%
%\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item %Exprimer N$_{1}$ en fonction de N$_{0}$ puis N_{k+1}$ en fonction de N$_{k}$.
Retrancher  3,7\,\% revient à multiplier par $1 - \dfrac{3,7}{100} = \dfrac{100 - 3,7}{100} = \dfrac{96,3}{100} = 0,963$.

On a donc $N_{1} = 0,963N_{0}$ et en général $N_{k + 1} = 0,963 N_{k}$.
\item %En déduire la nature de la suite $\left(\text{N}_{k}\right)$ en précisant sa raison et son premier terme. 
La dernière égalité montre que la suite $\left(N_{k}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $N_{0}$ et de raison 0,963.
\item %Un échantillon contient $10^{20}$~atomes à l'instant $t = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %En déduire que N$_{k} = 10^{20}\times  0,963^k$.
On sait que $N_{k} = N_{0}\times  0,963^k = 10^{20}\times  0,963^k$. 
		\item %Déterminer le nombre d'atomes de Thorium dans cet échantillon au bout de 2~ans (on admettra qu'il y a 365~jours par an).
2 ans correspondent à $2 \times 365 = 730$~jours.

Donc  $N_{730} = 10^{20}\times  0,963^{730} \approx \np{111478111}$~atomes.
		\item %Au bout de combien de jours le nombre d'atomes sera-t-il égal à la moitié de sa valeur initiale ? (Cette durée  s'appelle période ou demi-vie d'un corps radioactif).
Il faut résoudre l'équation dans $\N$, {} $\dfrac{10^{20}}{2} = 10^{20}\times  0,963^{x} \iff \dfrac{1}{2} = 0,963^{x} \iff \ln \frac{1}{2} = x \ln 0,963 \iff - \ln 2  = x \ln 0,963 \iff x = \dfrac{- \ln 2}{\ln 0,963} \approx 18,3$.

La période est donc égal à 19 jours.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip 
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-\infty~;~1]$ par 
%
%\[f(x) = 2\text{e}^x - \text{e}^{2x}\]
%
%et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 5~cm.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ ; interpréter géométriquement le résultat obtenu.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$. Or $\text{e}^{2x} = \left(\text{e}^x \right)^2$ donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$ et finalement par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses est asymptote  à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
\item  On admet que $f$ est dérivable sur $]-\infty~;~1]$ , on note $f'$ sa dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de $]-\infty~;~1],\, f'(x) = 2\text{e}^x\left(1 -  \text{e}^x\right)$.
On a $f'(x) =  2\text{e}^x - 2\text{e}^{2x} = 2\text{e}^x - 2\left(\text{e}^x \right)^2 = 2\text{e}^x\left(1 -  \text{e}^x\right)$.
		\item %Résoudre sur $]-\infty~;~1]$ l'équation $f'(x) \geqslant 0$.
On sait que pour tout réel $x,~\text{e}^x > 0$ ; le signe de $f'(x)$  est donc celui de  $1 -  \text{e}^x$.

Or $1 -  \text{e}^x \geqslant 0 \iff 1 \geqslant \text{e}^x \iff 0 \geqslant x$, {} par croissance de la fonction logarithme népérien.

La dérivée est donc positive sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$ et de la même fa\c{c}on $f'(x) \leqslant 0$ sur [0~;~1].
		\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]-\infty~;~1]$.
La fonction est donc croissante sur $]- \infty~;~0]$ et décroissante sur [0~;~1]. 
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]-\infty~;~1]$. Indiquer la limite en $- \infty$ ainsi que les valeurs exactes de $f(0)$ et  $f(1)$.
On a $f(0) = 2 - 1 = 1$ et $f(1) = 2\text{e} - \text{e}^2$.
		
D'o\`u le tableau de variations de $f$ :
		
\medskip
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](4,2.5){$0$} \uput[u](6.5,2.5){$1$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(2,2.25){+}\rput(5.5,2.25){$-$}\rput(4,2.25){$0$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5) \psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) 
\uput[u](1.5,0){$0$}\uput[d](4,2){$1$}\uput[u](6.5,0){$2\text{e} - \text{e}^2$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item  %Soit $M$ le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la valeur exacte de l'abscisse de $M$.
		Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0 \iff  \text{e}^x\left(2 - \text{e}^x\right) = 0 \iff 2 - \text{e}^x = 0${} car $\text{e}^x > 0$ et $2 = \text{e}^x \iff x = \ln 2 \approx 0,69 < 1$.
		
On a donc une seule solution $f(\ln 2) = 0$.
		\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ en $M$.
On a $M(\ln 2~;~0)$ et le nombre dérivé en $\ln 2$ est égal à $f'(\ln 2) =  2\text{e}^{\ln 2} - 2\text{e}^{2\ln 2} = 2\text{e}^{\ln 2} - 2\left( \text{e}^{\ln 2}\right)^2 = 2 \times 2 - 2 \times 2^2 = 4 - 8 = - 4$.

Une équation de la tangente en $M$ est donc :

$y = - 4x + b$. $M(\ln 2~;~0) \in T \iff 0 = - 4 \times \ln 2 + b \iff b = 4\ln 2$.

L'équation réduite de $T$ est donc $y = - 4x + 4\ln 2$
	\end{enumerate}
\item  %Construire $T$ et $\mathcal{C}$.
Voir à la fin. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-\infty~;~1]$.
Une primitive de la fonction $\text{e}^x$ est  $\text{e}^x$, une primitive de la fonction $\text{e}^{2x}$ est la fonction $\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$.

Donc une primitive $F$ de $f$ sur $]-\infty~;~1]$ est la fonction $F(x) = 2\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$.
		\item %Justifier graphiquement le signe de $f(x)$ sur $[0~;~\ln 2]$. 
La fonction $f$ est décroissante de $f(0) = 1$ à $f(\ln 2) = 0$ : elle est donc positive sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$ ;

La fonction $f$ est décroissante de $f(\ln 2) = 0$ à $f(1) \approx - 1,95$ : elle est donc négative sur l'intervalle $[\ln 2~;~1]$.
		\item %On considère le domaine $D$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$.
		 
%Montrer que l'aire du domaine $D$ est égale à 12,5 cm$^2$.
On vient de voir que sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$ la fonction $f$ est positive. L'aire de la surface $D$ est donc en unité d'aire égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{0}^{\ln 2} = F(\ln 2) - F(0) = 2\text{e}^{\ln 2} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\ln 2} - \left(2\text{e}^0 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2 \times 0} \right) = 2 \times 2 - \dfrac{1}{2} \times 4 - 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$~unité d'aire.

Or une unité d'aire vaut $5 \times 5 = 25$~cm$^2$. Donc l'aire du domaine $D$ est égale à  $25 \times \dfrac{1}{2} = 12,5~$cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
\psset{unit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-2)(1.,1.)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}