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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2016}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Nouvelle Calédonie ~\decofourright\\[5pt]16 novembre 2016}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}   

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Indiquer sur
la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est
demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une
question sans réponse n'enlève pas de point.}

\medskip

La feuille de calcul ci-dessous, obtenue à l'aide d'un tableur, donne d'évolution du prix du
timbre d'une lettre prioritaire en France métropolitaine entre 2005 et 2015.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|m{2.02cm}|*{11}{c|}}\hline
&\centering{A}&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\\hline
1&\centering {Année}&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015\\\hline
2&Prix du timbre en euro&\np{0.53}&\np{0.54}&\np{0.54}&\np{0.55}&\np{0.56}&\np{0.58}&\np{0.6}&\np{0.61}&\np{0.63}&\np{0.66}&\np{0.76}\\
\hline
3&Taux d'évolution du prix &\cellcolor{gray}&&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
}

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution global du prix du timbre entre 2005 et 2015, arrondi à 0,1 % près,
est de:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ $\np{30.3}\,\%$}&\textbf{b.~~}\psframebox[linewidth=0.1pt]{ $43,4\,\%$}&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ $3,0\,\%$}&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{  $4,3\,\%$}
 \end{tabularx}

\item Le taux d'évolution annuel moyen du prix du timbre entre 2005 et 2015, arrondi à
0,01\,\% près, est de:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ $0,37\,\%$}&\textbf{b.~~}\psframebox[linewidth=0.1pt]{ $3,67\,\%$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$2,75\,\%$}&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$0,43\,\%$}
 \end{tabularx}

\item La formule qui, entrée dans la cellule C3 et recopiée vers la droite, permet de
compléter le tableau est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{=C2$-$B2/C2} &\textbf{b.~~}\psframebox[linewidth=0.1pt]{=(C2$-$\$B\$2)/\$B\$2 }&\textbf{c.~~}\psframebox[linewidth=0.1pt]{=(C2$-$B2)/B2} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{=(C2$-$B2)/C2}
 \end{tabularx}
réponse \textbf{b} si nous considérons l'évolution du prix par rapport à l'année 2005

réponse \textbf{c} si nous considérons l'évolution du prix par rapport à l'année précédente  


\item En supposant que le prix du timbre va augmenter chaque année de 4\,\% à partir de
2015, le prix du timbre en 2020, arrondi au centime d'euro près, sera de:


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$0,79$~\euro }&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ $1,06$~\euro}&\textbf{c.~~} \psframebox[linewidth=0.1pt]{$0,92$~\euro}&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{  $0,96$~\euro}
 \end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Une association spécialisée dans la vente de produits biologiques propose à ses clients
deux types de paniers: petit modèle et grand modèle. Ils sont composés de légumes et,
suivant la demande des clients, de produits laitiers. 

Il apparaît que:

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 60\,\% des clients choisissent un petit modèle. Les autres achètent un grand modèle.
\item [$\bullet$] parmi ceux qui choisissent un petit modèle, 50\,\% y ajoutent des produits laitiers.
\item [$\bullet$] parmi ceux qui choisissent un grand modèle, 80\,\% y ajoutent des produits laitiers.
\end{itemize}

On interroge au hasard un des clients.

On note $T$ l'événement, \og le client a choisi un petit modèle\fg{} et $L$ l'événement, \og le client
y a fait ajouter des produits laitiers\fg.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
\begin{enumerate}
\item   $P(T)=\np{0.6}$ car 60\,\% des clients choisissent un petit modèle et $P_{T}(L)=\np{0.5}$ puisque parmi ceux qui choisissent un petit modèle, 50\,\% y ajoutent des produits laitiers.
\item  Complétons  l'arbre de probabilités suivant:

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~}\taput{0,6}}
	{
	\TR{$L$}\taput{$\np{0.5}$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\np{0.5}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{$\np{0.4}$}}
	{\TR{$L$}\taput{$\np{0.8}$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\np{0.2}$}
	}
}
\end{center} 

\item  La probabilité que le client interrogé ait choisi un petit modèle et des produits
laitiers est notée $P(T\cap L)$.

$P(T\cap L) = P(T)\times P_{T}(L)=\np{0.6}\times \np{0.5}=\np{0.3}$.
\item Peut-on affirmer que moins des deux tiers des clients achètent des produits laitiers ?

Pour ce faire, calculons $P(L)$.

$P(L) = P(T\cap L)+P\left(\overline{T}\cap L\right) = P(T)\times P_{T}(L)+ P\left(\overline{T}\right)\times P_{\overline{T}}(L) = \np{0.3}+\np{0.4}\times \np{0.8}=\np{0.62}$.

Par conséquent, l'affirmation est justifiée.
\item Calculons $P_{L}(T)$.

$P_{L}(T)=\dfrac{P(T\cap L)}{P(L)}=\dfrac{\np{0.3}}{\np{0.62}}\approx \np{0.484}$.

 Cette probabilité est celle que le client interrogé ait choisi le petit modèle sachant qu'il a acheté des produits laitiers.
\end{enumerate}

\medskip

Partie B

\medskip

Le producteur qui fournit cette association vend aussi des yaourts chaque samedi sur un
marché. On note $X$ la variable aléatoire, qui, à chaque semaine, associe le nombre de
yaourts vendus au marché. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance \textmu\, =\, 180 et
d'écart type \textsigma\, = \,30.

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, la probabilité arrondie au millième que le nombre
de yaourts vendus soit inférieur ou égal à 150, notée $P(X\leqslant 150)$ est égale à $\np{0.159}$.

{\footnotesize Nous pouvions remarquer que $150=180-30$ c'est-à-dire \textmu $-$\textsigma{} or nous savons que $P(\mu-\sigma\leqslant X \leqslant \mu+\sigma)\approx \np{0.683}$ \\par conséquent $P(X\leqslant 150)=\np{0.5}-\dfrac{\np{0.683}}{2}\approx \np{0.159}$.}
\end{enumerate}
\medskip

On donne la courbe de densité de la loi normale d'espérance \textmu \, =\, 180 et d'écart type
\textsigma \,= \,30.


\medskip
\psset{xunit=0.035,yunit=500,comma=true}
\begin{pspicture}(-15,-0.001)(365,0.015)
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dx=50]{->}(0,0)(0,0)(360,0.015)
\pscustom[fillstyle=crosshatch,fillcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.1pt](135,0)(135,0.00431725)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{135}{180}{x 180 30 GAUSS}
\psline[linewidth=0.1pt](180,0.013298)(180,0)
}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{350}{x 180 30 GAUSS}
\uput[dl](0,0){$0$}\uput[d](60,0.015){$P(135 \leqslant X \leqslant 180) \approx \np{0.433}$}
\uput[ul](0,0.0145){$y$}\uput[ur](352,0){$x$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}[resume]
\item Sur ce graphique, on peut lire: $P(135 \leqslant X \leqslant 180) \approx 0,433$. 

%$\displaystyle P(a\leqslant X\leqslant b )=\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ où $f$ est la fonction de densité. 
Ceci signifie que la probabilité de vendre entre 135 et 180 yaourts est égale à \np{0.433}.

\item La courbe étant symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\textnormal{\textmu}$, il en résulte que 

 $P(180 \leqslant X \leqslant 225)=\np{0.433}$. 

 $P(X \geqslant 225)=\np{0.5}-P(180 \leqslant X \leqslant 225)=\np{0.5}-\np{0.433}=\np{0.067} $.
\item  Ce samedi, le producteur n'a apporté que 225 yaourts au marché.  la
probabilité qu'il ait besoin de compléter son stock  est d'environ \np{0.067}.
\end{enumerate}

%\newpage
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Une entreprise produit des tablettes tactiles avec un maximum de production de \np{30 000}
unités par mois.

Soit $x$ le nombre de milliers de tablettes produites.

Le coût de production en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$ définie sur
l'intervalle [0~;~30] par : $C(x) =-\dfrac{1}{3}x^3 + 22x^2 + 96x$.
Chaque tablette est vendue 480 euros et on suppose que l'entreprise écoule toute sa
production mensuelle. On souhaite étudier la rentabilité de cette entreprise.

La représentation graphique de la fonction $C$ est donnée dans \textbf{l'annexe à rendre avec la
copie}.
}
\medskip

\textbf{Partie A} Lecture graphique

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Avec la précision permise par le graphique,  le coût de production en milliers d'euros de
10 milliers de tablettes est d'environ \np{2800} milliers d'euros. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 10.

%\emph{\textbf{Laisser apparents les traits de construction sur l'annexe.}}

\item  Avec la précision permise par le graphique,  le coût sera supérieur à \np{8000} milliers d'euros pour un nombre de tablettes produites comprises entre 20 et 30. L'intervalle est déterminé à partir de l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=\np{8000}$. Nous avons lu  environ 20.

%\emph{\textbf{Laisser apparents les traits de construction sur l'annexe.}}

\item  La fonction $R$ définie par $R(x) = 480x$ représente la recette en milliers d'euros pour
$x$ milliers de tablettes produites.

Sa courbe représentative est tracée dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie} .
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B} Étude du bénéfice

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Calculons le bénéfice de l'entreprise. Le bénéfice étant la différence entre les recettes et les coûts, nous obtenons donc 

$B(x)=R(x)-C(x)=480x-\left(-\dfrac{1}{3}x^3+22x^2+96x \right)=\dfrac{1}{3}x^3-22x^2+(480-96)x=$

$\dfrac{1}{3}x^3-22x^2+384x$.

Le bénéfice de l'entreprise est bien  donné par la fonction $B$ définie sur
l'intervalle [0~;~ 30] par :
$B(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 22x^2 + 384x$.
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Déterminons $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~ 30].

$B'(x)=\dfrac{1}{3}(3 x^2)-22 (2x)+384=x^2-44x+384$.
\item  \begin{enumerate}
\item  Résolvons l'équation du second degré $x^2 - 44x + 384 = 0$.

Calculons le discriminant $\Delta$. $\Delta= (-44)^2-4\times 1\times 384=400=20^2$.

$\Delta$ étant positif, le trinôme admet deux racines

$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\ x_1=\dfrac{44-20}{2}=12$

$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\ x_2=\dfrac{44+20}{2}=32$

L'ensemble solution de l'équation est $\left\{12~;~32\right\}$.

Nous pouvons alors écrire  $x^2-44x+384=(x-12)(x-32)$.

\item Déterminons le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~30].

\begin{center}
\begin{tabular}{c|*{5}{c}}
$x$&0&&12&&30\\\hline
$x-12$&&$-$&0&+\\\hline
$x-32$&&$-$&&$-$&\\\hline
$B'(x)$&&+&0&$-$&\\
\end{tabular}

\end{center}

Étudions le sens de variation  de $B$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~12[,\:B'(x)>0$ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.


Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]12~;~30],\:B'(x)<0$ par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Dressons maintenant  le tableau de variation de $B$ sur [0 ; 30].
 
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$12$}    \uput[u](7.73,2.45){$30$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $B$}
 \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[d](7.32,0.45){$720$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\np{2016}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item La production à réaliser pour obtenir le bénéfice maximal  est de \np{12000} tablettes par mois. La valeur de ce bénéfice s'élèverait alors à \np{2016} milliers d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
En janvier 2015, une entreprise renouvelle son parc de tablettes tactiles.

La tablette choisie affiche une autonomie de 8 heures. Une étude montre que l'autonomie
de la batterie baisse de 15\,\% chaque année d'utilisation.


Soit $n$ un entier naturel. On modélise le nombre d'heures d'autonomie de cette tablette
pour l'année $2015 + n$ par une suite $\left(U_n\right)$. Ainsi $U_0 = 8$.

\emph{On arrondira les résultats au centième d'heure.}
}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item À une baisse de 15\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{15}{100}=\np{0.85}$.

 $U_1 =U_0\times \np{0.85}\quad U_1= 8\times\np{0.85}= 6,8$.
\item  $U_2=U_1\times \np{0.85}\quad U_2=\np{6.8}\times \np{0.85}=\np{5.78}$.% et en donner une interprétation.

Cette valeur serait la durée d'autonomie de la batterie après deux années d'utilisation.
\end{enumerate}
\item La suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique puisque chaque terme, sauf le premier, se déduit du précédent en multipliant ce dernier par la raison \np{0.85}.
\item Selon ce modèle, l'autonomie de la tablette en janvier 2020 serait de $8\times (\np{0.85})^5$ c'est-à-dire approximativement de \np[h]{3.55}.
\item L'entreprise souhaite prévoir le nombre d'années au bout desquelles l'autonomie sera
inférieure à quatre heures.

On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}

\begin{tabular}{|lcl|}
\hline
\textbf{Initialisation}&& $n$ prend la valeur 0\\
&& $u$ prend la valeur 8\\
&& $q$ prend la valeur 0,85\\
\textbf{Traitement}&&Tant que $u> 4$\\
&&\hspace{1.25em} $n$ prend la valeur $n + 1$\\
&& \hspace{1.25em}$u$ prend la valeur $8 \times q$\\
&&Fin tant que\\
\textbf{Sortie}&& Afficher $n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La valeur affichée en sortie sera 5.

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 --- Partie A}
\end{center}


\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.0012cm,labelFontSize=\scriptscriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-1000)(30.8,16000)
\multido{\n=0+2}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,15000)}
\multido{\n=0+1000}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2000]{->}(0,0)(0,0)(30.76,15000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{x 3 exp neg 3 div x 2 exp 22 mul add x 96 mul add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{x 480 mul}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func {x 3 exp neg 3 div x 2 exp 22 mul add x 96 mul add}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 19.90738 def \Func)(!19.90738 /x 19.90738 def \Func)(19.90738,0)
\uput[l](-2,13000){\rotatebox{90}{Coût (en milliers d'euros)}}
\uput[dr](18,-500){Nombre de tablettes (en milliers)}
\uput[l](0,2826.7){\scriptsize \textcolor{violet}{$\approx \np{2800}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.

\end{document}