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%Tapuscrit : Ghislain Foulquier
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\bigskip

{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \label{droite}  Simplifier la fraction
\[\dfrac{(12x - 48) (x + 2)}{4x^2 -16} \]
Pour quelle valeur de $x$ cette fraction est-elle égale
à 1 ?
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ définies respectivement
par 
\begin{center}$y = 3x - 12$ \qquad et \qquad $y = x - 2$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Trouver les coordonnées du point d'intersection,
M, des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

La question 1. pouvait-elle permettre de prévoir ce résultat?
\item Par le point A de coordonnées (4~;~0), on mène
la perpendiculaire $\left(D_3\right)$ à $\left(D_2\right)$. Former l'équation de $\left(D_3\right)$.

Trouver les coordonnées du point d'intersection, H,
de ($D_2$) et ($D_3$).
		\item Calculer les longueurs AH et AM.

En utilisant les résultats obtenus, donner la valeur du sinus de l'angle
aigu formé par les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large Corrigé}

\begin{enumerate}
\item Soit $q(x) = \dfrac{(12x - 48) (x + 2)}{4x^2 -16} = \dfrac{12(x - 4)(x + 2)}{4\left(x^2 - 4\right)} = \dfrac{3(x - 4)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{3(x - 4)}{x - 2}$

 si $x + 2 \ne 0$, soit si $x \ne - 2$.

Pour $x \ne - 2$, \, $q(x) = 1$ si $\dfrac{3(x - 4)}{x - 2} = 1$, soit si $3(x - 4) = x - 2$ ou $3x - 12 = x - 2$, puis 

$2x = 10$ et enfin $x = 5$.


\emph{Vérification } $\dfrac{(12 \times 5 - 48)(5 + 2)}{4\times 25 - 16} = \dfrac{12 \times 7}{84} = \dfrac{84}{84} = 1$.
\item

\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-8.1)(10,10.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-8)(10,10)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{3 x mul 12 sub}\uput[r](7.3,9){\red$(D_1)$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 2 sub}\uput[u](7.5,5.7){\blue $(D_2)$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{10}{4 x sub}\uput[d](7.5,-3.7){\green $(D_3)$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](5,0)(5,3)(0,3)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](3,0)(3,1)(0,1)
\uput[dl](4,0){A}\uput[dr](5,3){M}\uput[u](3,1){H}
\end{pspicture*}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Graphiquement on trouve que les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont sécantes au point M de coordonnées (5~;~3).
		
À la question 1. on a vu que trouver que le quotient est égale à 1, revenait à un moment à résoudre l'équation  $x - 12 = x + 2$ donc à trouver l'éventuel point commun à $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$. On a trouvé $x = 5$, soit l'abscisse du point commun aux deux droites. L'ordonnée de M se trouve soit en calculant $3 \times 5 - 12 = 15 - 12 = 3$, soit avec $5 - 2 = 3.$ On a donc M(5~;~3).
		\item L'équation de ($D_2$) ayant pour coefficient directeur 1, toute perpendiculaure a un coefficient égal à $-1$.
		
Une équation de ($D_3$) est donc de la forme $y = - x + b$, avec $b \in \R$.
		
Or A(4~;~0)$\in (D_3)$ si $0 = - 4 + b$, soit  $b = 4$.

Une équation de ($D_3$) est donc $y = - x + 4$.

Les coordonnées de H$(x~;~y)$ commun au deux droites vérifient les équations des deux droites, soit 

$y = x - 2 = - x + 4$, d'où $2x + 6$ et enfin $x = 3$, puis $y = x - 2 = 3 - 2 = 1$. Donc H(3~;~1).
\item $\bullet~$ Avec A(4~;~0) et H(3~;~1), on a AH$^2 = (3 - 4)^2 + (1 - 0)^2 = 1 + 1 = 2$.

De AH$^2 = 2$, on obtient AH $= \sqrt{2}$.

De même avec A(4~;~0) et M(5~;~3), on a AM$^2 = (5 - 4)^2 + (3 - 0)^2 = 1 + 9 = 10$.

De AM$^2 = 10$, on obtient AM $= \sqrt{10}$.

$\bullet~$ Les droites $\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$ étant perpendiculaires en H, le triangle AHM est rectangle en H, d'hypoténuse [AM], donc :

$\sin \left(\widehat{\text{AMH}}\right) = \dfrac{\text{AH}}{\text{AM}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{2}{10}} = \sqrt{0,2}$ soit environ 0,447.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère le demi-cercle ($C$) de centre O, de
diamètre [AB] tel que  AB $= 2R$ et le point I, milieu de [OB].

La demi-droite [IX) faisant avec (IB) un angle $\widehat{\text{BIX}} = 60\degres$ coupe
en M le demi-cercle de centre I de rayon $\dfrac{R}{2}$ situé du même
côté que ($C$) par rapport à (AB) et en P la tangente en B
à ($C$).

La demi-droite [BM) coupe ($C$) en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les angles $\widehat{\text{OBM}}$ et $\widehat{\text{BOM}}$.
\item Montrer que le triangle BIQ est rectangle en I.
\item Montrer que les triangles OBM et BIP sont égaux.
\item Calculer BM, OM, BQ, AQ, IP et IQ.
\item Montrer que le quadrilatère OIPQ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\begin{center}
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%\begin{pspicture*}(-4,-4.694)(17.5748,7)
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			\rput[bl](8.2,-2.8){\qqwuqq{$60\degres$}}
	\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\newpage
{\Large Corrigé}
\begin{enumerate}
\item {\red Calculer les angles $\widehat{\text{OBM}}$ et $\widehat{\text{BOM}}$.}

$\e{\text{OBM}}=\e{\text{IBM}}$ car I est sur le \se\ OB.

Le \tr\ IBM est équilatéral, en effet  IM = IB, B et M étant sur un \ce\ de centre I, il est donc isocèle d'angle au sommet de $60^ \circ$, c'est donc un \tr\ \eq. On en déduit que $\e {\text{IBM}}=60^\circ$. Comme les \po s O, I, B sont alignés dans cet ordre $\e{\text{OBM}}= 60^\circ$.

Le \tr\ BOM est \re\ en M car inscrit dans le \ce\ de diamètre [OB]\\$\e{\text{OBM}}=60^\circ $  donc $\e{\text{BOM}}=30^\circ$ car $\e {\text{BOM}}$ est le complémentaire de $\e {\text{OBM}}$.

\item {\red Montrer que le triangle BIQ est rectangle en I.}

Le \tr\ ABQ est  \re\ en Q car inscrit dans le \ce\ de diamètre [AB].

Les \dr s (AQ) et (OM) sont \pe s à la \dr\  (BQ) elles sont donc \pa s.

Comme O est le milieu de [AB], M est le milieu de [BQ] par le théorème de \Th\ .

BI = BM (IBM est équilatéral) et donc MB = MI = MQ, les \po s B I Q sont donc sur un \ce\ de centre M, le \tr\ BIQ est \re\ en I car inscrit dans le \ce\ de diamètre [QB], M étant le \mi\ de [QB].

\item {\red Montrer que les triangles OBM et BIP sont égaux.}

Ils le sont par le premier cas d'égalité : des côtés égaux entre deux \an s égaux,:

IB = BM, $\e{\text{BIP}}=\e{\text{OBM}}=60^\circ\p{et} \e{\text{OMB}}= \e{\text{IBP}}= 90\degres$.

\item {\red Calculer BM, OM, BQ, AQ, IP et IQ.}

\begin{itemize}
\item BM : BM = IB car le \tr\ IBM est \eq\ et IB $=\df{\text{OB}}{2}=\df {R}{2}$ car I est le \mi \,, de [OB] donc
 BM$ = \df{R} {2}$.
\item OM : Par le théorème de \Py\, dans le \tr\ \re\ OBM et car OB $= R$ et BM = $\df {R} {2}$ par la réponse précédente :

OM$^2 = \text{OB}^2- \text{BM}^2= R^2- \left ( \df{R}{2} \right )^2= \df{3R^2}{4}$ et OM $ =\df{R\sqrt{3}}{2}$.
\item BQ : BQ = 2BM  car M est le \mi\ de [BQ] et donc BQ $ = R$  avec le résultat précédent.
\item AQ : On a vu  que M est  le \mi\ de  BQ et comme O est le \mi\ de AB par la réciproque de \Th\ les \dr s AQ et OM sont \pa s et de plus 

AQ = 2OM = $R\sqrt{3} $.
\item IP : On a vu que les \tr s  OBM et BIP sont égaux et \re s, ils ont donc même hypoténuse soit IP = OB $= R$.
\item IQ : Comme les \tr s  OBM et BIP sont égaux  BP = OM = $\df {R\sqrt{3}} {2}$.

Les \po s I, M, P sont alignés dans cet ordre, IM $=\df {R} {2}\p{et}$ IP $= R$ donc M est le \mi\ de [IP].

Le quadrilatère IBPQ ayant ses diagonales qui ont le même milieu M est un parallélogramme
 et ses côtés opposés [IQ] et [BP] sont égaux, IQ $= R\sqrt{2}$.
\end{itemize}
\item {\red Montrer que le \qu\ OIPQ est un parallélogramme.}

On démontre que les côtés opposés sont \pa s.

-- OI \pa\ à QP ; on sait que le \qu\ IBPQ est un parallélogramme donc IB est \pa\ à QP mais les \po s O I B.
 sont alignés donc (OI) est \pa\ à (QP).

 -- OQ \pa\ à IP : les \po s I et M sont les \mi x respectifs de [OB] et [BQ] donc IM est \pa\ à OQ, comme les \po s 
 I M P sont alignés les \dr s (OQ) et (IP) sont \pa s.
\end{enumerate}

Corrigé de la partie géométrie : Ghislain Foulquier

Corrigé de la partie numérique : Denis Vergès

\bigskip

\textbf{Corrigé Vuibert 1962}

\medskip

Solution du problème de Géométrie

\medskip

\begin{enumerate}
\item {\red Valeurs des angles du triangle BOM.}

Étant inscrit dans une demi-circonférence, ce triangle est rectangle en M. L'angle au centre BIM étant égal à $60\degres$, le triangle BIM est équilatéral ; l'angle OBM est donc, lui aussi, égal à $60\degres$. L'angle BOM, qui en est le complément, est égal à $30\degres$.
\item {\red Étude du triangle BIQ}

Si l'on trace le rayon OQ de la demi-circonférence ($C$), on forme un triangle BOQ, isocèle de sommet O.

L'angle en B de ce triangle étant (d'après le \textbf{1.}) égal à $60\degres$, ce triangle est équilatéral. Sa médiane QI est donc en même temps hauteur.

On en conclut que le triangle BIQ est rectangle.
\item {\red Égalité des triangles OBM et BIP}

Ces deux triangles sont rectangles, le premier en M, le second en I. Ils ont un angle aigu égal et un côté de l'angle droit égal ; en effet, le triangle BIM étant équilatéral, on a
$\widehat{\text{OBM}} =  \widehat{\text{BIP}}$ et MB = IB. Ces deux triangles sont donc égaux.
\item {\red Calcul de longueurs}

Le triangle BIM étant équilatéral, on a BM = BI = $\dfrac{R}{2}$.

Le triangle BOQ étant équilatéral, de côté $R$, et OM étant l'une de ses hauteurs, on a

\[\text{OM} = R\dfrac{\sqrt 3}{2}.\]

Le segment [OM], joignant les milieux des côtés [BA] et [BQ] du triangle ABQ, est égal à la moitié du côté [AQ] de ce triangle ; donc
\[\text{AQ} = 2\text{OM} = R\sqrt 3.\]

[IP], étant l'hypoténuse du triangle rectangle BIP, dont l'angleI est égal à $60\degres$, a une longueur double de celle du plus petit côté de l'angle droit de ce triangle ; d'où
\begin{center} IP = 2 IB = OB = $R$.\end{center}

Enfin, [OM] et [IQ] étant deux hauteurs du triangle équilatéral BOQ, on a

\begin{center} IQ = OM = $R\dfrac{\sqrt 3}{2}$.\end{center}
\item {\red Nature du quadrilatère OIPQ}

On a, d'après ce qui précède,

\begin{center}IP = OQ .\end{center}

D'autre part, les angles $\widehat{\text{BIM}}$ et $\widehat{\text{BOQ}}$ étant tous égaux à $60\degres$, IP et OQ sont parallèles.

Le quadrilatère OIPQ, ayant deux côtés opposés parallèles et égaux, est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{document}