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%Merci à Mickaël Goyot et Johann Dolivet pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet des collèges},
%pdftitle = {Amérique du Sud 2 décembre 2024},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{2 décembre 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud 2 décembre 2024~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\end{center}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

\bigskip

%Cet exercice est un Q.C.M. (questionnaire à choix multiple).
%
%Pour chacune des cinq questions, trois réponses sont proposées et une seule convient.
%
%Pour chacune des cinq questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
%
%\textbf{Aucune justification n'est attendue.}
%
%Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne retire pas de point.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&&A&B&C\\ \hline
%1	&Une urne contient trois jetons verts et deux jetons blancs. On tire un jeton au hasard.
%
%Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton blanc?&
%$\dfrac23$&$\dfrac35$&$\dfrac25$\\ \hline
%2	&\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(0,-0.6)(5.5,3.5)
%
%\psframe(3,1)\psline(1,1)(1,0)\psline(2,1)(2,0)
%\psline(3,0)(3.4,0.35)(3.4,1.35)(3,1)
%\psline(3.4,1.35)(3.8,1.7)
%\psline{->}(5.5,1)(4,1)
%\psline(1,1)(1.4,1.35)(3.4,1.35)
%\psline(2,1)(2.8,1.7)(3.8,1.7)(3.8,0.7)(3.4,0.35)
%\psline(3.8,0.7)(3.8,-0.3)(3.4,-0.65)(3.4,0.35)
%\psline(3.4,-0.65)(2.4,-0.65)(2.4,0)
%\psline(1.4,1.35)(1.4,3.35)(0.4,3.35)(0,3)(1,3)(1,1)
%\psline(1,3)(1.4,3.35)\psline(0,2)(1,2)(1.4,2.35)
%\psline(0,3)(0,1)
%\end{pspicture}
%
%Quelle est la vue de droite de ce solide ? &\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(3,5.5)
%\psframe(0,1)(1,5)
%\psline(0,2)(1,2)\psline(0,3)(1,3)
%\psline(1,1)(3,1)(3,2)(1,2)\psline(2,1)(2,0)(3,0)(3,1)\psline(0,4)(1,4)\psline(2,1)(2,2)\end{pspicture}&
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(3,5)\psframe(0,1)(1,4) \psframe(0,1)(2,2)\psline(0,3)(1,3)\psline(1,1)(1,0)(2,0)(2,1) \end{pspicture}&
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(3,5)\psframe(0,1)(2,2)\psframe(1,0)(2,4)\psline(1,3)(2,3) \end{pspicture}\\ \hline
%3&
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(3.5,2.6)
%\pspolygon(0.2,2.3)(0.5,0.2)(3.6,0.2)%ABC
%\uput[r](0.2,2.3){\footnotesize A} \uput[dl](0.5,0.2){\footnotesize B} \uput[dr](3.6,0.2){\footnotesize C} \uput[ur](1,0.2){\footnotesize D} \uput[l](0.44,0.53){\footnotesize H}
%\psline(1,0.2)(0.44,0.53)
%\end{pspicture}
%
% B, H et A sont alignés.
%
%B, D et C sont alignés.
%
%BD = 2 cm ; BC = 10 cm  ; 
%
%AC = 16 cm; (DH) // (AC).
%
%Quelle est la longueur du segment [DH] ?
%&3,2 cm&4 cm&4,8 cm\\ \hline
%
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&&A&B&C\\ \hline
%4&Voici un engrenage: 12 dents 9 dents
%\psset{unit=0.3cm}
%\begin{pspicture}(-3.5,-3)(10,4)
%%\psgrid
%\def\denta{\psline(2;78)(2;82)(2.3;82)(3;88)(3;92)(2.3;98)(2;98)(2;102)}
%\def\dentb{\psline(1.5;-12)(1.5;-8)(1.725;-8)(2.25;-2)(2.25;2)(1.725;8)(1.5;8)(1.5;12)}
%\def\roued{\multido{\n=-5+40,\na=0+40}{9}{\rput{\na}(0.2;\n){\dentb}}}%
%\pscircle(0,0){2.57}
%\multido{\n=90+30,\na=0+30}{12}{\rput{\na}(0.7;\n){\denta}}
%\pscircle(5.75,0){1.6}
%\rput(5.75,0){\roued}
%\end{pspicture}
%
% Si la petite roue effectue exactement 4 tours complets, combien de tours complets effectue la grande roue ?&3 tours complets&4 tours complets&6 tours complets\\ \hline
%5&\psset{unit=0.7cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(3.3,3.3)
%\psframe(2,2)\psframe(2,2)(3,3)
%\psline(0,2)(2,0)\psline(2,3)(3,2)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize F} \uput[d](2,0){\footnotesize E} \uput[l](0,2){\footnotesize G} \uput[ul](2,2){\footnotesize A}
%\uput[r](3,2){\footnotesize D} \uput[ur](3,3){\footnotesize C} \uput[ul](2,3){\footnotesize B}
%\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3)}
%\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(3.2,\n)}
%\end{pspicture}\end{center}
%\medskip
%
%Le carré AGFE est l'image du carré ADCB par une homothétie de centre A.
%
%Le triangle EGF est l'image d'un triangle par cette même homothétie.
%
%Quel est ce triangle ?
%&GEA&ABD&BDC\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item Il y a 2 jetons blancs pour un total de $2 + 3 = 5$ jetons ; la probabilité est donc égale à $\dfrac25 = \dfrac{4}{10} = 0,4$ : réponse C.
\item La vue de droite est la B.
\item On est dans la situation du théorème de Thalès et d'après celui-ci  :

$\dfrac{\text{DH}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BD}}{\text{BC}}$, soit $\dfrac{\text{DH}}{16} = \dfrac{2}{10}$, d'où DH $ = 16 \times \dfrac{2}{10} = \dfrac{32}{10} = 3,2$~(cm). Réponse A.
\item Si la petite roue fait un tour elle fait tourner la grande de 9 crans, donc en faisant 4 tours elle fait tourner la grande de $4 \times 9$ crans  ; or $4 \times 9 = 4 \times 3 \times 3 = 12 \times 3 = 3 \times 12$ : donc la grande tournera de 3 tours : réponse A.
\item Le carré AGFE est l'image du carré ADCB dans l'homothétie de centre A et de rapport $- 2$ : le triangle EGF est donc l'image du triangle BDC dans cette homothétie. Réponse~C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 24 points}

\bigskip

%On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f(x) = x^2 - x - 6 \qquad \qquad g(x) = -2x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'image de 5 par la fonction $f$ est 14.
L'image de 5 par la fonction $f$ est $f(5) = 5^2 - 5 - 6 = 25 - 11 = 14$.
		\item %Déterminer l'antécédent de 4 par la fonction $g$.
L'antécédent de 4 par la fonction $g$ est le nombre $x$ tel que $g(x) = 4$,\\
 soit $x = \dfrac{4}{-2} = - 2$.

%Pour calculer des images de nombres par les fonctions $f$et $g$, on utilise un tableur et on obtient la copie d'écran suivante:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\text{A}&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1	&$x$&$-4$&$-3$&$-2$&$-1$&0&1&2\\ \hline
2	&$f(x) = x^2 - x - 6$&14&6&0&$-4$&$-6$&$-6$&$-4$\\ \hline
3	&$g(x) = -2x$&8&6&4&2&0&$-2$&$-4$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %À l'aide des informations précédentes, citer deux antécédents de 14 par la fonction $f$.
On a vu que 5 a pour image 14 à la question 1 et le tableur montre que $- 4$ a aussi pour image 14 : donc $-4$ et 5 ont pour image 14 par la fonction $f$
		\item  %Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l'étirer vers la droite jusqu'à la cellule H2 ?
		On a écrit dans la cellule \texttt{B2} : \texttt{= B1*B1 -- B1 -- 6}.
		\item %Existe-t-il un nombre qui a la même image par la fonction $f$ et par la fonction $g$ ?
On lit sur le tableur :

$f(-3 ) = 6$ et $g(-3) = 6$ d'une part et $f(2) = - 4, \, g(2) = - 4$ d'autre part : il existe donc au moins deux nombres $- 3$ et 2 qui ont les mêmes images par $f$ et $g$.
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre $x,\, f(x)$ est égal à $(x + 2)(x - 3)$.
On développe $(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 = f(x)$, quel que soit le nombre $x$, donc $f(x) = (x + 2)(x - 3)$.

		\item %Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
D'après la question précédente résoudre $f(x) = 0$ revient à résoudre l'équation-produit $(x + 2)(x - 3) = 0$ : ce produit est nul si l'un des facteurs est nul, donc si $\left\{\begin{array}{l c l}
x + 2&=&0\\x - 3&=&0
\end{array}\right.$ ou 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- 2\\x &=&3
\end{array}\right.$.
L'ensemble des solutions est donc $S = \{- 2~;~3\}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 22 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

%Le tableau ci-dessous présente, pour quatre félins étudiés, les probabilités d'attraper leur proie quand ils la poursuivent.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Félin étudié &
%Probabilité d'attraper la proie qu'il poursuit\\ \hline
%Le lion&25\,\%\\ \hline
%Le guépard&$\dfrac12$\\ \hline
%Le tigre&$0,1$\\ \hline
%Le chat à pieds noirs&$\dfrac{6}{10}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Vérifier que, parmi les quatre félins étudiés, le chat à pieds noirs a la probabilité la plus élevée d'attraper sa proie quand il la poursuit.
Les probabilités en notation décimale sont respectivement:

\[\dfrac{25}{100} = 0,25\;;\; \quad \dfrac12 = 0,5 \;;\;  \quad 0,1 \;;\; \quad \dfrac{6}{10} = 0,6.\]

La probabilité la plus grande est celle du chat à pieds noirs.
\item  %Le plus souvent, le guépard est le félin le plus rapide avec une vitesse pouvant atteindre 115 km/h.
%À cette vitesse, en combien de secondes le guépard parcourt-il 100 mètres?
%On donnera une valeur approchée au centième de seconde près.
115 km en 60 min ou \np{3600} s soit \np{115000} m en \np{3600} s, soit $\dfrac{\np{115000}}{\np{115000}} = \dfrac{\np{1150}}{36} \approx 31,944$~m.

$v$ étant la vitesse, $d$ la distance et $t$ le temps, on sait que $v = \dfrac{d}{t}$, d'où $t = \dfrac{d}{v}$.

Donc avec $d = 100$ et $v = \dfrac{\np{1150}}{36}$, on obtient $t = \dfrac{100}{\frac{\np{1150}}{36}} = \dfrac{100 \times 36}{\np{1150}}\approx 3,130$~(s).

Le guépard parcourt 100 m en à peu près 3,13 secondes (au centième près).

%Dans un pays d'Afrique, on estimait à :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item \np{1200} guépards en 1999.
%\item 170 guépards en 2016.
%\end{itemize}
%
%Dans ce pays, est-il vrai que le nombre de guépards a baissé d'environ 86\,\% entre 1999 et 2016 ?
Par rapport à 1999, il y avait $\dfrac{170}{\np{1200}} \approx 0,142$, soit 14,2\,\% : à l'unité près la baisse est bien de $100 - 14 = 86$ pour cent.
\item Dans le parc national d'Etosha en Namibie, on peut observer des lions et des guépards.
%À l'aide de la carte ci-dessous, donner approximativement la latitude et la longitude du parc national d'Etosha.
%
%\includegraphics[width=14cm]{mappemonde}
Longitude du parc : environ $15\degres$ Est et latitude $20\degres$ Sud.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

%On dispose d'un terrain en pente sur lequel on souhaite construire une maison. Il faut pour cela enlever de la terre afin d'obtenir un terrain horizontal.
%On dispose des informations suivantes :
%
%\medskip
%
%\begin{minipage}{0.3\linewidth}
%La maison sera construite sur le terrain horizontal représenté par le segment [BC].
%Le triangle ABC est rectangle en C et : 
%
%AC $= 2,6$ m
%
%AB $=17$ m
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.68\linewidth}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(12,5.5)
%\pspolygon[fillstyle=crosshatch](0,0)(12,0)(12,1)(3.2,1)(3.2,2.4)(0,2.4)
%\pspolygon[fillstyle=vlines](8.3,1)(3.2,2.4)(3.2,1)%BAC
%\psframe(3.2,1)(3.4,1.2)
%\rput(6,2.5){Terre à enlever}\psline{->}(6,2.4)(5,1.6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,2.4)(0.5,3.2)(1.4,4.6)(2.3,3.2)(2.3,2.4)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.7,1)(9.7,1.8)(10.6,3.2)(11.7,1.8)(11.7,1)
%\uput[d](8.3,1){B} \uput[u](3.2,2.4){A} \uput[dl](3.2,1){C} 
%\rput(6,5.3){\textbf{Vue en coupe du terrain}}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la longueur CB est égale à 16,8 m.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en C s'écrit \\
$\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{CB}^2$, d'où 

$\text{CB}^2 = \text{AB}^2 - \text{AC}^2 = 17^2 - 2,6^2 = (17 - 2,6) \times (17 + 2,6) = 14,4 \times 19,6 = 282,24$.

Il en résulte que CB $ = \sqrt{282,24} = 16,8$~(m).
\item %Le coût des travaux pour enlever la terre dépend de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
%Si la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est supérieure à $8,5\degres$, cela entraînera un surcoût des travaux (c'est-à-dire que les travaux pour enlever la terre coûteront plus cher).

%Est-ce le cas pour ce terrain?
En utilisant par exemple la tangente, on a :
$\tan\, \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}} = \dfrac{2,6}{16,8}\approx \np{0,1548}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{ABC}} \approx 8,797~(\degres)$ donc une mesure supérieure à $8,5\degres$ : il y aura surcoût.
\item %On admet que le volume de terre enlevée correspond au volume du prisme droit CBAFED de hauteur [CF] et de bases triangulaires ACB et DFE, comme représenté ci-dessous. On rappelle que les longueurs CF et AD sont égales.

% figure prisme de terre
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5.4,3.2)
%\pspolygon(0.2,0.5)(2.5,0.2)(0.2,1.7)%CBA
%\psline(2.5,0.2)(4.7,1.2)(2.4,2.7)(0.2,1.7)%BEDA
%\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(2.4,1.5)(4.7,1.2)%CFE
%\psline[linestyle=dashed](2.4,1.5)(2.4,2.7)%FD
%\uput[ul](0.2,1.7){A} \uput[dr](2.5,0.2){B} \uput[dl](0.2,0.5){C}
%\uput[u](2.4,2.7){D} \uput[r](4.7,1.2){E} \uput[l](2.4,1.7){F}
%\psframe(0.2,0.5)(0.4,0.7)\psframe(2.4,1.5)(2.6,1.7)
%\rput{90}(0,1.1){2,6 m}\rput{-30}(3.55,2.2){17 m}\rput{24}(1.3,2.4){30 m}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Déterminer le volume de terre à enlever en m$^3$.
%
%On rappelle la formule:
%
%Volume d'un prisme droit = aire d'une base du prisme $\times$ hauteur du prisme.
Le volume de terre à enlever est donc égal à :

$V = \mathcal{A}(\text{ABC}) \times \text{AD} = \dfrac{\text{AC} \times \text{CB}}{2} 
\times \text{AD} = \dfrac{2,6 \times 16,8}{2} 
\times 30 = 2,6 \times 16,8 \times 15 = 655,2$~m$^3$
\end{enumerate}


\bigskip
\textbf{\large Exercice 5 \hfill 14 points}

\bigskip

%Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue pour les réponses apportées aux questions 1. et 2.
%
%À l'aide d'un logiciel de programmation, on définit un bloc \og Losange\fg{} pour construire un losange.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Bloc \og Losange \fg }&\textbf{Losange obtenu}\\
%\begin{scratch}[scale=0.75]
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Losange}}
%\blockpen{stylo en position d'écriture}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%{
%\blockmove{avancer de \ovalnum{20}}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{$a$}}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{$b$} degrés}
%}
%\blockpen{relever le stylo}
%\end{scratch}
%&
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(4.2,1.3)
%\pspolygon(3.3,0.7)(4.1,0.7)(4.45,0)(3.65,0)
%%\psgrid
%\psline{->}(2.6,0.7)(3.3,0.7)
%\uput[r](0,1.1){Point et}
%\uput[r](0,0.7){orientation de}
%\uput[r](0,0.3){départ}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item%Dans le bloc \og Losange \fg, par quelles valeurs faut-il remplacer $a$ et $b$ pour obtenir le losange ci-dessus ?
$\bullet~$~Les quatre côtés d'un losange ont la même longueur, il faut donc avancer de $a = 20$ ;

$\bullet~$~On a tourné de $60\degres$, donc pour revenir en arrière il faut tourner de $180 - 60 = 120(\degres)$

\item %On définit ensuite un nouveau bloc nommé \og Motif A \fg{} :

%\begin{scratch}[scale=0.75]
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif A}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
%{
%\blockmove{Losange}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
%}
%\end{scratch}
%
%Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc \og Motif A\fg{} ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Figure 1& Figure 2& Figure 3\\ \hline
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
%\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;-30)(1;-60)}
%\multido{\n=0+-45}{3}{\rput{\n}(0,0){\petale}}
%
%\end{pspicture}&
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
%\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;30)(1;60)}
%\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\petale}}
%\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
%\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;-30)(1;-60)}
%\multido{\n=0+-60}{3}{\rput{\n}(0,0){\petale}}
%
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
On obtient la figure 3.

\item On a défini un nouveau bloc nommé \og Motif B \fg. En l'exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,-1)
\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;-30)(1;-60)}
\multido{\n=0+2}{3}{\rput(\n,0){\petale}}
\end{pspicture}
\end{center}

On écrit un script du bloc \og Motif B \fg.

\begin{center}
\begin{scratch}[pre text=\bf\sffamily,scale=1]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif B}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
{
\blockmove{Losange}
\blockmove{Avancer de \ovalnum{40}~}
}
\end{scratch}
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