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% Sujet aimablement fourni par Arnaud Crouzet
% Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet  des collèges }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{juin 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Asie juin 2012~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

%\parbox{0.46\linewidth}{\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X||c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%Lettre 	&Fréquence	&Lettre & Fréquence\\ \hline
%A		&8,40\,\%	&N		&7,13\,\%\\ \hline
%B		&1,06\,\%	&O		&5,26\,\%\\ \hline
%C		&3,03\,\%	&P		&3,01\,\%\\ \hline
%D		&4,18\,\%	&Q		&0,99\,\%\\ \hline
%E		&17,26\,\%	&R		&6,55\,\%\\ \hline
%F		&1,12\,\%	&S		&8,08\,\%\\ \hline
%G		&1,27\,\%	&T		&7,07\,\%\\ \hline
%H		&0,92\,\%	&U		&5,74\,\%\\ \hline
%I		&7,35\,\%	&V		&1,32\,\%\\ \hline
%J		&0,31\,\%	&W		&0,04\,\%\\ \hline
%K		&0,05\,\%	&X		&0,47\,\%\\ \hline
%L		&6,01\,\%	&Y		&0,30\,\%\\ \hline
%M		&2,96\,\%	&Z		&0,12\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}} 
%\parbox{0.5\linewidth}{Le tableau ci-contre a été construit en comptant les fréquences des 26 lettres de l'alphabet dans un texte français de \np{100000} lettres composé de textes de Gustave Flaubert, de Jules Verne et de trois articles de l'Encyclopedia Universalis.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelles sont les cinq lettres les plus fréquentes ?
Le \og e\fg, le \og a\fg, le \og s\fg, le \og i\fg et le \og n\fg.
\item Les voyelles sont  à peu près \np{4431000}, donc les consonnes \np{5569000}, donc respectivement en pourcentages 44,31\,\% et 55,69\,\%. D'où l'histogramme :
%Représenter graphiquement la répartition des voyelles et des consonnes.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(6,60)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(6,60)
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(6,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,44.31)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,0)(5,55.69)
\uput[d](1.5,0){Voyelles} \uput[d](4.5,0){Consonnes}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
\item %Si toutes les lettres avaient la même fréquence d'apparition, quelle serait cette fréquence ?
Leur fréquence serait égale à $\dfrac{1}{26} \approx 3,85\,\%$.
\end{enumerate}
%}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

%Dans un jeu de société, les jetons sont des supports de format carré, de mêmes couleurs, sur lesquels une lettre de l'alphabet est inscrite. Le revers n'est pas identifiable.
% 
%Il y a 100 jetons. Le tableau ci-dessous donne le nombre de jetons du jeu pour chacune des voyelles: 
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Lettres du jeu	&A	&E	&I	&O	&U	&Y\\ \hline
%Effectif		&9	&15	&8	&6	&6	&1\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%On choisit au hasard une lettre de ce jeu. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité d'obtenir la lettre I ?
La probabilité est égale à $\dfrac{8}{100} = 8\,\%$. 
\item %Quelle est la probabilité d'obtenir une voyelle ?
Il y a  $9	+15	+8	+6	+6	+1 = 45$ voyelles sur 100 lettres. La probabilité est égale à $\dfrac{45}{100} = 45\,\%$.
\item %Que11e est la probabilité d'obtenir une consonne ?
La probabilité d'obtenir une consonne est égale à $\dfrac{55}{100} = 55\,\%$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = - 5x + 1$ 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'image de $- 3$ par $f$.
$f(- 3) = - 5 \times (- 3) + 1 = 15 + 1 = 16$. 
\item %Calculer l'antécédent de $4$ par $f$.
Il faut trouver $x$ tel que : $- 5x + 1 = 4$ soit $1 - 4 = 5x$ ou $5x = - 3$ et enfin $x = - \dfrac{3}{5} = - 0,6$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill }

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question. une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapporte $1$ point.\\ 
%L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.} 
%
%\medskip
%\renewcommand\arraystretch{1.4}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\No&Question&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline
%1&$\sqrt{50}$&$5\sqrt{2}$&$25\sqrt{2}$&$2\sqrt{25}$\\ \hline
%2&Pour tous les nombres $x$, on a $(2x - 1)^2 =$&$2x^2 - 1$&$4x^2 - 1$&$4x^2 - 4x + 1$\\ \hline
%3&Le pgcd de 91 et de 119 est &1&7&13\\ \hline
%\end{tabularx}
%\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. Réponse A.
\item $(2x - 1)^2 = = 4x^2 + 1 - 4x$. Réponse C.
\item $91 = 7 \times 13$. Or $119 = 70 + 49 = 7 \times 10 + 7 \times 7 = 7\times (10 + 7) = 7 \times 17$.

Comme 13 et 17 sont premiers entre eu, le PGCD à 91 et 119 est égal à 7. Réponse B.
\end{enumerate}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip 
 
%Sur le schéma ci-dessous, la terrasse est représentée par le segment [DN] elle est horizontale et mesure 4~mètres de longueur. Elle est construite au-dessus d'un terrain en pente qui est représenté par le segment [DP] de longueur 4,20~m. Pour cela, il a fallu construire un mur vertical représenté par le segment [NP]. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,6)
%\pspolygon(0,1.5)(0,4)(3.4,5.7)(5,4)(5,1.5)(9.2,1.5)(9.2,0)(5,1.5)
%\psline(3.4,1.5)(3.4,3.2)(4.2,3.2)(4.2,1.5)
%\psframe(0.9,2.)(1.8,3.2)
%\uput[ur](5,1.5){D}\uput[u](9.2,1.5){N}\uput[r](9.2,0){P}
%\uput[u](7.1,1.5){Terrasse}\rput{-19.65}(7.1,0.5){Terrain en pente}\uput[r](9.2,0.75){Mur}
%\end{pspicture}
%\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la hauteur du mur ? Justifier. Donner l'arrondi au cm près.
D'après l'énoncé le triangle DNP est rectangle en N. Le théorème de Pythagore permet d'écrire :

$\text{DN}^2 + \text{NP}^2 = \text{DP}^2$ ou  $\text{DN}^2   = \text{DP}^2 - \text{NP}^2 = 4,2^2 - 4^2 = 1,64$, d'où DP $ = \sqrt{1,64} \approx 1,281$, soit environ 1,28~m au centimètre près. 
\item %Calculer l'angle $\widehat{\text{NDP}}$ compris entre la terrasse et le terrain en pente.
%(Donner l'arrondi au degré près)
On a $\cos \widehat{\text{NDP}} = \dfrac{\text{DN}}{\text{DP}} = \dfrac{4}{4,2}$. La calculatrice donne $\widehat{\text{NDP}} \approx 12,75\degres$ soit environ 13\degres au degré près.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip 
 
%Soit ADU un triangle représenté ci-dessous, F un point de [AD], C un point de [AU]. 
%
%L'unité de longueur est le centimètre.
% 
%On donne  AF = 3 ; FD = 1,5 ; AC = 2 ; AU = 3
%
%\medskip
% 
%\emph{Sur la figure, les dimensions ne sont pas respectées.}
%
%\medskip
% 
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(5.5,5.5)
%%\psgrid
%\pspolygon(1,0)(4.8,1.3)(4.3,5.2)%AUD
%\psline(3.4,0.82)(3.2,3.43)%CF
%\uput[l](1,0){A} \uput[dr](4.8,1.3){U} \uput[u](4.3,5.2){D} 
%\uput[dr](3.4,0.82){C} \uput[ul](3.2,3.4){F} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les droites (FC) et (DU) sont parallèles.
On a $\dfrac{\text{AF}}{\text{AD}} = \dfrac{3}{3 + 1,5} = \dfrac{3}{4,5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$.

$\dfrac{\text{AC}}{\text{AU}} = \dfrac{2}{3}$.

On a donc $\dfrac{\text{AF}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AU}}$ et d'après la réciproque du Thalès les droites (FC) et (DU) sont parallèles.
\item %Déterminer le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle AFC au triangle ADU.
On passe de 2 à 3 en multipliant par $\dfrac{3}{2} = 1,5$.
\item %La hauteur issue de C dans le triangle ACF mesure 1,6~cm. Calculer l'aire du triangle ADU.
Avec le coefficient d'agrandissement : la hauteur issue de U dans le triangle ADU a pour longueur : $1,6 \times \dfrac{3}{2} = 3 \times 0,8 = 2,4$~(cm).

L'aire du triangle ADU est donc égale à $\dfrac{4,5 \times 2,4}{2} = 4,5 \times 1,2 = 5,4~\left(\text{cm}^2\right)$.

Avec l'aire de ACF : cette aire aire est égale à $\dfrac{3 \times 1,6}{2} = 3 \times 0,8 = 2,4$~cm$^2$.

On obtient l'aire du triangle ADU en multipliant l'aire par $\left(\dfrac{3}{2} \right)^2$.

L'aire de ADU est donc égale à $2,4 \times \left(\dfrac{3}{2} \right)^2 = \dfrac{2,4 \times 9}{4} = 0,6 \times 9 = 5,4~\left(\text{cm}^2\right)$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip 

%\textsc{BIENVENUE DANS LE PARC \og D'ANI-MATH-ION \fg}
% 
%\medskip
% 
%\parbox{0.46\linewidth}{Le parc vous accueille dans  une entrée-billetterie : 
%c'est un pavé droit à base carrée surmonté d'une coupole semi-sphérique, représenté ci-contre.
%
%\medskip
%
%\emph{Les deux parties de ce problème sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.}}\hfill
%\parbox{0.54\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(8,7)
%\def\coin{\pspolygon(0,0)(0.3,0)(0.47,0.2)(0.17,0.2)}
%\psframe(1,1)(5.8,2.6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,2.6)(5.8,2.6)(7.9,4.9)(3.2,4.9)
%\psline(5.8,1)(7.9,3.2)(7.9,4.9)(5.8,2.6)
%\rput{13}(4.5,3.78){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.66,1.03){180}{0}}
%\rput{13}(4.5,3.78){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.66,1.03){0}{180}}
%\rput{13}(4.5,3.8){\psarc(0,0){2.64}{0}{180}}
%\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.2,3.2)(3.2,4.8)
%\psline[linestyle=dashed](3.2,3.2)(7.9,3.2)
%\psline[arrowsize=3pt 2]{<->}(0.8,1)(0.8,2.6)\uput[l](0.8,1.8){3,5~m}
%\psline[arrowsize=3pt 2]{<->}(1,0.6)(5.8,0.6)\uput[d](3.4,0.6){7~m}
%\rput(5.5,1){\coin}\rput(1,1){\coin}\rput(3,3){\coin}\rput(7.4,3){\coin}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Ouvert depuis quelques années, abîmé par les intempéries, ce bâtiment doit être repeint.
% 
%Toutes les surfaces extérieures sont repeintes, c'est-à-dire :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] les 4 faces latérales du pavé droit ;
%\item[$\bullet~~$] la partie plane du toit (parties grisées sur la figure) ;
%\item[$\bullet~~$] la coupole semi-sphérique.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item %Sachant que les ouvertures (portes et fenêtres, non représentées sur la figure) occupent une surface de 18 m$^2$, montrer que l'aire totale des surfaces à peindre est d'environ 168 m$^2$. 
Aire des quatre faces latérales  : $4 \times 7 \times 3,5 = 14 \times 7 = 98$ ;

Aire de la partie grise : c'est l'aire du carré de 7 sur 7 à laquelle on retranche l'aire d'un disque de rayon 3,5~m soit $7 \times 7 - \pi \times 3,5^2 \approx \np{10,5155}$ ;

Aire de la coupole  : c'est une demi-sphère de rayon 3,5 ; son aire est donc égale à $2\pi \times 3,5^2 \approx 76,969$.

D'où une aire totale à peindre : $98 +  \np{10,5155} + 76,969 - 18 = 167,485 \approx 168$~m$^2$.
\medskip

%\emph{On rappelle que l'aire $A$ d'une sphère de rayon $R$ est donnée par la formule :} $A = 4\pi R^2$ 

\medskip

\item %On trouvera en annexe  la facture correspondant aux travaux de peinture.
 
%Compléter cette facture à l'aide des informations fournies ci-dessous :
 
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Un pot de 10~L de peinture permet de couvrir une surface de 40~m$^2 $ ;
%\item[$\bullet~~$] Le coût d'un pot de 10~L de peinture est de 400~\euro{} ;
%\item[$\bullet~~$] Un ouvrier peint une surface de 42 m$^2$ à l'heure.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
1 L de peinture permet de peindre 4~m$^2$. Il faut $\dfrac{168}{4} = 42$~L. Il faut acheter 5 pots de peinture à 400~\euro{} ; le coût de la peinture est donc de $5 \times 400 = \np{2000}$~\euro.

Le temps pour peindre les 168~m$^2$ est $\dfrac{168}{42} = 4$~(h).

La main d'œuvre s'élèvera à $4 \times 35 = 140$~\euro.

La TVA s'élève à $\np{4640} \times 0,196 = 909,44$~\euro. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip

%À l'entrée du parc d'ani-math-ion figurent les informations suivantes :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{8.5cm}|X|}\hline 
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Tarifs}} &\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Horaires}}\\ \hline
%Entrée adulte: 12~\euro& Ouvert de 9~h à 18~h\\ \hline
%Entrée enfant : 7~\euro& Dernières entrées à 17~h\\ \hline
%Forfait famille (sur présentation du livret de famille) : 35~\euro&  Fermé le lundi\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le forfait famille
	\begin{enumerate}
		\item %Est-il intéressant pour un couple et leur enfant de 8 ans de prendre le forfait famille ?
Deux billets adultes et un billet enfant coûtent $24 + 7 = 31$~\euro ; le forfait famille n'est pas intéressant. 
		\item %À partir de quel nombre d'enfants, un couple a-t-il intérêt à choisir le forfait famille ?
Deux billets adultes et deux billets enfant coûtent $24 + 14 = 38$~\euro ; le forfait famille est  intéressant à partir de deux enfants. 
	\end{enumerate} 
\item %Au cours d'une journée, 89 forfaits famille ont été vendus pour 510 personnes. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la recette correspondante.
La recette, forfaits est égale à $89 \times 35 = \np{3115}$~\euro. 
		\item %Quel est le prix moyen par personne ?
Le prix moyen par personne est donc égal à $\dfrac{\np{3115}}{510} \approx 6,11$~\euro. 
	\end{enumerate}
\item %Au cours de cette même journée, 380~personnes n'ont pas utilisé le forfait famille pour une recette correspondante de \np{3660}~\euro. Déterminer le nombre d'entrées adultes et le nombre d'entrées enfants vendues lors de cette journée.
Si $a$ est le nombre d'adultes il y a eu $380 - a$ enfants.

La recette s'élève à : 

$12a + 7(380 - a) = \np{3660}$ soit $12a + \np{2660} - 7a =  \np{3660}$, d'où $5a = \np{3660} - \np{2660} = \np{1000}$, donc 

$a = \dfrac{\np{1000}}{5} = 200$.

Il y a eu 200 adultes à 12~\euro{} et donc 180 enfants à 7~\euro.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\vspace{1cm}
 
\textbf{À rendre avec votre copie}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Partie 1 : Question 2}

\bigskip

Compléter la facture suivante :
 
\bigskip
 
\end{flushleft}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\textbf{Quantité}& \textbf{Désignation} &\textbf{Prix unitaire} &\textbf{Prix total}\\ \hline 
5& pots d'antirouille 						&500,00~\euro	&\np{2500,00}~\euro\\ \hline 
5&pots de peinture					&400,00~\euro 	&\np{2000,00}~\euro\\ \hline
4&\small heures (main d'{\oe}uvre)	&35,00~\euro 	&140~\euro\\ \hline
\multicolumn{3}{|l|}{Total HT (coût hors taxe)}&\np{4640}~\euro\\ \hline  
\multicolumn{3}{|l|}{Montant de la TVA à 19,6\,\%}&909,44~\euro\\ \hline 
\multicolumn{3}{|l|}{TOTAL TTC (coût toutes taxes comprises)}&\np{5549,44}~\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{document}