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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\bigskip

\end{center}

\smallskip

\begin{center}
{\large\textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction
\[y = (x + 3)^2 - (x + 3) (x - 3) - (4x + 21).\]

%Effectuer et réduire le second membre.
$y = x^2  + 9 + 6x - \left(x^2 - 3x + 3x - 9\right) - 4x - 21 = x^2  + 9 + 6x - x^2 + 9 - 4x - 21 = 2x  - 3$.
\item Soit une autre fonction, d'équation

\[y = \dfrac{4x^2 - 9 - 2 (2x - 3)^2}{2x-3}\]

%Simplifier le second membre.
$y = \dfrac{(2x + 3)(2x - 3) - 2(2x - 3)^2}{2x - 3} = \dfrac{(2x - 3)\left[2x + 3 - 2(2x - 3)\right]}{2x - 3)} = \dfrac{(2x - 3)\left[2x + 3 - 4x + 6)\right]}{2x - 3)} = \dfrac{(2x - 3) (- 2x + 9)}{2x - 3)} = \dfrac{(2x - 3)( - 2x + 9)}{2x - 3)}$.

Si $2x - 3 \ne 0$ soit $2x \ne 3$ ou encore $x \ne \dfrac 32$, on peut simplifier en $y  =  - 2x + 9$.
\item %Représenter sur un même graphique les fonctions

%$y= 2x - 3$ (soit A son point d'intersection avec $y'\text{O}y$),
A a pour abscisse 0, donc son ordonnée est égale à $y = 2\times 0 - 3 = - 3$. Donc A$(0~;~-3)$.

%$y = - 2x + 9$ (soit B son point d'intersection avec $y'\text{O}y$).
B a pour abscisse 0, donc son ordonnée est égale à $y = - 2\times 0 + 9 = 9$. Donc B$(0~;~9)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-4)(6,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-4)(6,10)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{6}{2 x mul 3 sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{6}{9 2 x mul sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{6}{x}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{6}{6 x mul 3 sub}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](3,0)(3,3)(0,3)
\uput[dr](3,3){M}
\uput[l](0,-3){A}\uput[l](0,9){B}
\uput[d](3,0){3}\uput[l](0,3){3}
\uput[r](1.5,6){D}
\end{pspicture*}
\end{center}

%Calculer les coordonnées de M, intersection de ces deux droites représentatives. Sur quelle autre droite particulière se trouve M ?
Le point commun M aux deux droites a pour une abscisse $x$ qui ne peut être égale à $\dfrac 32$ et elle que l'ordonnée pour les deux fonctions ci-dessus $y$ sont égales, soit :

\[2x - 3 = 9 - 2x\quad \text{ou}\quad 4x = 12\quad \text{ou}\quad x = 3/\]

L'ordonnée de M se calcule soit par $y = 2\times {\blue 3} - 3 = 6 - 3 = 3$, soit par $y = 9 - 2\times {\blue3} = 9 - 6 = 3$. Donc M(3~;~3).

L'ordonnée de M est égale à son ordonnée : M appartient à la droite d'équation $y = x$ qui est la bissectrice de l'angle formé par les deux axes de coordonnées
\item %Équation de la médiane AD du triangle ABM.
[AD] étant la médiane contenant A dans le triangle ABM, D est le milieu de [BM].

Donc D$\left(\dfrac{0 + 3}{2}~;~\dfrac{9+3}{2}\right)$, soit D$\left(\dfrac 32~;~6\right)$.

L'équation de (AD) est :

$M(x~;~y) \in (\text{AD})$ si $y = ax + b$ ; en particulier :

$A(0~;~-3) \in (\text{AD})$ si $-3 = a \times 0 + b$, d'où $b = - 3$ ;

$D\left(\dfrac 32~;~6\right) \in (\text{AD})$ si $6 = a \times \dfrac 32 - 3$, d'où $9 = a \times \dfrac 32$ , puis $a = \dfrac 23 \times 9 = 2 \times 3 = 6$.

Une équation de la médiane (AD) est :

$M(x~;~y) \in (\text{AD})$ si $y = 6x - 3$.
\end{enumerate}


\bigskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Un point M décrit un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O.

Par un point D du diamètre [AB] on mène la perpendiculaire (DX- à ce diamètre.

(DX) coupe le demi-cercle en K.

On trace (AM) et (BM), qui coupent la perpendiculaire (DX) respectivement en I et J.

\begin{enumerate}
\item  Que peut-on dire des triangles DAI, MAB et DJB ?

En déduire les relations 
\begin{center}DA $\cdot$ AB = AM $\cdot$ AI \quad\text{et }\quad DA $\cdot$ DB = DI $\cdot$  DJ.\end{center}
\item Que deviennent les relations précédentes lorsque M est en K ?

Quels sont les théorèmes connus qui se trouvent vérifiés ?
\item (AJ) coupe (BI) en N.

Démontrer que le quadrilatère MINJ est inscriptible dans un cercle.

Sur quelle ligne se déplace le point N ?
\end{enumerate}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.64,-3.3)(11.84,7.6)
	\pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](2.060619255055565,-2.034784689469955)(1.9191991846773617,-2.034181618807361)(1.918596114014768,-2.175601689185564)(2.060016184392971,-2.176204759848158)
	\pspolygon[linewidth=0.pt,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=1](0.3305177254559977,1.6310273060078957)(0.4546339404650381,1.563239658373318)(0.5224215880996158,1.6873558733823584)(0.39830537309057545,1.7551435210169362)
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	\parametricplot[linewidth=1.2pt]{-0.004264366474991732}{3.137328287114802}{1.*4.690042643729372*cos(t)+0.*4.690042643729372*sin(t)+2.95|0.*4.690042643729372*cos(t)+1.*4.690042643729372*sin(t)+-2.18}
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	\begin{scriptsize}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](-1.74,-2.16)
		\rput[bl](-1.82,-2.6){$\mathbf{A}$}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*](7.64,-2.2)
		\rput[bl](7.62,-2.74){$\mathbf{B}$}
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		\rput[bl](0.14,1.86){$\mathbf{M}$}
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		\rput[bl](1.68,-2.72){$\mathbf{D}$}
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		\rput[bl](2.48,4.72){$\mathbf{I}$}
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		\rput[bl](2.52,0.74){$\mathbf{J}$}
		\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=black](4.033212438530942,2.38323907033281)
		\rput[bl](4.,2.6){$\mathbf{N}$}
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		\rput[bl](2.4,2.72){$\mathbf{K}$}
	\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\begin{enumerate}
	\item  Que peut-on dire des triangles DAI, MAB et DJB ?
	
DAI et MAB sont semblables.
	
En effet , ce sont des \tr s \re\ ayant un \an\ aigu en commun car $\e {\text{DAI}}=\e {\text{BAM}}$ le \po\ D appartenant au \se\ AB et M au \se\ AI. MAB est \re\ car il est inscrit sans le \ce\ de \d\ i [AB].

MAB et DIB sont semblables.

Même raisonnement, les \an s aigus égaix sont $\e{\text{ABM}}\p {et} \e{\text{DBI}}$, les \po s D et I appartenant respectivement au \se\ AB et BM.

En déduire les relations 
\begin{center}DA $\cdot$ AB = AM $\cdot$ AI \quad\text{et }\quad DA $\cdot$ DB = DI $\cdot$  DJ.\end{center}

La similitude des \tr \	DAI et MAB  entraîne l'égalité des rapports : $\df{\text{DA}}{\text{MA}}=\df{\text{AI}}{\text{AB}}  $ et celle de DAI et DJB entraîne $\df{\text{DA}}{\text{DJ}}=\df{\text{DI}}{\text{DB}}$.

Donc les produits \og en croix \fg{} sont égaux ce qui donne les égalités demandées.

\emph{Remarque} : les \tr s DAI et DJB sont \Sem s car ils sont \Sem s tous les deux à MAB.

On utilise le fait que dans deux \tr s \Sem s les côtés de l'un sont proportionnelles aux côtés de l'autre qui sont en face d'\an s égaux.

Moyen pratique :

Pour les \tr s DAI et MAB on écrit : \begin{tabular}{c}
DAI\\
MAB
\end{tabular} avec les sommets des angles égaux en colonnes, on obtient alors les égalités

$\df {\text{DA}}{\text{MA}} = \df {\text{DI}}{\text{MB}} = \df {\text{AI}}{\text{AB}}$
	\item Que deviennent les relations précédentes lorsque M est en K ?

Si M est en K, \: M = K = I = J et les relations deviennent :

AD . AB = AK$^2$ et DA . DB = DK$^2$.

Quels sont les théorèmes connus qui se trouvent vérifiés ?

AD . AB = AK$^2$ : dans un \tr\ \re\ un petit côté est moyenne géométrique de sa projection sur l'\hy\  et de cette \hy.

DA . DB = DK$^2$	 : dans un \tr\ \re\ la hauteur issue du sommet de l'\an\ droit est moyenne géométrique des \se s qu'elle définit sur l' \hy.
	\item (AJ) coupe (BI) en N.
	
Démontrer que le quadrilatère MINJ est inscriptible dans un cercle.
	
Le \po\ J est l'orthocentre du \tr\ ABI, c'est le \po\ d'intersection ds deux hauteurs  ID et BM par hypothèse donc AJ est la troisième car les hauteurs d'un \tr\ sont concourantes, ici au \po\ J,  et la \dr\ AJ est \pe\ à BJ, le \tr\ IJN est \re, \: les \po s ,I, N, I sont cocycliques sur le \ce\ de diamètre [IJ].

Le \tr \ MIJ  est \re\ en M donc les \po s M, I, J sont sur le \ce\ précédent, les \qu\ MIJN est donc inscriptible dans le \ce de \di\ IJ.

Sur quelle ligne se déplace le point N ?
	
Le \tr ABN est \re\ en N donc inscriptible dans le \ce\ de \di\ [AB], N se déplace sur le \ce\ de diamètre [AB].
\end{enumerate}
\end{document}