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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\décembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois
%réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
%Indiquer sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, \textbf{recopier la réponse exacte} (aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse).
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%1& L'expression développée de $(7x - 5)^2$ est :&$49x^2 + 25$&$49x^2 - 70x + 25$& $49x^2 - 25$\\ \hline
%2& L'image de $- 5$ par la fonction $f$ telle que $f(x) = - 3x + 2$ est :&
%$- 13$& $- 17$& $17$\\ \hline
%3& La notation scientifique de $\np{0,00057} \times 10^{-6}$ est :&
%\footnotesize \np{0,0000000000057}& $57 \times 10^{- 11}$& $5,7 \times  10^{- 10}$\\ \hline
%4&Le nombre $\dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{7} \times \dfrac{4}{3}$ est égal à :&$\dfrac{24}{21}$&$\dfrac{19}{21}$&$\dfrac{8}{7}$\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $(7x - 5)^2 = 49x^2 + 25 - 70x$.
\item $f(- 5) = - 3 \times (- 5) + 2 = 15 + 2 = 17$.
\item $\np{0,00057} \times 10^{-6} = 5,7 \times 10^{- 10}$.
\item $\dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{7} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{7} + \dfrac{4}{21}  = \dfrac{15}{21} + \dfrac{4}{21} = \dfrac{19}{21}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%Au marché, un commerçant propose à ses clients diverses boissons. Il a au total 100 boissons réparties comme ceci : 22 bouteilles de thé glacé, 32 bouteilles de jus d'ananas, 18 bouteilles de soda et les autres bouteilles sont des bouteilles d'eau.
%
%Le commerçant souhaite offrir une boisson à son premier client. Il décide de prendre au hasard une
%bouteille (on suppose que toutes les bouteilles ont la même forme).
%
%\medskip
%
\begin{enumerate}
\item %On considère l'évènement E : \og prendre une bouteille d'eau \fg.

%Quelle est la probabilité de l'évènement E ? Justifier votre réponse.
Sur 100 bouteilles, il y a 28bouteilles d'eau. On a $p(\text{E}) = \dfrac{28}{100} = 0,28 = 28\,\%$.
\item %Le commerçant gère son stock grâce au tableur ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D\\ \hline
%1&Boisson		& Quantité	& \footnotesize Nombre de bouteilles vendues&Quantité restante\\ \hline
%2& Thé glacé	& 22		& 4											& 18\\ \hline
%3& Jus d'ananas	& 32		& 5											& 27\\ \hline
%4& Soda			& 18		& 3											& 15\\ \hline
%5& Eau			& 28		& 12										& 16\\ \hline
%6& Total		& 100		& 24										& 76\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule a-t-il écrite dans la cellule D2 pour obtenir le résultat indiqué dans le tableur ?
\fbox{=B2-C2}
		\item %Pour obtenir le nombre 100 dans la cellule B6, il a été écrit : =SOMME(B2:B5).
		
%Quelle formule est-il écrit en C6 pour obtenir 24 ?
\fbox{SOMME(C2:C5)}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

%\emph{Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, seront pris en compte dans l'évaluation.}
%
%Marc et Sophie se lancent des défis mathématiques. C'est au tour de Marc, il propose un programme de calcul à sa camarade :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\fbox{\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{l l}
%$\bullet~~$&Choisir un nombre entier positif\\
%$\bullet~~$&Élever ce nombre au carré\\
%$\bullet~~$&Ajouter 3 au résultat obtenu\\
%$\bullet~~$&Puis, multiplier par 2 le résultat
%obtenu\\
%$\bullet~~$&Soustraire 6 au résultat précédent\\
%$\bullet~~$&Enfin, prendre la moitié du dernier
%résultat\\
%$\bullet~~$&Écrire le résultat final\\
%\end{tabularx}}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 3 puis 10.
$3 \to 3^2 = 9 \to 9 + 3 = 12 \to 2\times 12 = 24 \to 24 - 6 = 18 \to \dfrac{18}{2} = 9$.

$10 \to 10^2 = 100 \to 100 + 3 = 103 \to 2\times 103 = 206 \to 206 - 6 = 200 \to \dfrac{200}{2} = 100$.
\item %Marc prétend être capable de trouver rapidement le nombre de départ en connaissant le résultat final. Sophie choisit alors au hasard un nombre et applique le programme de calcul. Elle annonce à Marc le résultat final 81. Celui-ci lui répond qu'elle avait choisi le nombre 9 au départ.

%Stupéfaite, Sophie lui dit : \og TU ES UN MAGICIEN ! \fg.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier le calcul en commençant le programme avec le nombre 9.
$9 \to 9^2 = 81 \to 81 + 3 = 84 \to 2\times 84 = 168 \to 168 - 6 = 162 \to \dfrac{162}{2} = 81$.
		\item %Et si le résultat du programme était 36, pourriez-vous dire le nombre choisi par Sophie ?
Le nombre choisi est $\sqrt{36} = 6$.
	\end{enumerate}
\item %À votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au nombre final ? Démontrer votre réponse en prenant x comme nombre de départ.
$x \to x^2  \to x^ + 3  \to 2\times \left(x^2 + 3\right) \to 2\times \left(x^2 + 3\right) - 6 = 2x^+ 6 - 6 = 2x^2 \to \dfrac{2x^2}{2} = x^2$.

Le programme calcule tout simplement le carré du nombre initial.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%Soit le triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 5 cm et BC = 13 cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Construire le triangle ABC.
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(14,7.2)
%\psgrid
\psarc(7,0.5){6.5}{0}{180}
\psarc(0.5,0.5){5}{60}{80}
\psarc(13.5,0.5){2.4}{150}{170}
\pspolygon(0.5,0.5)(13.5,0.5)(2.42,5.1)
\uput[dl](0.5,0.5){B} \uput[dr](13.5,0.5){C} \uput[u](2.42,5.1){A}
\uput[ul](11.3,1.5){M}
\rput{-112.62}(2.42,5.1){\psframe(0.25,0.25)} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Démontrer que AC = 12 cm.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en A s'écrit :

$\text{BC}^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2$ ou $\text{AC}^2 = \text{BC}^2 - \text{BA}^2 = 13^2 - 5^2 = (13 + 5)(13 - 5) = 18 \times 8 = 9 \times 16 = 3^2 \times 4^2 = (3 \times 4)^2 = 12^2$.

Donc $\text{AC} = 12$~cm.
\item %Soit un point M sur le segment [AC] tel que CM = 2,4 cm.

%Tracer la droite parallèle à (AB) et passant par le point M.

%Cette droite coupe (BC) en un point N.

%Calculer alors la longueur CN.
La droite (MN) est parallèle à la droite (AB). La propriété de Thalès permet d'écrire :

$\dfrac{\text{CM}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{CN}}{\text{CB}}$, d'où $\text{CN} = \dfrac{\text{CM} \times \text{CB}}{\text{CA}} = \dfrac{2,4 \times 13}{12} = 2,6$~(cm).
\item %Préciser la nature du triangle CMN. Justifier la réponse.
La droite (MN) est parallèle à la droite (AB) et celle-ci est perpendiculaire à la droite (AC) ; donc les droites (MN) et (AC) sont perpendiculaires en M : le triangle CMN est rectangle en M.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%On rappelle la formule du volume d'une boule qui est :
%$\dfrac{4\times \pi \times R^3}{3}$
%\medskip
%
%\parbox{0.45\linewidth}{
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la valeur, arrondie au cm3, du volume d'une boule de rayon R = 7 cm.
%\item On réalise la section de la sphère de centre O
%et de rayon OA = 7 cm par un plan, représenté
%ci-contre.
%Quelle est la nature de cette section ?
%\item Calculer la valeur exacte du rayon HA
%de cette section sachant que OH = 4 cm.
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.66cm}
%\begin{pspicture}(9,4.5)
%\pscircle(4,2){2}
%\psline(2.6,3.6)(1.5,3.6)(0.3,2.4)(7.5,2.4)(8.9,3.6)(5.3,3.6)
%\psline[linestyle=dashed](5.3,3.6)(2.6,3.6)
%\pspolygon[linestyle=dashed](4,2)(4,3.05)(5.7,2.9)
%\psellipticarc(4,3.05)(1.71,0.45){180}{0}
%\psellipticarc[linestyle=dashed](4,3.05)(1.71,0.45){0}{180}
%\uput[d](4,2){O}\uput[ul](4,2.85){H} \uput[dr](5.7,2.9){A}
%\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item $V = \dfrac{4\times \pi \times 7^3}{3} \approx \np{1436,76}$ soit environ \np{1437}~cm$^3$ au cm$^3$ près.
\item La section de la sphère par le plan est un cercle.
\item Le triangle OHQ est rectangle en H. le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle s'écrit :

$\text{OA}^2 =  + \text{HA}^2$ d'où $\text{HA}^2 = \text{OA}^2 - \text{OH}^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$. Donc $\text{OA} = \sqrt{33}$~cm.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

%La construction de la cathédrale de Mata
%Utu à Wallis, date de 1951 et s'est faite sans suivre de
%plan. Tout s'est fait avec les qualités visuelles et manuelles
%des ouvriers.
%
%C'est pourquoi aucune donnée \og numérique \fg{} ne reste de
%cette construction (hauteur, longueur, ...).
%
%Un jour, le jeune Paulo a voulu calculer la hauteur de la
%cathédrale. Il fait alors une figure la représentant vue de
%côté (voir ci-dessous) en nommant les points O, A, B et C
%qui vont lui permettre de faire le calcul.
%
%Grâce à un instrument de mesure placé en O à 1,80~m du sol, il mesure l'angle $\widehat{\text{COB}}$ qui fait 48\,\degres.
%
%Ensuite, il trouve OB = 15m (on suppose que les murs de la cathédrale sont bien perpendiculaires au
%sol).
%
%Calculer alors la hauteur CA de la cathédrale (arrondie au dixième de mètre).
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.65cm}
%\begin{pspicture}(19,10)
%\pspolygon(0.8,1.8)(5.8,1.8)(5.8,8.4)
%\pspolygon(5.8,6.3)(15.1,6.3)(16.8,4.6)(16,4.6)(16,3.4)(16.8,2.8)(16,2.8)(16,1)(5.8,1)
%\psline(5.8,8.4)(6.24,8.4)(6.24,8)(6.68,8)(6.68,8.4)(7.12,8.4)(7.12,8)(7.56,8)(7.56,8.4)(8,8.4)(8,1)
%\psline(5.8,4.6)(16,4.6)
%\psline(5.8,2.8)(16,2.8)
%\psline(8.5,4.6)(8.5,1)
%\psline(8.5,3.4)(16,3.4)
%\psarc(0.8,1.8){0.7}{0}{49}
%\psframe(5.8,1.8)(5.4,2.2)
%\psline(9.7,1)(9.7,1.7)\psline(10.4,1)(10.4,1.7)\psarc(10.05,1.7){0.35}{0}{180}
%\psline(11.8,1)(11.8,1.7)\psline(12.5,1)(12.5,1.7)\psarc(12.15,1.7){0.35}{0}{180}
%\psline(13.9,1)(13.9,1.7)\psline(14.6,1)(14.6,1.7)\psarc(14.25,1.7){0.35}{0}{180}
%\psline(6.7,3.7)(6.7,3)(7.4,3)(7.4,3.7)\psarc(7.05,3.7){0.35}{0}{180}
%\psline(6.7,5.5)(6.7,4.8)(7.4,4.8)(7.4,5.5)\psarc(7.05,5.5){0.35}{0}{180}
%\psline(6.7,7.3)(6.7,6.6)(7.4,6.6)(7.4,7.3)\psarc(7.05,7.3){0.35}{0}{180}
%\uput[dl](0.8,1.8){O} \uput[d](5.8,1){A} \uput[dr](5.8,2){B} \uput[ul](5.8,8.4){C}
%\rput(2,2.4){48\,\degres} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

Dans le triangle OBC rectangle en B, on a $\tan \widehat{\text{BOC}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{OB}}$ d'où $\text{CB} = \text{OB} \times \tan \widehat{\text{BOC}} \approx 16,659$~(m) soit 16,7~m au décimètre près.

La hauteur de la cathédrale est donc : $16,7 + 1,8 = 18,5$~m au décimètre près.

\vspace{0,5cm}

\textbf{III -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

%\emph{Ce problème est composé de trois parties indépendantes}
%
%\medskip
%
%Un vidéoclub de Nouméa propose deux tarifs annuels différents pour la location de DVD.
%
%Tarif A : 450~F pour la location de chaque DVD.
%
%Tarif B : \np{4500}~F en début d'année et 300~F pour la location de chaque DVD.
%
%\medskip

\begin{center}\textbf{Partie 1} \end{center}

\begin{enumerate}
\item %Compléter le premier tableau se trouvant sur l'annexe.
Voir l'annexe.
\item %$Si $x$ désigne le nombre de DVD loués, le prix payé avec le tarif A est donné par $A(x) = 450x$ et le prix payé avec le tarif B est donné par $B(x) = 300x + \np{4500}$.

%Construire, sur le quadrillage de la page annexe, dans un même repère orthogonal, D$_{\text{A}}$ et D$_{\text{B}}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $A$ et $B$. (On prendra, en plaçant l'origine en bas à gauche :

%$\bullet~~$ 1 carreau pour représenter 5 DVD sur l'axe des abscisses ;
%
%$\bullet~~$ 1 carreau pour représenter \np{3000}~F sur l'axe des ordonnées).
Voir l'annexe.
\item %Pour quel nombre de DVD les deux tarifs sont-ils égaux ? Justifier votre réponse.
On a $A(x) = B(x)$ si $450x = 300x + \np{4500}$, soit si $150x = \np{4500}$, donc $x = 30$.
\item %À l'aide du graphique, indiquer quel tarif semble être le plus avantageux selon le nombre de
%DVD loués.
$\bullet~~$De 1 à 29 DVD loués la formule A est la plus avantageuse ;

$\bullet~~$Pour 30 DVD loués les deux formules ont le même coût ;

$\bullet~~$À partir de 31 DVD loués, la formule B devient la plus avantageuse.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie 2} \end{center}

%Hier, 20 clients sont venus au vidéoclub.

%Le gérant s'est amusé à noter les âges de ces clients dont voici les résultats :
%\begin{center}
%21-- 33--18--46--21--21--33--46--30--15--15--18--18--46--33--30--21--15--50--50
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Compléter le deuxième tableau de la page annexe, qui représente les âges des 20 clients d'hier.
Voir l'annexe.
\item %Calculer le pourcentage que représentent les personnes ayant plus de 20 ans.
14 personnes ont plus de 20 ans, ce qui représente $\dfrac{14}{20} \times 100 = 70\,\%$.
\item %Calculer l'âge moyen des abonnés.
L'âge moyen est égal à : $\dfrac{3\times 15 + 3\times 18 + 4\times 21 + \cdots + 2\times 50}{20} = \dfrac{580}{20} = 29$~ans.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie 3} \end{center}

%Le patron veut se \og débarrasser \fg{} de ses vieux films DVD. Il décide d'en faire des lots pour
%récompenser en fin d'année ses meilleurs abonnés. Il y a \np{2646}~films pour enfants et \np{4410} ~films divers à offrir.
%
%Le gérant veut :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item que les lots soient tous identiques (c'est-à-dire qu'il y ait le même nombre de films pour enfants
%et de films divers dans chaque lot)
%\item que tous les films soient utilisés dans les lots.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Combien de lots, au maximum, le gérant peut-il faire ? Expliquer votre raisonnement.
Le nombre de films d'enfants et de films divers doivent être des diviseurs de \np{2646} et de \np{4410}. Le plus grand nombre de lots correspond donc au diviseur commun à ces deux nombres le plus grand, c'est-à-dire au PGCD de \np{2646} et de \np{4410}.

Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide :

$\np{4410} = \np{2646}\times 1 + \np{1764}$ ;

$\np{2646} =  \np{1764} \times1 + 882$ ;

$\np{1764} = 882 \times 2 + 0$.

Le PGCD de \np{2646} et de \np{4410} est donc 882. Il peut faire 882 identiques.
\item %Donner alors la composition de chaque lot.
Comme $\np{4410} = 882 \times 5$ et $\np{2646} = 882 \times 3$, les 882 lots contiendront 3 films pour enfants et 5 films divers.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}
\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Problème / Partie 1/ 1.}\end{flushleft}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de DVD loués dans l'année& 20		& 40		& 80		& $x$\\ \hline%
Prix payé avec le tarif A		&\np{9000}	&\np{18000}	&\np{36000}	&$450x$\\ \hline%
Prix payé avec le tarif B		&\np{10500}	&\np{16500}	&\np{28500}	&\footnotesize$300x + \np{4500}$\\ \hline%
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Problème / Partie 1/ 2.}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=0.125cm,yunit=0.000333cm}
\begin{pspicture}(-1,-5000)(80,30000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2000](0,0)(80,30000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{66.667}{450 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{80}{300 x mul 4500 add}
\uput[u](70,0){nombre de DVD}\uput[r](0,30000){F}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](30,0)(30,13500)(0,13500)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Problème / Partie 2/ 1.}\end{flushleft}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge (en années)	&15	&18	&21	&30	&33	&46	&50\\ \hline%
Effectif		&3	&3	&4	&2	&3	&3	&2\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{document}\textbf{}