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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet  Nouvelle Calédonie mars 2010 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%Pour chacune des propositions trois réponses sont proposées et une seule est exacte.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\ \hline
%$5^4$ est égal à :&$5 \times 5 \times 5$&125&625\\ \hline
%La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :&	$- 15$&8,66&8,67\\ \hline
%L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&$49 - 9x^2$&$49 - 3x^2$&$14 - 9x^2$\\ \hline
%Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est :&3&21&13\\ \hline
%L'équation $(2x + 4)((x - 9) = 0$ a pour solutions :&$- 2$ et 9&2 et $- 9$&6 et 9\\ \hline
%\end{tabularx} 
%
%\medskip
%
%
%Recopier la réponse sur le tableau ci-après.

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|m{5cm}|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\textbf{Réponse }\\ \hline
$5^4$ est égal à :&625\\ \hline
La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :&8,66\\ \hline
L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&$49 - 9x^2$\\ \hline
Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est :&21\\ \hline
L'équation $(2x + 4)(x - 9) = 0$ a pour solutions :&$- 2$ et $9$\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Recopier et compléter :}

\begin{enumerate}
\item Le double de 100 est 200
\item La moitié de 100 est 50
\item le carré de 100 est \np{10000}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'équipe de volley du collège est constituée de 6 joueurs. Parmi ces joueurs, l'un d'eux se prénomme Patrick. Le professeur d'EPS désigne au hasard l'élève qui sera le capitaine de l'équipe.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que Patrick soit le capitaine de cette équipe ?
La probabilité est égale à $\dfrac{1}{6}$.
\item Deux tiers des ces joueurs de volley mesurent 1 m 80 ou plus. Quelle est la probabilité qu'un joueur de l'équipe mesure moins de 1 m 80 ?
On a $1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3 - 2}{3} = \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

%\textbf{Dans cette exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
%
%Un automobiliste quitte Nouméa pour aller à la foire de Koumac. Le véhicule a parcouru 348 kilomètres en 240 minutes. On considère que la vitesse du véhicule est constante.
%
%Sachant que la vitesse réglementaire est limitée à 110~km/h sur les routes de Nouvelle-Calédonie, l'automobiliste a-t-il respecté la réglementation de vitesse ?
Il a donc parcouru 174 km en 120 min ou 87 en 60 min, soit 87~km/h : il a respecté la limitation de vitesse.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textsc{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Construire un triangle ABC tel que AC $ = 12$~cm, AB $= 13$~cm et BC $ = 5$~cm.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(14,6.5)
%\psgrid
\psarc(0.5,0.5){12}{15}{30}
\psarc(0.5,0.5){9}{15}{30}
\psarc(13.5,0.5){5}{110}{140}
\pspolygon(0.5,0.5)(13.5,0.5)(11.59,5.1)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](13.5,0.5){B} \uput[u](11.59,5.1){C}
\uput[ul](8.75,3.95){R}\uput[d](10.22,0.5){T}
\psline(8.81,3.95)(10.25,0.5)
\rput{-67.38}(8.81,3.95){\psframe(0.3,0.3)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9~m.
Voir la figure.
\item %Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la droite (AC).
Voir la figure.
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
On a $\text{AB}^2 = 13^2 = 169$ et $\text{AC}^2 + \text{CB}^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

L'égalité $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{CB}^2$, montre par réciproque du théorème de Pythagore que le triangle ABC est rectangle en C.
\item %Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? Justifier.
Comme (RT) et (BC) sont perpendiculaires à la droite (AC), elles sont parallèles.
\item %Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT].
La propriété de Thalès permet d'écrire :

$\dfrac{\text{AR}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AT}}{\text{AB}}$ ou $\dfrac{9}{12} = \dfrac{\text{AT}}{\text{13}}$, soit $\text{AT} = \dfrac{9 \times 13}{12} = \dfrac{3 \times 13}{4} = \dfrac{39}{4} = 9,75$~(cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%\parbox{0.65\linewidth}{\emph{La figure n'est là qu'à titre indicatif et elle n'est pas à reproduire}
%
%Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD tel que AB =  5~cm et sa hauteur [SH] est de 10~cm.
%
%On coupe la pyramide par un plan (P) parallèle à la base passant par les points M, N, O et P tel que 
%
%SI = 5~cm.} \hfill
%\parbox{0.32\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
%%\psgrid
%\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.5,1.7)(2,3.5)%ABCS
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.5,1.7)(2.5,0.5)%ADB
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.5,1.7)(1.5,1.7)%ACD
%\psline[linestyle=dashed](2,3.5)(1.5,1.7)%SD
%\psline[linestyle=dashed](2,3.5)(2,1.1)%SH
%\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[r](3.5,1.7){C} 
%\uput[ul](1.5,1.7){D} \uput[u](2,3.5){S} \uput[ur](2,1.1){H} 
%\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item %Le volume d'une pyramide est donné par la formule $v = \dfrac{b \times h}{3}$ avec $b$ l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.

%Calculer le volume de la pyramide SABCD au cm$^3$ près.
On a $V = \dfrac{5^2 \times 10}{3} = \dfrac{250}{3} \approx 83,33$ soit 83~cm$^3$ au cm$^3$ près.
\item %Quelle est la nature de la section de de la pyramide par ce plan ?
La section est également un carré.
\item %La pyramide SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD. Calculer le coefficient de cette réduction.
Comme $\dfrac{\text{SI}}{\text{SH}} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = 0,5$, le coefficient de réduction est $\dfrac{1}{2}$.
\item %Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la section MNOP.
Le côté du carré MNOP est donc $\dfrac{5}{2} = 2,5$, donc l'aire est égale à $2,5^2 = 6,25$~cm$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\medskip

%Deux frères, étudiants, Max et Mathieu effectuent de petits boulots pour leur argent de poche.
%
%Max travaille à la bibliothèque universitaire. Pour cela il est payé 800~francs de l'heure et reçoit un salaire fixe de \np{4000}~francs par mois.
%
%Mathieu fait régulièrement du baby-sitting pour ses voisins et il est rémunéré \np{1000}~francs de l'heure.
%
%\medskip

\textsc{Première partie  : Max et Mathieu}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la somme gagnée par Max lorsqu'il a travaillé 10~heures dans le mois.
Max a gagné $\np{4000} + 10 \times 800 = \np{12000}$~francs.
\item %Calculer la somme gagnée par Mathieu lorsqu'il a travaillé 21~heures dans le mois.
Mathieu a gagné $21 \times \np{1000} = \np{21000}$~francs.
\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'heures de travail faites
 dans le mois							&0			&12			&20			&27\\ \hline
Somme d'argent reçue par Max		&\np{4000}	&\np{13600}	&\np{20000}	&\np{25600}\\ \hline
Somme d'argent reçue par Mathieu 	&0			&\np{12000}	&\np{20000}	&\np{27000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Soit $x$ le nombre d'heures de travail effectuées par chacun des deux frères par mois.

%On considère les fonctions $f : \quad x \mapsto 800x + \np{4000}$ et $g : \quad x \mapsto \np{1000}x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Que représente la fonction $f$ ?
$f(x)$ est la somme reçue par Max quand il a travaillé $x$ heures.
		\item %Que représente la fonction $g$ ?
$g(x)$ est la somme reçue par Mathieu quand il a travaillé $x$ heures.
	\end{enumerate}
\item Sans effectuer de calculs :
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est l'image de 27 par la fonction $f$ ?
$f(x) = \np{25600}$ (tableau)
		\item %Quel est l'antécédent de \np{12000} par la fonction $g$ ?
$g(12) = \np{2000}$, donc 12 est un antécédent de \np{12000}. (tableau)
	\end{enumerate}
\item ~%Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.0004cm}
\begin{pspicture}(-3,-3000)(32,24000)
\uput[u](30,0){Heures}\uput[r](0,23500){Gains}
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,24000)}
\multido{\n=0+1000}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=30000]{->}(0,0)(32,24000)
\multido{\n=0+2000}{13}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{800 x mul 4000 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{24}{1000 x mul}
\rput{45}(4,8000){\blue $f(x) = 800x + \np{4000}$}
\rput{54}(4,5000){\cyan $g(x) = \np{1000}x$}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](5,0)(5,8000)(0,8000)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,ArrowInside=->](10.1,0)(10.1,12000)(0,12000)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,10000)(10,10000)(10,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](20,0)(20,20000)(0,20000)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textsc{Deuxième partie  : Interprétation graphique}

\medskip

%\emph{Pour les questions suivantes, on ne demande aucun calcul, mais on fera apparaître sur le graphique les traits de construction permettant d'y répondre}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Si Max a travaillé 5~heures dans le mois, combien a-t-il gagné ?
$f(5) = \np{4000} + 800 \times 5 = \np{8000}$. Max a gagné \np{8000}~francs.
\item %Combien d'heures de baby-setting Mathieu a-t-il fait dans le mois pour gagner \np{10000}~francs ?
On a $g(10) = \np{10000}$, donc Mathieu a fait 10 heures de baby-setting.
\item %À partir de combien d'heures de travail effectuées dans le mois Mathieu gagne-t-il plus d'argent que Max ?
Pour 20 heures travaillées Max et Mathieu gagnent autant. À partir de 21 heures travaillées, Mathieu gagne plus que Max.
\item %Si Max et Mathieu ont travaillé 10~heures, lequel des deux a gagné le plus d'argent ?
Pour 10 heures travaillées, Max a gagné \np{12000}~francs et Mathieu \np{10000}~francs. C'est Max qui a gagné le plus.
\end{enumerate}
\end{document}