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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\mars  2013}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
%Pour chaque ligne du tableau trois réponses sont proposées mais une seule est exacte.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.}
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%1& 
%Trois mille trente et trois centièmes s'écrit:& 
%\np{300030,300}&\np{3030,300}&\np{3030,03}\\ \hline 
%2&$\np{2080} + 10 + 10$ est égal à :& \np{3000} &\np{2100} &\np{3100}\\ \hline  
%3& $3x \times 2x$ est égal à : &$6x$ &$5x^2$ &$6x^2$\\ \hline 
%4 &$5 \times 10^{-3}$ est égal à :& $50^{-3}$ &$-5000$ &$0,005$\\ \hline 
%5 &Les solutions de l'équation {$x(x~+~ 7)~=~0$} sont :& 0 et $-7$& 0 et 7& 
%1 et $-7$\\ \hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}6 &$\sqrt{16} + \sqrt{9}$ est égal à :& $7$& $\sqrt{4} + \sqrt{3}$& $\sqrt{25}$\\ \hline 
%7&Pierre va à vélo au collège, il part à 6~h~38. Son trajet dure 25 minutes. 
%Les cours commencent à 7~h~05. Il arrivera :&À l'heure& En avance& En retard\\ \hline 
%8& Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilité que la carte tirée soit un as ?&$\dfrac{1}{52}$&$0,077$&$\dfrac{4}{52}$\\ \hline 
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item \np{3030,300}
\item \np{2100}
\item $6x^2$
\item $0,005$
\item 0 et $-7$
\item 7
\item 6 h 38 min + 25 min= 7 h 3 min : il arrivera en avance.
\item 4as dans un jeu de 52 cartes ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip
 
%\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Un œuf de poule pèse en moyenne 63 grammes. Sachant que :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] le blanc d'œuf est deux fois plus lourd que le jaune d'œuf, 
%\item[$\bullet~~$] le jaune d'œuf est deux fois plus lourd que la coquille,
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%combien pèse la coquille d'un œuf de poule ?
Soient $b$, $j$ et $c$ les poids respectifs du blanc, du jaune et de la coquille.

On a $j = 2c$ et $b = 2j = 2 \times 2c = 4c$.

Donc $b + j + c = 4c + 2c + c = 63$ ou $7c = 63$ et enfin $c = 9$~(g).

\emph{Remarque} : $j = 2c = 18$ et $b = 4c = 36$. On a bien $36 + 18 + 9 = 63$~(g).

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}} 

\medskip

%\parbox{5cm}{La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD tel que : 
%
%AB = 12 cm ; CD = 9 cm ; BC = 5cm.}\hfill
%\parbox{6.5cm}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,4)
%\psframe(0.5,0.5)(3.5,3.5)
%\psline(3.5,0.5)(5.5,0.5)(3.5,3.5)
%\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[d](3.5,0.5){H} \uput[ur](3.5,3.5){C} 
%\uput[ul](0.5,3.5){D} \uput[d](5.5,0.5){E}
%\psframe(0.5,0.5)(0.8,0.8) \psframe(0.5,3.5)(0.8,3.2)
%\psframe(3.5,0.5)(3.2,0.8)  
%\end{pspicture}
%} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %H est le pied de la hauteur issue de C. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que HB $= 3$~cm.
Le quadrilatère ADCH ayant trois angles droits est un rectangle ; les côtés opposés ont même longueur, donc CD = AH = 9.

Donc BH = AB $- \text{AH} = 12 - 9 = 3$~(cm). 
		\item %Calculer CH.
Dans le triangle CBH rectangle en H, le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{CH}^2 + \text{HB}^2 = \text{CB}^2$ d'où   $\text{CH}^2 = \text{CB}^2 - \text{CHB}^2 = 5^2 - 3^2 = 16 = 4^2$ ; CH = 4~(cm)
		\item %Déduire que le périmètre de ABCD est égal à $30$~cm.
Le périmètre est égal à AB + BC + CD = DA $ = 12 + 5 + 9 + 4 = 30$~(cm). 
	\end{enumerate} 
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ au degré près.
Dans le triangle CBH rectangle en H, on a $\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{HB}}{\text{CH}}  = \dfrac{3}{4} = 0,75$. La calculatrice donne $ \widehat{\text{ABC}} \approx 41,41$ soit 41\degres au degré près
\item ~
%Représenter sur la copie la figure aux dimensions réelles.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(13,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(12.5,0.5)(9.5,4.5)(0.5,4.5)%ABCD
\psline(9.5,4.5)(9.5,0.5)%CH(9.5,2.5)
\psline(9.5,4.5)(0.5,0.5)%CA
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](12.5,0.5){B} \uput[ur](9.5,4.5){C} \uput[ul](0.5,4.5){D} \uput[d](9.5,0.5){H} 
\psline(9.5,0.5)(18.5,4.5)
\uput[u](11.8,1.5){M}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\item %La parallèle à (AC) passant par H coupe la droite (BC) en M. Compléter la figure.
Voir ci-dessus. 
\item %Calculer BM.
Les droites (HM) et (AC) sont parallèles ; les points B, H, A d'une part, B, M, C de l'autre sont alignés dans cet ordre. Le théorème de Thalès permet d'écrire :

$\dfrac{\text{BH}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BM}}{\text{BC}}$  d'où BM $ = \dfrac{\text{BH}\times \text{BC}}{\text{BA}} = \dfrac{3 \times 5}{12} = \dfrac{5}{4} = 1,25$~(cm). 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}} 

\medskip

%Dans cet exercice on utilisera et on complétera la figure située en annexe.
% 
%\medskip
%  
%Un après-midi, Juliette observe son poisson Roméo en se plaçant au dessus de son aquarium de forme sphérique. Elle remarque le drôle de manège de son poisson nageant à la surface :
%
%\setlength\parindent{6mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] il part d'une paroi de l'aquarium et nage 12 cm avant d'atteindre à nouveau la paroi, 
%\item[$\bullet~~$] il change alors de direction et nage encore 5 cm avant d'atteindre à nouveau la paroi se trouvant alors en un point diamétralement opposé à son point de départ,
%\item[$\bullet~~$] il rejoint directement son point de départ.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le poisson effectue chaque déplacement en ligne droite. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter l'annexe en représentant le déplacement de Roméo à la surface de l'eau, vu de dessus.
Voir l'annexe. 
\item %Quelle est la nature de la figure parcourue par Roméo ? Justifier.
Les trois points appartiennent au cercle ; si les points de départ et d'arrivée sont les extrémités d'un diamètre, les trois points sont les sommets d'un triangle rectangle de sommet le point intermédiaire. 
\item %Calculer la distance totale parcourue par Roméo.
Si D, I, J sont les points sommets du triangle rectangle, [DJ] étant le diamètre, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

$\text{DJ}^2 = \text{DI}^2 + \text{IJ}^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2$ ; donc DJ $ = 13$~(cm).

Roméo parcourt donc à chaque tour : $12 + 5 + 13 = 30$~(cm).
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}} 

\medskip 

%\parbox{0.65\linewidth}{Au lycée professionnel, Jacques et Patrick, futurs maçons, s'entrainent en construisant un mur chacun.
% 
%Leur professeur M. Ecker vient vérifier si chaque mur est bien \og droit \fg, c'est-à-dire perpendiculaire au sol.
% 
%Ayant oublié sa caisse à outils dans son atelier, il ne possède que le mètre ruban qu'il avait dans sa poche.
% 
%Pour chacun des murs, M. Ecker place au pied du mur un point I puis un point H à 60 cm de hauteur sur le mur et un autre point S au sol à 80 cm de I, puis il mesure la longueur HS.
% 
%Pour le mur de Jacques il trouve 1~m et pour celui de Patrick $95$~cm.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le mur de Jacques est-t-il \og droit \fg{} ? Détailler votre raisonnement.
On a $\text{HI}^2 + \text{IS}^2 = 0,6^2 + 0,8^2 = 0,36 + 0,64 = 1$ et $\text{HS}^2  = 1^2$.

On a donc  $\text{HS}^2  = \text{HI}^2 + \text{IS}^2$ donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HIS est rectangle en I. Le mur de Jacques est \og droit \fg.
\item %Et celui de Patrick ? Justifier.
Pour Patrick on trouve $\text{HS}^2 = 0,95^2 \ne 1$, donc la réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vraie, le triangle n'est pas rectangle ; le mur de Patrick n'est pas \og droit \fg.
\end{enumerate}
%}\hfill
%\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(4,8)
%\pspolygon(0.5,2.5)(4,3.5)(4,7.7)(0.5,6.7)
%\psline(4,7.7)(3.7,7.9)(0.2,6.9)(0.5,6.7)
%\psline(0.5,2.5)(0.2,2.7)(0.2,6.9)
%\psline[linewidth=1pt](1,5.4)(1,2.62)(3.9,0.2)
%\uput[ur](1,5.4){H} \uput[dl](1,2.62){I} \uput[r](3.9,0.2){S}
%\rput(2,6.4){Mur} 
%\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{I -- PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Première partie}
 
\medskip
  
%A Poindimié, Torres possède un enclos de $18$~animaux avec uniquement des poules et des chèvres. Torres dit à son petit-fils : \og Je compte 40 pattes, peux-tu me dire quel est le nombre de poules et le nombre de chèvres dans mon enclos ? \fg 
%Son petit-fils lui répond : \og Eh bien ... oui. \fg 
%
%Déterminer le nombre de poules et le nombre de chèvres possédées par Torres. 
Avec $p$ poules et $c$ chèvres on a $p + c = 18$ \quad (1).

On compte les pattes  : 2 par poule, 4 par chèvre soit :

$2p + 4c = 40$ ou plus simplement $p + 2c = 20$\quad (2). Par différence entre (2) et (1), on obtient $c = 2$, d'où $p = 16$.

Torres a 16 poules et 2 chèvres.

\medskip 

\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
%Comme cuve de récupération d'eau de pluie, Torres utilise un pavé droit dont les dimensions sont indiquées sur le schéma ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,5)
%\psframe(0.5,0.5)(7,3.5)
%\psline(7,0.5)(8.5,1.5)(8.5,4.5)(7,3.5)
%\psline(8.5,4.5)(2,4.5)(0.5,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2,1.5)(2,4.5)
%\psline[linestyle=dashed](2,1.5)(8.5,1.5)
%\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 3]{<->}(2,4.7)(8.5,4.7)\uput[u](5.25,4.7){1~m}
%\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 3]{<->}(0.3,0.5)(0.3,3.5)\uput[l](0.3,2){50~cm}
%\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 3]{<->}(0.3,3.55)(2,4.7)\rput{33}(1.15,4.5){60~cm}
%\uput[dr](2,4.5){A} \uput[r](8.5,4.5){B} \uput[dr](7,3.5){C} \uput[dr](0.5,3.5){D} 
%\uput[ur](2,1.5){E} \uput[r](8.5,1.5){F} \uput[dr](7,0.5){G} \uput[d](0.5,0.5){H} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le volume de la cuve est de \np{300000} cm$^3$. 
On a $V = 100 \times 60 \times 50 = \np{300000}$~cm$^3$.
%En déduire sa contenance en litres.
 
$\np{300000}$~cm$^3 = 300$~dm$^3$ ou 300~L.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%Rappels : $V_{\text{pavé droit}} = \ell \times  L \times h$ où $\ell$ désigne la largeur, $L$ la longueur et $h$ la hauteur.\\ 
%1~dm$^3 = 1$L\\ \hline
%\end{tabularx}
 
\item %Montrer que l'aire de la surface ABCD de récupération de l'eau de pluie est de $0,6$~m$^2$.
L'aire du rectangle ABCD est $100 \times 60 = \np{6000}$~cm$^2$ ou 60~dm$^2$ ou 0,6~m$^2$. 
\item %On donne le tableau suivant :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\multicolumn{10}{c}{\textbf{Données de Météo France, Nouvelle-Calédonie}}\\ \cline{2-10} 
%\multicolumn{1}{c|}{}&\multicolumn{9}{c|}{Quantité d'eau de pluie tombée en mm}\\ \hline 
%\multicolumn{1}{|c|}{}&\multicolumn{9}{c|}{Communes}\\ \cline{2-10} 
%Année&\tiny Nouméa &\tiny LaFoa &\tiny Koné &\tiny Koumac &\tiny Poindimié &\tiny \^Ile des pins &\tiny La Roche &\tiny Ouloup &\tiny Belep\\ \hline 
%2008 &\np{1232} &\np{1831} &\np{1531} &\np{1557} &\np{3890} &\np{2228} &\np{2038} &\np{2142} &\np{2144}\\ \hline 
%2009 &\np{1129} &\np{1386} &\np{1576} &\np{1463} &\np{3448} &\np{2013} &\np{1997} &\np{1498} &\np{1391}\\ \hline 
%2010 &936 &734 &809 &997 &\np{2252} &\np{1196} &\np{1298} &\np{1181} &\np{1466}\\ \hline 
%2011 &\np{1596} &\np{1280} &\np{1212} &\np{1193} &\np{2550} &\np{1875} &\np{2443} &\np{1810} &\np{1849}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Par lecture du tableau, donner en millimètres la quantité d'eau de pluie tombée au cours de l'année 2011 dans la commune où habite Torres.
À Poindimié il est tombé en 2011 \np{2550}~mm d'eau de pluie. 
\item %On précise que 1~mm d'eau récupéré, c'est 1~litre d'eau lorsque la surface est 1~m$^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer dans le tableau de proportionnalité situé en annexe la réponse obtenue à la question 2. 
		\item %Calculer le volume maximal $x$ d'eau récupérée en 2011 par Torres.
		D'après le tableau de proportionnalité de l'annexe Torres a récupéré : $0,6 \times \np{2550} = \np{1530}$~litres
	\end{enumerate} 
\item %En 2011, Torres a récupéré \np{1530}~L d'eau de pluie.
 
%Il faut en moyenne $1,5$~L d'eau par semaine pour abreuver une poule. 
	\begin{enumerate}
		\item %Torres a-t-il eu suffisamment d'eau pour abreuver \og gratuitement\fg ses 16 poules durant l'année 2011 ? Justifier. 

%Rappel : il y a 52 semaines dans une année.
Il lui faut : $52 \times 16 \times 1,5 = 52 \times 24 = \np{1248}$~litres. Il en a donc assez. 
		\item %Combien de litres ne seront pas consommés ? 
Il lui reste $\np{1530} - \np{1248} = 282$~litres.
		\item %En se basant sur les résultats précédents, combien de poules supplémentaires pourrait-il abreuver ?
		Une poule a besoin en un an de $\times 16 \times 1,5 = 24$~litres. Il pourrait donc acheter :
		
		$\dfrac{282}{24} = \dfrac{141}{12} = \dfrac{47}{4} = 11,75$, soit 11 poules au plus.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}\\ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 2 :} 
\end{flushleft}

\bigskip
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-7,-7)(7,7) 
\pscircle(0,0){6.5}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](6.5;30)(0;0)(6.5;210)
\psarc(6.5;30){12}{180}{200}
\psarc(6.5;210){5}{80}{120}
\uput[ur](6.5;30){\textbf{DÉPART}}
\pspolygon(6.5;30)(6.5;165)(6.5;210)
\uput[d](6.5;30){D}\uput[ul](6.5;165){I}\uput[dl](6.5;210){J}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Problème :}

\bigskip
\textbf{Question 4. a :} 
\end{flushleft}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{4.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Volume d'eau récupérée en litres &
\np{2550}& $x$\\ \hline 
Aire de récupération en m$^2$&$1$& 0,6\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}