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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet  Nouvelle Calédonie mars 2011 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le PGCD de \np{1755} et \np{1053}. Justifier votre réponse. 
Avec l'algorithme d'Euclide :

$\np{1755} = 1 \times \np{1053} + 702$ ;

$\np{1053} = 1 \times 702 + 351$ ;

$702 = 2 \times 351 + 0$.

Le PGCD à \np{1755} et \np{1053} est donc 351.
\item %Écrire la fraction $\dfrac{\np{1053}}{\np{1755}}$ sous la forme irréductible.
$\dfrac{\np{1053}}{\np{1755}} = \dfrac{351 \times 3}{351 \times 5} = \dfrac{3}{5}$. 
\item %Un collectionneur de coquillages (un conchyliologue) 
%possède \np{1755}~cônes et \np{1053} porcelaines.
 
%Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser ?
le nombre de cônes et de porcelaines doivent être des diviseurs des deux nombres et le nombre de lots le plus grand correspond au diviseur commun le plus grand, c'est-à-dire au PGCD à  \np{1755} et \np{1053}. On a vu au dessus que ce PGCD est égal à 351.
		\item %Combien y aura-t-il, dans ce cas, de cônes et de porcelaines par lot ?
Comme $\np{1053} = 351 \times 3$ et $\np{1755} = 351 \times 5$, il y aura dans chacun des 351 lots 3 cônes et 5 porcelaines.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%\parbox{0.48\linewidth}{
%Ci-contre, la droite $d$ est la représentation graphique d'une fonction linéaire $f$. 
%\begin{enumerate}
%\item Lire sur le graphique l'image de 2 par la fonction $f$. 
%\item Lire sur le graphique $f(- 1)$. 
%\item Lire sur le graphique l'antécédent de 2 par la fonction $f$. 
%\item À l'aide du graphique, trouver $x$ tel que $f(x) = - 1$.
%\end{enumerate}} \hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-2,-1)(4,2.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
%\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true]{->}(0,0)(-1.95,-0.95)(4,2.5)
%\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,-1)(4,2) \uput[dr](0,0){O}
%\end{pspicture*}}
\begin{enumerate}
\item L'image de 2 par $f$ est 1.
\item $f(- 1) = - 0,5$.
\item L'antécédent de 2 est 4.
\item Il faut trouver les antécédents de $- 1$ : il n'y a que $- 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3} 

\medskip

%On écrit sur les faces d'un dé équilibré à six faces, chacune des lettres du mot: 
%\begin{center}
%\textbf{N\:O\:T\:O\:U\:S}\end{center} 
%On lance le dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelles sont les issues de cette expérience ?
On peut avoir : N, O, S, T ou U. 
\item %Déterminer la probabilité de chacun des évènements: 
	\begin{enumerate}
		\item %E$_{1}$ : \og On obtient la lettre O \fg.
$p\left(\text{E}_{1}\right) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. 
		\item %Soit E$_{2}$ l'évènement contraire de E$_{1}$. Décrire E$_{2}$ et calculer sa probabilité.
E$_{2}$ : \og On ne tire pas la lettre O.  $p\left(\text{E}_{2}\right) = 1 - p\left(\text{E}_{1}\right) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
		\item %E$_{3}$ : \og On obtient une consonne \fg.
$p\left(\text{E}_{3}\right) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. 
		\item %E$_{4}$ : \og On obtient une lettre du mot K\:I\:W\:I \fg.
$p\left(\text{E}_{4}\right) = 0$, car il n'y a aucune lettre de KIWI dans NOTOUS.  
		\item %E$_{5}$ : \og On obtient une lettre du mot C\:A\:G\:O\:U\:S \fg.
$p\left(\text{E}_{5}\right) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Voir à la fin.
 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
% 
%Pour chacune des quatre affirmations, une seule des réponses proposées est exacte.
% 
%Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe en entourant distinctement la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
% 
%Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse.

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

%Un cycliste se trouve sur un chemin (CB]. On donne AH = 100 m, HB = 400 m et $\widehat{\text{ABC}} = 10~\degres$. 
% 
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,3)
%\pspolygon(0.25,0.25)(5.75,0.25)(0.25,2.25)
%\psline(2,0.25)(2,1.6)
%\uput[dl](0.25,0.25){A} \uput[r](5.75,0.25){B} \uput[ul](0.25,2.25){C} \uput[u](2,1.6){D} \uput[d](2,0.25){H} 
%\uput[d](1.125,0.25){100~m}\uput[d](3.875,0.25){400~m}
%\psframe(0.25,0.25)(0.45,0.45)\psframe(2,0.25)(2.2,0.45)
%\end{pspicture}}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\begin{enumerate}
%\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$. 
%\item Calculer le dénivelé AC arrondi au mètre. 
%\item Calculer la longueur BC arrondie au mètre. 
%\item Le cycliste est arrêté au point D sur le chemin.
% 
%Calculer la distance DB arrondie au mètre qu'il lui reste à parcourir. 
%\end{enumerate}}
\begin{enumerate}
\item $\widehat{\text{BCA}}$ est le complémentaire de $\widehat{\text{ABC}}$, donc $\widehat{\text{BCA}} = 90 - 10 = 80$.
\item Dans le triangle ABC rectangle en A, on a $\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AC}}{100 + 400} $.

Donc $\text{AC} = 500 \times \tan 10 \approx 88,16$ soit environ 88~m.
\item On a aussi $\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$.

Donc $\text{BC} = \dfrac{\text{AB}}{\cos \widehat{\text{ABC}}} = \dfrac{500}{\cos 10} \approx 507,7$ soit 508~m au mètre près.
\item Les droites (CA) et (DH) sont perpendiculaires à la même droite (AB) : elles sont parallèles. La propriété de Thalès permet d’écrire :

$\dfrac{\text{BD}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{BH}}{\text{BA}}$ soit $\dfrac{\text{BD}}{508} = \dfrac{400}{500} = \dfrac{4}{5}$, d’où on tire $\text{BD} = 508 \times \dfrac{4}{5} = 406,4$.

Donc DC $ = \text{BC} - \text{BD} \approx 507,7 - 406,4 = 101,3$ soit 101~(m) au mètre près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

%\parbox{0.2\linewidth}{ 
%\textbf{Rappels :}
%
% V$_{\text{cylindre}}  = \pi r^2 h$
% 
%V$_{\text{boule}}  = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ } \hfill 
%\parbox{0.75\linewidth}{Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm.
% 
%Le pot de glace au chocolat ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille.}
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(11,3)
%\psframe(6,1.5)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(6.6,0.8)(6.6,2.3)(6,1.5)
%\psline(6,1.5)(0,1.5)(0.6,2.3)(6.6,2.3)
%\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(0,-0.6)(6,-0.6)
%\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(-0.5,0)(-0.5,1.5)
%\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(6,-0.6)(6.6,0.2)
%\rput(3,0.75){Chocolat }
%\psline(7.5,0)(7.5,2.5)\psline(11,0)(11,2.5)
%\psellipse(9.25,2.5)(1.75,0.4)
%\psellipticarc(9.25,0)(1.75,0.4){-180}{-0}
%\rput(9.25,1){Vanille}
%\uput[u](3,-0.6){20 cm}\uput[dr](6.3,0){15 cm}
%\rput{90}(-0.75,0.75){12 cm}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le volume d'un pot de glace au chocolat est \np{3600}~cm$^3$. 
Le volume du pavé de chocolat est égal à $20 \times 15 \times 12 = \np{3600}$~cm$^3$.
		\item %Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume d'un pot de glace à la vanille.
		Le volume du cylindre de vanille est $\pi \times 7^2 \times 15 = 735\pi~$cm$^3$ soit environ \np{2309}~cm$^3$.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume d'une boule de glace contenue dans la coupe. 
Le volume d’une boule est $\dfrac{4}{3}\times \pi \times 2,1^3 \approx 38,79$ soit environ 39~cm$^3$.
\item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Sachant que le restaurateur doit faire 100~coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ?
Pour faire les 100 coupes il faut 300 boules : 200 de chocolat et 100 de vanille, soit $200 \times 39 = \np{7800}$~cm$^3$ de chocolat et $100 \times 39 = \np{3900}$~cm$^3$ de vanille.

Il faut donc $\dfrac{\np{7800}}{\np{3600}} \approx 2,2$ pots de chocolat et $\dfrac{\np{3900}}{\np{2309}} \approx 1,7$ pots de vanille.

Il devra donc acheter 3 pots de chocolat et 2 pots de vanille. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\medskip
 
%\textbf{Les énergies renouvelables}
%
%\medskip
% 
%\emph{Certaines sources d'énergie (hydrocarbures, nucléaires, charbon, \ldots) posent des problèmes aux gouvernements des pays : effet de serre, stockage des déchets radioactifs,~\ldots\\
% Pour cette raison, les sources d'énergie renouvelables, ou énergies \og bio \fg (énergie éolienne, énergie hydraulique, énergie solaire, géothermie, \ldots) se développent. Elles sont en effet inépuisables, propres et immédiatement disponibles.}
%
%\medskip
% 
%Certains fournisseurs proposent de l'électricité \og bio \fg. 
%
%Une famille étudie deux tarifs d'électricité \og bio \fg{} qui lui sont proposés. 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
%\multicolumn{1}{c|}{~}&Tarif 1 &Tarif 2\\ \hline% 
%Abonnement mensuel (en CFP)& 0 &\np{3600}\\ \hline% 
%Prix par kWh distribué (en CFP)& 24 &14\\ \hline%
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
 
\begin{center}\textbf{Première partie} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Si la famille consomme 300 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2.  : 
Avec le tarif 1 : $300 \times 24 = \np{7200}$.

Avec le tarif 2 : $\np{3600} + 300 \times 14 = \np{7800}$.
\item %Si la famille consomme 450 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2. 
Avec le tarif 1 : $450 \times 24 = \np{10800}$.

Avec le tarif 2 : $\np{3600} + 450 \times 14 = \np{9900}$.
\item %Sachant que la famille a payé \np{11280}~CFP pour le tarif 1 pour un mois, quelle est sa consommation en kWh ? 
Le nombre de KWh consommés est : $\dfrac{\np{11280}}{24} = 470$.
\item %On note $x$ le nombre de kWh d'électricité \og bio \fg{} consommé.
 
%On note $T_{1}(x)$ le coût de l'électricité consommée en un mois pour le tarif 1.

%On note $T_{2}(x)$ le coût de l'électricité consommée en un mois pour le tarif 2. 

%On admet que $T_{1}(x) = 24x$ et que $T_{2}(X) = \np{3600} + 14x$. 

%Trouver pour quelle valeur de $x,\quad T_{1}(x) = T_{2}(x)$.
$T_{1}(x) = T_{2}(x)$ ou $24x = \np{3600} + 14x$ soit $10x = \np{3600}$ et finalement $x = 360$.

Pour une consommation de 360~kWh le coût est le même avec les deux tarifs.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Deuxième partie} \end{center}  
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Sur une feuille de papier millimétré, en plaçant l'origine en bas à gauche de la page, tracer un repère orthogonal.
		
%\setlength\parindent{10mm}		 
%Sur l'axe des abscisses, porter le nombre de kWh consommés : 1 cm représente 50 kWh.

%Sur l'axe des ordonnées, porter le coût en CFP : 1 cm représente 500 CFP.
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.015cm,yunit=0.001cm}
\begin{pspicture}(-50,-700)(600,15000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=1000](0,0)(600,15000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=3600](0,0)(600,370)
\uput[d](50,900){\blue $\left(d_1\right)$}
\uput[d](50,4000){\red$\left(d_2\right)$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{600}{24 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{600}{14 x mul 3600 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](400,0)(400,9600)(0,9600)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,10600)(500,10600)(500,0)%
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Dans le repère précédent, tracer la droite $\left(d_{1}\right)$, représentation graphique de la fonction $T_{1}$.
Voir ci-dessus. 
		\item %Dans le même repère, tracer la droite $\left(d_{2}\right)$, représentation graphique de la fonction $T_{2}$.
Voir ci-dessus.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Graphiquement, déterminer le coût pour 400~kWh consommés, pour le tarif 1. 
On lit à peu près \np{9500}.
		\item %Graphiquement, déterminer le nombre de kWh consommés pour un coût de \np{10600}~CFP, pour le tarif 2.
On lit à peu près 500~kWh.
	\end{enumerate} 
\item %Graphiquement, trouver en fonction de sa consommation, le tarif le plus avantageux pour cette famille. 
$\bullet~~$De 0 à 359 kWh le tarif 1 est le plus avantageux ;

$\bullet~~$Pour 360 kWh les tarifs reviennent au même ;

$\bullet~~$À partir de 361 kWh le tarif 2 est le plus intéressant.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\ 
(à rendre avec la copie)}

\medskip
 
Activités géométriques : Exercice 1 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.} (RE) et (TA) se coupent en S. (RT) et (AE) sont parallèles.

 ST = 5~cm ; SA = 4~cm et SE = 3~cm. Alors la longueur RS est égale à \ldots
\begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0.5,2.75)(3,0.5)(5,1.25)
\psline(0.5,0.2)(5,2.05)
\uput[ul](0.5,2.75){S}\uput[d](3,0.5){R}\uput[dr](5,1.25){T}
\uput[d](2.4,1){E}\uput[u](3.8,1.6){A}
\end{pspicture}& \fbox{3,75 cm} &2,4 cm& 0,266 cm\\ \hline 
\textbf{2.} Le point G est sur le cercle de centre O et de diamètre [EF].

 $\widehat{\text{EFG}} = 24$~\degres.
  
La mesure de l'angle $\widehat{\text{GEF}}$ est égale à \ldots

\begin{pspicture}(6,4)
\pscircle(3,2){2}
\psline[linewidth=1pt](2.3,1.9)(2.2,1.6)
\psline[linewidth=1pt](3.8,2.4)(3.7,2.1)
\pspolygon(1.1,1.4)(4.9,2.6)(1.2,2.8)
\psarc(4.9,2.6){0.7}{175}{198}
\psdots(3,2)\uput[dr](3,2){O}\uput[l](1.1,1.4){E}\uput[ul](1.2,2.8){G}\uput[r](4.9,2.6){F}
\rput(3.5,2.4){24~\degres}
\end{pspicture}&90\degres&24\degres&\fbox{66\degres}\\ \hline%  
\textbf{3.}  En triplant les longueurs d'un côté d'un triangle, les mesures des angles sont \ldots &\fbox{Conservées}& Multipliées par 3& Multipliées par 9\\ \hline% 
\textbf{4.} Un cône de révolution a pour rayon AB~=~10~cm 
et pour hauteur SA = 24~cm.

 On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et qui passe par le point H de [SA] tel que SH ~=~18~cm. Le rayon HC de la section est \ldots 
\begin{pspicture}(6,4)
\psellipse(3,3.25)(1.25,0.25)
\psellipticarc(3,2.25)(0.87,0.22){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](3,2.25)(0.87,0.22){0}{180}
\psline(1.8,3.2)(3,0)(4.2,3.2)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,3.25)
\psline[linestyle=dashed](3,2.25)(3.87,2.25)
\psline(3,3.25)(4.25,3.25)
\uput[l](3,3.25){A} \uput[r](4.25,3.25){B} \uput[r](3.87,2.25){C} \uput[l](3,2.25){H} \uput[r](3,0){S} 
\end{pspicture}&10~cm& \fbox{7,5~cm} &5~cm\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\newpage
\begin{center}\textbf{Papier millimétré proposé (hors sujet)}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.015cm,yunit=0.0015cm}
\begin{pspicture}(-50,-250)(750,11000)
\multido{\n=0+5}{151}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,11000)}
\multido{\n=0+25}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,11000)}
\multido{\n=0+50}{221}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(750,\n)}
\multido{\n=0+250}{41}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=cyan](0,\n)(750,\n)}
\multido{\n=0+500}{23}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50000]{->}(0,0)(750,11000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50000](0,0)(750,11000)
\uput[d](700,-300){consommation}
\uput[d](700,-500){en kWh}
\uput[u](0,11000){Coût en CFP}
\uput[d](50,900){\blue $\left(d_1\right)$}
\uput[d](50,4000){\red$\left(d_2\right)$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{458.3}{24 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{528.5}{14 x mul 3600 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](400,0)(400,9600)(0,9600)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,10600)(500,10600)(500,0)%
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}