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% Tapuscrit Claire Lacaze
%Corrigé : Denis Vergès
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%réglages de pages
%\textheight 27.1 cm  %25.2cm
%\topmargin -2cm %Denis met - 2cm%%%%%%%%%%
%\headheight15 mm
%\headsep 0 mm
%\footskip 10 mm
%\parindent 0pt
%%
%\textwidth 140 mm
%\oddsidemargin -25 mm
%\evensidemargin -25 mm
%%
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\def\({$\displaystyle}
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l@{\extracolsep{\fill}}c@{\extracolsep{\fill}}r}
\textbf{#1}&\textbf{#2}&\textbf{#3}\\
\textbf{Calculatrice #4}
\end{tabular*}
}

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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges }
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Liban juin 2009~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} }
 
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

On donne l'expression numérique : 

\[A=2\times 10^2+10^1+10^{-1}+2\times 10^{-2}.\]

\begin{enumerate}
\item %Donner l'écriture décimale de $A$.
$A = 200 + 10 + 0,1 + 0,02 = 210,12$.
\item %Donner l'écriture scientifique de $A$.
$A = \np{2,1012} \times 10^2$.
\item %Écrire $A$ sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10.
$A = \np{21012} \times 10^{-2}$.
\item %Écrire $A$ sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1.
$A = 210 + 0,12 = 210 + \dfrac{12}{100} = 210 + \dfrac{3}{25}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
% 
%Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. En cas d'erreur, aucun point ne sera enlevé.
%
%Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\arraybackslash}X|}}\hline
%	&\textbf{Question}&\textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\\hline
%1	& La médiane de la série de  valeurs 7 ; 8 ; 8 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 15 ; 41 & est égale à la  moyenne de  cette série de  valeurs & est supérieure à  la moyenne de cette série de  valeurs &est inférieure à  la moyenne de  cette série de valeurs\\\hline
%2	& Diminuer un prix de 15 \% revient à & diviser ce prix  par $0,85$.& multiplier ce prix par $1,15$. & multiplier ce prix par $0,85$.\\\hline
%3	& Si $x=3$ alors  l'expression $A=-2x^2$ est égale à &18&$-18$&36\\\hline
%4	& L'équation  \mbox{$(2x+1) - (x - 3) = 0$}& admet deux  solutions : $- 0,5$ et 3. & admet une  solution  : 2 & admet une  solution : $- 4$.\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item La médiane est 12 et la moyenne est environ 18,7 : réponse C.
\item $1 - 0,15 = 0,85$ : réponse C.
\item $A = - 2 \times 3^2 = - 2 \times 9 = - 18$ : réponse B.
\item Ou $2x + 1 = 0$ soit $x = - \dfrac{1}{2}$ ou $x - 3 = 0$ soit $x = 3$ : réponse A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3 }

\medskip

Soit $A = \dfrac{1}{4}\left[(a + b)^2- (a - b)^2\right]$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $A$ pour $a = 1$ et $b = 5$.
$A = \dfrac{1}{4}\left[(1 + 5)^2- (1 - 5)^2\right] = \dfrac{1}{4}\left[6^2- (- 4)^2\right] = \dfrac{1}{4}[36 - 16] = 5$.
\item %Calculer $A$ pour $a = - 2$ et $b = - 3$.
$A = \dfrac{1}{4}\left[(- 2 - 3)^2- (- 2 + 3)^2\right] = \dfrac{1}{4}\left[(- 5)^2 - 1^2\right] = \dfrac{1}{4} (25 - 1) = 6$.
\item %Alex affirme que le nombre $A$ est égal au produit des nombres $a$ et $b$. A-t-il raison ? Justifier.
Dans les deux exemples ci-dessus il semble avoir raison.

$A = \dfrac{1}{4}\left[(a + b)^2- (a - b)^2\right] = \dfrac{1}{4}\left(a^2 + b^2 + 2ab - \left(a^2 + b^2 - 2ab\right) \right) = $

$\dfrac{1}{4}\left(a^2 + b^2 + 2ab - a^2 - b^2 + 2ab \right) = \dfrac{1}{4} \times 4ab = ab$ : Alex a raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} }
 
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

%\textbf{L'unité de longueur est le centimètre}.
% 
%$ABCD$ est un carré tel que : $AB = 4$.
%
%Le point $M$ est situé dans le carré $ABCD$ et vérifie : $AM=2,4$ et $DM=3,2$.
%
%La droite $(AM)$ coupe la demi-droite $[DC)$ au point $I$.

\begin{enumerate}
\item ~%Faire une figure en vraie grandeur.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4.6)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.5)(4.5,4.5)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](4.5,0.5){B} \uput[ur](4.5,4.5){C} \uput[ul](0.5,4.5){D}
\uput[r](2.41,1.94){M}\uput[u](5.9,4.5){I}
\psarc(0.5,0.5){2.4}{30}{50}
\psarc(0.5,4.5){3.2}{-60}{-50}
\psline(4.5,4.5)(6.5,4.5)
\psline(0.5,0.5)(5.9,4.5)
\psline(2.41,1.94)(0.5,4.5) 
\end{pspicture}

\end{center}
\item %Montrer que le triangle $AMD$ est rectangle en $M$.
$\text{AD}^2 = 4^2 = 16$.

$\text{AM}^2 + \text{MD}^2 = 2,4^2 + 3,2^2 = 5,76 + 10,24 = 16$.

On a donc $\text{AD}^2 =\text{AM}^2 + \text{MD}^2$ ce qui signifie d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle AMD est rectangle en M.  
\item %Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{DAM}$.
Dans le triangle AMD  rectangle en M, on a par exemple $\cos \widehat{\text{DAM}} = \dfrac{\text{AM}}{\text{AD}} = \dfrac{2,4}{4} = 0,6$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{DAM}} \approx 53,1$ soit 53\degres au degré près.
\item %Dans le triangle $ADI$ rectangle en $D$, exprimer $\tan{\left(\widehat{DAI}\right)}$.
On a $\tan{\left(\widehat{DAI}\right)} = \dfrac{\text{DI}}{\text{AD}}$, soit $\tan 53,1 = \dfrac{\text{DI}}{4}$ d'où :

$\text{DI} = 4 \times \tan 53,1 \approx 5,333$, soit 5,3~cm au millimètre près.
%En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur $DI$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }
 
\medskip

%Annie possède de la ficelle dont la forme est un cylindre de rayon 0,5~mm et de hauteur $h$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à $0,0025\times \pi\times h$ cm\up{3}.
$V_{\text{ficelle}} = \pi r^2h = \pi \times 0,05^2 \times h = \np{0,0025}\pi h$~cm$^3$.
\item %En enroulant cette ficelle, Annie obtient une pelote ayant la forme d'une boule de rayon 30 cm.

%On suppose que la ficelle est enroulée de manière qu'il n'y a aucun vide dans la pelote. Montrer que le volume de cette boule est égal à $\np{36000} \times \pi $ cm\up{3}.
$V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi 30^3 = \dfrac{4}{3}\pi \np{27000} = \np{36000}\pi$~cm$^3$.
\item %Vérifier que la hauteur $h$ du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144~km.
Comme les deux volumes sont égaux :

$V_{\text{ficelle}} = V_{\text{boule}}$, on a donc :

$\np{0,0025}\pi h = \np{36000}\pi$ ou $\np{0,0025} h = \np{36000}$ et enfin $h = \dfrac{\np{36000}}{\np{0,0025}} = \np{14400000}$~cm, soit \np{144000}~m ou 144~km.

\item %Annie prétend que si les 294~autres élèves de son collège possédaient chacun la même pelote, on pourrait faire le tour de l'équateur terrestre en déroulant toutes ces pelotes et en les reliant bout à bout. A-t-elle raison ? Justifier. (On rappelle que le rayon de la Terre est environ égal à \np{6400}~km).
La longueur de la ficelle serait :

$295 \times 144 = \np{42480}$~km.

L'équateur a une longueur de $2\pi R = 2\pi \times \np{6400} = \np{12800}\pi \approx \np{40212}$~km. Annie a raison.
\end{enumerate}

%\textbf{Rappels :}
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Le volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $r$ est $V=\pi\times r^2\times h$
%\item Le volume d'une sphère de rayon $r$ est $V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3$
%\item Le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est $L=2\times \pi\times r$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} }

%\begin{center}
%\textbf{Les trois parties sont indépendantes}
%\end{center}
%
%Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle rectangle.\\
%L'aire de ce terrain est égale à \np{2400}~m\up{2}.
%
%Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit \np{1200}~m\up{2} par parcelle.
%
%Pour cela, on partage le terrain selon un segment $[MN]$, $M$ et $N$ étant respectivement sur les côtés $[CB]$ et $[CA]$. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles.
%
% Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : $AB=60$ et $BC=80$.
%
%\medskip
%
%\begin{minipage}[c]{0.58\linewidth}

\textbf{Partie A}

\medskip

%Dans cette partie : $CM = 50$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $MN=37,5$.
Par application de la propriété de Thalès avec les parallèles (MN) et (AB) :

$\dfrac{\text{CM}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AB}}$ ou $\dfrac{50}{80} = \dfrac{\text{MN}}{60}$, d'où on obtient $\text{MN} = \dfrac{5}{8} \times 60 = 37,5.$
\item %Comparer les aires du triangle $CMN$ et du trapèze $ANMB$ après les avoir calculées.
On a $\mathcal{A}_{\text{CMN}} = \dfrac{\text{CM} \times \text{MN}}{2} = \dfrac{50 \times 37,5}{2} = 937,5$~m$^2$.

$\mathcal{A}_{\text{ANMB}} = \mathcal{\text{ABC}} - \mathcal{A}_{\text{CMN}} = \np{2400} - 937,5 = \np{1462,5}$~m$^2$.
\item %Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point $M$ à plus de 50 m de $C$ ou à moins de 50 m de $C$ ?
L'aire du triangle CMN est inférieure à l'aire du trapèze il faut donc agrandir CM.
\end{enumerate}

\medskip

%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}[c]{0.28\linewidth}
%\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
%\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4)
%\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B}
%\pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A}
%\pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C}
%\pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{B}[M]
%\pstHomO[HomCoef=0.62,PosAngle=45]{C}{A}[N]
%\pstLineAB{A}{B}
%\pstLineAB{A}{C}
%\pstLineAB{C}{B}
%\pstLineAB{N}{M}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c}
%\pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a}
%\pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'}
%\pstHomO[HomCoef=0.62,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m]
%\pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$50$}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%
%\bigskip
%
%\begin{minipage}[c]{0.58\linewidth}

\textbf{Partie B}
 
\medskip

%On veut déterminer la distance $CM$ pour laquelle l'aire du triangle $CNM$ est égale à \np{1200}~m\up{2}.
 
%On pose $CM = x$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $MN = \dfrac{3}{4}x$.
Toujours d'après Thalès : 

$\dfrac{\text{CM}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AB}}$ soit $\dfrac{x}{80} = \dfrac{\text{MN}}{60}$ d'où $\text{MN} = \dfrac{60}{80}x = \dfrac{3}{4}x$. 
\item %Démontrer que l'aire du triangle $CNM$, exprimée en m\up{2}, a pour mesure : $\dfrac{3}{8}x^2$.
$\mathcal{A}_{\text{CMN}} = \dfrac{\text{CM} \times \text{MN}}{2} = \dfrac{x \times \frac{3}{4}x}{2} = \dfrac{3}{8}x^2$.
%\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}[c]{0.28\linewidth}
%\psset{unit=1cm,dotscale=0.1}
%\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4)
%\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B}
%\pstGeonode[PosAngle=90](0,2.8){A}
%\pstGeonode[PosAngle=0](3.7,0){C}
%\pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{B}[M]
%\pstHomO[HomCoef=0.69,PosAngle=45]{C}{A}[N]
%\pstLineAB{A}{B}
%\pstLineAB{A}{C}
%\pstLineAB{C}{B}
%\pstLineAB{N}{M}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.6){b}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.6){c}
%\pstLineAB[linestyle=dotted]{b}{c}\lput*{:U}{$80$}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,0){b'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-0.32,2.8){a}
%\pstLineAB[linestyle=dotted]{b'}{a}\lput*{:R}{$60$}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,-0.3){b''}
%\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7,-0.3){c'}
%\pstHomO[HomCoef=0.69,PointSymbol=none,PointName=none]{c'}{b''}[m]
%\pstLineAB[linestyle=dotted]{m}{c'}\lput*{:U}{$x$}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%\medskip

%\begin{enumerate}[3.]
\item %Soit $f$ la fonction qui, au nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,80]$, associe l'aire du triangle $CMN$.

%On note $f \::\: x \longmapsto \dfrac{3}{8}x^2$.

%Page suivante, on a construit la courbe représentant la fonction $f$.
\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point $M$ pour que les deux parcelles aient la même aire.
		
%\emph{On donnera une valeur approchée.}
On lit environ $x \approx 57$.
		\item %En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux parcelles ont la même aire.
		On doit avoir $\dfrac{3}{8}x^2 = \np{1200}$ d'où $x^2 = \dfrac{8}{3}\times \np{1200} = 8\times 400 = \np{3200}$.
		
		Conclusion $x = \sqrt{\np{3200}} = \sqrt{100 \times 16 \times 2 }=  10\times 4 \sqrt{2} = 40\sqrt{2}$~(m).
		\item %En déduire la valeur exacte de la longueur $MN$ du muret puis donne une valeur approchée au dm près de $MN$.
On a donc $\text{MN} = \dfrac{3}{4} \times 40\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \approx 42,42$~m soit environ 42,4~m. 		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.125cm,yunit=0.0048cm,dotscale=0.1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-50)(90,2400)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,0)(82,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-30)(0,2400)
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-50)(\n,2400)}
\multido{\n=0+50}{48}{\psline[linewidth=0.2pt](-1,\n)(82,\n)}
\multido{\n=0+10}{9}{\rput[d](\n,-40){\scriptsize{\n}}}
\multido{\n=0+100}{24}{\rput[d](-4,\n){\scriptsize{\n}}}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{80}{(3/8)*x^2}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1200)(56.56,1200)(56.56,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie C}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le muret est construit avec des briquettes de 20~cm de longueur et de 10~cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,40~m  de longueur et de 1~m  de hauteur.
Sur la longueur il faut $\dfrac{42,40}{0,20} = 212$ briquettes et 

sur la largeur $\dfrac{1}{0,10} = 10$ briquettes. Il faut donc pour construire le mur  : $212 \times 10 = \np{2120}$~briquettes.
\item %Sachant que 20~briquettes coûtent 35~\EUR, calculer le coût du muret.
Le coût du mur est $\dfrac{\np{2120}}{20} \times 35 = \np{3710}~$\euro.
\end{enumerate}
\end{document}