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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges septembre 2008~\decofourright
\\Métropole La Réunion Mayotte}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer le PGCD de 240 et 375.
Par l'algorithme d'Euclide ;

$375 = 240 \times 1 + 135$ ;

$240 = 135\times 1 + 105$ ;

$135 = 105 \times 1 + 30$ ;

$105 = 30 \times 3 + 15$ ;

$30 = 15 \times 2 + 0$

Le dernier reste non nul 15 est le PGCD à 240 et 375.
\item  %Déterminer la fraction irréductible égale à $\dfrac{240}{375}$.
On a $240 = 15 \times 16$ et $375 = 15 \times 35$.

Donc $\dfrac{240}{375} = \dfrac{15 \times 16}{15 \times 35} = \dfrac{16}{35}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill }

\medskip

%\begin{tabular}{|ll|}\hline
%On considère le programme de calcul :&	Choisir un nombre\\
%&a. Calculer le carré de ce nombre.\\
%&b. Multiplier par 10.\\
%&c. Ajouter 25.\\
%&Écrire le résultat.\\ \hline
%\end{tabular}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est exact.
$2 \to 2^2 = 4 \to 4 \times 10 = 40 \to 40 + 25 = 65$.
\item  %On choisit $\sqrt{2}$ comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ?
$\sqrt{2} \to \left(\sqrt{2} ^2\right) = 2 \to 2 \times 10 = 20 \to 20 + 25 = 45$.
\item  %Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier.
Un entier pair s'écrit 2p avec p entier.

$2p \to (2p)^2 = 4p^2 \to 4p^2 \times 10 = 40p^2 \to 40p^2 + 25 $.

$40p^2$ est pair et 25 est impair, donc la somme est impaire : Clémence a tort.
\item  %Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-elle raison ? Justifier.
Soit $x$ l'entier de départ :

$x \to x^2\to x^2 \times 10 = 10x^2 \to 10x^2 + 25$.

Or quel que soit l'entier $x$, \: $10x^2 \geqslant 0$ et $25 > 0$, donc $10x^2 + 25 > 0$ : Margot a raison.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3\hfill }

\medskip

%On a posé à des élèves de 3\up{e} la question suivante :
%
%\og Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre $x$, on a : 
%
%$5x^2 - 10x + 2 = 7x - 4$  ? \fg
%
%\medskip

%\begin{itemize}
%\item  Léa a répondu: \og Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace $x$ par 3, on a :\\
%$5 \times 3^2 - 10 \times 3 + 2 = 17$ et $7  \times 3 - 4 = 17$ ».
%\item Myriam a répondu : \og Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace $x$ par $0$, on a :\\
%$5 \times 0^2 - 10 \times 0 + 2 = 2$ et $7 \times 0 - 4 = -4$ ».
%\end{itemize}
%Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l'exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.
Une hirondelle ne fait pas le printemps : l'argument de Léa n'est pas valable, un exemple ne démontre rien.

Par contre un seul contre-exemple suffit pour démontrer que la proposition est fausse : Myriam a raison.
\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill }

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{On considère un cercle de centre A et de rayon 5~cm.\\
Soit [EF] un de ses diamètres, M le point du segment [AE] tel que AM = 4~cm et P un point du cercle tel que MP = 3~cm.\\
\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur.}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,7)
\pscircle(3.4,3.4){3.4}
\psline(7,1)(0,5.85) \psline(0,3.4)(7,3.4)\psline(6.2,1.54)(6.2,3.4)
\psline(0,0)(0,7)
\uput[ul](0,3.4){F}\uput[ul](0,5.8){T}\uput[d](3.54,3.4){A} \uput[u](6.2,3.4){M}\uput[d](6.2,1.54){P}\uput[ur](6.8,3.4){E}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que le triangle AMP est rectangle en M.
On a $\text{AP}^2 = 25$ et $\text{AM}^2 + \text{MP}^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, donc

$\text{AP}^2 = \text{AM}^2 + \text{MP}^2$, ce qui montre par réciproque du théorème de Pythagore que le triangle AMP est rectangle en M.
\item  %On trace la tangente au cercle en F ; cette droite coupe la droite (AP) en T.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que les droites (FT) et (MP) sont parallèles.
On vient de démontrer que (MP) est perpendiculaire à (AM). La tangente (FT) est perpendiculaire à (AF) donc à (AM). Conclusion :les deux droites (FT) et (MP) perpendiculaires à la même droite sont parallèles.
		\item  %Calculer la longueur AT.
Les droites (FT) et (MP) sont parallèles, donc par la propriété de Thalès, 

$\dfrac{\text{AT}}{\text{AP}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AM}}$, soit $\dfrac{\text{AT}}{5} = \dfrac{5}{4}$, d'où $\text{AT} = \dfrac{5 \times 5}{4} = \dfrac{25}{4} = 6,25$~cm.		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill }

\medskip

On considère un cercle de centre O et de diamètre [BC] tel que BC = 8~cm. On place sur ce cercle un point A tel que BA = 4~cm.

\begin{enumerate}
\item  ~%Faire une figure en vraie grandeur.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,7)
%\psgrid
\pscircle(0,0){4}
\psarc(-4,0){4}{55}{65}
\pspolygon(-4,0)(4,0)(-2,3.464)%BCA
\psline(-2,3.464)(0,6.928)(4,0)
\uput[l](-4,0){B} \uput[r](4,0){C}\uput[u](-2,3.464){A}
\uput[ul](0,6.928){E}
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
Le triangle ABC inscrit dans un cercle dont l'un de ses côtés [BC] est un diamètre est rectangle en A.
		\item  %Calculer la valeur exacte de la longueur AC.
%Donner la valeur arrondie de AC au millimètre près.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en A donne :

$\text{BC}^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2$ ou $8^2 = 4^2 + \text{AC}^2$, d'où $\text{AC}^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

Donc $\text{AC} = \sqrt{48} = \sqrt{16\times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \approx 6,928$ soit 6,9~cm au millimètre près.
		\item  %Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a $\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.

On a donc $\widehat{\text{ABC}} = 60$\degres.
	\end{enumerate}
\item %On construit le point E symétrique du point B par rapport au point A. Quelle est la nature du triangle BEC ? Justifier.
Par définition de la symétrie, A est le milieu de [BE] donc BE = 2BA $= 2\times 4 = 8$.

Le triangle EBC est donc isocèle (BC = BE = 8) et d'angle au sommet de mesure 60\degres. Les deux autres angles sont égaux et ont pour mesure : 

$\dfrac{180 - 60}{2} = 60$\degres.

Les trois angles du triangle ont la même mesure, le triangle BEC est donc équilatéral. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

%Une enquête a été réalisée auprès de 170~élèves d'un collège sur l'utilisation du téléphone portable. Voici deux des questions posées dans cette enquête :\\
%
%\begin{center}
%\fbox{\begin{minipage}{6.5cm}
%Q1 : Possédez-vous un téléphone portable ?\\
%
%Q2 : Quel abonnement avez-vous ?
%\end{minipage}}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Résultats obtenus à la question Q1 : possédez-vous un téléphone portable ?\\

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Réponses		&	Oui	&	Non\\  \hline
%Nombre d'élèves	&	125	& 	45\\  \hline
%\end{tabularx}
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Donner la valeur arrondie à l'unité du pourcentage d'élèves possédant un téléphone portable.
		Sur 170 élèves, 125 ont un téléphone soit un pourcentage de $\dfrac{125}{170}\times 100 \approx 74$\,\% à l'unité près.
		\item  %Peut-on dire que près des trois quarts des élèves de ce collège possèdent un téléphone portable ?
		Oui car $74\,\% = \dfrac{74}{100} \approx \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$.
	\end{enumerate}

\item %Résultats obtenus à la question Q2 : quel abonnement utilisez-vous ?

\medskip

Les réponses des 125~élèves ayant un téléphone portable sont représentées dans le diagramme ci-dessous :
		
\begin{center}

\begin{pspicture}(-5,-3)(5,3)
%\psgrid
\pscircle(0;0){3cm}
\pswedge[fillstyle=crosshatch]{3}{-30}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines]{3}{90}{205}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{3}{205}{260}
\pswedge[fillstyle=vlines]{3}{260}{330}
\rput(-3.5,2.5){Carte prépayée}
\rput(3.5,2){Compte bloqué}
\rput(3.6;23){1 heure}
\rput(3.6;-65){Forfait 1 heure}	
\rput(3.7;-130){Forfait 2 heures}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  %32\:\% des 125~élèves ayant un téléphone portable ont une carte prépayée. Quel est le nombre d'élèves concernés ?
Ont une carte prépayée : $0,32 \times 125 = 40$~élèves.
		\item  %Déterminer à l'aide du diagramme une valeur approchée du nombre d'élèves ayant un compte bloqué 1~heure. Expliquer la démarche utilisée.
Le secteur mesure approximativement $90 + 45 = 135$\degres ; il correspond à 

$\dfrac{135}{360} \times 125 \approx 47$~élèves.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie II}

\bigskip

%Sophie, Julie et Marie viennent d'avoir leur premier téléphone portable.
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]	Julie a un compte bloqué à 20~\euro{} par mois pour une heure de communication (une fois l'heure utilisée, elle ne peut plus téléphoner jusqu'au mois suivant).
%\item[$\bullet~$]	Marie a un forfait à 17~\euro{} par mois qui lui permet de téléphoner 45 minutes et ensuite chaque minute consommée est facturée 0,50~\euro.
%\item[$\bullet~$]	Sophie a un abonnement de 10~\euro{} et chaque minute consommée est facturée 0,25~\euro.
%\end{itemize}
%
%Sont représentés sur le graphique de la feuille annexe
%
%\begin{itemize}
%\item  le prix payé par Julie chaque mois en fonction de sa consommation,
%\item  le prix payé par Marie chaque mois en fonction de sa consommation.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Julie ?
F$_1$ correspond au prix payé par Julie soit 20~\euro.
%Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Marie ?

F$_2$ correspond au prix payé par Marie.
\item   %Par lecture graphique, préciser à partir de quelle durée exprimée en minutes le compte bloqué de Julie est moins coûteux que le forfait de Marie.
On voit qu'à partir de 52~min Julie paiera moins que Marie.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Si on désigne par $x$ la durée mensuelle en minutes de communication, donner en fonction de $x$ le prix payé chaque mois par Sophie.
Le prix payé par Sophie pour $x$ minutes est $0,25x$.
		\item  %Sur la feuille annexe, représenter graphiquement le prix payé chaque mois par Sophie en fonction de sa consommation.
Voir à la fin (en bleu).
	\end{enumerate}
\item %Le mois dernier, Marie et Sophie ont payé chacune 30~\euro. Laquelle des deux a téléphoné le plus longtemps ? Justifier.
Marie a dépensé plus de 17~\euro{} ; elle a donc téléphoné plus de 45~min ; si $y$ et le nombre de minutes supplémentaires, on a :

$17 + 0,5y = 30$ soit $0,5y = 13$ et $y = 26$. Elle a donc téléphoné en tout : 

$45 + 26 = 71$~min.

Sophie en téléphonant $x$ minutes a dépensé :

$10 + 0,25x = 30$ ou $0,25x = 20$ soit $x = 80$~min. C'est donc elle qui a téléphoné le plus longtemps.
\end{enumerate}
		
\newpage
		
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.13cm,yunit=0.266cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(80,40)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(80,40)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(80,40)
\psline[linewidth=2pt](0,20)(80,20)
\psline[linewidth=2pt](0,17)(45,17)(80,34.5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](70,-4){Durée en minutes}
\rput{90}(-7,35){Prix en euros}
\uput[u](20,20){T1}\uput[d](20,17){T2}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](80,20)
\end{pspicture}
\end{center}		
\end{document}