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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Polynésie juin 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip
  
%\emph{Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, choisir et entourer la bonne réponse parmi les trois proposées.} \textbf{Aucune justification n'est demandée. }
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{1.~~} $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2}$ est égal à : &$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%\textbf{2.~~} Le nombre décimal $0,246$ s'écrit aussi : &$2,46 \times 10^{-1}$& $24,6 \times 10^1$&$2,46 \times 10^1$\\ \hline 
%\textbf{3.~~} Quand $x= - 2$, l'expression \mbox{$2x^2 - 5x+3$} est égale à :&$-15$& $1$& $21$\\ \hline 
% \textbf{4.~~} L'expression réduite de \mbox{$2x - (5x - 3)$} est : &$-3x-3$ &$-3x+3$ &$7x+3$\\ \hline 
%\textbf{5.~~} Un randonneur parcourt 5~km en 1~ h 15~min. Sa vitesse moyenne est : &4~km/h& 
%4,3~km/h &5,75~km/h.\\ \hline
%\end{tabularx}
%\renewcommand{\arraystretch}{1} 
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{8}  = \dfrac{6}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{1}{8}$.
\item $0,246 = 2,46 \times 10^{-1}$.
\item $2 \times (- 2)^2 - 5 \times (- 2) + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$.
\item $2x - (5x - 3) = 2x - 5x + 3 = - 3x + 3$.
\item Il parcourt 5~km en 75 min, soit 1 km en 15 min et donc 4 km en 60 min. Sa vitesse moyenne est donc de 4~km/h.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%A un stand du \og Heiva \fg, on fait tourner la roue de loterie ci-dessous.
%
%\parbox{0.6\linewidth}{On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné. 
% 
%On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A : \og on gagne un autocollant» ; 
%\item[$\bullet~$] T : \og on gagne un tee-shirt » ; 
%\item[$\bullet~$] M : \og on gagne un tour de manège ».
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}} \hfill  \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.5)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(0.75,2.3)(0.75,1.3)
%\SpecialCoor
%\pscircle(0;0){2}
%\psline(2;180)(2;0) \psline(2;90)(2;-90) \psline(2;45)(2;-135) \psline(2;135)(2;-45)
%\rput(1.25;22.5){M} \rput(1.25;67.5){T}\rput(1.25;112.5){A}\rput(1.25;157.5){T}
%\rput(1.25;202.5){M}\rput(1.25;247.5){T}\rput(1.25;292.5){M}\rput(1.25;-22.5){T}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité de l'évènement A ?
Il y a 1 secteur A sur 8 : probabilité : $\dfrac{1}{8}$. 
\item %Quelle est la probabilité de l'évènement T ?
Il y a 4 secteurs T sur 8 :  probabilité : $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
\item %Quelle est la probabilité de l'évènement M ? 
Il y a 3 secteurs M sur 8 :  probabilité : $\dfrac{3}{8}$.

Ou bien  : il reste pour M la probabilité : $1 - \left(\dfrac{1}{8} + \dfrac{4}{8} \right) = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$.
\item %Exprimer à l'aide d'une phrase ce qu'est l'évènement non A puis donner sa probabilité.
non A désigne l'évènement : \og on ne gagne pas d'autocollant \fg.

Sa probabilité est : $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%Dans cet exercice, écrire toutes les étapes des calculs permettant d'expliquer votre 
%démarche. 
%
%\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Pour offrir un cadeau à l'un d'eux, les élèves d'une classe ont collecté 500~F en pièces de 20~F et de 5~F, soit 43~pièces en tout. 
%
%Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte.
Soit $v$ le nombre de pièces de 20~F{}. Le nombre de pièces de 5~F est donc $43 - v$.

La somme représentée par toutes ces pièces est donc égale à :

$ 
500 = v \times 20 + (43 - v) \times 5$, soit $500 = 20v + 215 - 5v$ ou encore 

$500 - 215 = 15v$ soit $285 = 15v$ et $19 = v$, d'où $43 - 19 = 24$ pièces de 5~F.

Vérification : $19 \times 20 + 24 \times 5 = 380 + 120 = 500$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Dans toute cette partie, l'unité de longueur est le centimètre.} \end{center} 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%Sur la figure ci-dessous qui \textbf{n'est pas en vraie grandeur},
% 
%\bigskip
%
%\parbox{0.55\linewidth}{ABCD est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [DC]. 
%
%On donne : AB = 5 ; \quad	AD = 4,8 ; \quad  BC = 6.}\hfill 
%\parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,3)
%\psframe(0,0)(3,2)\psline(3,0)(4,0)(3,2)
%\uput[ul](0,2){A} \uput[ur](3,2){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[d](3,0){H}
%\end{pspicture}}
%
%\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
%\item Construire cette figure sur la feuille de papier millimétré, en respectant les mesures données. (On la placera au centre de la feuille). 
%\item  Montrer que la longueur HC est égale à 3,6. 
%\item  Calculer le périmètre du trapèze ABCD.
%\item  Calculer l'aire du trapèze ABCD. 
%\item  Compléter la figure de la question 1) pour obtenir le patron du prisme droit ci-contre dont une base est le triangle SHC. 
%
%Le prisme droit ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
%\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.40\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(0,1)(5.5,10)
% 
%\psframe(0.8,2)(5,8) \psline(5,8)(2.4,9.6)(0.8,8) \psline[linestyle=dashed](5,2)(2.4,3.6)(0.8,2)
%\psline[linestyle=dashed](2.4,3.6)(2.4,9.6)
%\uput[ur](5,8){A} \uput[dr](5,2){B} \uput[dl](0.8,2){C} 
%\uput[u](2.4,9.6){D} \uput[ul](0.8,8){E} \uput[ur](2.4,3.6){H} 
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item ~
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-5.5)(10,5)
%\psgrid
\psframe(5,4.8)\psline(5,4.8)(8.6,0)(5,0)
\uput[ul](0,4.8){A} \uput[ur](5,4.8){B} \uput[dr](8.6,0){C} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[dl](5,0){H}
%\psarc(0,4.8){3.6}{180}{260}
%\psarc(0,0){6}{120}{170}
\uput[u](-3.6,4.8){H}
\psline(0,4.8)(-3.6,4.8)(0,0)
\psframe(0,4.8)(0.3,4.5)\psframe(0,0)(0.3,0.3)\psframe(4.98,0)(5.3,0.3)
\psline(8.6,0)(8.6,-5)(5,-5)(5,0)\uput[dl](5,-5){D}\uput[dr](8.6,-5){E}
\end{pspicture}
\end{center}
\item ABHD a trois angles droits : c'est un rectangle donc BH = AD = 4,8.

Dans le triangle BHC rectangle en H on a d'après le théorème de Pythagore :

$\text{BC}^2 = \text{BH}^2 + \text{HC}^2$ d'où $\text{HC}^2 = \text{BC}^2 - \text{BH}^2 = 6^2 - 4,8^2 = 36 - 23,04 = 12,96$, d'où HC $ = \sqrt{12,96} = 3,6$~(cm).
\item Le périmètre du trapèze est égal à :

AB + BC + CH + HD + DA $ = 5 +  6  + 3,6 + 5 + 4,8 = 24,4$~cm.
\item L'aire du trapèze est égale à l'aire du rectangle ABHD plus l'aire du triangle BCH soit :

$5 \times 4,8 + \dfrac{4,8 \times 3,6}{2} = 24 + 8,64 = 32,64$~cm$^2$.
\item Voir ci-dessus le patron.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%\textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.}
%
%\medskip
% 
%Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe jusqu'à la hauteur IR puis de l'eau jusqu'à la hauteur IF.
% 
%Ce verre est représenté ci-dessous en coupe. 
%
%Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G.
% 
%On donne: RS = 3 ; FG = 7,5 et IF = 8. 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,6.5)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.1,0)(6.9,0)(6,0.6)
%\psline(6,0.6)(6,1.6) 
%\pspolygon(6,1.6)(8.9,5.8)(3.1,5.8)
%\psline[linewidth=0.2pt](6,1.6)(6,5.8)
%\psline[linestyle=dashed](8.3,4.9)(3.7,4.9)
%\psline[linestyle=dashed](7.1,3.2)(4.9,3.2)
%\uput[dr](6,1.6){I} \uput[dr](6,3.2){R} \uput[dr](6,4.9){F} \uput[dr](7.1,3.2){S} \uput[dr](8.3,4.9){G} 
%\psframe(6,3.2)(5.8,3) \psframe(6,4.9)(5.8,4.7)
%\rput(1.5,4.9){Niveau de l'eau} \rput(1.5,3.2){Niveau du sirop de menthe} 
%\psline{->}(2.8,4.9)(3.4,4.9) \psline{->}(3.7,3.2)(4.6,3.2)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et recopier la propriété sur votre copie. 
%	\begin{enumerate}
%		\item  Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles. 
%		\item  Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. 
%		\item  Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. 
%		\item  La réciproque du théorème de Thalès.
%	\end{enumerate}
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. 
\item %Calculer IR.
D'après la propriété de Thalès, on peut écrire :

$\dfrac{\text{IR}}{\text{IF}} = \dfrac{\text{RS}}{\text{FG}}$, d'où $\text{IR} = \dfrac{\text{RS} \times \text{IF}}{\text{FG}} = \dfrac{3 \times 8}{7,5} = 3,2$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

%Pour la fête du cinéma, des prix spéciaux sont proposés au public. 
%
%\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous donne la répartition du nombre de spectateurs à la séance de midi, dans une salle de 325~places pendant la semaine du cinéma.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Jour &\footnotesize lundi &\footnotesize mardi &\footnotesize mercredi &\footnotesize jeudi &\footnotesize vendredi &\footnotesize samedi &\footnotesize dimanche\\ \hline 
%\hspace{-0.2cm}\begin{tabular}{l}nombre de\\
%spectateurs \\
%\end{tabular} &164 &239 &312 &285 &310 &308 &321 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma.
Le nombre moyen de spectateurs à la séance de midi pendant la semaine du cinéma est :

$\dfrac{164 + 239 + 312 + 285 + 310 + +08 + 321}{7} = \dfrac{\np{1939}}{7} = 277$. 
\item %Quel pourcentage du nombre total de places de la salle représentent les places occupées le mercredi ?
Le nombre de spectateurs le mercredi représente :

$\dfrac{312}{\np{1939}} \times 100 \approx 16,09$ soit environ 16\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
%Un billet de cinéma au tarif normal coûte 850~F. On propose deux tarifs réduits au public : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Tarif A : On fait une réduction de 8\:\% sur le prix total des billets achetés, 
%\item Tarif B : On paie une carte d'abonnement de \np{1000}~F et 600~F un billet. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'un billet vendu au tarif A coûte 782~F.
Le prix du billet après réduction est :

$850 \times \left(1 - \frac{8}{100}\right) = 850 \times \dfrac{92}{100} = 782$~F. 
\item %Compléter le tableau de proportionnalité suivant et expliquer votre démarche. 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Prix au tarif normal&850  	&\np{2550} 	&\np{7650}  &\np{4250} 	&\np{3400}  \\ \hline
Prix au tarif A		&782	&\np{2346}	&\np{7038}	&\np{3910}	&\np{9384}\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1.}

\medskip
De la colonne 1 à la 2 : table de 3 ;

De la colonne 2 à la 3 : table de 3 ;

De la colonne 1 à la 4 : table de 5 ;

De la colonne 2 à la 5 : table de 4.
\item %Soit M le montant total à payer au tarif normal par un client pour un certain nombre de billets. Exprimer en fonction de M le prix total payé au tarif A pour le même nombre de billets.
On a vu que retrancher 8\,\% c'est multiplier par 0,92. Donc le prix à payer au tarif A est 0,92M. 
\item %Calculer le prix de 5~billets au tarif B.
Prix de 5 billets 	au tarif B : $\np{1000} + 5\times 600 = \np{1000} + \np{3000} =  \np{4000}$.   
\item %Si on dispose de \np{6400}~F, combien de billets peut-on acheter au tarif B ?
En enlevant le prix de la carte il reste \np{5400}~F pour acheter des billets à 600~F, soit $\dfrac{\np{5400}}{600} = 9$ (billets).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
%Les droites ci--dessous représentent les prix payés en fonction du nombre de billets suivant les deux types de tarifs. 

\medskip

\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.001625cm}
\begin{pspicture}(-1,-400)(8,5200)
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0)(\n,5200)}
\multido{\n=0+200}{27}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+400}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5000]{->}(0,0)(8,5200)
\psplot{0}{6.5}{782 x mul}\uput[d](3.2,2400){$(d)$}
\psplot{0}{6.75}{1000 x 600 mul  add} \uput[u](3,2800){$(d')$}
\uput[u](7,0){nombre de billets} \uput[r](0,5200){$y$}
\uput[r](0.4,5200){prix}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,2800)(3,2800)(3,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,4297)(5.495,4297)(5.495,0)
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Laquelle de ces deux droites correspond au tarif A ? Justifier.
La droite $(d)$ correspond au tarif A car le prix est une fonction linéaire du nombre de billets. 
\item %Que représente l'abscisse du point de (d$'$) d'ordonnée \np{2800} ? Donner sa valeur.
3 est l'abscisse ; 3 billets au tarif B coûtent \np{2800}~F.
 
%Laisser apparaître les tracés utiles sur le graphique. 
\item %Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles. déterminer à partir de combien de billets le tarif B est plus avantageux que le tarif A.
On constate que les droites sont sécantes en un point dont l'abscisse 5,5. On en déduit que :

$\bullet~~$de 1 à 5 billets il vaut mieux prendre le tarif A ;

$\bullet~~$à partir de 6 billets il vaut mieux prendre le tarif B. 
\end{enumerate}

%\begin{center}\textbf{Attention : toutes les feuilles du sujet sont à joindre à la copie} \end{center}
\end{document}