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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{15 septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Centres étrangers~\decofourright}\\[7pt]\textbf{15 septembre  2020}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\medskip

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 22 points}

\medskip

%\emph{Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $78 - 58 \times 13$ en détaillant les étapes.
$\dfrac78 - \left(\dfrac58 \times \dfrac13\right) = \dfrac78 - \dfrac{5}{24} = \dfrac{7 \times 3}{8 \times 3} - \dfrac{5}{24} = \dfrac{21}{24} - \dfrac{5}{24} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{8 \times 2}{8 \times 3} = \dfrac23$.

%Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item %On sait que $342= 2\times 32 \times 19$ et que $380 = 22 \times5 \times 19$.

%Déterminer le plus grand nombre entier qui divise à la fois 342 et 380.
Les plus grands nombres premiers communs aux deux écritures sont 2 et 19 :

$2 \times 19 = 38$ est donc le plus grand naturel diviseur de 342 et 380.

\item %Comparer ces deux longueurs : $11 \times 10^{-8}$ m et $0,9 \times 10^{-5}$ m.
On peut écrire ces deux nombres en notation décimale, mais on peut aussi écrire :

$0,9 \times 10^{-5} = 0,9 \times 10^3 \times 10^{-3} \times 10^{-5} = 900 \times 10^{-8}$.

Comme $11 < 900$, \: $11 \times 10^{-8}$ m est plus petite que  $0,9 \times 10^{-5}$ m.
\item %Une boule a pour diamètre 6 cm. Déterminer une valeur approchée de son volume au cm$^3$ près.

%\emph{Formule du volume d'une boule} : $V = \dfrac 43 \times \pi\times r^3$ dans laquelle $r$ est le rayon de la boule.
Avec un rayon de 3~cm, on a $V = \dfrac43 \times \pi \times = 4 \times 3^2 \times \pi= 4 \times 9\pi = 36\pi$.

Avec $\pi \approx 3,14$, on obtient $V \approx 113,04$, soit un volume approché $V \approx 113$~cm$^3$ à 1 cm$^3$ près.
\item %Les longueurs des côtés d'un triangle sont 3,9 cm ; 6,4 cm et 5,2 cm.

%Ce triangle est-il un triangle rectangle ?
Si le triangle est rectangle le côté le plus long mesurerait 6,4 cm et le théorème de Pythagore donnerait :

$6,4^2 = 3,9^2 + 5,2^2$.

Or $6,4^2 = ..,.6, \quad 3,9^2 = ...,.1$ et $5,2^2 = ...,.4$, donc $3,9^2 + 5,2^2 = ...,.5$

Comme $6 \ne 5$, le théorème de Pythagore n'est pas vérifié, donc le triangle n'est pas rectangle.
\item %Une urne contient 20 boules colorées indiscernables au toucher.

%On tire au hasard une boule dans l'urne.

%Sachant que la probabilité de tirer une boule jaune est égale à 15, déterminer le nombre de boules jaunes dans cette urne.
S'il y a $j$ boules jaunes, la probabilité de tirer une boule jaune est égale à $\dfrac{j}{20} = \dfrac15$, soit $5j = 20$ et enfin $j = 4$.
\item %On fait tourner la roue ci-dessous et on attend qu'elle s'arrête. Une flèche verticale fixe permet alors de pointer un secteur angulaire. Chaque secteur angulaire a la même probabilité d'être pointé par la flèche. Quelle est la probabilité que la flèche indique un secteur angulaire de couleur grise qui contient un nombre premier ?
Les naturels premiers inscrits sur des secteurs gris sont : 2, \:\: 5,\:\:13,\:\: et 23 : il y en a 4, donc la probabilité que la flèche indique un secteur angulaire de couleur grise qui contient un nombre premier est égale à $\dfrac{4}{12} = \dfrac{4 \times 1}{4 \times 3} = \dfrac13$.
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0}
%\begin{pspicture}(-2.6,-2.6)(2.6,3.4)
%\pscircle(0,0){2.6}
%\multido{\n=-15+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{2.6}{0}{30}}}
%\multido{\n=-15+30}{12}{\rput{\n}(0,0){\pswedge[linecolor=lightgray]{2.6}{0}{30}}}
%\rput(1.8;90){\large \textbf{1}}
%\rput(1.8;60){\large \textbf{2}}
%\rput(1.8;30){\large \textbf{3}}
%\rput(1.8;0){\large \textbf{5}}
%\rput(1.8;-30){\large \textbf{7}}
%\rput(1.8;-60){\large \textbf{8}}
%\rput(1.8;-90){\large \textbf{11}}
%\rput(1.8;-120){\large \textbf{13}}
%\rput(1.8;-150){\large \textbf{14}}
%\rput(1.8;180){\large \textbf{15}}
%\rput(1.8;150){\large \textbf{21}}
%\rput(1.8;120){\large \textbf{23}}
%\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,3.6)(0,2.7)
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

%La pétanque est un jeu qui oppose deux équipes adverses. L'objectif est de lancer des boules en métal pour les placer le plus près possible d'un \og but \fg, appelé aussi \og cochonnet \fg, qui est une petite boule en bois.
%
%\medskip
%
%
%Lors d'une rencontre amicale hors compétition, 10 joueurs se présentent avec chacun 3 boules en acier. Toutes les boules sont pesées et mesurées et les résultats sont reportés dans le tableau ci- dessous :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{13}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Diamètre en cm 	&		&7,05	&7,25	&7,3	&7,3	&7,5	&7,5	&7,5	&7,73	&7,75		&8,1	&8,2 &8,2\\ \hline
%Masse en g 		&620 	&626 	&633 	&655 	&678 	&725 	&758 	&767 	&775 	&790 	&800 	&805 &813\\ \hline
%Effectif		&1		&2		&4		&5		&2		&3		&4		&1		&1		&2		&2		&2	 &1\\\hline
%\end{tabularx}
%
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %L'étendue de la série des diamètres vaut $12$ mm. Sachant que toutes les boules de pétanque de cette rencontre amicale ont un diamètre inférieur ou égal à $8,2$~cm, montrer que le diamètre de la boule de pétanque qui pèse 620 grammes est 7 cm.
La boule la plus grande a un diamètre de 8,2 cm, si la boule de masse 620 a un diamètre de $d$ cm, on a donc $8,2 - d = 1,2$, soit $d = 8,2 - 1,2 = 7$~(cm).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la masse moyenne des boules utilisées pour cette rencontre amicale est
%supérieure ou égale à 626 grammes.
Si la masse moyenne était de 626 g la masse totale des 30 boules serait supérieure à $30 \times 626 = \np{18780}$~g.

Or 27 boules (les plus lourdes) ont une masse de $27 \times 633 = \np{17091}$ et ajoutant le poids des trois boules les plus légères : $\np{17091} + 620 + 2 \times 626 = \np{18963}$, ce qui fait une moyenne supérieure à $\dfrac{\np{18963}}{30}= 632,1$ qui est bien supérieure à 626.
		\item %Déterminer la masse médiane des boules utilisées pour cette rencontre amicale.
Il y a 30 valeurs donc la médiane est la 15\up{e}, soit 725.
	\end{enumerate}
\item %En utilisant le document ci-dessous, peut-on affirmer qu'au moins un tiers des boules utilisées lors de cette rencontre amicale ne seraient pas acceptées en compétition officielle ?
Seraient refusées :

\begin{itemize}
\item la plus petite et les 5 les plus grandes ;
\item les 6 les plus légères et mais pas les 5 les plus lourdes éliminées pour leur taille
\end{itemize}

En tout cela fait $1+ 5 + 6 = 12$ boules refusées sur 30 boules présentées soit 

$\dfrac{12}{30} = \dfrac{6 \times 2}{6 \times 5} = \dfrac25$.
Or $\dfrac25 = \dfrac{6}{15}$ et $\dfrac13 = \dfrac{5}{15}$.

Comme $\dfrac{5}{15} < \dfrac{6}{15}$, \quad $\dfrac13 < \dfrac{12}{30}$ : le nombre de boules refusées dépasse le tiers de toutes les boules présentées.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Document :} Caractéristiques d'une boule de pétanque pour la compétition$^{*}$
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet$~]
%\item Être en métal (acier, inox, bronze, ...)
%\item Avoir un diamètre compris entre 7,05 cm (minimum) et 8 cm (maximum).
%\item Avoir une masse comprise entre 650 grammes (minimum) et 800 grammes (maximum).
%\end{itemize}\\
%$^{*}$ \emph{D'après le règlement officiel de la Fédération Internationale de Pétanque et Jeu Provençal}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\bigskip


\textbf{Exercice 3 \hfill 25 points}

\medskip

Voici un programme de calcul :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Choisir un nombre\\
Lui ajouter 2\\
Mettre le résultat au carré \\
Enlever 9\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, si l'on choisit 3 comme nombre de départ, alors ce programme donne 16 comme résultat.
On obtient successivement : $3 \to 3 + 2 = 5 \to 5^2  = 25 \to 25 - 9 = 16.$
		\item %Si l'on choisit $- 6$ comme nombre de départ, quel résultat donne ce programme ?
Avec $- 6$ on obtient :

$- 6 \to - 6 + 2 = - 4 \to (- 4)^2  = 16 \to 16 - 9 = 7.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans toute la suite de cet exercice, on appelle $x$ le nombre choisi au départ.

\begin{enumerate}[start=2]
\item %Exprimer le résultat de ce programme en fonction de $x$.
Avec $x$ on obtient :

$x \to x + 2\to (x + 2)^2 \to (x + 2)^2 - 9.$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le résultat de ce programme peut s'écrire sous forme factorisée 
D'après l'identité $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, le résultat précédent peut de factoriser :

$(x + 2)^2 - 9 = (x + 3)^2 - 3^2 = [(x + 2) + 3][(x + 2) - 3] = (x + 5)(x - 1)$
$(x + 5)(x - 1)$.
		\item %Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour trouver 0 comme résultat ?
$(x + 5)(x - 1) = 0 $ si $\left\{\begin{array}{l c r}
x + 5&=&\\
x - 1&=&
\end{array}\right.$ soit si $\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&- 5\\
x &=&1
\end{array}\right.$

Seuls $-5$ et 1 introduits au départ conduisent au résultat 0.
		\item %Donner une valeur de $x$ telle que le résultat du programme soit un nombre négatif.
		0 conduit à $(0 + 5) \times (0 - 1) = 5 \times (- 1) = -5 < 0$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que le résultat du programme s'écrit sous forme développée $x^2 + 4x - 5$.
En développant le premier résultat obtenu :

$(x + 2)^2 - 9 = x^2 + 4 + 4x - 9 = x^2 + 4x - 5$.
\item On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 + 4x - 5$.
	\begin{enumerate}
		\item %La fonction $f$ est-elle une fonction affine ?
		Non la fonction n'est pas de la forme $f(x) = ax + b$.
		\item %Déterminer les antécédents de $-5$ par $f$.
		En utilisant l'écriture développée trouvée ci-dessus, on a :
		
$x^2 + 4x - 5  = -5$, soit en ajoutant 5 à chaque membre :

$x^2 + 4x = 0$ soit en factorisant $x$ : $x(x + 4) = 0$, d'où deux possibilités : $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&0\\
x  + 4&=&0\\
\end{array}\right.$ d'où finalement : $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&0\\
x  &=&- 4
\end{array}\right.$

Les antécédents de $- 5$ par $f$ sont 0 et $- 4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

%Le téléphérique de la ville de Grenoble relie le centre-ville au Fort Bastille construit sur une colline surplombant la ville. Sa longueur est de 673 mètres.
%La situation est schématisée par la figure ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(11,4.4)
%\def\nacelle{\psline(0,0)(0,-0.12)\pscircle(0,-0.22){0.1}}
%\psline(1.6,0.3)(11,0.3)
%\psline(7.6,2.9)(1.6,0.3)
%\psline[linestyle=dashed](7.6,0.3)(7.6,2.9)\uput[ul](7.6,2.9){A}
%\uput[dl](1.6,0.3){D}\uput[d](7.6,0.3){H}
%\psframe(7.6,0.3)(7.35,0.55)
%\rput(10,1.8){\small Colline du Fort de la Bastille}
%\rput(9.5,3.5){\small Fort Bastille}
%\rput(5.5,4){\small Arrivée} \rput(5.5,3.7){\small altitude 475 m}
%\rput(2.3,3.3){\small Point d'attache de}\rput(2.3,3){\small la première cabine}
%\rput(0.6,1.8){\small Départ :}\rput(0.6,1.5){\small altitude 213 m}
%\pscurve(2.8,0.3)(2.9,0.5)(3.25,0.5)(3.5,0.62)(3.9,0.8)(4.2,0.9)(4.8,1.2)(5.2,1.7)(6.2,1.8)(6.4,2.2)(6.7,2.3)(7,2.4)(7.3,2.5)(7.6,2.9)(8,2.6)(8.5,2.8)(9,2.7)(9.5,2.8)(10,2.65)
%\psline(7.6,2.9)(7.8,3.1)(7.8,3.4)(8,3.4)(8,3)(8.2,2.9)(8.4,2.9)(8.4,3.05)(8.55,3.2)(8.7,3.2)(8.85,3.05)(8.85,2.9)(8.95,2.9)(8.95,3.1)(9.15,3.1)(9.3,2.95)(9.3,2.75)
%\psline{->}(5.5,3.5)(7.6,2.9)\psline{->}(2.2,2.8)(4.6,1.6)
%\psline{->}(0.5,1.35)(1.6,0.3)
%\rput(4.6,1.6){\nacelle}\rput(4.37,1.5){\nacelle}
%\rput(4.14,1.4){\nacelle}\rput(3.91,1.3){\nacelle}
%\rput(3.68,1.2){\nacelle}
%\rput{23}(5.1,2.1){673~m}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la longueur AH que l'on appelle dénivelé entre les points de départ et d'arrivée est égale à $262$~m.
Le dénivelé (ou la dénivelée) est AH $ = 415 - 213 = 262$~(m).
\item %Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADH}}$.
Dans le triangle ADH rectangle en A, on a $\sin\widehat{\text{ADH}} = \dfrac{\text{AH}}{\text{AD}} = \dfrac{262}{673} \approx 0,389$.

La calculatrice permet d'obtenir $\widehat{\text{ADH}} \approx 22,9\degres$ soit $23\degres$ au degré près
\item %La pente du téléphérique s'obtient en calculant le quotient : 

%\begin{center}pente $= \dfrac{\text{AH}}{\text{DH}} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{distance horizontale correspondante}}$\end{center}

%La pente de ce téléphérique est-elle supérieure à 50\,\% ?
On a par définition du cosinus : $\cos \widehat{\text{ADH}} = \dfrac{\text{DH}}{\text{AD}}$, d'où $\text{DH} = \text{AD} \times \cos \widehat{\text{ADH}} \approx 673 \approx 619,9$, soit environ 620~(m).

La pente $p$ est donc égale $p = \dfrac{262}{620} \approx 0,42$, soit 42\,\% donc inférieure à 50\,\%.
\item %Un trajet entre D et A dure 4 minutes. Pour simplifier, on considère que la vitesse du téléphérique est constante pendant tout le trajet.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la vitesse du téléphérique pour ce trajet est d'environ $2,8$~m/s.
La vitesse moyenne est égale au quotient de la distance parcourue par le temps mis pour parcourir cette distance, soit $v = \dfrac{673}{4 \times 60} = \dfrac{673}{240} \approx 2,8$~(m/s).
		\item %Au départ, le point d'attache de la première cabine est au point D. À quelle altitude se situe ce point d'attache 3 minutes après son départ ?
%À la vitesse de 2,8 (m/s) le point d'attache parcourt en 3 minutes soit 180 secondes $2,8 \times 180 = 504$~(m).
Le projeté orthogonal du point d'attache de la première cabine sur le segment [HA] noté P parcourt 262~m en 4 minutes donc à une vitesse de $\dfrac{262}{4} = 65,5$~(m/min).

3 minutes après le départ le point P a parcouru : $65,5 \times 3 = 196,5$~(m) : il est comme le point d'attache de la première cabine à l'altitude $213 + 196,5 = 409,5$~(m)
	\end{enumerate}
\item %Voici les tarifs du téléphérique du fort Bastille :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Plein tarif &tarif enfant de moins de 15 ans &Tarif enfant de 15 ans à 18 ans\\ \hline
%Aller simple : 5,60~\euro{} &ller simple : 3,20~\euro{} &Aller simple : 4,20~\euro{}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%Madame Dupond, Monsieur Dupond et leurs cinq enfants, âgés de moins de 18 ans, ont acheté sept allers simples pour monter ensemble au fort Bastille par le téléphérique. Madame Dupond a réglé au total $30,20$~\euro{}.
%
%Dans la famille Dupond, combien d'enfants ont moins de 15 ans ?
Soit $x$ le nombre d'enfants de moins de 15 ans  ; il y a donc $5 - x$ enfants de 15 à 18 ans.

La somme à payer est de deux façons :

$30,20 = 2 \times 5,6 + 3,2x + 4,2(5 - x)$, soit en développant :

$30,2 = 11,2 + 3,2x + 21 - 4,2x$ ou $30,2 = 32,2 - x $ ou $x = 32,2- 30,2$ et $x = 2$.

La famille Dupond a 2 enfants de moins de 15 ans et 3 entre 15 et 18 ans.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}

\medskip

%Pour réaliser la figure 1 constituée de triangles équilatéraux, Solène a écrit le programme ci-dessous,
%dans lequel deux valeurs ont été effacées. Les longueurs sont données en nombre de pixels. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{4.5cm}|XX|}\cline{2-3}
	&Script principal&Bloc \og Triangle équilatéral \fg\\
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(5,4)
\rput(2.4,-2){\emph{Cette figure n'est pas à l'échelle}}
\rput(2.4,-1){Figure 1}
\pspolygon(0,0)(4.4,0)(2.2,3.81)
\rput(0,0){\psscalebox{0.8}{\psline(4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.64}{\psline[linewidth=1.25pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.512}{\psline[linewidth=1.5625pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.4096}{\psline[linewidth=1.953pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.32768}{\psline[linewidth=2.441pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\end{pspicture}&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockmove{aller à x:\ovalnum{0} y= \ovalnum{0}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalnum{125}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{k} à \ovalnum{0,8}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{} fois}
	{\initmoreblocks{Triangle équilatéral}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalvariable{côté} * \ovalvariable{k}}
	}
\end{scratch}
&\begin{scratch}[scale=0.8]
\initmoreblocks{définir Triangle équilatéral}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
	{
	\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté}}
	\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{} degrés}
	}
\end{scratch}\\ \cline{2-3}
\end{tabularx}

\medskip

On rappelle que l'instruction \og s'orienter à 90 \fg{} consiste à s'orienter horizontalement vers la droite.
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le nombre associé à l'instruction « répéter » (ligne 8) qui a été effacée dans le script
%principal.
Il faut dessiner 6 triangles donc répéter 6 fois.
		\item %Donner le nombre associé à l'instruction « tourner » (ligne 4) qui a été effacée dans le bloc \og Triangle équilatéral \fg.
		Pour se retrouver dans les conditions initiales il faut tourner 3 fois.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que la longueur du côté du deuxième triangle tracé est 100 pixels.
Après chaque tracé de triangle la longueur est multipliée par 0,8 et $125 \times 0,8 = 100$.
\item %Les deux affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

%Affirmation 1 : \og D'un triangle au triangle suivant dans l'exécution du programme, la longueur du côté du triangle diminue de 20\,\%. \fg
Retrancher 20\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{20}{100} = \dfrac{100 - 20}{100} = \dfrac{80}{100} = 0,8$.
L'affirmation 1 est vraie.

%Affirmation 2 : \og D'un triangle au triangle suivant dans l'exécution du programme, l'aire du triangle est multipliée par 0,64. \fg
Si la mesure des côtés d'un triangle est multipliée par $k$, son aire est multipliée par $k^2$, donc les longueurs étant multipliées par 0,8, l'aire est multipliée par $0,8^2 = 0,64$. L'affirmation 2 est vraie.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le nom de la transformation du plan qui permet de passer d'un triangle au triangle
%suivant dans l'exécution du programme ?
C'est une homothétie de centre le sommet inférieur gauche du triangle tracé en premier et de rapport 0,8.
		\item %Solène souhaite modifier son programme pour que chaque triangle tracé soit un agrandissement du triangle précédent dans l'exécution du programme. Donner une valeur possible pour k.
Une diminution de chaque triangle est obtenue si $k < 1$ et un agrandissement est obtenu si $k > 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}