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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges 22 juin 2016~\decofourright\\Métropole -- La Réunion série professionnelle}}}\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour le mobile home à 8, le prix est de \np{1456}~\euro. Pour la tente de 4 personnes, le prix est de 522~\euro. Pour le camping-car de 6 personnes, le prix est de 992~\euro. 

Le prix total payé par les trois familles pour une semaine est de : 

$\np{1456} + 522 + 992 = \np{2970}$~\euro. 

\item La remise est de 100~\euro. On sait que la facture totale s'élève à \np{2970}~\euro. Pour calculer le pourcentage que représente la remise, on fait le rapport de cette remise au total de la facture, soit  : 

\[\text{Pourcentage} = \dfrac{\text{Remise}}{\text{Prix total}} = \dfrac{100}{\np{2970}}\approx  3,4\,\%.\] 

La remise représente donc 3,4\,\% du montant total de la facture payée par les trois familles. 

\item Chaque jour, chaque personne paie 0,35~\euro. Ils sont 18 en tout. Tous les jours, ils paieront, au total : $0,35 \times 18 = 6,30$~\euro. 

Sur une semaine, soit 7 jours, cela représentera : $6,3 \times 7 = 44,10$~\euro. 

\item Commençons par calculer le prix final de la semaine des trois familles (toutes personnes confondues) : 

Prix final = \np{2970} - 100 + 44,10 = \np{2914,10}~\euro. 

Comme ils sont 18 en tout, cela signifie qu'en moyenne, chaque personne devra payer : 

$\text{Prix moyen} = \dfrac{\np{2914,10}}{18} \approx  161,89$~\euro. L'information est correcte.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reconstitutions le tableau de l'annexe  :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Article   &Quantité 			&Prix unitaire en \euro	&   Prix en \euro\\ \hline   
Maillot   &5   					&35   					&$5 \times 35 = 175$\\ \hline    
Casquette &8   					&$\dfrac{124}{8} = 15,50$&124\\ \hline       
Écharpe   &4   					&12,50					&50\\ \hline    
Drapeau   &$\dfrac{45}{3} = 15$	&3						&45 \\ \hline   
		  &						&Montant total  en \euro&394\\ \hline    
		  &						&Remise de 5\,\%   		&$\dfrac{5}{100 }\times 394 = 19,70$\\ \hline    
		  &						&Net à payer			&$394 - 19,70 = 374,30$\\ \hline  
\end{tabularx}      
\end{center}  
\item Pour calculer le total, il suffit de multiplier les quantités par le prix unitaire, soit : $5 \times  35 =$ B2 * C2 

\item Etant donné que le total à payer, pour les trois familles, est de 374,30~\euro, chaque famille paiera : $\dfrac{374,30}{3} =  124,77$~\euro. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour répondre à cette question et éviter toute erreur, le mieux est de représenter un axe de temps comme suit : 

Le trajet est de 1 h 30 entre le domicile et la gare 

La famille prévoit d'arriver 30 min avant le départ 

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,1)(12,3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,2)(12,2)
\psline(1.5,1.8)(1.5,2.2)
\psline(6,1.8)(6,2.2)
\psline(9.5,1.8)(9.5,2.2)
\uput[d](1.5,2){Départ de la famille }
\uput[d](6,2){Arrivée de la famille}
\uput[d](9.5,2){Départ du train}
\uput[u](1.5,2){11 h 30}
\uput[u](6,2){13 h 00}
\uput[u](9.5,2){13 h 30} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
La famille partira donc à 11 h 30 de son domicile. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Au bout des 4 premières heures, la distance est de 330km 
		\item Pour parcourir les 210 premiers kilomètres, il faudra 2,5~h, soit 2~h 30~min.
		
Rappel: 1~h comporte 60 minutes. Ainsi, 0,5~h représente 30 minutes. 
	\end{enumerate}
\item Il faut utiliser la formule de la vitesse pour répondre à cette question. 

Vitesse $= \dfrac{\text{Distance}}{\text{Temps}}$ 

En remplaçant par les informations de l'énoncé, on peut écrire: 

$80 = \dfrac{250}{t}$

\emph{Remarque} : il faut vérifier, au préalable, que les unités s'accordent entre elles. La vitesse est exprimée en km/h. Il faut donc que la distance soit en kilomètres, ce qui est bien le cas ici. 

Il s'agit de résoudre cette équation afin de trouver la valeur de $t$. 

$80 \times t = 250$  ou $t = \dfrac{250}{8} = 3,125$~h 

La famille arrivera donc un peu après 3 h de route. Le père se trompe.

(En fait 0,125~h =$ 0,125 \times 60 = 7,5$~min.)
 
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il faut évidemment s'aider du tableau pour pouvoir représenter le diagramme en bâtons. Il suffit de tracer des bâtons dont la hauteur est égale au nombre de campeurs. 

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(5,88)
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(5,80)
\uput[d](0.5,0){Paëlla} \psframe(0.4,0)(0.6,15)
\uput[d](1.5,0){Couscous}\psframe(1.4,0)(1.6,30)
\uput[d](2.5,0){Hamburger}\psframe(2.4,0)(2.6,70) 
\uput[d](3.5,0){Brochettes}\psframe(3.4,0)(3.6,25)
\uput[d](4.5,0){Choucroute}\psframe(4.4,0)(4.6,10)
\uput[d](4.5,-4){de la mer}
\rput(2.5,85){Nombre de campeurs } 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item Cette fois-ci, il faut s'aider simplement du diagramme pour remplir les cases vides. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textbf{Région}&\textbf{Nombre de campeurs}\\ \hline   
Paella   				&15\\ \hline     
Couscous 				&30\\ \hline     
Hamburger 				&70 \\ \hline    
Brochettes 				&25 \\ \hline    
Choucroute de la mer 	&10 \\ \hline    
Nombre total de campeurs&150\\ \hline  
\end{tabularx}
\end{center}   

3) La probabilité  d'un évènement quelconque est donnée par  

$p = \dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$.

Comme ils sont $150$ campeurs, et que chaque famille comporte $6$ membres, la probabilité pour qu'un membre soit élu est égale à : 

\[p = \dfrac{6}{150} =  \dfrac{1}{25}.\] 

Rappel : une fraction est dite \og irréductible \fg{} s'il n'est plus possible de trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.  
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'aire de la surface de parquet correspond à l'aire d'un rectangle  de 5~m sur 4~m.

\[\mathcal{A}_{\text{rectangle}} =  5 \times  4 = 20~\text{m}^2.\] 

\item Si le gérant doit acheter 10\,\% de parquet supplémentaire, il lui faudra acheter, non pas 20 m$^2$ de parquet, mais $20 + \frac{10}{100}\times  20 = 22$~m$^2$. 

Comme les bottes font une aire de 1,32m$^2$, il lui faudra acheter :  

\[\text{Nombre de bottes} = \dfrac{22}{1,32} \approx 16,667~\text{bottes} \]

Il faut acheter 17 bottes. 
\item Nous devons calculer les longueurs BC et B$'$C, qui sont égales par ailleurs. Il suffit donc d'en trouver une sur les deux, et de multiplier le résultat par 2. 

Calculons la longueur BC. 

On sait que : ABC est un triangle rectangle en A ; AC = 1 et AB = 2 .

Or, d'après le théorème de Pythagore, on peut écrire : 

$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Donc : $\text{BC} = \sqrt{5}$~m. 

Étant donné que B$'$C est égale à BC, la longueur totale que le gérant devra commander est égale à : 

$2 \times  \sqrt{5} \approx  4,472$ mètres, soit environ $448$ cm 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule : $150 \times 25 = \np{3750}$~cl, soit 37,5~l. 
\item Commençons par calculer le volume du cylindre en cm$^2$ : 

$\text{Volume} = \pi \times R^2 \times h = \pi \times  25^2 \times 20 = \np{12500}\pi \approx  \np{39270}~\text{cm}^3$. 

Or, on nous dit que 1L = \np{1000}~cm$^3$. 

On peut donc faire un produit en croix pour obtenir le nombre de litres que contient le récipient cylindrique. 

39270 \[\text{Volume(en litres)} = \dfrac{\np{39270}}{\np{1000}} = 39,27~\text{litres}\] 

Comme le gérant doit préparer 37,5 litres, le récipient sera suffisant pour contenir la quantité souhaitée. 
\end{enumerate} 
\end{document}