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%Tapuscrit :Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{ septembre 2017}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\ Métropole  septembre 2017}}

\vspace{0,25cm}
 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\bigskip

{\footnotesize
Afin de suivre les directives concernant l’information sur les allergènes, un restaurant a
répertorié deux allergènes pouvant être contenus dans les petits fours servis en mise en
bouche : les fruits de mer et le gluten.

Parmi les petits fours servis :
\begin{itemize}
\item 40\,\% contiennent des fruits de mer ; soit 60\,\% ne contiennent pas de fruits de mer.
\item les trois cinquièmes des petits fours contenant des fruits de mer contiennent aussi du
gluten ; soit $\np{0.40}\times \frac{3}{5}=\np{0.24}$
\item  les quatre cinquièmes des petits fours sans fruit de mer contiennent du gluten.
soit $\np{0.60}\times \frac{4}{5}=\np{0.48}$
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item  Nous avons complété le tableau donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie.}
\item  \og Plus de 80\,\% des petits fours contiennent au moins un allergène\fg. Cette affirmation est
vraie car seulement 12\,\% des petits fours n'ont aucun allergène. $1-\np{0.12}= \np{0.88}$ par conséquent  88\,\% 
des petits fours contiennent au moins un allergène.
\end{enumerate}
{\footnotesize On choisit au hasard un petit four. On admet que chacun a la même probabilité d’être choisi.

On note : $G$ l’évènement : \og le petit four contient du gluten\fg{} ;

\hspace{4.5em} $F$ l’évènement : \og le petit four contient des fruits de mer \fg.
}
\begin{enumerate}[resume]
\item \begin{enumerate}
\item   $\overline{F}\cup G$ est l’évènement  \og le petit four ne contient pas de fruits de mer ou contient du gluten \fg. 

Calculons sa probabilité. $p\left(\overline{F}\cup G\right) = p\left(\overline{F}\right)+p(G) -p\left(\overline{F}\cap G\right) = \np{0.60}+\np{0.72}-\np{0.48}=\np{0.84}.$
\item  L’évènement \og le petit four choisi ne contient ni fruit de mer ni gluten\fg{} se note $\overline{F}\cap\overline{G}$.

Déterminons  sa probabilité. $p\left(\overline{F}\cap\overline{G}\right)=\np{0.12}$.
\item L’évènement contraire de l’évènement de la question \textbf{3.b.} précédente est : \og le petit four choisi contient des fruits de mer ou du gluten\fg. Sa probabilité est donc $\np{0.88}$.

{\footnotesize \emph{remarque} c'est la question 2 posée différemment.}
\end{enumerate}
\item Le petit four choisi contient du gluten.
Calculons  la probabilité qu’il contienne aussi des fruits de mer.

Cette probabilité est notée $p_{G}(F)$. $p_{G}(F)=\dfrac{p(F\cap G)}{p(G)}=\dfrac{\np{0.24}}{\np{0.72}}=\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\bigskip


{\footnotesize
Une restauratrice vient d’acheter un nouveau piano de cuisson d’une valeur de \np{21 000}~\euro
.
On étudie l’évolution de la valeur de ce piano de cuisson sur une durée de quinze ans.

On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; 15] par $ f(x)= \np{21 000}\,\e^{-0,24x}$.

Sa représentation graphique dans un repère orthogonal est donnée \textbf{en annexe, à rendre avec
la copie.}

On admet que la fonction $f$  est dérivable sur [0 ; 15] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On admet que, pour les valeurs entières de $x$, $f(x)$ représente la valeur du piano de cuisson, en
euros, au bout de $x$ années d’utilisation.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  Résolvons graphiquement l’inéquation $f(x) \geqslant \np{8 000}$. Traçons la droite d'équation $y=\np{8000}$ et lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe. Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons $x\approx 4$.  L'ensemble solution de l'inéquation est l'ensemble des abscisses des points pour lesquels la courbe est située \og au-dessus\fg{} de la droite. $\mathcal{S}=[0~;~4]$.
Cet intervalle peut être interprété comme le temps pendant lequel la valeur du piano est supérieure à \np{8000}~\euro.  %dans le contexte du restaurant l’ensemble des solutions de cette inéquation ?
\item La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 15] puisque sur cet intervalle la fonction dérivée est strictement négative.

En effet $f'(x)=\np{21000}\times (-\np{0.24}\,\e^{-\np{0.24}x})=-\np{5040} \e^{-\np{0.24}x}$ et $f'(x)<0$ comme produit d'un nombre réel strictement négatif ($-\np{5040}$) et d'un nombre réel strictement positif $\left(\e^{-\np{0.24}x}\right)$.
\item Montrons que l’équation $f(x)= \np{2 000}$ admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 15].

Appliquons ce théorème :

{\footnotesize Si $f$ est dérivable sur $[a~;~b]$ où  $a<b$ et si $f'$ est à valeurs strictement négatives sur $]a~;~b[$ alors $f$ est strictement décroissante sur $[a~;~b]$ et pour tout élément $\lambda$ de $[f(b)~;~f(a)]$ l'équation $f(x)=\lambda$ admet une solution unique dans $[a~;~b]$.}

La fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~15]$  et  $f'$ est à valeurs strictement négatives sur $]0~;~15[$ alors $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~15]$ et $\np{2000}\in  [\approx \np{573.798}~;~\np{21000}]$ l'équation $f(x)=\np{2000}$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0~;~15]$.

À l'aide de la calculatrice, arrondi à l’unité $\alpha\approx 10$

\item   Ce résultat dans le contexte étudié peut être interprété comme le nombre d'années au bout desquelles la valeur du piano est de \np{2000}~\euro.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur du piano de cuisson au bout de sept années d’utilisation  est $f(7)$.

 $f(7)=\np{21000}\,\e^{-0,24\times 7}=\np{21000}\,\e^{-\np{1.68}}$ soit à l’euro près  \np{3914}.
\item Calculons le pourcentage d’évolution entre le prix d’achat et la valeur du piano de cuisson
au bout de sept années d’utilisation.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$\mathcal{T}=\dfrac{\np{3914}-\np{21000}}{\np{21000}}\approx -\np{0.8136}$.

Le pourcentage d’évolution entre le prix d’achat et la valeur du piano de cuisson au bout de sept années d’utilisation est d'environ $-\np{81.36}\,\%$.

\item La restauratrice affirme : \og au bout de 10 ans, le piano de cuisson a perdu 90\,\% de sa
valeur d’achat\fg.

Calculons sa valeur  au bout de 10 ans  $f(10)\approx 1905$. Le taux d'évolution est alors $\dfrac{1905-21000}{21000}\approx -\np{0. 9093}$ soit $-\np{90.93}\,\%$
par conséquent la restauratrice a raison.

{\footnotesize \emph{remarque} Si le piano  perd 90\,\% de sa valeur  alors il vaut $\np{21000}\times (1-\np{0.9})$ soit \np{2100} or nous avons montré qu'au bout de 10 ans il valait environ \np{2000}, elle a donc raison }
%Expliquer si elle a raison ou tort.

\item  La restauratrice veut récupérer au moins \np{1000}~\euro{} à la revente de son piano de cuisson.

 Pour déterminer, pendant combien d’années au maximum elle peut l’utiliser, résolvons $f(x)=\np{1000}$.
 
 \begin{multicols}{2}
\columnseprule=0.4pt\setlength\abovedisplayskip{0ex}\setlength\belowdisplayskip{0ex}
\vspace{\abovedisplayskip}

 \begin{align*}
 \np{21 000}\,\e^{-0,24x}&=\np{1000}\\
 \e^{-\np{0.24}x}&=\dfrac{1}{21}\\
 \e^{\np{0.24}x}&=21 
 \end{align*}
 \columnbreak
 \begin{align*}
 \np{0.24}x&=\ln 21 \\
 x&=\dfrac{\ln 21}{\np{0.24}}\\
x&\approx \np{12.69}
 \end{align*}
  \vspace{\belowdisplayskip}
 \end{multicols}
 
 La restauratrice  pourra l'utiliser au maximum pendant 12 ans si elle veut récupérer au moins \np{1000}~\euro.
 
\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center}
\textbf{Annexe à remettre avec la copie}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}} 

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabular}{|m{3.5cm}|c|c|c|}
\hline
\textbf{Tableau de fréquences \phantom{tableau}(en \%)}& \begin{minipage}{2.5cm}Petits fours avec\\ fruits de mer\end{minipage} &\begin{minipage}{2.5cm} Petits fours sans fruits de mer\end{minipage}& \textbf{Fréquences totales (en \%)}\\\hline
Petits fours avec gluten&24\,\%&48\,\%&72\,\%\\
\hline
Petits fours sans gluten&16\,\%&12\,\%&28\,\%\\\hline
\textbf{Fréquences totales (en \phantom{frequence} \%)}& 40\,\% &60\,\% &100\,\%\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\vspace{2cm}
\setlength\parindent{-1cm}
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0005cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-100)(16,23000)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-50)(\n,22000)}
\multido{\n=0+2000}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-0.3,\n)(15.5,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,,Dy=2000,]{->}(0,0)(15.5,22000)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{15}{ 2.71828 x 0.24 neg mul  exp 21000 mul }
\uput[r](2,13700){\blue \Large $\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,22000){$y$}\uput[d](15.5,0){$x$}
\psset{arrowscale=2}
 \def\Func{2.71828 x 0.24 neg mul  exp 21000 mul}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 4.02117 def \Func)(!4.02117 /x 4.02117 def \Func)(4.02117,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 12.68551 def \Func)(!12.68551 /x 12.68551 def \Func)(12.68551,0)
\uput[l](0,1000){\footnotesize \color{cyan}{$\np{1000}$}}
\end{pspicture}


\end{document}