\documentclass[a4paper,DIV=16]{article}
\usepackage{etex}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[np]{numprint}
%\pagestyle{empty}
\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames]{xcolor}
\usepackage{tkz-tab,tkz-fct}%,tkz-tukey}
\usepackage{xkeyval,ifthen}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetkzobj{all}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usetikzlibrary{babel,arrows,shadows,decorations.pathmorphing,decorations.markings,patterns}
\usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm}%,tkz-bbpage}
\usepackage{pifont}
\usepackage{cancel,enumitem}
\usepackage{tabularx,colortbl}
\usepackage{multicol,xcolor,framed}
\usepackage{pst-all}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} 
\unitlength=1cm
\renewcommand\FrenchLabelItem{\textbullet}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Polynésie juin 2014},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[greek,frenchb]{babel}
\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
%\maketitle
\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat S  Polynésie 13 juin 2014~\decofourright}}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points 
\[
A(5~;~-5~;~2),\quad B(-1~;~1~;~0),\ C(0~;~1~;~2),\quad  \text{et}\ D(6~;~6~;~-1)
\]

\begin{enumerate}
\item Nature du triangle $BCD$:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
BC^2 = (0-(-1))^2+(1-1)^2+(2-0)^2=5\\
CD^2 = (6-0)^2+(6-1)^2+(-1-2)^2=70\\
BD^2 = (6-(-1))^2+(6-1)^2+(-1-0)^2=75
\end{array}\right.\Longrightarrow BD^2=BC^2+CD^2\Longrightarrow\ BCD\ \text{est rectangle en}\ C 
\]
\item Son aire est : $\dfrac{BC\times CD}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{70}}{2}=\dfrac{5}{2}\sqrt{14}$.
	\begin{enumerate}
		\item Le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$  est un vecteur normal au plan $(BCD)$:
\[
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\cdot\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}=1\times (-2)+0\times 3+2\times 1=0\ \text{et}\ \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}\cdot\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}=6\times (-2)+5\times 3+(-3)\times 1=0
\] 
Comme $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires ($BCD$ est un triangle rectangle non aplati), $\overrightarrow{n}$ étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$, il en est un vecteur normal.
		\item Équation cartésienne du plan $(BCD)$:
\begin{itemize}
\item L'équation est de la forme $-2x+3y+z+d = 0$ ;
\item $B$ appartient au plan, donc $-2(-1) + 3(1) + (0) + d = 0\Longleftrightarrow d = -5$ ;
\item une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est : $-2x + 3y + z - 5 = 0$.
\end{itemize}
	\end{enumerate} 
\item Représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ (donc de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$) et passant par le point $A$:

\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
x=5-2t\\
y=-5+3t\\
z=2+t
\end{array}\right.\ \text{avec}\ t\in\mathbbm{R}
\] 
\item Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(BCD)$. 
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
x = 5-2t\\ 
y = -5+3t\\  
z =2+t\\
-2x+3y+z-5=0	
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
x = 5-2t\\ 
y = -5+3t\\  
z =2+t\\
-2(5-2t)+3(-5+3t)+(2+t)-5=0	
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
x = 5 - 2(2)=1\\ 
y = - 5 + 3(2)=1\\  
z = 2 + 2 = 4\\
t = 2	
\end{array}\right.
\]
Ainsi, les coordonnées de $H$ sont: $(1~;~1~;~4)$.
\item Volume du tétraèdre $ABCD$:

$[AH]$ est la hauteur du tétraèdre, car $A$ est sur la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(BCD)$ et $H$ est l'intersection de $\mathcal{D}$ et $(BCD)$, donc la projection orthogonale de $A$ sur $(BCD)$.

$\mathcal{B}=5\sqrt{7}$; $h=AH=\sqrt{(5-1)^2+(-5-1)^2+(2-4)^2}=2\sqrt{14}$; donc:
\[
\mathcal{V} = \frac{1}{3}\mathcal{B} \times  h=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{14}\times \frac{5}{2}\sqrt{14}=\frac{70}{3}
\]
\item Mesure de l'angle $\widehat{BAC}$:
\end{enumerate}
\[
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-6\\6\\-2\end{pmatrix};\ AB=\sqrt{(-6)^2+6^2+(-2)^2}=\sqrt{76};\ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-5\\6\\0\end{pmatrix};\ AB=\sqrt{(-5)^2+6^2+(0)^2}=\sqrt{61};
\]

$\cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}
=\frac{(-6)\times(-5)+6\times 6+(-2)\times 0}{\sqrt{76}\times \sqrt{61}}=\frac{66}{\sqrt{4 636}}\simeq 0,97\Longrightarrow $

$\text{mes}\widehat{BAC}\simeq 14,2\ \text{au dixième de degré près}
$
 
\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par 

\[u_{0} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.\]
 
\begin{enumerate}
\item $u_{1}=u_0=2\times 0+2=2$ et $u_{2}=u_1+2\times 1+2=6$. 
\item \textbf{Le second affiche en sortie la valeur de $u_{n}$}, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur. 
\item \'Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$:

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ semble être croissante.
		 
Démonstration :
\[
u_{n+1}-u_n=u_{n} + 2n +2-u_n=2n+2>0\ \text{pour tout}\: n\ \text{naturel}
\]
\item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$.
		 
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
u_0=a\times 0^2+b\times 0+c=0\\
u_1=a\times 1^2+b\times 1+c=2\\
u_2=a\times 2^2+b\times 2+c=6
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
a+b=2\\
4a+2b=6\\
c=0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
a+b=2\\
2a+b=3\\
c=0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
a=1\\
b=1\\
c=0
\end{array}\right.
\] 
\end{enumerate}
\item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}=2n+2$. 
	\begin{enumerate}
		\item C'est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=2$. 
		\item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 
\[
S_n=\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}=(n+1)v_0+\frac{n(n+1)}{2}\times r=2(n+1)+n(n+1)=(n+1)(n+2)
\]
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\[
S_n=(\cancel{u_1}-u_0)+(\cancel{u_2}-\cancel{u_1})+\cdots + (\cancel{u_n}-\cancel{u_{n-1}})+(u_{n+1}-\cancel{u_n})=u_{n+1}-u_0
\]
\[
S_{n-1}=u_n-u_0\Longleftrightarrow u_n=S_{n-1}+u_0=n(n+1)+0=n(n+1)
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }


\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Une personne née le 1\up{er} août, le programme de calcul (A) donne le nombre $308$:
\begin{itemize}
\item Numéro du jour de naissance multiplié par 12: $1\times 12 = 12$;
\item Numéro du mois de naissance multiplié par 37: $8\times 37 = 296$;
\item $12 + 296=308$.
\end{itemize}
\item  
\begin{enumerate}
\item Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). 
\[
z=12j+37m,\ \text{or}\ 12\equiv 0\ [12] \text{ et } 37 \equiv 1 \ [12]\ \text{donc}\ z=12j+37m\equiv 0 \times j + 1 \times m\ [12] \text{ soit } \: z \equiv m \ [12]
\]
 
\item Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A):
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
z=474=39\times 12+6\\
z\equiv 37m\ [12]
\end{array}\right.\Longrightarrow z=(3\times 12+1)m\equiv 6\ [12]\Longrightarrow m\equiv 6\ [12],\ \text{le mois est donc juin}
\]
\[
z=474=12j+37\times 6\Longrightarrow 12j=474-37\times 6=252=21\times 12\Longrightarrow j=21
\]
\textbf{Le spectateur est donc né un 21 juin.}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
Le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$.

\begin{enumerate}
\item Première méthode :
 
Algorithme modifié (\texttt{AlgoBox}) pour qu'il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que $12j + 31m = 503$. 


\begin{multicols}{2}
\begin{footnotesize}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     j EST_DU_TYPE NOMBRE
3     m EST_DU_TYPE NOMBRE
4     z EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     POUR m ALLANT_DE 1 A 12
7       DEBUT_POUR
8       POUR j ALLANT_DE 1 A 31
9         DEBUT_POUR
10        z PREND_LA_VALEUR 12*j+31*m
11        SI (z==503) ALORS
12          DEBUT_SI
13          AFFICHER j
14          AFFICHER "\ "
15          AFFICHER m
16          AFFICHER "; "
17          FIN_SI
18        FIN_POUR
19      FIN_POUR
20  FIN_ALGORITHME

***Algorithme lancé***
29\ 5;
***Algorithme terminé***
\end{verbatim}
\end{footnotesize}
\end{multicols}
\textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.}
\item Deuxième méthode :
\begin{enumerate}
\item $12a\equiv 0\ [12]$ pour tout $a$ entier, donc
\[
z=12j+31m\equiv 31m=(2\times 12+7)m=12\times 2m+7m\equiv 7m\ [12]
\]		
		
$7m$ et $z$ ont donc le même reste dans la division euclidienne par 12. 
\item Pour $m$ variant de 1 à 12, reste de la division euclidienne de $7m$ par 12:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$m$ & 1 & 2 & 3 & 4 & \cellcolor{gray}5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline
reste & 7 & 2 & 9 & 4 & \cellcolor{gray}11 & 6 & 1 & 8 & 3 & 10 & 5 & 0\\ \hline
\end{tabular}
 \end{center}
 On remarque qu'à chacun des 12 restes possibles correspond un seul mois.
\item Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B):
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
z=503=41\times 12+11\\
z\equiv 7m\ [12]
\end{array}\right.\Longrightarrow 7m\equiv 11\ [12]\Longrightarrow m=5,\ \text{le mois est donc mai}
\]
\[
z=503=12j+31\times 5\Longrightarrow 12j=503-31\times 5=29\times 12\Longrightarrow j=29
\]
\textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.}
\end{enumerate} 
\item Troisième méthode : 
\begin{enumerate}
\item Le couple $(-2~;~17)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$:
\[
12\times(-2) + 31\times(17) = 503
\] 
\item Un couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$:
\[
\left\lbrace\begin{array}{lr}
12x + 31y = 503& L_1\\
12\times(-2) + 31\times(17) = 503& L_2
\end{array}\right.\Longrightarrow 12(x+2)+31(y-17)=0\ (L_1-L_2)\Longleftrightarrow 12(x + 2) = 31 (17 - y)\ (E)
\]

\item Résolution de l'équation $12x + 31y = 503$:
\begin{itemize}
\item Partie directe:
\[
12x + 31y = 503\Longrightarrow 
\left\lbrace\begin{array}{l}
12(x + 2) = 31 (17 - y)\\
\text{pgcd}(12;31)=1
\end{array}\right.\stackrel{\text{\textsc{Gauss}}}{\Longrightarrow} 31\ \text{divise}\ x+2
\]
Ainsi, il existe un entier relatif $k$ vérifiant $x+2=31k\Longleftrightarrow \boxed{x=-2+31k}$.

En remplaçant dans $(E)$, on obtient:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
12(x + 2) = 31 (17 - y)\\
x+2=31k
\end{array}\right.\Longrightarrow 12\times \cancel{31}k=\cancel{31}(17-y)\Longleftrightarrow 12k=17-y\Longleftrightarrow \boxed{y=17-12k}
\]
\item Réciproque: pour tout $k$ de $\mathbbm{Z}$, on a:
\[
12(-2+31k)+31(17-12k)=\underbrace{12\times(-2) + 31\times(17)}_{503}+\cancel{12\times 31k}-\cancel{12\times 31k}=503
\]
\item Conclusion :  les couples solutions de l'équation $12x + 31y = 503$ sont de la forme  

$(- 2 + 31k~;~17 - 12k)$ avec $k \in \mathbbm{Z}$.
\end{itemize} 
\item Il existe un unique couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ tel que $1 \leqslant y \leqslant 12$:
\[
1 \leqslant y \leqslant 12 \Longleftrightarrow 1 \leqslant 17-12k \leqslant 12 \Longleftrightarrow -16 \leqslant -12k \leqslant -5 \Longleftrightarrow 5 \leqslant 12k \leqslant 16 \Longleftrightarrow \frac{5}{12} \leqslant k \leqslant \frac{16}{12}
\]
Ainsi $k=1$ est l'unique entier compris entre $\dfrac{5}{12}\simeq 	\numprint{0,4166}$ et 	$\dfrac{16}{12}\simeq 	\numprint{1,3333}$.

L'unique couple recherché est donc: $(-2+31\times 1;17-12\times 1)= (29~;5)$

\textbf{Le spectateur est donc né un 29 mai.}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
 
Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80\,\% des cas.
 
Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à $0,6$.
 
\textbf{Affirmation \no 1 : VRAIE} 

\begin{minipage}{.5\textwidth}
Arbre de probabilités:
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[circle]
\tikzstyle{feuille}=[]
\tikzstyle{etiquetteh}=[midway,above left,fill=white]
\tikzstyle{etiquetteb}=[midway,below left,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$.$};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {Pl};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$P$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{\text{Pl}}$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$P$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquetteh] {$0,25$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquetteh] {$0,8$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquetteb] {$0,2$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquetteb] {$0,75$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquetteh] {$0,4$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquetteb] {$0,6$};
\end{tikzpicture}

Pl: il pleut; V: en voiture; P: à pied
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{.5\textwidth}
On cherche $p(V)$:

\begin{align*}
p(V)&=p(V\cap \text{Pl})+p(V\cap \overline{\text{Pl}})\\
	&=p_{\text{Pl}}(V)\times p(\text{Pl})+p_{\overline{\text{Pl}}}(V)\times p(\overline{\text{Pl}})\\
	&= 0,8\times 0,25+0,4\times 0,75=0,5
\end{align*}
\og Zoé utilise la voiture un jour sur deux. \fg 
\end{minipage}
\item Dans l'ensemble $E$ des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux événements $A$ et $B$.
 
\textbf{Affirmation \no 2 : VRAIE}

$A$ et $B$ sont indépendants signifie que $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$:

$p(A) = p(A \:\cap\: B) + p\left(A\cap\overline{B}\right) = p(A) \times p(B) + p\left(A\cap\overline{B}\right) \Longrightarrow p\left(A \cap \overline{B}\right) = p(A) - p(A) \times p(B) = p(A) \left(1 - p(B)\right) = p(A)\times p\left(\overline{B}\right)$
 
\og Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants. \fg 
\item On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$.
 
\textbf{Affirmation \no 3 : FAUX}

\smallskip

\hfill $p(T \leqslant 5)=\displaystyle\int_0^5 0,7\text{e}^{-0,7x}\text{d}x=\left\lbrack-\text{e}^{-0,7x}\right\rbrack_0^5
 = 1 - \text{e}^{-0,7\times 5}\approx 0,97$\hfill\,

\smallskip 

La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est:

\smallskip

\hfill $p(T>5) = 1 - p(T \leqslant 5) \approx 0,03$\hfill\,

\smallskip
 
\textbf{Affirmation \no 4 : FAUX}
 \[
 E(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,7}\simeq 1,42
 \]
\og Le temps d'attente moyen à ce guichet est d'environ 1 minute et demi.\fg 

\item% On sait que 39\,\% de la population française est du groupe sanguin A+ ($p=0,39$).
% 
%On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang.
%
%On interroge $n=183$ donneurs de sang et parmi eux, 34\,\% sont du groupe sanguin A+ ($f=0,34$). On va trouver un intervalle de confiance au seuil de 95\%.
 
\textbf{Affirmation \no 5 : VRAIE}

La proportion de personnes de groupe sanguin A+ dans la population française est $p=0,39$.

La taille de l'échantillon est $n=183 \geqslant 30$;

$np=183 \times 0,39 = 71,37 \geqslant 5$ et $n(1-p) =183 \times (1-0,39) = 111,63 \geqslant 5$.

Donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 5\,\% de la proportion de personnes ayant un groupe sanguin A+:

\smallskip

$I= \left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \,;\,
p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right] 
= \left[ 0,39 - 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,39\times 0,61}}{\sqrt{183}} \,;\,
0,39 + 1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,39\times 0,61}}{\sqrt{183}}\right]$

\smallskip

$I \approx \left[ 0,319 \,;\, 0,461 \rule[-3pt]{0pt}{12pt} \right]
$

\smallskip

% \[
% \left\lbrack f-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right\rbrack=
% \left\lbrack 0,34-\frac{1}{\sqrt{183}}\,;\,0,34+\frac{1}{\sqrt{183}}\right\rbrack\subset \left\lbrack 0,26~;~0,42\right\rbrack\ni p=0,39 
% \]

Or $0,34 \in I$, donc on ne peut pas rejeter, au seuil de 5\,\%, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39\,\% comme dans l'ensemble de la population.

\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbbm{R}$ par 

\[
f(x) = \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1
\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.
 
\begin{enumerate}
\item Intersection de deux courbes:
\hspace*{-1cm}
\[
M(x~;~y)\in \mathcal{C}_{f}\cap \mathcal{C}_{g}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \text{e}^x=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
X=\text{e}^{\frac{x}{2}}\\
X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2=0
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{x}{2}}=1\Longleftrightarrow x=0
\]
Ainsi $M$ a pour coordonnées $(0\,;\,1)$.
\[
f'(x)=\text{e}^x\Longrightarrow f'(0)=1\quad;\quad g'(x)=\text{e}^{\frac{x}{2}}\Longrightarrow g'(0)=1
\]

En $M$, leurs tangentes ont, toutes deux le même c\oe fficient directeur $1$,

elles ont donc même tangente $\Delta$ d'équation $y-1=1(x-0)\Longleftrightarrow y=x+1$.
\item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbbm{R}$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$. 
\begin{enumerate}
\item Limite de la fonction $h$ en $- \infty$:
\[
\lim_{x\to-\infty}h(x)=\lim_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to-\infty}\text{e}^{\frac{x}{2}}=0
\] 
\item Pour tout réel $x$
\[
 x\left(\frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}-1-\dfrac{2}{x}\right)=\cancel{x}\times\text{e}^{\frac{x}{2}}\times \frac{2}{\cancel{x}}-x-\cancel{x}\frac{2}{\cancel{x}}=2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2=h(x)
\] 

Limite de la fonction $h$ en $+ \infty$:
\[
\lim_{x\to+\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}x\times \frac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}=+\infty,\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0\ \text{et}\ \lim_{X=\frac{x}{2}\to+\infty}\frac{\text{e}^X}{X}=+\infty
\] 
\item Fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbbm{R}$:
\[
h'(x)=2\times\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}}-1=\text{e}^{\frac{x}{2}}-1
\]
\[
h'(x)>0\Longleftrightarrow 	\text{e}^{\frac{x}{2}}>1 \Longleftrightarrow \frac{x}{2}>0\Longleftrightarrow x>0\ \text{et}\ h'(x)<0\Longleftrightarrow 	\text{e}^{\frac{x}{2}}<1 \Longleftrightarrow \frac{x}{2}<0\Longleftrightarrow x<0	 
\] 
\item Tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbbm{R}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ /.5,$h'(x)$ /.5,$h(x)$ /1.2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/$0$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item La fonction $h$ possède un minimum en $0$ qui est $0$. Donc:
\[
\forall x,\ x\in\mathbbm{R},\ h(x)\geqslant 0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-x-2=2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1-x-1\geqslant 0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\geqslant x+1
\]
\item Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{g}$ se trouve au dessus de la droite d'équation $y = x + 1$ qui est la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\item Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ 
\begin{enumerate}
\item On a vu plus haut (question 1.) que, pour tout réel $x$, $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}}-1\right)^2=f(x)-g(x)\geqslant 0$. 
\item Ainsi la courbe $\mathcal{C}_{f}$ se trouve au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$.

Ainsi, $\left|f(x)- g(x)\right| = \left(f(x) - g(x)\right)$.
\end{enumerate} 
\item Aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$:
\begin{align*}
\mathcal{A}&=\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|\text{d}x=\int_0^1\left(f(x)+g(x)\right)\text{d}x=\int_0^1\text{e}^x\text{d}x-4\int_0^1\frac{1}{2}\text{e}^{\frac{x}{2}}\text{d}x+\int_0^1\text{d}x\\
	&=
\left\lbrack\text{e}^x\right\rbrack_0^1-4\left\lbrack\text{e}^{\frac{x}{2}}\right\rbrack_0^1+\left\lbrack x\right\rbrack_0^1=\text{e}-1-4\text{e}^{\frac{1}{2}}+4+1=\text{e}-4\sqrt{\text{e}}+4\simeq 0,123
\end{align*}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.1)(3.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.1)(3.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x 2 div exp 2 mul x sub 2 sub}
\rput(2.5,3.5){$\mathcal{C}_{h}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2.1)(3.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.1)(3.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{ x 1 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x exp}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x 2 div exp 2 mul  1 sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828 x exp}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{1}{0}{2.71828 x 2 div exp 2 mul  1 sub}
}
\rput(1,3.5){$\mathcal{C}_{f}$}
\rput(2,3.6){$\mathcal{C}_{g}$}
\rput(3,3.5){$\Delta$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
\end{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,ymin=-2,ymax=4]
%\tkzAxeXY
%\tkzFct[domain=-3:3]{2*exp(\x/2)-\x-2}
%\tkzText(2.5,4){$\mathcal{C}_h$}
%\end{tikzpicture}\hfill
%\begin{tikzpicture}
%\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,ymin=-2,ymax=4]
%\tkzAxeXY
%\tkzFct[domain=-3:3]{exp(\x)}
%\tkzFct[domain=-3:3]{2*exp(\x/2)-1}
%\tkzDrawAreafg[draw,fill=blue,domain=0:1]
%\tkzFct[domain=-3:3]{\x+1}
%\tkzText(1.15,4){$\mathcal{C}_f$}
%\tkzText(1.9,3.5){$\mathcal{C}_g$}
%\tkzText(2.8,3.2){$\Delta$}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%\end{document}
 

\end{document}