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%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Baccalauréat Général},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité, sujet 2}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{22 mai 2024}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\bf\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Nord
- 22 mai 2024~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt]
ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}
	\end{center}

\section{Exercice 1 \hfill5 points}

%Les données publiées le 1\up{er } mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :
%
%	\begin{itemize}
%		\item $22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
%		\item $8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
%		\item $1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
%	\end{itemize}
%
%	\emph{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.}
%	\subsection{}% A}

\medskip

%Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
%
%On note :
%
%\begin{itemize}
%	\item $N$ l'évènement \og le véhicule est neuf \fg{};
%	\item $R$ l'évènement \og le véhicule est hybride rechargeable\fg{};
%	\item $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation par un arbre pondéré.Arbre pondéré de probilités :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep = 3.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N~~$}\taput{\np{0,2286}}}
	{\TR{$R$}\taput{\np{0,0808}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\red 0,9192}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N}~~$}\tbput{\red\np{0,7714}}}
	{\TR{$R$}\taput{\np{0,0127}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\red 0,9873}
	}
}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
On calcule $p(N \cap R) = p(N) \times p_N(R) = \np{0,2286} \times \np{0,0808} = \np{0,018471}$ soit \np{0,0185} à $10^{-4}$ près.
\item %Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \np{0,0283}.
On a de même $p\left(\overline{N} \cap R\right) = p\left(N\right) \times p_{\overline{N}}(R) = \np{0,7714} \times \np{0,0127} = \np{0,009797}$ soit \np{0,0098} à $10^{-4}$ près.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(R) = p(N \cap R) + p\left(\overline{N} \cap R\right) \approx \np{0,0185} + \np{0,0098}$

$p(R) \approx \np{0,0283}$.

\item %Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
On a $p_R(N) = \dfrac{p(R \cap N)}{p(R)} = \dfrac{p(N \cap R)}{p(R)} \approx \dfrac{\np{0,0185}}{\np{0,0283}} \approx \np{0,65371}$ soit \np{0,6537} à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\subsection{}% B}

\medskip

%Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
%
%Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
%
%On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
%
%On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.

$X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(n = 500, \: p = 0,65)$.
\item %Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
On calcule $\binom{500}{325} \times 0,65^{325} \times 0,35^{175} \approx \np{0,037384}$ soit \np{0,0374} à $10^{-4}$ près. (Utiliser la fonction binomiale de la calculatrice  si les capacités de calcul de celle-ci sont dépassées).
\item %Déterminer la probabilité $p(X \geqslant 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On a $p(X \geqslant 325) = 1 - p(X \leqslant 324)$ soit d'après la calculatrice \np{0,47944}, donc 

$p(X \geqslant 325) \approx 1 - \np{0,4794} = \np{0,5206}$ à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\subsection{}% C}

\medskip

%On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
%
%On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
%
%On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
On a $p_n = (1 - 0,65)^n = 0,35^n$.

\item On a $q_n = 1 - p_n$.

On cherche donc $n$ tel que $1 - p_n \geqslant \np{0,9999} \iff p_n \leqslant \np{0,0001}$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

$n\ln 0,35 \leqslant \ln 0\np{0,0001} \iff n \geqslant \dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,35}$ car $\dfrac{1}{\ln 0,35} < 0$.

D'après la calculatrice $\dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,35} \approx 8,8$.

Il faut prendre au minimum $n = 9$.


%On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant \np{0,9999}$.
\end{enumerate}

\section{Exercice 2 \hfill 5 points}

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB $= 3$ et AD = AE $= 1$ représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.4,6.3)
\psframe(0.3,0.6)(7.8,4.3)%ABFE
\psline(7.8,0.6)(8.6,2.2)(8.6,5.9)(7.8,4.3)%BCGF
\psline(8.6,5.9)(1.1,5.9)(0.3,4.3)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.6)(1.1,2.2)(8.6,2.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.1,2.2)(1.1,5.9)%DH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.9](2.8,0.6)(4.85,2.2)\uput[d](2.8,0.6){I}
\uput[dl](0.3,0.6){A} \uput[dr](7.8,0.6){B} \uput[r](8.6,2.2){C} \uput[ul](1.1,2.2){D}
\uput[l](0.3,4.3){E} \uput[r](7.8,4.3){F} \uput[ur](8.6,5.9){G} \uput[ul](1.1,5.9){H}
\uput[u](4.85,2.2){M}
\end{pspicture}
\end{center}

%On considère le point I du segment [AB] tel que $\vect{\text{AB}}= 3 \vect{\text{AI}}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.
%
%On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sans justifier, donner les coordonnées des points F{}, H et M.
F(3~;~0~;~1), \: H(0~;~1~;~1), \:M(1,5~;~1~;~0).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\6\\ 3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMF).
	
Soit $\vect{\text{HF}}\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{MF}}\begin{pmatrix}1,5\\-1\\1\end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires.

On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{HF}} = 6 - 6 + 0 = 0$

On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{MF}} = 3 - 6 + 3 = 0$.

Conclusion : le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan  (HMF), il est donc normal à ce plan.
		\item %En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est :
On sait qu'alors :

$X(x~;~y~;~z) \in  (\text{MHF}) \iff 2x + 6y + 3z + d = 0$. Ainsi par exemple :

$\text{H}(x~;~y~;~z) \in  (\text{MHF}) \iff 0 + 6 + 3 + d = 0 \iff d = - 9$, donc finalement :

\[X(x~;~y~;~z) \in  (\text{MHF}) \iff 2x + 6y + 3z - 9 = 0.\]
		\item %Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
Le plan $\mathcal{P}$ a par exemple pour vecteur normal $\vect{p}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}$ et ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur $\vect{n}$, (on a bien $2 \times \dfrac52 = 5, \: 6 \times \dfrac52 = 15$, mais $3 \times \dfrac52 \ne - 3$)  donc les deux plans ne sont pas parallèles.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
On a D(0~;~1~;~0) et G(3~;~1~;~1), d'où $\vect{\text{DG}}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.

On sait que :

$X(x~;~y~;~z) \in  (\text{DG}) \iff \vect{\text{DX}} = t\vect{\text{DG}}, \: t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 0&=&3t\\y - 1&=&0\\z - 0 &=& 1t\end{array}\right.\: t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&3t\\y &=&1\\z  &=& t\end{array}\right.\: t \in \R$.
\item %On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).

%Déterminer les coordonnées du point N.
Si la droite coupe le plan en un point N, les coordonnées de ce point vérifient les équations de la droite et celle du plan soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&3t\\y &=&1\\z  &=& t\\
2x + 6y + 3z - 9 &= &0
\end{array}\right.\: t \in \R$.

En remplaçant $x,\:y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient :

$6t + 6 + 3t - 9 = 0 \iff 9t - 3 = 0 \iff 3t - 1 = 0 \iff t = \dfrac 13$.
Les coordonnées de N sont donc $\left(3\times \frac13~;~1~;~\frac13\right)$, soit 
N$\left(1~;~1~;~\dfrac13\right)$.
\item %Le point R de coordonnées $\left(3~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.
$\bullet~~$On vérifie d'abord que R appartient au plan (HMF) :

$\text{R}\left(3~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right) \in \text{(HMF)} \iff 6 + \dfrac32 + \dfrac32 - 9 = 0 \iff 6 + 3 - 9 = 0$ ce qui est vrai.

$\bullet~~$On vérifie maintenant que le vecteur $\vect{\text{GR}}$ est bien un vecteur normal au plan (HMF) :

On a $\vect{\text{GR}}\begin{pmatrix}3 - 3\\ \frac14 - 1\\ \frac12 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\- \frac34\\- \frac12\end{pmatrix}$.
Or ce vecteur n'est manifestement pas colinéaire au vecteur connu $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ : pour que $\vect{n}$ soit colinéaire au vecteur $\vect{\text{GR}}$ il faudrait que sa première coordonnée soit égale à 0, ce qui n'est pas le cas.

Conclusion : le point R n'est pas le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF).
\end{enumerate}

\section{Exercice 3 \hfill 6 points}

%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par 

\[g(x) = 2x - x^{2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.
Le trinôme $g(x)$ est dérivable sur $\R$, donc sur $[0~;~1]$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2 - 2x = 2(1 - x)$.

Or on sait que $0\leqslant x \leqslant 1\Rightarrow - x \leqslant 0 \leqslant 1 - x$ ou en lisant de droite à gauche 

$1 - x \geqslant 0 \Rightarrow 2(1 - x) \geqslant 0 \iff g'(x) \geqslant 0$ : la dérivée étant positive sur $[0~;~1]$ et ne s'annulant qu'en $x = 1$, la fonction $g$ est strictement croissante de $g(0 ) = 0$ à $g(1) = 2 - 1^2 = 1$.
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l}u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right)\end{array}\right.$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
$\bullet~~u_1 = 2 \times \dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac14 = \dfrac34 = 0,75$ ;

$\bullet~~u_2 = 2 \times \dfrac34 - \left(\dfrac34\right)^2 = \dfrac32 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{24}{16} -  \dfrac{9}{16} = \dfrac{15}{16} = \np{0,9375}$.
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.
Démonstration par récurrence :

$\bullet~~$\emph{Initialisation} :

On a $0 < \dfrac12 < \dfrac34 < 1$, soit $0 < u_0 < u_1 < 1$ : l'encadrement est vrai au rang zéro.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} :
Supposons que pour $n \in \N$, on ait $0 < u_{n} < u_{n+1}< 1$.

Alors par stricte croissance sur [0~;~1] de la fonction $g$, on a :

$g(0) < g\left(u_n\right) < g\left(u_{n+1} \right) < g(1)$, soit d'après les résultats précédents :

$0 < u_{n+1} < u_{n+2} < 1$ : l'encadrement est encore vrai au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : la relation est vraie au rang $n = 0$ et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle l'est encore au rang $n + 1$ : par le principe de récurrence, on a donc 

Pour tout entier naturel $n$,\:: $0 < u_{n} < u_{n+1} < 1$.
\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right) $ est convergente.
Le résultat précédent montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante  et qu'elle est majorée par 1 : elle converge donc vers une limite $\ell \leqslant 1$.
\item %Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.
La relation $g\left(u_n\right) = u_{n+1} = 2u_n - u_n^2$ donne à la limite car $g$ est continue car dérivable sur l'intervalle [0~;~1] : $\ell = 2\ell - \ell^2 \iff $

$\ell - \ell^2 = 0 \iff \ell (1 - \ell) = 0$ soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
\ell&=&0 \:\:\text{ou}\\
1 - \ell&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\ell&=&0 \:\:\text{ou}\\
1  &=&\ell
\end{array}\right.$

La solution $\ell = 0 $ n'est pas possible (la suite est croissante ) ; il reste $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$
\end{enumerate}

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
On a pour $n \in \N, \: v_{n+1} = \ln \left(1 - u_{n+1}\right) = \ln \left[1 - \left(2u_n - u^2_n \right) \right] = \ln \left(1 - 2u_n + u_n^2 \right) =$

$ \ln \left( 1 - u_n\right)^2 = 2\ln \left( 1 - u_n\right)$ (car $1 - u_n > 0$ voir la récurrence ci-dessus, donc $\ln \left( 1 - u_n\right)$ existe). Or $\ln \left(1 - u_n\right) = v_n$.

Finalement : $v_{n + 1} = 2v_n$ ce qui montre que la suite  $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \ln \left(1 - u_0\right) = \ln \left(1 - \dfrac12\right) = \ln \dfrac12 = - \ln 2$.
\item %En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour tout $n \in \N, \:v_n = v_0 \times 2^n$, soit $v_n = - \ln 2 \times 2^n$.
\item %En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
La relation $v_{n}=\ln \left(1 - u_{n}\right)$ donne donc :

$- \ln 2 \times 2^n = \ln \left(1 - u_{n}\right) \iff \e^{- \ln 2 \times 2^n} = \e^{\ln \left(1 - u_{n}\right)}$, (par croissance de la fonction exponentielle), soit encore :

$\e^{- \ln 2 \times 2^n} = 1 - u_n \iff u_n = 1 - \e^{- \ln 2 \times 2^n}$.

Or on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}- \ln 2 \times 2^n = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \e^{- \ln 2 \times 2^n} = 0$ et par conséquent :
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1.\]

\item %Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse 0,95.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\texttt} l|}\hline
%\begin{verbatim}
\textbf{def }seuil():\\
\qquad n=0\\
\qquad u=0.5\\
\qquad \textbf{while} u < 0.95 :\\
\qquad \qquad n={\red n + 1}\\
\qquad \qquad {\red u=2*u - u**2}\\
\qquad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
%\end{verbatim}
\end{center}
\section{Exercice 4 \hfill 4 points}

%Soit $a$ un réel strictement positif.
%
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = a \ln (x).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_{0}$ un réel strictement supérieur à 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
On a $f(x) = 0 \iff a\ln x = 0 \iff \ln x = 0$ (car $a \ne 0$) et par croissance de la fonction exponentielle $\e^{\ln x} = \e^0 \iff x = 1$.
\item %Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) =a [x \ln (x) - x]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
$F$ est une différence de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, donc sur cet intervalle :

$F'(x) = a\left[\ln (x) + x \times \dfrac 1x - 1\right] = a[\ln (x) + 1 - 1] = a\ln (x) = f(x)$, ce qui montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item %En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de $a$ et de $x_{0}$.
On a vu que $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en $x = 1$ donc la surface bleue correspond à des points où $x \geqslant 1$, soit $\ln (x) \geqslant 0 \Rightarrow a\ln (x) \geqslant 0$.

Autrement dit  pour $x \geqslant 1$, la fonction $f$ est positive et on sait que sur un intervalle $[1~;~x_0]$ avec $x_0 \geqslant 1$, l'aire de la surface limitée par sa courbe représentative, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = x_0$ est égale à l'intégrale :
\[\displaystyle\int_1^{x_0} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^{x_0} = F(x_0) - F(1) = a[x_0 \ln (x_0) - x_0] - a [1 \ln (1) - 1] =.\]

l'aire bleutée est en unités d'aire : $ a [x_0 \ln (x_0) - x_0] + a = a\left[x_0 \ln (x_0) - x_0 + 1\right]$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{1.8}{x ln 1.3 mul}\psline(1.8,0.764)(1.8,0)(1,0)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4.5}{x ln 1.3 mul}
\uput[dr](1,0){1}\uput[d](1.8,0){$x_0$}\uput[ul](1.8,0.764){$M$}
\uput[dr](4,1.6){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](4.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_{0}$.

On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4.5}{x ln 1.3 mul}
\uput[dr](1,0){1}\uput[d](1.8,0){$x_0$}\uput[ul](1.8,0.764){$M$}
\uput[dr](4,1.6){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](1.8,0.764)(1.8,0)
\uput[d](4.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}
\psplotTangent{1.8}{4}{x ln 1.3 mul}
\psline(-1,0.764)(4.5,0.764)\uput[ul](0,0.764){B}\uput[ul](0, -0.5){A}
\psframe(0,0.764)(0.1,0.664)\uput[ul](3.1,1.8){$T$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,-0.5)(0,0.764)\uput[l](0,0.15){\red $a$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](2.71828,0)(2.71828,1.3)\uput[r](2.71828,0.65){\red $a$}
\uput[d](2.71828,0){e}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item %Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_{0}$) que l'on déterminera.

%Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.
On sait (équation de la tangente au point d'abscisse $x_0$) que :

$M(x~;~y)\in T \iff y - f(x_0) = f'\left(x - x_0) \right)$.

$\bullet~~$$f\left(x_0\right) = a\ln x_0$ ;

$\bullet~~$$f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle $f'(x) = \dfrac ax$, donc $f'\left(x_0 \right) = \dfrac{a}{x_0}$.

On obtient donc :

$M(x~;~y)\in T \iff y - a\ln x_0 = \dfrac{a}{x_0} \times \left(x - x_0 \right) \iff y = a\ln x_0 + \dfrac{ax}{x_0} - a$.

En particulier $T$ coupe l'axe des ordonnées si $x = 0$, d'où $y = a\ln x_0 - a$ (ordonnée de A).

L'ordonnée de B est égale à $f\left(x_0\right) = a\ln \left(x_0\right)$.

On a $\text{AB} = \left|y_{\text{B}} - y_{\text{A}} \right| = \left|a\ln \left(x_0\right) - \left(a\ln x_0 - a\right) \right| = \left|a \right| = a$ (car $a > 0$).

\emph{Remarque} : On a $f(\e) = a \ln \e = a \times 1 = a$.

$f(\e) = a$ : on a mis en évidence ceci sur le dessin ; le corollaire est que la tangente à la courbe au point d'abscisse e contient l'origine O !
\end{enumerate}
\end{document}