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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{22 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Centres étrangers\footnote{Europe} 22 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- 3x}}.\]

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=2.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.5)(3,1.5)
\psgrid[subgriddiv=4](-3,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(3,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{3}{2.71828 x 3 mul exp 2.71828 x 3 mul exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{3}{3 x mul 4 div 0.5 add}
\uput[l](0,0.5){A}\uput[dr](1,1.25){B}
\uput[dr](1,0){1}\uput[ul](0,1){1}
\psline[ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0.5)(1,0.5)(1,1.25)
\uput[d](0.5,0.5){1}\uput[r](1,0.875){$\frac34$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0.5)(1,1.25)
\uput[d](2.8,0.9){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[r](-1.2,-0.4){$\mathcal{T}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Partie A : lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
Comme indiqué sur la figure pour aller de A en B points de la tangente : + 1 puis $+ \dfrac34$, donc coefficient directeur de $\dfrac34$ et l'ordonnée à l'origine est égale à $\dfrac12$.

$M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y = \dfrac34x + \dfrac12$.
\item %Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
La fonction semble être convexe sur $]- \infty~;~0]$ et concave sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

%Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.
En posant $u(x) = 1 + \text{e}^{- 3x}$, on a pour tout réel $u'(x) = -3\text{e}^{- 3x}$.

De $f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$, on a donc $f'(x) = - \dfrac{u'(x)}{u(x)^2} = - \dfrac{-3\text{e}^{- 3x}}{\left(1 + \text{e}^{- 3x}\right)^2} = \dfrac{3\text{e}^{- 3x}}{\left(1 + \text{e}^{- 3x}\right)^2}$. 
\item %Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
On a pour tout $x \in \R$, \: $\text{e}^{- 3x} > 0$, donc $1 + \text{e}^{- 3x} > 1 > 0$ et $\left(1 + \text{e}^{- 3x}\right)^2 > 0$ : tous les termes de la dérivée sont supérieurs à zéro ; on a donc $f'(x) > 0$, sur $\R$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.
Avec $X = - 3x$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} -3x = - \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{X \to - \infty} \text{e}^{X} = 0$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 + \text{e}^{-3x} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = \dfrac11 = 1$.

\emph{Rem.} la droite d'équation $y = 1 $ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $[$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\text{e}^{-3x} = + \infty$, puis $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}1 + \text{e}^{-3x}$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{1 + \text{e}^{-3x}} = 0$.

\emph{Rem.} la droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0,99$.
On a $f(x) = 0,99 \iff \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- 3x}} = 0,99 \iff 1 = 0,99\left(1 + \text{e}^{- 3x}\right) \iff 1 = 0,99 + 0,99\text{e}^{- 3x} \iff 0,01 = 0,99\text{e}^{- 3x} \iff \dfrac{0,01}{0,99} = \text{e}^{- 3x}\iff \dfrac{1}{99} = \text{e}^{- 3x}$.

Par croissance de la fonction logarithme népérien :

$\ln\left(\dfrac{1}{99}\right) = \ln \left(\text{e}^{- 3x}\right)\iff \ln 1 - \ln 99 = - 3x \iff - \ln 99 = - 3x \iff x = \dfrac{\ln 99}{3}$ \quad (valeur approchée à la calculatrice 1,532).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Tangente et convexité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

On a $M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

$\bullet~~f(0) = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$ ;

$\bullet~~f'(0) = \dfrac{3}{(1 + 1)^2} = \dfrac{3}{4}$. Donc :

$M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}(x - 0) \iff y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}$.

%On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. 
%
%On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
%
%On admet que $f''$ est définie sur $\R$ par :
\[f''(x) = \dfrac{9\text{e}^{-3x} \left(\text{e}^{-3x} - 1\right)}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^3}.\]

\item %Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\R$.
Comme $9\text{e}^{-3x} > 0$ et $\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^3> 0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $\text{e}^{-3x} - 1$ :

$\bullet~~$$\text{e}^{-3x} - 1 = 0 \iff \text{e}^{-3x} = 1 \iff - 3x = \ln 1 = 0 \iff \iff x = 0$ ;

$\bullet~~$$\text{e}^{-3x} - 1 > 0 \iff \text{e}^{-3x} > 1 \iff - 3x > \ln 1 = 0 \iff \iff x < 0$ ;

$\bullet~~$$\text{e}^{-3x} - 1 < 0 \iff \text{e}^{-3x} < 1 \iff - 3x < \ln 1 = 0 \iff \iff x > 0$ ;
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
La question précédente a montré que la dérivée seconde est positive sur $]- \infty~;~0]$ : la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
		\item %Que représente le point A pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
La dérivée seconde s'annule en $x = 0$ en changeant de signe, donc le point A de la courbe représentative d'abscisse 0 est le point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item  %En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.
En chacun de ses points la courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe sur $]- \infty~;~0]$ donc au dessus de toutes les tangentes et en  particulier en A la courbe est au dessus de la tangente en $x = 0$, donc en A, donc au dessus de $\mathcal{T}$.

De même en chacun de ses points la courbe $\mathcal{C}_f$ est concave sur $]0~;~+\infty]$ donc au dessous de toutes les tangentes et en  particulier en A la courbe est au dessous de la tangente en $x = 0$, donc en A, donc au dessus de $\mathcal{T}$.
%Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie par :
\[f(x) = x - \ln (1 + x).\]

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.
$\ln u$ est défini si $u > 0$, soit $1 + x > 0 \iff x > - 1$.

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1~;~+ \infty[$.

%Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.
En posant $u(x) = 1 + x$ et donc $u'(x) = 1$, on a alors  si $f'(x) = 1 - \frac{u'(x)}{u(x)} = 1 - \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{1 + x - 1}{1 + x} = \dfrac{x}{1 + x}$ sur $]-1~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.
On sait que $1 + x > 0$, donc le signe de la dérivée est celui de $x$ :
		
$\bullet~~f'(x) = 0 \iff x = 0$ ;

$\bullet~~f'(x) > 0 \iff x > 0$  : la fonction est croissante sur $[0~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~f'(x) < 0 \iff x < 0$ ; la fonction est décroissante sur $]-1~;~0[$.
		\item %En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~0[$.
La fonction $f$ est décroissante sur $]-1~;~0[$ puis croissante sur $[0~;~+ \infty[$ : elle a donc un minimum en $x = 0, \: f(0 ) = 0 - 0 = 0$. 

Son minimum étant nul, on a donc sur $]-1~;~+ \infty[, f(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %
On sait que quel que soit le réel $x$, $x = \ln \text{e}^x$. On peut donc écrire :
%Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$, on a :

$f(x) = \ln \text{e}^x - \ln (1 + x) = \ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\right)$ par propriété de la fonction logarithme népérien :

 $\ln a - \ln b = \ln \dfrac ab$
%\[f(x) = \ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\right).\]

		\item %En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
En posant $u = 1 + x \iff x = u - 1$, on a $f(x) = \ln \left(\dfrac{\text{e}^x}{1 + x}\right) = \ln \left(\dfrac{\text{e}^{u - 1}}{u}\right) = \ln \left(\dfrac{\text{e}^{u}\times \text{e}^{-1}}{u}\right) = \ln \left(\dfrac{1}{\text{e}}\dfrac{\text{e}^{u}}{u}\right)$.
		
Or $x \to + \infty \implies x + 1 = u \to + \infty$ et on sait que $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} \dfrac{\text{e}^u}{u} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} \left(\dfrac{1}{\text{e}}\dfrac{\text{e}^{u}}{u}\right) = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} f(u) = + \infty$ ou $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = u_n - \ln \left(1 + u_n\right).\]

%On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec $n = 0$, la relation de récurrence donne :
$u_1 = u_0 - \ln (1 + u_0) = 10 - \ln (1 + 10) = 10 - \ln 11 \approx 7,602$.

%Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$.
\item %En utilisant la question 3. a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour
%tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 0$.
\emph{Initialisation } : on a $u_0 = 10 \geqslant 0$ : l'inégalité est vraie au rang 0.

\emph{Hérédité } : Soit $n \in \N$ tel que $u_n \geqslant 0$ : d'après la question \textbf{3. a.} la fonction est croissante sur $[0~;~+ \infty[$, et $u_{n+1} = f\left(u_n\right) \geqslant 0$, donc $0 \leqslant u_{n+1}$ : l'inégalité est vraie au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion } : l'inégalité est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence :

pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 0$.
\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
On a $u_{n+1} = u_n - \ln \left(1 + u_n\right) \iff u_{n+1} - u_n = - \ln \left(1 + u_n\right)$.

Or on vient de démontrer que pour tout $n \in \N$, \: $u_n \geqslant 0 \implies 1 + u_n \geqslant 1$ puis par croissance de la fonction logarithme népérien $\ln (1 + u_n) \geqslant \ln 1$, soit  $\ln (1 + u_n) \geqslant 0 \iff - \ln (1 + u_n) \leqslant 0$.

Donc $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ montre que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item %Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

La suite $\left(u_n\right)$ étant décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite $\ell$ telle que $\ell \geqslant 0$
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. On a vu que cette fonction est dérivable donc continue sur $]- 1~;~+ \infty[$ ; de plus la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$, donc à la limite :

$\ell = \ell - \ln \left(1 + \ell\right) \iff \ln \left(1 + \ell\right) = 0$ ou $\ln \left(1 + \ell\right) = \ln 1 \iff 1 + \ell = 1 \iff \ell = 0$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points 
\begin{center}A(3~;~0~;~1),\qquad  B(2~;~1~;~2)\quad  et \quad C$(- 2~;~- 5~;~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On considère les vecteurs $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}$ : ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires ; les trois points A, B et C définissent donc un plan noté (ABC).
\item %Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
On a $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = (- 1) \times (- 5) + 1 \times (- 5) + 1 \times 0 = 5 - 5 + 0 = 0$ : les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux, les droites (AB) et (AC) sont donc perpendiculaires en A et le triangle ABC est rectangle en A.
\item %Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne :
%\[-x + y - 2z + 5 = 0.\]
On a A$(3~;~0~;~1) \in \text{ABC} \iff - 3  + 0 - 2 + 5 = 0$ égalité vraie ;

B$(2~;~1~;~2) \in \text{ABC} \iff - 2  + 1 - 4 + 5 = 0$ égalité vraie ;

A$(- 2~;~- 5~;~1) \in \text{ABC} \iff 2  - 5 - 2 + 5 = 0$ égalité vraie.

Les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation donnée : comme il n'existe qu'un plan contenant trois points distincts non alignés une équation du plan ABC est :

\[M(x~;~y~;~z) \in \text{ABC} \iff -x + y - 2z + 5 = 0.\]

\item On considère le point S$(1~;~-2~;~4)$.

%Déterminer la représentation paramétrique de la droite ($\Delta$), passant par S et

%orthogonale au plan (ABC).
On sait qu'un vecteur normal au plan ABC a pour coordonnées les coefficients de $x, y$ et $z$ dans l'équation de ce plan. Donc on a $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$.

La droite ($\Delta$) orthogonale au plan ABC a un vecteur directeur colinéaire au vecteur $\vect{n}$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\Delta) \iff \vect{\text{S}M} = t\vect{n}$, avec $t \in \R$, ce qui se traduit par les équations paramétriques:

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&- t\\
y - (- 2)&=&1t\\
z -4&=&-2t
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 - t\\
y &=& -2 + t\\
z &=&4 -2t
\end{array}\right.$\quad $t \in \R \iff M(x~;~y~;~z) \in (\Delta) $.
\item On appelle H le point d'intersection de la droite ($\Delta$) et du plan (ABC).

%Montrer que les coordonnées de H sont $(0~;~-1~;~2)$.
Le point commun à la droite ($\Delta$) et au plan ABC a ses coordonnées qui vérifient les équations de $\Delta$ et l'équation du plan, soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c l} 
x &=&1 - t\\
y &=& -2 + t\\
z &=&4 -2t\\
-x + y - 2z + 5 &=& 0
\end{array}\right.$ En remplaçant $x, y$ et $z$ dans la dernière équation par leur valeur en fonction de $t$, on obtient :

$- (1 - t) + (-2 + t) - 2(4 - 2t) + 5 = 0 \iff - 1 + t - 2 + t - 8 + 4t + 5 = 0 \iff 6t - 6 = 0 
\iff t = 1$
On a donc $x = 1 - 1 = 0, \: y = - 2 + 1 = - 1, \: z = 4 - 2 = 2$, soit H$(0~;~- 1~;~2)$.

\item %Calculer la valeur exacte de la distance SH.
On a SH$^2 = (0 - 1)^2 + (- 1 - (-2))^2 + (2 - 4)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$, donc SH $= \sqrt{6}$.
\item On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le
point B. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.

Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque $\mathcal{D}$.
On a HB$^2 = (- 2)^2 + (- 2)^2 + 0^2 = 4 + 4 = 4 \times 2$, d'où HB $= 2\sqrt 2$.

L'aire du disque $\mathcal{D}$ est égale à $\mathcal{A}  = \pi \times \text{HB}^2 = 8\pi$.
\item %En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le
%disque $\mathcal{D}$.
(SH) est perpendiculaire au plan ABC du disque, donc [SH] est la hauteur du cône et la base est le disque $\mathcal{D}$, donc :

$\mathcal{V} = \dfrac{8\pi \times \sqrt{6}}{3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
%Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Les cinq questions sont indépendantes.}
%
%\medskip

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 4\,\% des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard $n$ pièces produites par la chaîne de fabrication. 

Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend $n = 50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?
On a $p(X\geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,04^0 \times 0,96^{50} \approx 1 - \np{0,1299} \approx \np{0,8701}$ soit 0,870 au millième près : réponse \textbf{b.~~}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~} 1&\textbf{b.~~} 0,870&\textbf{c.~~} 0,600&\textbf{d.~~} 0,599\
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item La probabilité $p(3 < X \leqslant 7)$ est égale à :
$p(X \leqslant 7) - p(x \leqslant 3) \approx \np{0,9992} - \np{0,8609}$ soit \np{0,1383}. Réponse \textbf{b.~~}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
%\textbf{a.~~}$p(X \leqslant 7) - p(X > 3)$&
%\textbf{b.~~}$p(X \leqslant 7) - p(X \leqslant 3)$\\
%\textbf{c.~~}$p(X < 7)- p(X > 3)$&
%\textbf{d.~~}$p(X < 7) - p(X \geqslant 3)$
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item Quel est le plus petit entier naturel $k$ tel que la probabilité de tirer au plus $k$ pièces défectueuses soit supérieure ou égale à $95\,\%$ ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~}2&\textbf{b.~~}3&\textbf{c.~~}4&\textbf{d.~~}5
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\end{enumerate}
La calculatrice donne $k = 4$, réponse \textbf{c.}

Dans les questions suivantes, $n$ ne vaut plus nécessairement $50$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~}$0,04^n$&\textbf{b.~~}$0,96^n$&\textbf{c.~~}$1 - 0,04^n$ &\textbf{d.~~}$1 - 0,96^n$
%\end{tabularx}
%\end{center}
Réponse \textbf{a.}
\item On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle ?

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{def} seuil (x) :\\
%\qquad n=1\\
%\qquad \textbf{while} 1-0.96**n $<$ x :\\
%\qquad \quad  n = n + 1\\
%\qquad \textbf{return} n\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
%		\item Le plus petit nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
%		\item Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à x.
%		\item Le plus grand nombre $n$ tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.
La fonction donne le plus petit naturel $n$ tel que $1 - 0,96^n \geqslant $ x.

Réponse \textbf{a.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}






\end{document}