\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane Sujet 1 12 septembre 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 2} \lfoot{\small{Métropole Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{12 septembre 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole Antilles-Guyane ~\decofourright\\[7pt] 12 septembre 2024 -- Jour 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \medskip \section*{Exercice 1\hfill 5 points} \medskip On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CG]. Le point N est le milieu du segment [IJ]. \smallskip \emph{L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre} HFIJ. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.8,6.8) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray!85](1.7,6.5)(2.45,0.2)(4.7,4.7)%HFI \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.45,0.2)(4.7,4.7)(6.2,4.25)%FIJ \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray!70](4.7,4.7)(1.7,6.5)(6.2,4.25)%FHJ \psframe(0.2,0.2)(4.7,4.7)%ABFE \psline(4.7,0.2)(6.2,2)(6.2,6.5)(4.7,4.7)%BCGF \psline(6.2,6.5)(1.7,6.5)(0.2,4.7)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.7,2)(6.2,2)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.7,2)(1.7,6.5)(6.2,4.25)(2.45,0.2)(1.7,6.5)%DHJIH \psline(1.7,6.5)(4.7,4.7)(2.45,0.2)%HFI \psline(4.7,4.7)(6.2,4.25)%FJ \uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](4.7,0.2){B} \uput[r](6.2,2){C} \uput[l](1.7,2){D} \uput[l](0.2,4.7){E} \uput[dr](4.7,4.7){F} \uput[r](6.2,6.5){G} \uput[ul](1.7,6.5){H} \uput[d](2.45,0.2){I} \uput[r](6.2,4.25){J} \uput[ul](4.325,2.225){N} \psdots(4.325,2.225)(2.45,0.2)(6.2,4.25)(4.7,4.7)(1.7,6.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Donner les coordonnées des points I et J. A(0~;~0~;~0) et B(1~;~0~;~0) donc I(0,5~;~0~;~0) ; C(1~;~1~;~0) et G(1~;~1~;~1) donc J(1~;~1~;~0,5). Donc N(0,75~;~0,5~;~0,25). %En déduire les coordonnées de N. \item %Justifier que les vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{NF}}$ ont pour coordonnées respectives: $\vect{\text{IJ}}\begin{pmatrix}1 - 0,5\\1 - 0 \\0,5 - 0\end{pmatrix}$, soit $\vect{\text{IJ}}\begin{pmatrix}0,5\\1 \\0,5\end{pmatrix}$. De même avec F(1~;~0~;~1), $\vect{\text{NF}}\begin{pmatrix}1 - 0,5\\0 - 0,5\\1 - 0,25\end{pmatrix}$, soit $\vect{\text{NF}}\begin{pmatrix}0,25\\0 - 0,5\\ 0,75\end{pmatrix}$. \item %Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{NF}}$ sont orthogonaux. On calcule le produit scalaire des deux vecteurs précédents : $\vect{\text{IJ}} \cdot \vect{\text{NF}} = 0,125 - 0,5 + 0,375 = 0$ : le produit scalaire est nul, les deux vecteurs $\vect{\text{I{}J}}$ et $\vect{\text{NF}}$ sont orthogonaux. On admet que NF $= \dfrac{\sqrt{14}}{4}$. \item %En déduire que l'aire du triangle FIJ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$. On a I{}J$^2 = 0,5^2 + 1^2 + 0,5^2 = 1,5 = \dfrac32 = \dfrac64$, d'où I{}J $= \dfrac{\sqrt{6}}{2}$. On a démontré que la droite (NF) est perpendiculaire à la droite (IJ) : la droite (FN) est donc la hauteur issue de N dans le triangle FIJ. L'aire de ce triangle est donc égale à $\dfrac{\text{IJ} \times \text{FN}}{2} = \dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}\times \frac{\sqrt{14}}{4}}{2}= \dfrac{\sqrt{21}}{8}$. \end{enumerate} \item On considère le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}4\\- 1\\- 2\\ \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que le vecteur $\vect{u}$ est normal au plan (FIJ). On a $\vect{u} \cdot \vect{\text{IJ}} = 2 - 1 - 1 = 0$. D'autre part $\vect{u} \cdot \vect{\text{NF}} = 1 + 0,5 - 1,5 = 0$, donc le vecteur $\vect{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan FIJ (car la droite (NF) est perpendiculaire à la droite (IJ)) : il est donc normal à ce plan. \item %En déduire qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est: $4x - y - 2z - 2 = 0$. On sait que les coordonnées du vecteur normal au plan sont les coefficients respectifs de $x,\,y$ et $z$ dans l'équation de celui-ci : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{FIJ}) \iff 4x - y - 2z + d = 0$, avec $d \in \R$. Ainsi par exemple : F$(1~;~0~;~1) \in (\text{FIJ}) \iff 4 - 0 - 2 + d = 0 \iff d = - 2$. Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{FIJ}) \iff 4x - y - 2z - 2 = 0$ \item %On note $d$ la droite orthogonale au plan (FIJ) passant par le point H. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$. La droite $d$ a donc pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}$ et contient le point H. Ses équations paramétriques s'obtiennent en traduisant la colinéarité des vecteurs $\vect{\text{H}M}$ et $\vect{u}$ : avec H(0~;1~;~1), \, $M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \vect{\text{H}M} = t\vect{u}$, \, avec $t \in \R$, soit : $M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 0&=&4t\\ y - 1&=&-t\\ z - 1&=&-2t\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&\phantom{1 -}4t\\ y &=&1 - t\\ z &=&1 -2t\\ \end{array}\right.$ \item %Montrer que la distance du point H au plan (FIJ) est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$. La droite $d$ est perpendiculaire au plan (FIJ) en un point K dont les coordonnées vérifient les équations de $d$ et celle de (FIJ) soit le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&\phantom{1 -}4t\\ y &=&1 - t\\ z &=&1 - 2t\\ 4x - y - 2z - 2 &=& 0 \end{array}\right.$ En remplaçant $x$, \, $y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient : $4\times 4t - (1 - t) - 2(1 - 2t) - 2 = 0 \iff 16t - 1 + t- 2 + 4t - 2 = 0 \iff 21t - 5 = 0 \iff t = \dfrac{5}{21}$. Les coordonnées de K sont donc : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&4\times \frac{5}{21}\\ y &=&1 - \frac{5}{21}\\ z &=&1 -2\times \frac{5}{21}\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&\frac{20}{21}\\ y &=&\frac{16}{21}\\ z &=& \frac{11}{21}\\ \end{array}\right. $ La distance de H au plan (FIJ) est donc égale à HK et avec $\vect{\text{HK}}\begin{pmatrix}\frac{20}{21}\\- \frac{5}{21}\\- \frac{10}{21}\end{pmatrix}$, HK$^2 = \left(\frac{20}{21}\right)^2 + \left(- \frac{5}{21}\right)^2 + \left(- \frac{10}{21}\right)^2 = \frac{400 + 25 + 100}{21^2} = \frac{525}{21^2} = \frac{25 \times 21}{21^2}$, donc HK $ = \dfrac{5\sqrt{21}}{21}$. \item %On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule %$V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est %l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base. %Calculer le volume du tétraèdre HFIJ. On donnera la réponse sous la forme d'une fraction irréductible. D'après la question précédente [HK] est la hauteur relative à la base (FIJ) du tétraèdre HFIJ, donc le volume de celui-ci est : $V = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{FIJ}) \times \text{HK} = \dfrac13 \times \dfrac{\sqrt{21}}{8}\times \dfrac{5\sqrt{21}}{21} = \dfrac{5 \times 3 \times 7}{3 \times 8 \times 21} = \dfrac{5}{24}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip \newpage \section*{Exercice 2\hfill 5 points} %\medskip %\emph{La partie {\rm C} est indépendante des parties {\rm A} et {\rm B}}. % %\medskip % %Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d'un mètre sur cet axe, %aléatoirement vers la droite ou vers la gauche. % %Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\dfrac13$. % %S'il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac34$. % %S'il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac12$. % %Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note: % %\begin{itemize}[label=$\bullet~$] %\item $D_n$ l'évènement: \og le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement \fg{} ; %\item $\overline{D_n}$ l'évènement contraire de $D_n$ ; %\item $p_n$ la probabilité de l'évènement $D_n$. %\end{itemize} % %On a donc $p_1 = \dfrac13$. % %\medskip \textbf{Partie A : étude du cas particulier où} \boldmath $n = 2$ \unboldmath \medskip Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs. %\medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré suivant: \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$D_1~$}\taput{$\frac13$}} {\TR{$D_2$} \taput{$\frac34$} \TR{$\overline{D_2}$} \tbput{$\frac14$} } \pstree{\TR{$\overline{D_1}~$}\tbput{$\frac23$}} {\TR{$D_2$} \taput{$\frac12$} \TR{$\overline{D_2}$} \tbput{$\frac12$} } } \end{center} \item %Déterminer la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite. On a $P\left(D_1 \cap D_2\right) = P(D_1) \times P_{D_1}(D_2) = \dfrac13 \times \dfrac34 = \dfrac14$. \item %Montrer que $p_2 = \dfrac{7 }{12}$. De la même façon $P\left(\overline{D_1} \cap D_2\right) = P\left(\overline{D_1}\right) \times P_{\overline{D_1}}(D_2) = \dfrac23 \times \dfrac12 = \dfrac13$. D'après la loi des probabilités totales : $p_2 = P(D_2) = P\left(D_1 \cap D_2\right) + P\left(\overline{D_1} \cap D_2\right) = \dfrac14 + \dfrac13 = \dfrac{3 + 4}{3 \times 4} = \dfrac{7}{12}$. \item %Le robot s'est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement. Quelle est la probabilité qu'il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement ? On a d'abord $p\left(\overline{D_2}\right) = 1 - p(D_2) = 1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$. Il faut calculer la probabilité conditionnelle : $p_{\overline{D_2}}(D_1) = \dfrac{p\left(\overline{D_2} \cap D_1\right) }{p\left(\overline{D_2}\right)}= \dfrac{p\left(D_1 \cap \overline{D_2}\right) }{p\left(\overline{D_2}\right)} = \dfrac{\frac13 \times \frac14}{\frac{5}{12}} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}} = \dfrac15 = 0,2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude de la suite } \boldmath$(p_n)$\unboldmath. \medskip %On souhaite estimer le déplacement du robot au bout d'un nombre important d'étapes. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : ~\hfill$p_{n+1} = \dfrac14 p_n + \dfrac12$\hfill~ \medskip %On pourra s'aider d'un arbre. On reprend l'arbre initial en partant de la branche $D_n$ pondérée par le nombre $p_n$ et la branche $\overline{D_n}$ pondérée par $1 - p_n$, soit : \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$D_n~$}\taput{$p_n$}} {\TR{$D_{n+1}$} \taput{$\frac34$} \TR{$\overline{D_{n+1}}$} \tbput{$\frac14$} } \pstree{\TR{$\overline{D_n}~$}\tbput{$1 - p_n$}} {\TR{$D_{n+1}$} \taput{$\frac12$} \TR{$\overline{D_{n+1}}$} \tbput{$\frac12$} } } \end{center} Toujours d'après la loi des probabilités totales : $\aligned p_{n+1} & = P(D_{n+1}) = P(D_n) \times P_{D_n}(D_{n+1}) + P(\overline{D_n}) \times P_{\overline{D_n}}(D_{n+1}) = p_n \times \dfrac34 + (1 - p_n) \times \dfrac12 \\ & = \dfrac34p_n + \dfrac12 - \dfrac12 p_n = \dfrac14 p_n + \dfrac12 \endaligned$ \item \begin{enumerate} \item On montre par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[p_n \leqslant p_{n+1} < \dfrac23.\] \emph{Initialisation} : on a $p_1 = \dfrac13 = \dfrac{4}{12}$, $p_2 = \dfrac{7}{12}$ et $\dfrac23 = \dfrac{8}{12}$. On a $\dfrac{4}{12} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{8}{12}$, soit $p_1 < p_2 < \dfrac23$ : l'encadrement est vrai au rang 1. \emph{Hérédité} : soit $n$ un naturel avec $n \geqslant 1$ et supposons que $p_n \leqslant p_{n+1} < \dfrac23$ ; comme $\dfrac14 > 0$, on a donc par produit : $\dfrac14p_n \leqslant \dfrac14p_{n+1} < \dfrac14\times \dfrac23$, soit $\dfrac14p_n \leqslant \dfrac14p_{n+1} < \dfrac16$ et, en ajoutant à chaque membre $\dfrac12$ : $\dfrac14p_n + \dfrac12\leqslant \dfrac14p_{n+1} + \dfrac12 < \dfrac16 + \dfrac12$, soit d'après la relation de récurrence démontrée à la question \textbf{1.} : $p_{n+1} < p_{n+2} < \dfrac23.$ La relation est donc vraie au rang $n+1$. \emph{Conclusion :} la relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang $n$ au moins égal à 1, elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence, quel que soit $n \in \N^*$, on a: $p_{n} < p_{n+1} < \dfrac23.$ \item %La suite $(p_n)$ est-elle convergente ? Justifier. Le résultat précédent montre que la suite est croissante et majorée par $\dfrac23$ : d'après le théorème de la convergence monotone, elle converge donc vers un nombre réel inférieur ou égal à $\dfrac23$. \end{enumerate} \item %On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, par $u_n = p_n -\dfrac23$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison. Quel que soit $n \geqslant 1$, on a $\aligned[t] u_{n+1}& = p_{n+1} - \dfrac23 = \dfrac14p_n + \dfrac12 - \dfrac23 = \dfrac14p_n + \dfrac36 - \dfrac46 = \dfrac14p_n - \dfrac16 \\ & = \dfrac14\left(p_n - \dfrac46\right) = \dfrac14\left(p_n - \dfrac23\right) = \dfrac14 u_n. \endaligned$ La relation $u_{n+1} = \dfrac14u_n$, avec $n \geqslant 1$ montre que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac14$ et de premier terme $u_1 = p_1 - \dfrac23 = \dfrac13 - \dfrac23 = - \dfrac13$. \item %Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. On sait que pour $n \geqslant 1$, \quad $u_n = - \frac13 \times \left(\dfrac14\right)^{n-1}$. Comme $- 1 < \dfrac14 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac14\right)^{n-1} = 0$ et donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} - \frac13 \times \left(\dfrac14\right)^{n-1} = 0$. On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = p_n - \dfrac23 = 0$ et finalement : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac23.$ \textbf{Conclusion :} sur un grand nombre de déplacements du robot celui-ci se dirigera en moyenne deux fois sur trois à droite et donc une fois sur trois à gauche. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip %Dans cette partie, on considère un autre robot qui réalise dix déplacements d'un mètre indépendants les uns des autres, chaque déplacement vers la droite ayant une probabilité fixe égale à $\dfrac34$. %Quelle est la probabilité qu'il revienne à son point de départ au bout des dix déplacements ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. La variable aléatoire $X$ égale au nombre de déplacements vers la droite suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac34$. La seule possibilité de revenir au point de départ est de faire (globalement) 5 déplacements à droite et donc 5 déplacements à gauche, soit : $P(X = 5) = \ds\binom{10}{5} \times \left(\dfrac34\right)^5 \times \left(\dfrac14\right)^5 \approx \np{0,0583}$, soit 0,058 au millième près. %\bigskip \newpage \section*{Exercice 3\hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}}$. %On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-4,-1)(8,6.6) \multido{\n=-4+1}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6.6)} \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](-4,\n)(8,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-1)(8,6.6) \uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-4}{8}{6} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{8}{6 1 5 2.71828 x exp div add div} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue ]{-4}{8}{1.5 x mul 0.5858 add} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=green ]{-4}{8}{5 x mul 6 div 1 add} \uput[u](7.5,6){\red $\mathcal{C}_f$}\psdots(1.60944,3)\uput[ul](1.60944,3){A} \psline(1.60944,-1)(1.60944,7) \end{pspicture*} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que le point A de coordonnées $(\ln 5~;~3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. On a $f(\ln 5) = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-\ln 5}}$. Or $\e^{-\ln 5} = \dfrac{1}{\e^{\ln 5}} = \dfrac15$, donc $f(\ln 5) = \dfrac{6}{1 + 5\times \frac15} = \dfrac{6}{2} = 3$. Donc A\,$(\ln\,5\,;\,3\strut) \in \mathcal{C}_f$. \item %Montrer que la droite d'équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + 5\e^{-x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 6$. Donc la droite d'équation $y = 6$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. \item \begin{enumerate} \item %On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a : Pour tout réel: $f'(x) = - 6 \times \dfrac{(1 + 5\e^{-x})'}{\left(1 + 5\e^{-x}\right)^2}= - \dfrac{6 \times 5 \times (- 1) \e^{-x}}{\left(1 + 5\e^{-}x\right)^2} = \dfrac{30\e^{-x}}{\left(1 + 5\e^{-x} \right)^2}$ %\[f'(x) = \dfrac{30\e^{-x}}{\left(1 + 5\e^{-x}\right)^2}.\] \item %En déduire le tableau de variations complet de $f$ sur $\R$. On sait que quel que soit $x \in \R$, \, $30\e^{-x} > 0$ et $\left(1 + 5\e^{-x} \right)^2 > 0$ ; donc $f'(x) > 0$ sur $\R$ : la fonction $f$ est croissante (strictement) sur $\R$.. D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^{-x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 1 + 5\e^{-x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) =0$. Donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$. Enfin $f(0) = \dfrac{6}{1 + 5 \times 1} = \dfrac 66 = 1$ : d'où le tableau de variation : %\begin{center} %\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} %\begin{pspicture}(10,3) %%\psgrid %\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3) %\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$-\infty$} \uput[u](3,2.4){$0$} \uput[u](6,2.4){$\ln 5$} \uput[u](9.5,2.4){$+\infty$} %\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](4.5,1.9){$+$}\uput[u](7.5,1.9){$+$} %\psline{->}(1.5,0.5)(9.5,1.5) %\uput[u](1.2,0){0}\uput[d](9.5,2){6}\rput(3,0.7){1}\rput(6,1.08){3} %\rput(0.5,1){$f(x)$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \def\esp{\hspace*{2cm}} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres $\begin{array}{|c|l *5{c} r|} \hline x & -\infty & \esp & 0 & \esp & \ln\,5 & \esp & +\infty\\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & & \pmb{+} & & \pmb{+} & \\ \hline & & & & & & & \Rnode{max}{6} \\ f(x) & & & & & & & \\ & \Rnode{min}{0} & & & & & & \ncline{->}{min}{max} \rput*(-6.8,0.5){\Rnode{zero}{\red 1}} \rput*(-3.7,0.9){\Rnode{zero}{\red 3}} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{enumerate} \item %On admet que : %\begin{itemize}[label=$\bullet~$] %\item $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, on note $f''$ sa dérivée seconde ; %\item pour tout réel $x$, %\[f''(x) = \dfrac{30\e^{-x}\left(5\e^{-x} - 1\right)}{\left(1 + 5\e^{-x}\right)^3}.\] %\end{itemize} \begin{enumerate} \item %Étudier la convexité de $f$ sur $\R$. On montrera en particulier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion. Comme $30\e^{-x} > 0, \, 1 + 5\e^{-x} > 0$ et donc $\left(1 + 5\e^{-x}\right)^3 > 0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $5\e^{-x} - 1$ : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $5\e^{-x} - 1 = 0 \iff 5\e^{-x} = 1 \iff \e^{-x} = \dfrac15 \Rightarrow -x = \ln \dfrac15 \iff - x = - \ln 5 \iff x = \ln 5$ ; \item $5\e^{-x} - 1 > 0 \Rightarrow x > \ln 5$ ; \item $5\e^{-x} - 1 < 0 \Rightarrow x < \ln 5$. \end{itemize} Conclusion : $f$ est convexe sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln 5[$, concave sur $]\ln 5~;~+ \infty[$ et a en $\ln 5$ un point d'inflexion car la dérivée seconde change de signe en ce point: il s'agit du point A. \item %Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~\ln 5]$, on a: $f(x)\geqslant \dfrac56 x + 1$. Une équation de la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est : $M(x~;~y) \in T_0 \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$. On a vu que $f(0) = 1$ et $f'(0) = \dfrac{30\e^{0}}{\left(1 + 5 \e^{0}\right)^2} = \dfrac{30}{36} = \dfrac56$. Donc $M(x~;~y) \in T_0 \iff y - 1 = \dfrac56(x-0) \iff y = \dfrac56 x + 1$. Or on a vu que sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln 5[$, la fonction $f$ est convexe et par conséquent que sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est au dessus de toutes ses tangentes menées en un point de l'intervalle $]- \infty~;~\ln 5[$, donc en particulier au dessus de la tangente $T_0$ en $x = 0$, donc numériquement : \[f(x)\geqslant \dfrac56 x + 1 \quad \text{sur }\, ]- \infty~;~\ln 5[.\] \end{enumerate} \item On considère une fonction $F_k$ définie sur $\R$ par $F_k(x) = k \ln \left(\e^x + 5\right)$, où $k$ est une constante réelle. \begin{enumerate} \item %Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\R$. $F_k$ est une fonction composée de fonctions dérivables sur $\R$ (car $\e^x + 5 > 0$), elle est donc dérivable sur $\R$ : elle est une primitive de $f$ si : $F'_k(x) = f(x) \iff k\dfrac{\e^x}{\e^x + 5} = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}}$, soit en multipliant chaque terme de $F'_k(x)$ par $\e^{-x}$ : $k\dfrac{1}{1 + 5\e^{-x}} = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}} \iff k = 6$. Donc $F_6(x) = 6 \ln \left(\e^x + 5\right)$. \item %En déduire que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 5$ est égale à $6\ln \left(\dfrac53\right)$. On a vu que $f(0) = 1 > 0$ et la fonction est croissante ; elle est donc positive sur l'intervalle $[0~;~\ln 5]$. L'aire demandée $\mathcal{A}$ est donc égale (en unités d'aire) à : $\aligned \mathcal{A} & = \displaystyle\int_0^{\ln 5} f(x) \,\text{d}x = \left[F_6(x) \right]_0^{\ln 5} = F_6(\ln 5) - F_6(0) = 6\ln\left(\e^{\ln 5} + 5\right) - 6\ln\left(\e^0 + 5\right) \\ & = 6\ln 10 - 6\ln 6 = 6[\ln 10 - \ln 6] = 6\ln \dfrac{10}{6} = 6\ln \dfrac53. \endaligned$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle: $(E) \qquad y' = y - \dfrac16 y^2.$ %On rappelle qu'une solution de l'équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$ telle que pour tout $x$ réel, on a : % %\[u'(x) = u(x) - \dfrac16[u(x)]^2.\] \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$. On a $\aligned[t] f(x) - \dfrac16 [f(x)]^2 & = \dfrac{6}{1 + 5\e ^{-x}} - \dfrac16 \times \dfrac{36}{\left(1 + 5\e ^{-x}\right)^2} \\ & = \dfrac{6}{1 + 5\e ^{-x}} - \dfrac{6}{\left(1 + 5\e ^{-x}\right)^2} = \dfrac{6\left(1 + 5\e ^{-x}\right) - 6}{\left(1 + 5\e ^{-x}\right)^2} = \dfrac{30\e ^{-x}}{\left(1 + 5\e ^{-x}\right)^2} = f'(x) \endaligned$ Donc $f$ est bien une solution de l'équation $(E)$. \item %Résoudre l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac16$. \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Les solutions de l'équation $y' = - y$ sont les fonctions définies sur $\R$ par $x \longmapsto K\e^{-x}$ avec $K \in \R$ ; \item La fonction constante $x \longmapsto \dfrac16$ est la seule fonction constante solution de l'équation à résoudre ; \item Les fonctions solutions de l'équation différentielle proposée sont les fonctions définies par : \[x \longmapsto \dfrac16 + K\e^{-x}\quad \text{avec }\, K \in \R.\] \end{itemize} \item %On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\R$ qui ne s'annule pas. %On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$. %On admet que $h$ est dérivable sur $\R$, On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$. \begin{enumerate} \item %Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac16$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - \dfrac16 y^2$. On a donc : $h'(x) = - h(x) + \dfrac16$ Or si $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$, alors $h'(x) = - \dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$. L'équation précédente devient : $- \dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2} = - \dfrac{1}{g(x)} + \dfrac16$ soit en multipliant par $[g(x)]^2$ $-g'(x) = - g(x) + \dfrac16 [g(x)]^2 \iff g'(x) = g(x) - \dfrac16 [g(x)]^2$ ce qui signifie que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $y' = y - \dfrac16 y^2$. \item %Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définies sur $\R$ par : \[g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6m\e^{-x}}.\] %Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle %$(E) : \quad y'= y - \dfrac16 y^2$. Puisque $m$ est positif, alors $6m\e^{-x}$ l'est aussi et $1 + m\e^{-x} \geqslant 1 > 0$, donc finalement $g_m(x) > 0$ quel que soit le réel $x$. La fonction $h_m$ définie par $h_m(x) = \dfrac{1}{g_m(x)}$ est donc bien définie sur $\R$. Or $h_m(x) = \dfrac{1}{g_m(x)} = \dfrac{1 + 6m\e^{-x}}{6} = \dfrac16 + m\e^{-x}$ et on reconnait une solution de l'équation différentielle de la question \textbf{2.}. On a ensuite vu à la question \textbf{3. a.} que si la fonction $h_m$ était une solution de $y' = - y + \dfrac16$, alors $g_m$ était elle solution de l'équation $y' = y - \dfrac16 y^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \section*{Exercice 4\hfill 5 points} \medskip %\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. %Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} % %\emph{Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes} % %\medskip \begin{enumerate} \item On considère le script écrit en langage Python ci-dessous. \begin{center} {\ttfamily \begin{tabular}{|l|}\hline def seuil(S) :\\ \quad n=0\\ \quad u=7\\ \quad while u < S :\\ \quad \qquad n=n+1\\ \quad \qquad u=1.05*u+3\\ \quad return(n)\\ \hline \end{tabular} } \end{center} \textbf{Affirmation 1} : l'instruction \texttt{seuil(100)} renvoie la valeur 18. \textbf{Vraie} En partant de 7 l'algorithme multiplie le nombre précédent par $1,05$ et ajoute 3. On peut simuler ceci avec une simple calculatrice et on obtient en arrondissant au centième: \begin{center} %$\begin{array}{| *{7}{c|}} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c| *{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline $n$ & 0 & 1 & 2 & $\cdots$ & 17 & $\blue 18$ \\ \hline $u$ & 7 & $10,35$ & $13,87$ & $\cdots$ & $93,57$ & $\blue 101,24$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %\[7 \quad 10,35 \quad \ldots \quad 93,56 \quad 101,24\] 10,35 est le premier résultat et 101,24 le 18\up{e} l'algorithme s'arrête au 19\up{e} passage. \item Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_n = 1 + \dfrac15 + \dfrac{1}{5^2} + \ldots + \dfrac{1}{5^n}.\] \textbf{Affirmation 2} : la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac54$.\textbf{Vraie} On a la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\dfrac15$. En écrivant sous la somme $S$ la somme $\dfrac15 S$ décalée d'un rang vers la droite et en calculant la différence des deux lignes, on obtient : $S - \dfrac15 S = 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} \iff \dfrac45 S = 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}\iff S = \dfrac54\left[1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}\right]$. Comme $-1< \dfrac15 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac15\right)^{n+1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S = \dfrac54 = 1,25$. \item \textbf{Affirmation 3} : dans une classe composée de 30 élèves, on peut former $870$~binômes de délégués différents. \textbf{Fausse} Le nombre de binômes différents est $\ds\binom{30}{2} = \dfrac{30 \times 29}{2} = 435$. \item On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~ +\infty[$ par $f(x) = x(\ln x)^2$. \textbf{Affirmation 4} : \textbf{Vraie} l'équation $f(x) = 1$ admet une solution unique dans l'intervalle $[1~;~ +\infty[$. La fonction $f$ est dérivable sur $[1~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle : $f'(x) = (\ln x)^2 + x \times 2 \times \dfrac 1x \times \ln x = (\ln x)^2 + 2\ln x = \ln x \left (\ln x + 2\right )$. On sait que la fonction logarithme népérien est croissante et comme $\ln 1 = 0$ et $\ln 1 + 2 > 0$, $f'(x) \geqslant 0$. La fonction est donc croissante de $f(1) = 0$ à plus l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires $f$ ne peut prendre la valeur 1 qu'une seule fois. \item \textbf{Affirmation 5} : \textbf{Vraie} \[\displaystyle\int_0^1 x\e^{-x}\,\text{d}x = \dfrac{\e - 2}{\e}.\] Les fonctions $x \longmapsto x$ et $x \longmapsto \e^{-x}$ étant dérivables sur $\R$ donc sur [0~;~1], on fait une intégration par parties : avec $u(x) = x$ et $v'(x) = \e^{-x}$, on obtient : $u'(x) = 1$ et $v(x) = - \e^{-x}$, d'où : $\aligned \displaystyle\int_0^1 x\e^{-x}\,\text{d}x & = \left[-x\e^{-x} \right]_0^{1} + \displaystyle\int_0^1 \e^{-x}\,\text{d}x = \left[x\e^{-x} \right]_0^1 + \left[-\e^{-x} \right]_0^1 = \left[-\e^{-x}(1 + x)\strut \right]_0^1\\ & = - 2\e^{-1} + 1 = 1 - \dfrac{2}{\e} = \dfrac{\e - 2}{\e} \endaligned$ \end{enumerate} \end{document}